1、整式乘法
22
()()
a b a b a b
+-=-
222
()2
a b a ab b
+=++
222
()2
a b a ab b
-=-+
2、整式乘法的分类：单项式×单项式
单项式×多项式
多项式×多项式
3、因式分解
概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做~
例：
22()() a b a b a b
-=+-222 2() a ab b a b
++=+
222 2() a ab b a b
-+=-
4、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算
5、因式分解的常用方法介绍
①提公因式法②公式法③十字相乘法
第一种：提公因式法
典型例题
因式分解： 2a (b +c) – 3(b +c ) 6(x –2) + x (2 –x )
总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的
第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因
式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
练习巩固
1、把下列各式因式分解
(1) y)–(x - y)–2(x 32 (2)a)–n(b - b)–m(a
(3) y)–2(x + x )–3(y 2 (4) 22a)–n(b + b)–m (a
(5) a)–m(b - b)–mn(a 2 (6) 32y)+(x + y)+2x (x
第二种：公式法
典型例题1：用平方差公式进行因式分解
⑴229n m - ⑵22254n m -
⑶44n m - （4）4161m +-
总结：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式
有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.
练习巩固
（1）916222-z y x （2）22)(9)25(4b a b a --+
典型例题2：用完全平方公式进行因式分解
（1）1)(2)(2+---q p q p （2）
2222()2()()m n m n m n +--+-
总结：整体代换思想：a b 、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替
代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
练习巩固
（1）424
1a a ++ （2）249114x x --
（3）4224168b b a a +- （4）63362b b a a ++
（5）1)1(2)1(24++-+x x （6）1)2(2)2(2+---n m n m
第三种：十字相乘法
十字相乘法方法总结
1．用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
在十字相乘式中，竖向的两个数必须满足关系a 1a 2=a ，c 1c 2=c ；在上式中，
斜向的两个数必须满足关系a 1c 2+a 2c 1=b ，分解思路为“看两端，凑中间。”
（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a 1是第一个因式中的一次项系数，c 1是常数项；在下一行的两个数
中，a 2是第二个因式中的一次项的系数，c 2是常数项。
（3）二次项系数a 一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x 2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax 2+bx+c 的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式.
请计算：()()x p x q ++=
典型题析1：将下列各式化简
(1) 3)+2)(x +(x (2) 6)-5)(x -(x
(3) 4)-3)(x -(x (4)4)+3)(x -(x
数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解 析） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密 码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结 果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x ， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030 B ．201010 C ．301020 D ．203010 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ）， 当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10， 组成密码的数字应包括20，30，10， 所以组成的密码不可能是201010． 故选B ． 2．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 【答案】A 【解析】 【分析】 观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决． 【详解】 ∵m 2-m-1=0， ∴m 2-m=1， ∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3， 故选A ． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数. 3．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10 C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（） A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（） A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是（） A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2 C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4) 5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（） C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+1 4 y2 6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1 8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（） A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2 9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：
初二培优---------配方与因式分解 龙泉市育才学校 方伟民 内容提要 配方：指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2 例、22(1)9x k x --+若是完全平方式，求k 的值 例、 222 3,411()x y xy x y x y x y +==+=+=-= 已知，求 一、因式分解及其运用 44 1、对于多项式x +4，请你配上适当的项，使它成为完全平方式，并对多项式x +4进行因式分解 2、322213 ,,228 a b ab a b a b ab +==++已知求的值 3、若3256x x x x a ++++有一因式1x +。求a 的值 4、已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3. 则S 等于( ) (A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4. 5、2 2若多项式kx -6xy-8y 可分解写成(2mx+2y)(x-4y)，求k,m 的值 6、n 是自然数，如果n+20和n-21都是完全平方数，求n 的值 7、222244ABC ??已知a,b,c 是的三边长，且满足a c -b c =a -b ，试ABC 判断的形状
二、配方 （1）求代数式的最大(小)值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值 1、求代数式a 2+2a －2 的最值. 2、求下列代数式的最大或最小值： 22 1 x 求y=x + +2010的最小值 （2）运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零. 3、求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y. 4、223894613x y x xy y x y -+-++、为实数，说明的值恒为非负数的理由 （3）其它 222,,3 3 3,,a b c a b c π π π 5、设为实数，x=a -2b+ ,y=b -2c+ ,z=c -2a+ 则中至少有一个值( )A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0 6 、2已知，求x -2x-3的值 （3）合理运用典型公式()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??++---=-+-+-?? 1、例4.已知a=1999x+2000, b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、.已知x-y=a, z-y=10,则代数式222 x y z xy yz zx ++---的最小值为( ) A.75 B.80 C.100 D.105 3、如果a+2b+3c=12，且222 a b c a b b c c a ++=++ 则2 3a b c ++=（ ） A.12 B.14 C.16 D.18 三、配方与因式分解综合运用 1、直角三角形的周长是24cm ，斜边上的中线长为5cm ，求此三角形的面积 2、在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=求证：a c b +=2 3、 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足 x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式：6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式：1-16y4. 3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式：x3-4x2-45x. 7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2 10、分解因式：x4－y4 11、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式：(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式：x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式：36a2-(a2+9)2. 17、分解因式：2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2； 19、分解因式：x2-2xy+y2-9. 20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式：(a 2+1)2-4a2 22、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25. 26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)； 27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
