当前位置:文档之家› 初二培优----因式分解及配方

初二培优----因式分解及配方

初二培优----因式分解及配方
初二培优----因式分解及配方

初二培优---------配方与因式分解

龙泉市育才学校 方伟民

内容提要

配方:指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 (a ±b )2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种:①由a 2+b 2配上2ab , ②由2 ab 配上a 2+b 2, ③由a 2±2ab 配上b 2 例、22(1)9x k x --+若是完全平方式,求k 的值

例、

222

3,411()x y xy x y x y x y +==+=+=-=

已知,求

一、因式分解及其运用

44

1、对于多项式x +4,请你配上适当的项,使它成为完全平方式,并对多项式x +4进行因式分解

2、322213

,,228

a b ab a b a b ab +==++已知求的值

3、若3256x x x x a ++++有一因式1x +。求a 的值

4、已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4x -3. 则S 等于( )

(A) (x -2)4 . (B) (x -1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.

5、2

2若多项式kx -6xy-8y 可分解写成(2mx+2y)(x-4y),求k,m 的值

6、n 是自然数,如果n+20和n-21都是完全平方数,求n 的值

7、222244ABC ??已知a,b,c 是的三边长,且满足a c -b c =a -b ,试ABC 判断的形状

二、配方

(1)求代数式的最大(小)值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值 1、求代数式a 2+2a -2 的最值.

2、求下列代数式的最大或最小值:

22

1

x 求y=x +

+2010的最小值

(2)运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零. 3、求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.

4、223894613x y x xy y x y -+-++、为实数,说明的值恒为非负数的理由 (3)其它

222,,3

3

3,,a b c a b c π

π

π

5、设为实数,x=a -2b+

,y=b -2c+

,z=c -2a+

则中至少有一个值( )A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0

6

、2已知,求x -2x-3的值

(3)合理运用典型公式()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??++---=-+-+-??

1、例4.已知a=1999x+2000, b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式

222a b c ab bc ca ++---的值为( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2、.已知x-y=a, z-y=10,则代数式222

x y z xy yz zx ++---的最小值为( )

A.75

B.80

C.100

D.105

3、如果a+2b+3c=12,且222

a b c a b b c c a ++=++

则2

3a b

c ++=( )

A.12

B.14

C.16

D.18

三、配方与因式分解综合运用

1、直角三角形的周长是24cm ,斜边上的中线长为5cm ,求此三角形的面积

2、在?ABC 中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=求证:a c b +=2

3、 已知:长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ,且满足

x y x xy y --+-+=22220,求长方形的面积。

4、72006n 已知n 为正整数,且4+4+4是一个完全平方数,求n 的值

因式分解法(提公因式法、公式法)

因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

【知识要点】 1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是 正的,并且注意括号内其它各项要变号。 (2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。 (3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公 因式,这时要特别注意各项的符号)。 (4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()22a b a b a b -=+-; ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式: (1)2 2321084y x y x y x -+ (2)233272114a b c ab c abc --+

初二数学经典因式分解题目

经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式:__________ 3. 若,则_________ 4. 若是完全平方式,则t =________ 5. 因式分解:_________ 6. 分解因式:_________ 7. 若,则x =_______,y =________ 8. 若,则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解:-_______=(a +7)(a -_____) 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ,这三个数中有两个数相等,则 _________ 13. 若,则__________ 分解因式:x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353,A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998,a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514,a a b ab b 3223+++=

浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)

浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项:本卷共有三大题23小题,满分120分,考试时间120分钟. 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的. 1﹒下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是() A﹒2x2+8x-1=2x(x+4)-1 B﹒(x+5)(x-2)=x2+3x-10 C﹒x2-8x+16=(x-4)2D﹒6ab=2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是() A﹒a2-1B﹒a2+a-2C﹒a2+a D﹒(a-2)2-2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是() A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是() A﹒-a2-b2=(-a+b)(-a-b)B﹒x2+9=(x+3)2 C﹒1-4x2=(1+4x)(1-4x)D﹒a3-4a2=a2(a-4) 5﹒下列各式中,能用完全平方公式分解的是() C﹒9-6y+y2D﹒x2-2xy-A﹒a2-2ab+4b2B﹒4m2-m+1 4 y2 6﹒已知x,y为任意有理数,记M=x2+y2,N=2xy,则M与N的大小关系为()A﹒M>N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a+b的值是()A﹒-5B﹒5C﹒1D﹒-1 8﹒已知x2-x-1=0,则代数式x3-2x+1的值为() A﹒-1B﹒1 C﹒-2D﹒2 9﹒如图,边长为a、b的长方形的周长为14,面积为10,

