一． 1.设行列式a a a a 111221
22=m ，a
a a a 131123
21=n ，则行列式a
a a a a a 11121321
2223
++等于（ ）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n -m
D. m -n
2.设矩阵A =100020003?? ??
?
??，则A -1等于（ ）
A. 13000
12000
1??
??
?????? B. 1000
12000
13??
??
??
???? C. 130********??
?
??????
D. 1
2000
130001?? ??
?
????
? 3.设矩阵A =312101214---?? ??
?
??，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C
5.设n 维向量组,1α,2α,3α…s α（n s ≤≤3）线性无关的充分必要条件是___________。
(A) 存在一组不全为0的常数k 1，k 2,…k s 使得k 11α＋ k 22α＋…k s s α0≠； (B) 该组中的任意两个向量都线性无关；
(C) 该组中存在一个向量，他不能由其它向量线性表出； (D)
该组中任意一个向量都不能由其它向量线性表出
6． 设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为－1，3，4，则A 的逆矩阵A -1的特征值为___________。
(A) －1，3，4 (B) －1，4
1
,
31 (C) 1，9，16 (D) －1，1，1 7． 若1α，2α是齐次方程组AX=0的两个线性无关的解，A 为5阶方阵，k 1，k 2为任意常数，若k 11α＋ k 22α为AX=0的通解，则R （A ）＝___________。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8、设12λ=是可逆阵A 的一个特征值，则矩阵1
213A -??
???
有一个特征值等于（ ）。
()()()()43113424
A B C D
9、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）
(A).所有r -1阶子式都不为0 (B).所有r -1阶子式全为0 (C)至少有一个r 阶子式不等于0
(D).所有r 阶子式都不为0
10、已知矩阵34A ?的行向量组线性无关，则矩阵34T A ?的秩等于（ ）
()()()()1234A B C D
11、设A =100010002??
????????，则下列矩阵中与A 相似的是（
）
(A)100020001?????????? (B)110010002??
????????
(C)100011002??????????
(D)101020001??????????
二、
1、.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .
2．设A ，A 分别为n 元齐次线性方程组AX=b 的系数矩阵和增广矩阵，则该方程组有解的充分必要条件是___________。
3．设向量组1α，2α，3α，4α线性无关，则向量组1α－2α， 2α－3α，3α－4α，4α－1α是线性___________的。 4．设A=???
?
?? d c b a ，则A 的两个特征值之和为___________。
5、设A 为n 阶矩阵，*0,A A ≠是矩阵A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值λ，则矩阵()2
*A E +必有特征值 。
6、设122212221A -?? ?=-- ? ?--??
，矩阵A 的特征值为 ；1
A E -+的特征值为
7、设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，
如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______ 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______
8、当=k 时，)5,,1(k =β能由)1,1,2(),2,3,1(21-=α-=α线性表示？ 三、
1.设A =120340121-?? ?
?
???
，B =223410--?? ???.求（1）AB T
；
（2）|4A |. 2.给定向量组α1=-?? ??
????
210
3，α2=1324-?? ??????，α3=3021-?? ??????，α4=0149-?? ???
???. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
3.设矩阵A =12102242
662102333334-----??
?
?
??
?
?. 求：（1）秩（A ）；
（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
4. 求下列线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 12341234
1234123432638502412432
---=-++=-+-+=--+--=???????的解．
5．给定,)1,1,1,1(1T =α,)1,1,1,1(2T --=αT )1,2,1,2(3=α,)1,1,1,1(4T --=α求向量组,1α,2α,3α4
α的一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组表示。
6．已知矩阵A=????
? ?? 0 1 0 1 0 0 0 0 1 与矩阵B=1 0 0 0 x 0 0 0 1 ?? ?
? ???－相似，求x,并求可逆矩阵P ，使得 P －
1AP ＝B
7.求下列向量组的秩及其一个最大线性无关组：
()()()()12346,4,1,1,2,1,0,2,3,4,1,4,9,16,22,7,1,0,1,3T
T
T
T
a a a a =-=-=--=-
8、讨论λ取何值时，下列方程组分别有解与无解？
123123212
31,
,;x x x x x x x x x λλλλλ?++=?
++=??++=? 9、设有向量组
1232112,1,1,1054a b c αααβ--????????
? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
，
试问当,,a b c 满足什么条件时：
(1) β可由123,,ααα线性表示，且表示方法唯一?
(2) β不能由123,,ααα线性表示？
(3) β可由123,,ααα线性表示，但表示方法不唯一？并写出一般表达式。
10、求下列非齐次线性方程组的通解：
123412341
2342121255
x x x x x x x x x x x x -++=??