初中数学因式分解的应用培优练习题（附答案详解） 1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61和63 B ．63和65 C ．65和67 D ．64和67 2．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．1、3 B ．3、5 C ．6、8 D ．7、9 3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 4．若a-b=1，则222a b b --的值为____________． 5．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货. 6．已知a 1?a 2?a 3?…?a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ． 7．已知a 2＋b 2-6ab=0（a ＞b ），则 a b b a +-= 8．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)； ② 某商品单价为a 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的； ③若222450x y x y ++-+=，则x y 的值为 12； ④关于x 分式方程211 x a x -=-的解为正数，则a ＞1． 请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______ 9．如图1,在平面直角坐标系中, ,90,8AO AB BAO BO cm =∠=?= ,动点D 从原点O 出发沿x 轴正方向以/acm s 的速度运动,动点E 也同时从原点O 出发在y 轴上以/bcm s 的速度运动,且,a b 满足关系式22 4250a b a b +--+=,连接,OD OE ,设运动的时间为t 秒.
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
八年级数学下培优卷：因式分解 知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（ ） ①a 2﹣9=（a+3）（a ﹣3） ②（m+2）（m ﹣2）=m 2﹣4 ③a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）+1 ④2πR+2πr=2π（R+r ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ． a 2x ﹣a=a （ax ﹣1） B ． a 2﹣3a+2=a （a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣y+1）=2x 2﹣2xy+2x D ． x 2+x+1=（x+1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2a+b 和a+b ； ②5m （a ﹣b ）和﹣a+b ； ③3（a+b ）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 2+y 2；其中有公因式的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣18ab 2分解因式时，应提出的公因式是（ ） A ． 9a 2b B ． 9ab 2 C ． a 2b 2 D ． 18ab 2 3．分解因式﹣2xy 2+6x 3y 2﹣10xy 时，合理地提取的公因式应为（ ） A ． ﹣2xy 2 B ． 2xy C ． ﹣2xy D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）+p （1﹣a ）分解因式的结果是（ ） A ． （a ﹣1）（p 2+p ） B ． （a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（p+1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） A ． 8abx ﹣12a 2x 2=4abx （2﹣3ax ） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12x=﹣6x （x 2﹣x+2） C ． 4x 2﹣6xy+2x=2x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 2y+9ay ﹣6y=﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-； （2）)2)(1()2)(1(--= --x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是 _________ ． 8、不解方程组23532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++=__________ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x 知识点三、公式法：1．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
第一讲:因式分解(一） 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）． 下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2； （6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２． （２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为 ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导． 解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推
3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难） 1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值． 【答案】(1)1；(2)3． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值． 【详解】 解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0， ∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0， ∴(x+y)2+(y+1)2=0， ∴x+y=0，y+1=0， 解得，x=1，y=?1， ∴2x+y=2×1+(?1)=1； (2)∵a?b=4， ∴a=b+4， ∴将a=b+4代入ab+c2?6c+13=0，得 b2+4b+c2?6c+13=0， ∴(b2+4b+4)+(c2?6c+9)=0， ∴(b+2)2+(c?3)2=0， ∴b+2=0，c?3=0， 解得，b=?2，c=3， ∴a=b+4=?2+4=2， ∴a+b+c=2?2+3=3． 【点睛】 此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分. 2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨
把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1 B ．x +2y ﹣1 C ．x ﹣2y +1 D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】 解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2 ＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ） ＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ） ＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）． 故选：C ． 【点睛】 此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案. 2．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ） A ．3- B ．5- C ．7 D ．17- 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可. 【详解】 当3x =-时，33ax bx x ++= 327333ax bx x a b ++=---= 2736a b ∴+=- 当3x =时，原式=2733633a b ++=-+=- 故选A. 【点睛】 本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a 、b 之间的关系. 3．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34 ，则a ﹣b=（ ）
初三数学因式分解培优专题（一） 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解： 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：
1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+
第一讲因式分解的常用方法和技巧 趣题引路】 你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l, 指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式 =V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1) )‘一1 x-l x2 + X + 1 = (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1) 一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展. 知识拓展】 因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分. “例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是 因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等. 本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.
一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： （1）6724+-x x ； （2）3652 4--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式： （1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2； （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．