2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A ．
1
10
B ．
3353
C ．
35
353
D ．
3350
2．对以下命题：
①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1
3
；
③若一种彩票买一张中奖的概率是
1
1000
，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．写出命题p ：“0x R ?∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ?的真假，正确的是()
A ．p ?是“,sin cos x R x x ?∈+≠
B ．p ?是“0x R ?∈，使得00sin cos x x +≠
C ．p ?是“,sin cos x R x x ?∈+=
D ．p ?是“0x R ??，使得00sin cos x x +≠
4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )
A ．12.5，12.5
B ．13.5，13
C ．13.5，12.5
D ．13，13
5．已知如表所示数据的回归直线方程为?5y
x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )
A ．18
B ．20
C ．21
D ．22
6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102S
B ．144
C ．288
D ．1145()a a +
7．“方程
22
195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”
C ．“59m <<”
D ．“59m <<”且“7m ≠”
8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )
A ．22
134x y +
= B ．22
1169x y +
= C ．22
143x y +
= D ．22
143
x y -
= 10．已知双曲线22
:1169x y C -
=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4
D ．5
11．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，
若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )
A B C D 12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则2
2222b a b +的最大值是( )
A ．516
B ．12
C ．916
D ．
3
4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．
14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )
15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ?∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 ．
16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++?+= ；
（2）数列22n a n ??
????
中最小项对应的项数n 为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．ABC ?内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；
（2）若a =b =ABC ?的面积．
18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．
19．设双曲线时
2
2
:1
3
y
x
Γ-=，正项数列{}
n
x满足
1
1
x=，对任意的2
n…，*
n N
∈
，都有1
()
n n
x
-
是Γ上的点．
（1）求数列{}
n
x的通项公式；
（2）记
12231
111
n
n n
S
x x x x x x
+
=++?+
+++
，是否存在正整数m，使得
22
1
33
m
y x
S
-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：
（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？
（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．
参考数据：
5
2
11
392,502.5
n
i i i
i i
x y x
==
==
∑∑．
参考公式：对于一组数据
1
(x，
1
)
y，
2
(x，
2
)
y，(
n
x
?，)
n
y，其回归直线?
??
y bx a
=+的斜率
和截距的最小二乘估计分别为：1
1
2
2
2
1
1
()()
?()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nxy b
x
x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，??)a
y bx =- 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)
．
（1）设过点11
(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求
该直线的方程；
（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 22．已知函数21
()log (),0f x a a x
=+>．
（1）若命题：“0[1x ?∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；
（3）若1
[,1]2
t ?∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值
范围．
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为()
A．
1
10
B．
3
353
C．
35
353
D．
3
350
【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，
因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为
35
353
P=．
故选：C．
2．对以下命题：
①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；
②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1
3
；
③若一种彩票买一张中奖的概率是
1
1000
，则买这种彩票一千张就会中奖；
④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．
其中正确的个数是()
A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，
而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；
对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：
{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，
出现一正一反的概率是
1
2
P=，∴②错误；
对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是
1 1000
，
则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；
对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，
但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误． 综上知，正确的个数是0． 故选：A ．
3．写出命题p ：“0x R ?∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ?的真假，正确的是( )
A ．p ?是“,sin cos x R x x ?∈+≠
B ．p ?是“0x R ?∈，使得00sin cos x x +≠
C ．p ?是“,sin cos x R x x ?∈+=
D ．p ?是“0x R ??，使得00sin cos x x +≠
【解答】解：由sin cos )4
x x x π
+=+
<…
所以命题p ：“0x R ?∈，使得00sin cos x x +=
所以该命题的否定p ?：“,sin cos x R x x ?∈+≠，它是真命题． 故选：A ．
4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )
A ．12.5，12.5
B ．13.5，13
C ．13.5，12.5
D ．13，13
【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.50.212.50.517.50.313?+?+?=，
由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的3
5的位置，
即中位数为3
10(1510)135
+-?=．
故选：D ．
5．已知如表所示数据的回归直线方程为?5y
x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，
则实数m 的值为( )
A ．18
B ．20
C ．21
D ．22
【解答】解：2345645x ++++==，371223955
m m
y ++++==+，
则
9545
m
a +=?-，① 又2857a =?-，②
联立①②解得：7a =，20m =． 故选：B ．
6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102S
B ．144
C ．288
D ．1145()a a +
【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，21832a a +=， 111732a d a d ∴+++=，
解得1916a d +=， 14511141354
(14)(5)22
S S a d a d ??∴-=+
-+ 19(9)916144a d =+=?=．
故选：B ．
7．“方程
22
195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”
C ．“59m <<”
D ．“59m <<”且“7m ≠”
【解答】解：因为方程
22
195
x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：905095m m m m ->??