精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解:a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析:算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结 果。 解:原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23 532 x y x y +=-=-???,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解 :

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应 用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 ); (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 ). 下面再补充两个常用的公式: (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca); 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222 a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考

八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)

2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式:6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式:1-16y4. 3、分解因式:4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式:x3-4x2-45x. 7、分解因式:(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式:(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式:(m+n)2-4m(m+n)+4m2 10、分解因式:x4-y4 11、分解因式:(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式:(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式:4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式:4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式:x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式:36a2-(a2+9)2. 17、分解因式:2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式:10b(x-y)2-5a(y-x)2; 19、分解因式:x2-2xy+y2-9. 20、分解因式:(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式:(a 2+1)2-4a2 22、分解因式:(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式:(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式:a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式:(a+2b)2-10(a+2b)+25. 26、分解因式:x n+4-169x n+2 (n是自然数); 27、分解因式:9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式:9(m+n)2-4(m-n)2.

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2)((1)3p﹣6pq 2.将下列各式分解因式 3322.﹣6a b+3ab2 ()3a )(1x y﹣xy .分解因式32 22222)﹣4x y)﹣)1()a(x﹣y+16(yx)(2(x+y 4.分解因式:22( 2 2x(1)﹣x )16x﹣1 3 2 2 2 ()yx+9yx4+12﹣﹣6xy3()9xyy4)(﹣)(﹣ 5.因式分解:2 223﹣2am1()8a y+xy+4x4x)2( .将下列各式分解因式:6. 322222 yx﹣+y4x)(2)(1()3x﹣12x 223 22 y﹣2xy)+y﹣2)(x+2y(7.因式分解:(1)xy 8.对下列代数式分解因式: 2(m﹣2)﹣n(2﹣m)(2)(x﹣1)((1)nx﹣3)+1

2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b.分解因式:.分解因式:9 11.把下列各式分解因式: 42422 a﹣2)x+2ax+1+x (x﹣7x +1 (1) 22242432+2x+1 x+3x+2x (4(1﹣y+x))(1﹣y)1+y(3)()2x﹣ 12.把下列各式分解因式: 32222224445+x+1;x ) b +2ac(+2bc3﹣a﹣b﹣c ;2a2 ;4x1()﹣31x+15 () 32432.a+2﹣6a﹣a﹣2a)5(;9﹣+3x+5xx)4(. 2﹣6pq=3p(p﹣2q1)3p),解答:解:(222.(x+2x)+4x+4),=2(2)2x+8x+8,=2( 2.将下列各式分解因式 3322.6a (2)3ab+3ab﹣(1)x y﹣xy 分析:(1)首先提取公因式xy,再利用平方差公式进行二次分解即可; (2)首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 2﹣1)=xy(x+1)(x﹣解:(1)原式=xy(x1);解答:222.﹣b))=3a((2)原式=3a(aa﹣2ab+b 3.分解因式 222222.)y﹣(2)(x4x+y﹣y)+16(y﹣x);(1)a (x 22﹣16),=(x﹣y)(a+4)(a﹣4()+16y﹣x),=(x﹣y)(a);解答:解:(1)a (x﹣y22222222222.)(x﹣2xy+y),﹣4x=y(,=(xx+y+2xy+y))((2)(xx+yy)﹣ 4.分解因式: 222232.)(x﹣y4+12(x﹣)6xyy﹣9x)y﹣y+9;(4(1)2x16x﹣x;(2))﹣1;(3 2﹣x=x(2x﹣1(1)2x);解答:解:2﹣1=(4x+1)(16x4x﹣1);(2)223222;﹣y),)=﹣yy,=﹣y(9x(﹣6xy+y(3)6xy3x﹣9xy﹣222.﹣3y+2),=(3x﹣y)﹣,=[2+3(xy)]((4)4+12x﹣y)+9(x 5.因式分解: 2322 y+xy+4x (2)4x (1)2am ﹣8a; 22﹣4)=2a(m+2)(8a=2a(mm﹣2);解答:解:(1)2am﹣322222.),=x4x,=x((+4xy+y (2)4x2x+y+4x)y+xy 6.将下列各式分解因式: 322222.y(x﹣+y4x)(2)(1)3x﹣12x 32)=3x(1+2x)(1﹣2x)1()3x﹣12x;=3x(1﹣4x 解答:解:22222222222.)y (x+y﹣﹣2xy)(x)+y)=﹣4x(y(=xx+y+yx+2xy)()(2

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解(一) ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】(1)让学生了解什么是因式分解; (2)因式分解与整式的区别; (3)提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是正的, 并且注意括号内其它各项要变号。 (2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。 (3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公因式, 这时要特别注意各项的符号)。 (4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()22a b a b a b -=+-; ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式: (1) a 2b ,5ab ,9b 的公因式 。 (2) -5a 2,10ab ,15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x -y),2xy(y -x) 的公因式 。

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数 学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习 这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上, 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式, 例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b); (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2; 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222a b c ab bc ca ++=++,则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)(x -1)(x +4)-36 (4)(m 2+n 2)2-4m 2n 2 (5)-2a 3+12a 2-18a ; (6)9a 2(x -y )+4b 2(y -x ); (7) (x +y )2+2(x +y )+1.