-+-=-??-++=?； 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
1.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A
2.
2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =） 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==） 二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21=
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
一、单项选择题 1．若四阶方阵A 的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵 B ．齐次方程组Ax =0有非零解 C ．齐次方程组Ax =0只有零解 D ．非齐次方程组Ax =b 必有解 2．若线性方程组???=λ+-=+-21 2321 321x x x x x x 无解，则λ等于（ ） 3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ） A.???? ? ??000000111 B. ????? ??300110111 C. ???? ? ??000432111 D. ???? ? ??333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（ ） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n D ．R(A) 三、计算题 1．设矩阵A =????? ??? ??-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b. 2．求齐次线性方程组??? ??=+++=+++=--+0 23203220 4321 43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 3．求线性方程组?? ? ??=++=+++=+++3220231 43243214321x x x x x x x x x x x 的通解. 4. 判断线性方程组123412341 34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=?? --+=??-+=-?是否有解，有解时求出它的解. 5．给定线性方程组 ??? ??-=++-=++-=++2 23 321 321321ax x x x ax x a x x x （1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解； （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解. 6．当a 为值何时，方程组??? ??=+++=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 43214321432132322221 有解在有解时，求出它的通解. 1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈） 一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(. 第三章 线性方程组 一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解： 化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。 解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。 解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换 第四章 向量组的线性相关性（二） 1. 判断下列向量集合在向量加法和数乘运算下是否为向量空间，若是向量空 间，试求其维数，并给出一个基． 1) }0,0,,,,),,,,({322154321543211=+=+∈==x x x x x x x x x x x x x x V ，且R α 2) }1,,,),,,({2121212=-∈==x x x x x x x x V n n ，且R α 3) },,){3213322113R ∈++==k k k k k k V αααα，其中)0,1,1(1=α，)1,0,1(2=α， )1,1,2(3=α 2. 已知三维向量空间3R 的一组基)0,1,1(1-=α，)1,0,1(2=α，)1,1,1(3-=α．试用 施密特正交化方法由321,,ααα构造3R 的一组标准正交基． 3. 已知4维向量空间4R 的两个基 (I) ???????====) 0,0,1,2()0,0,2,3()3,2,0,0()4,3,0,0(4321αααα, (II) ?????? ?====) 0,1,2,1()2,1,1,2()2,2,1,0() 1,0,1,2(432 1ββββ 1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵； 2) 求)4,3,2,1(=α在基(I)下的坐标； 3) 判断是否存在在两组基下坐标相同的非零向量． 4. 已知向量空间3R 的两个基为(I)321,,ααα和(II) 321,,βββ．设3R ∈α在基(I) 与基(II)下的坐标分别为()T 321,,x x x =x ，()T 321,,y y y =y ，且满足 3211x x x y ++=，212x x y +=，13x y =． 1) 求由基(I)变为基(II)的过渡矩阵； 2) 求31ββα+=在基(I)下的坐标． 习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性 线性代数测试题（第三章） 一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量()()12243221αβ==-，，则 2α－3β =__________。 2. 一个含有零向量的向量组必线性 。 3. 设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。 4. 设12303206A t ?? ??=-?????? ，当t = 时，R (A ) = 2。 5. 已知A 是m × n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为12,,,s ηηηL 。如R （A ）= k ，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。 二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）: 1. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ）。 A R (α1 , …, α6) = 4 B R (α1 , …, α6) = 2 C α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关 D α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示 2. 已知????? ???????-------=4322351521215133A 则R （A ）为 A 1 B 2 C 3 D 4 3. 设s ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且秩12(,,,),s R r ααα=L 则( )。 A 该向量组中任意r 个向量线性无关 B 该向量组中任意 1+r 个向量线性相关 C 该向量组存在唯一极大无关组 D 该向量组有若干个极大无关组 4. 若1234,,,X X X X 是方程组AX O =的基础解系，则1234X X X X +++ 是AX O =的（ ）。 A 解向量 B 基础解系 第四章 向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示 证明由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明由 知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明 (1) a1能由a2a3线性表示 (2) a4不能由a1a2a3线性表示 证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示 (2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为 所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为 所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为A由 如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案） 8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使 (a1b)2(a2b)0 1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 习题三 （A ） 1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵： (1) 112332141022-?? ?= ? ???（2）111113 1320461135-?? ?- ?= ? ???（3）2451212211 1212136363--? ? ? -- ?= ? -- ?---?? 2.设A 123012425? ? ?=- ? ???，010(1,2)100001? ? ?= ? ???E ，100(3,2(5))010051?? ? = ? ??? E . 