->??-≠-?
，解得：59m <<且7m ≠，
所以“方程22
195
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“59m <<且7m ≠”，
所以“方程22
195x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“59m <<”． 故选：C ．
8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次， 设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，
事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”， 在①中，事件E 是指事件A 与事件B 同时不发生，∴E AB =，故①正确； 在②中，事件F 表示事件A 和事件B 至少有一个发生， 故F A B =+，故②错误； 在③中，F A B =+，故③正确； 在④中，G AB AB =+，故④错误； 在⑤中，G AB AB =+，故⑤正确；
在⑥中，由对立事件概率计算公式得()1P F P =-（E ），故⑥正确； 在⑦中，由互斥事件概率计算公式得()P F P =（A ）P +（B ），故⑦正确． 故选：C ．
9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )
A ．22
134x y +
= B ．22
1169x y +
= C ．22
143x y +
= D ．22
143
x y -
= 【解答】解：由题意得，1(1,0)F -，则2(1,0)F '， 圆1F 的半径1||4PF =，且2||||MF MP =， 12112||||||42||MF MF PF F F +==>=；
∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中实轴24a =，焦距22c =，
则虚半轴b =，
椭圆的方程为：22
143x y +=．．
故选：C ．
10．已知双曲线22
:1169x y C -
=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4
D ．5
【解答】解：双曲线22
:1169x y C -
=的左右焦点分别是1F ，2F ， 延长2F M 交1PF 于H ，
PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，
O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，
即||OM a =，
双曲线22
:1169x y C -
=中4a =，则||4OM =． 故选：C ．
11．如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，
若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )
A
B
C
D
【解答】解：设2QF 的倾斜角α，延长2QF 到P '，显然PP '关于O 对称， 根据椭圆的极坐标方程221cos b a P F e α'=-，221cos b a F Q e α
=+， 由221cos 21cos P F e QF e αα'+==-，1
cos 3
e α=， 又根据正弦定理12122sin 902sin cos F F c e a PF PF αα
?
=
==++， 所以sin cos 1e e αα+=，的2sin 3
e α=， 所以22225cos sin 9
e e αα+=， 25
9
e =
，e =
故选：A ．
12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则2
2222b a b +的最大值是( )
A ．516
B ．12
C ．916
D ．
34
【解答】解：把(1,1)代入得
22
11
1a b +=， 则2
2222222111211192()()22216b a
b a b a b +++=+=…，当且仅当221112a b =+成立，即243
a =，24
b =， 故选：C ．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 4
． 【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，
所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40103
404P -==， 故答案为：
34
． 14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )
【解答】解：由2log ()0a b ->可知，1a b ->，所以0a b ->，从而得出a b >， 然而由a b >，只能得到0a b ->，得不到1a b ->，故推不出2log ()0a b ->， 所以“2log ()0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．
15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ?∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ． 【解答】解：
()f x 的对称轴为3
2
x =
， 所以，当0(1t ∈，3
]2
时，[1x ∈，0]t 位于对称轴左侧，草图如下：
此时2000()()30min f x f t t t a ==-+…，
又对于任意0(1t ∈，3
]2
均成立，
因此200(3)2min a t t --=…；
又，当03
(2
t ∈，3]时，[1x ∈，0]t 越过对称轴，草图如下：
此时399
()()0242
min f x f a ==-+…，
解得94
a …
； 综上，2a …．
故答案为：(-∞，2]．
16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++?+= 1010 ； （2）数列22n a n ??