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 因式分解的一般方法及考虑顺序: 1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法. 3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法. 一、运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1),其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例题1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7.

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容:冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标: 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程. 2、会运用平方差公式,并能运用公式进行简单的分解因式. 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中,培养符号感和推理能力. 2、培养学生观察、归纳、概括的能力. 情感与价值观要求: 在分解过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简捷美;让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦;培养学生敢于挑战;勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点: 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点: 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备: 深研课标和教材,分析学情,制作课件 六、教学过程; 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念,判断下列由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,为什么? (1)、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 (2)、 3x2+9xy-3x=3x(x+3y-1) 是 (3)、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

(1). a3b3-a2b-ab (2)(3x+y)(3x-y) (3)、(x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式,为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课: 你能把多项式:x2 -25、9x2 -y2分解因式吗? 利用一组运用平方差公式分解因式的习题,引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法,可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) (1)用语言怎样叙述公式? (2)公式有什么结构特征? (3)公式中的字母a、b可以表示什么?引导学生观察平方差公式的结构特征, 学生在互动交流中,既形成了对知识的全面认识,又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断:下列多项式能不能运用平方差公式分解因式? (1) m2-1 (2)4m2-9 (3)(3)4m2+9 (4)(4)x2-25y + (5) -x2-25y2 (6) -x2-25y2 通过这一组判断,使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征,既突出了重点,也培养了学生的应用意识。 四、体验新知: (A)通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤,向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确: (1)要先确定公式中的a和b; (2)学习规范的步骤书写。 (B)例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式,所得的结果为( ) A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 解:原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把x x 54-,x x x 321--和分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解法1: 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2:

公式法因式分解知识点讲解及练习

公式法因式分解知识点讲解及练习 1.平 方 差公式: )b a )(b a (b a 22-+=- 因式分解 22)b a )(b a (b a -=-+ 整式乘法 2、分解因式的一般步骤为: (1)若多项式各项有公因式,则先提取公因式。 (2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式。 (3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止。 3、分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分 解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目 的。例如:22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 4、原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。 5、有些多项式用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。 题型一 公式法因式分解 例 1将下列各式因式分解 225-36x 22916b a - 点评::能用平方差公式因式分解的多项式的特征:(1)有且只有两个平方项: (2)两个平方项异号。 知识梳理

巩 固1、计算 (1)22758258- (2)22429171- (3)223.59 2.54?-? 2、已知0001.03,100003=-=+b a b a ,求229a b -的值。 3、把多项式()()2 249b a b a --+分解因式 * 平方差公式中字母b a 、不仅可以表示数,而且也可以表示其他代数式。 例2判断下列各式是不是完全平方式 (1) 222y xy x ++ (2)2244y xy x ++ (3)226b ab a +- (5)222y x xy ++- (6)2242b ab a ++ (4) 412++x x

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b); (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2; (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充两个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); 例.已知 是 的三边,且

,则 的形状是() A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解: 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式: 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式= = 每组之间还有公因式! = 例2、分解因式:

因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“一”号,使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例:计算123 268 - 1368 1368 分析:算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 456 987 1368 解: 说明:在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要 注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。 举一反三: 1、分解因式: (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括 号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是: (1) 当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析: 分析:不要求解方程组,我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体,它们的值分别是 3 和2,观察代数式,发现每一项都含有2x y ,利用提公因式法把代数式恒等变形, 化为含有2x y 和5x 3y 的式子,即可求出结果。 解: 4. 在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解: 一项系数是正数,在提出“―”号后,多项式的各项都要变号。 解: (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当 n 为自 然数时,(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1,是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解: 5、中考点拨: 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解: 说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式:4q(1 p)3 2( p 1)2 解:

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14.3.2公式法导学案(第1课时) 备课时间: 主备:张洪波 高永爱 审核:高永爱 使用时间: 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式,能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式. 3.会两次运用平方差公式分解因式,知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形,灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1): 1) 如果从左到右看,是一种什么变形? 2) 什么叫因式分解?这种因式分解的方法叫什么? 3) 如果从右到左看,是一种什么变形? 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一: 1.计算:(1)(x-1)(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式:(1)21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗?你是如何思考的? 分析:要将22a b -进行因式分解,可以发现它_________公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式,所以用平方差公式可以写成如下 形式:

结论:多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸: 1.把一个单项式写成平方的形式: (1)24a =( )2;(2)40.16a =( )2;(3)221.21a b =( )2; 例1:分解因式:(1);249x -; (2)22()()x p x q +-+ (3).22221.1b b a - 结论:(1)中的_______(2)中的________和(3)中的________相当于平方差公式中的a ;(1)中的______(2)中的_________和(3)中的__________相当于平方差公式中的b ,这说明公式中的a 和b 可以表示一个数,也可以表示一个单项式,或是多项式,只要符合公式的特点( )()22-,就可以运用公式分解因式. 总结平方差公式的特点: ①左边是二项式,每项都是 的形式,两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ,一个因式是两数的 ,另一个因式是这两数的 . 例2:因式分解:(1)44x y - ; (2)3a b ab -; 【尝试应用】 1.口答:①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2.因式分解: (1)22125 a b -; (2)2294a b -; (3)24x y y -;

初二数学因式分解讲解

十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是:二次项系数为1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 课前练习:下列各式因式分解 1.- x2+2 x+15 2.(x+y)2-8(x+y)+48; 3.x4-7x2+18;4.x2-5xy+6y2。 答:1.-(x+3)(x-5);2.(x+y-12)(x+y+4); 3.(x+3)(x-3)(x2+2);4.(x-2y)(x-3y)。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×(-3)+2×(-1)1×(-1)+2×(-3) =5 =7 = -5 =-7 经过观察,第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)。 一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下: a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。 像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其

因式分解—公式法

14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间: 教学目标: 1.知识与技能:会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力。 2.过程与方法:经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性。 3.情感、态度与价值观: 培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点:掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。 教学难点:提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。 教学过程: (一) 复习提问: 1. 讲评上节课作业,复习用提取公因式法分解因式。 2. 计算:(1)))((b a b a -+; (2))3)(3(-+a a ; (3))35)(35(y x y x -+; (4))43 1)(431(n m n m +-。 (设计意图:通过以上练习,复习用平方差公式进行整式的乘法计算,进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系) (二)讲解新课: 我们知道,整式乘法与因式分解相反,因此,利用这种关系,可以得到因式分解的方法,如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式, 这种分解因式的方法叫做运用公式法,今天我们学习公式中的一种。 板书“平方差公式”。 把乘法公式22))((b a b a b a -=-+,反过来,就得到))((22b a b a b a -+=-, 这就是说,两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式特征:二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式,符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解,分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数,相当于公式中的a 、b 。 如:把22925y x -进行因式分解,因为22)5(25x x =,22)3(9y y =,底数分别为x 5、y 3,则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。 下面我们举例说明,如何利用平方差公式分解因式:

初二数学因式分解100题

提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是( ) A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是( ) A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于( ) (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是( ) (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是( ) (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是( ) (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是( ) (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是( ) (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式:①16x 5-x ;②(x -1)2-4(x -1)+4;③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2;④-4x 2-1+4x ,分解因式后,结果含有相同因式的是( )(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除,则k 等于( ) (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是( ) A a(a +b -1)=a 2+ab -a B a 2 –a -2=a(a -1)-2 C -4 a 2+9b 2=(-2a +3b)(2a +3b) D . 2x +1=x(2+1/x) 12下列各式分解因是正确的是( ) A .x 2y +7xy +y=y(x 2+7x) B . 3 a 2b +3ab +6b=3b(a 2+a +2) C . 6xyz -8xy 2=2xyz(3-4y) D . -4x +2y -6z=2(2x +y -3z) 13下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( ) A . x 2-y B . x 2+2x C . x 2+y 2 D .x 2-xy +y 2 14 2(a -b)3-(b - a)2分解因式的正确结果是( ) A . (a -b)2(2a -2b +1) B . 2(a -b)(a -b -1) C . (b -a)2(2a -2b -1) D . (a -b)2(2a -b -1) 15下列多项式分解因式正确的是( ) A . 1+4a -4a 2=(1-2a)2 B . 4-4a +a 2=(a -2)2 C . 1+4x 2=(1+2x)2 D .x 2+xy +y 2=(x +y)2 16 运用公式法计算992,应该是( ) A .(100-1)2 B .(100+1)(100-1) C .(99+1)(99-1) D . (99+1)2 17 多项式:①16x 2-8x ;②(x -1)2 -4(x -1)2;③(x +1)4-4(x +1)2+4x 2 ④-4x 2-1+4x 分解因式 结果中含有相同因式的是( )

相关主题
文本预览
相关文档 最新文档