试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A . 3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵： (1) A 101110012?? ?=- ? ??? （2）A 211124347--?? ?=- ? ?-??（3）A 1111022200330004?? ? ?= ? ??? 4.用初等变换解下列矩阵方程： (1) 设A 101110120? ? ? = ? ???，102102-?? ?= ? ??? B ，且AX =B ，求X . （2）设A 220213010? ? ?= ? ??? ，且+AX =A X ，求X . 5.设矩阵A 122324111222-?? ?=-- ? ?-?? ，计算A 的全部三阶子式，并求()R A . 6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明. 7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明. 8.求下列矩阵A 的秩： (1) 310211311344?? ? =-- ? ?--??（2 ）1121224230610304-?? ?- ?= ?- ?-??（3）1221 12480 22423336064--? ? ? - ?= ?-- ?--?? (4) 112205123λλλ-?? ?= ? ?-?? (5) 111 111λ λλ?? ? = ? ??? 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） 线性代数第三章习题解 1. 计算下列行列式: 1) 4 321; 2) 2 2b b a a ; 3) 7 04 0- 解: 1) 26432414 321-=-=?-?=; 2) )(222 2a b ab b a ab b b a a -=-=; 3) 0)4(0707 40=-?-?=-. 2. 计算下列三阶行列式: 1) 241130 4 21--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b c b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 2) 将行列式按第二行展开 3) 3. 计算下列行列式: 1) 0 00 0000005 5 4433 2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x y y x y x y x D n 0 0000 000 00 =; 3) f e d c b a 00000000 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 4. 利用行列式的性质计算下列行列式 1) 2 60 5 232112131412 -; 2) ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 3) 2 2 2 2 2222 2 2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 解: 下面都将所求行列式的值设为D . 1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值 1) 1 5 2 3 21353140422 -----; 2) 2 1 6 4 72954 1732152----- 解: 1) 2) 6. 计算下列n 阶行列式 1) 12125 4 3 1432321-n n n 2) a b b b a b a 解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为 )1(2 1 321+= ++++n n n , 将此公因式提出, 因此有 再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得 2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n n b a D 1 )1(+-+= 7. 证明下列行列式 1) ))()((1 11 a c c b b a ab ca bc c b a ---= 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程组有唯一解 i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832 623x y x y +=??+=? 解： 8320 62D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 6 3D = =- 所以，125,62D D x y D D = == =- 2．1231231 2322231 x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 121121 22 1303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 112221 051 1321135011011D r r ---=-+-=---， 212121 5 052 13221310101101D r r --=-+-=-----， 312122 5 002 11221151 1 1 1 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1 D D D x x x D D D === == = 3．21241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 01 2 4120412001835 83 D c c --=-+-=≠- 131101 1001 41140202832 85D c c -=-+=， 232211 2 102 112100123125D c c -=-+=--， 313201 012 412041201 82 5 8 2D c c =-=-- §3 线性方程组解的结构 定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组. 我们看一个齐次线性方程组 111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x ,a x a x a x ,a x a x a x . +++=??+++=?? ? ?+++=?L L L L L 这个方程组总是有解，显然 12000n x ,x ,,x ===L 就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解. 我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n . 定义3 设12r ,,,αααL 是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件： (1) 12r ,,,αααL 线性无关； (2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,αααL 线性表出. 则12r ,,,αααL 称为齐次线性方程组的基础解系．．．． . 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组. 定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩. 证 设齐次线性方程组的系数矩阵为 111212122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ??????= ??? ??? L L M M M L A 由定理4知秩r ＜n . 对A 进行行初等变换，A 可化为 11121211000010000010000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++????????????????????? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 与之对应的方程组为 111112*********,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x , x c x c x ,x c x c x . +++++++++=??+++=?? ? ?+++=?L L L L L （） 令12r r n x ,x ,,x ++L 为自由未知量，得 111112211211,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x , x c x c x ,x c x c x . ++++++=---??=---?? ? ?=---?L L L L L 我们取 12110000001r r n x x ,,,,x ++?????? ?? ????????????????=???????????????????? ????L M M M M 由可得 11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x c c c x ,,,,c c c x ++++++---???? ????????????---????????=???? ????????????---???? ???? L M M M M 从而得到的n r 个解 11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r c c c c c c c c c ,,,.++++++----?????? ??????---??????????????????---??????===?????????????????????????????????????????? ξξξM M M L M M M昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案
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