????
中最小项对应的项数n 为 ．
【解答】解：（1）数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-， 则：1311(1)11a a =++-=，
3533(1)31a a =++-=，
??，
2017201920172017(1)20171a a =++-=，
所以135********
10102
a a a a +++?+==． 故答案为：1010．
（2）由题意知：22180,(1)n n n a a a n n +==++-， 因为n 为偶数，所以22n n a a n +=+， 整理得22n n a a n +-=， 22(2)n n a a n --=-， ??， 6424a a -=?， 4222a a -=?，
累加得：222(24)n a a n +-=++?+， 整理得：2
211802
n a n n +=
++， 所以：21
180(2
n a n n n =-+为偶数），
从而得到 ()18012n a n n n n
=+-为偶数，
由于
18018022n n n n n
+==当且仅当即…， 又因为*n N ∈且n 为偶数，所以当18n =或20时，
n
a n
的值最小． 所以 数列22n a n ??
????
中最小项对应的项数n 为9或10．
故答案为：9或10．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．ABC ?内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；
（2）若a =b =ABC ?的面积．
【解答】解：（1sin sin 2C c A =．
sin sin sin 2A C C A =． 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，
所以cos A =
． 因为0A π<<， 所以6
A π
=
．
（2）因为a =b =6
A π
=
．
由余弦定理：2222cos a b c cb A =+- 得2650c c -+=，
解得：1c =或5c =，均适合题．
当1c =时，ABC ?的面积．为1sin 2S bc A ==
当5c =时，ABC ?的面积．为1sin 2S bc A ==．
18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80)对应的小矩形最高， ∴这40辆小型汽车车速的众数为：
7580
77.5(/)2
km h +=． 由频率分布直方图知[60，75)对应的频率为： (0.0100.0200.040)50.35++?=， [75，80)对应的频率为：0.06050.3?=，
∴中位数的估计值为：
(0.50.35)
75577.5(/)
0.3
km h
-
+?=．
（2）车速在[60，70)内频率为(0.0100.020)50.15
+?=，∴车速在[60，70)内的车辆有0.15406
?=辆，
其中车速在[60，65)内的车辆有：0.0105402
??=辆，车速在[65，70)内的车辆有：0.0205404
??=辆，
∴从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，
基本事件总数2
615
n C
==，
车速在[65，70)内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数11
428
m C C
==，
∴车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率
8
15
m
p
n
==．
19．设双曲线时
2
2
:1
3
y
x
Γ-=，正项数列{}
n
x满足
1
1
x=，对任意的2
n…，*
n N
∈
，都有1
()
n n
x
-
是Γ上的点．
（1）求数列{}
n
x的通项公式；
（2）记
12231
111
n
n n
S
x x x x x x
+
=++?+
+++
，是否存在正整数m，使得
22
1
33
m
y x
S
-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
【解答】解：（1）正项数列{}
n
x满足
1
1
x=，对任意的2
n…，*
n N
∈
，都有
1
()
n n
x
-
是双曲线
2
2
:1
3
y
x
Γ-=上的点，
可得22
1
1
n n
x x
-
-=，即有2
{}
n
x为首项和公差均为1的等差数列，
可得211
n
x n n
=+-=
，即
n
x=；
（2
）
1
1
n n
x x
+
==
+
，
则
12231
111
11 n
n n
S
x x x x x x
+
=++?+=+-+-=
+++
，
假设存在正整数m，使得
22
1
33
m
y x
S
-=与Γ有相同的渐近线，
即有y=
与y=
=，
即99m S =
199-=， 解得9999m =，
则存在正整数9999m =，使得
22
133
m y x S -=与Γ有相同的渐近线． 20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：
（1）根据1至5月份的拮据，先求出y 关于z 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？
（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．
参考数据：5
21
1
392,502.5n
i i i i i x y x ====∑∑．
参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，(n x ?，)n y ，其回归直线???y
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1
1
2
2
2
1
1
()()
?()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nxy b
x
x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，??)a
y bx =- 【解答】解：（1）1(99.51010.511)105x =++++=，1
(1110865)85y =?++++=，
2
3925108? 3.2502.5510b
-??==--?， 则??8( 3.2)1040a
y bx =-=--?=， 于是y 关于x 的回归直线方程为? 3.240y x =-+； 取8x =，得? 3.284014.4y
=-?+=， |14.414.2|0.20.5-=<，
∴所求得的回归直线方程是理想的；
（2）令销售利润为W ，则
2( 2.5)( 3.240) 3.248100(2.512.5)W x x x x x =--+=-+-<<，
当7.5x =时，W 取最大值80．
∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．
21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)
．
（1）设过点11
(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求
该直线的方程；
（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：设椭圆的焦距为2c ，
由题意，222211
b c e a a b c
?=??
?
==??=+???
，解得11
a b c ?=?=??=?，
∴椭圆E 的标准方程为2
212x y +=，
（1）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
则2
2112222121
2
x y x y ?+=??
??+=??，两式作差得121212122()y y x x x x y y -+=--+， 由点P 为MN 的中点得直线的斜率2
31123
k -
=-=，
∴该直线的方程为：11
63
y x -
=+，化简得一般式方程为：2210x y -+=； （2）由椭圆的方程可得(1,0)F ，
由题意可设直线l 的方程为1x ty =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
由2
2121x y x ty ?+=???=+?
得22(2)210t y ty ++-=，
由韦达定理得12222t y y t +=-
+，122
1
2
y y t =-+， 易求得线段AB 的垂直平分线的方程为2
02
t
tx y t +-=+， 由0x =得：22
t
m t =
+， ①当0t =时，0m =； ②当0t ≠时，12m t t
=
+，
当0t <
时，2
t t +-…
，0m <，
当0t >
时，2
t t
+…
0m <…
综上：实数m
的取值范围是[． 22．已知函数21
()log (),0f x a a x
=+>．
（1）若命题：“0[1x ?∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；
（3）若1
[,1]2
t ?∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值
范围．
【解答】解：（1）
21
()log (),0f x a a x
=+>在定义域上单调递减，
0[1x ?∈，4]，0()1f x >”是真命题， ()max f x f ∴=（1）2log (1)1a =+>， 12a ∴+>， 1a ∴>，
a 的取值范围(1,)+∞；
（2）若2a =，21
()(2)f x log x =+，
10x >，20x >，121x x +=， ∴212121
(
)24
x x x x +=…， ∴
12
14x x …，
122212
11
()()(2)(2)f x f x log log x x ∴+=+
++， 12221212
1223
(4)(4)4x x log log x x x x ++=+=+…，即最小值4；
（3）
1
[,1]2
t ?∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上单调递减，
故()(1)1f t f t -+…，
∴2211
()()11log a log a t t +-++…，
即11
2()1a a t t +++…， ∴1211(1)
t
a t t t t --
=++…， 设1t r -=，则1
[0,]2
r ∈，
∴
21(1)(1)(2)32
t r r
t t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032
r
r r =-+，
当0r ≠时，
2
1
2323
r r r r r
=-++-，
根据对勾函数的单调性可知，当r =，12时，2r r +取得最小值92
， ∴
22
323
r r r -+…
， ∴23
a …．
故a 的取值范围2
[3
，)+∞．
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点， 且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( ) A ．1()2a b c -++r r r B ．1()2a b c +-r r r C ．1()2a b c -+r r r D ．1()2 a b c --+r r r 3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +… B ．||4a … C ．||2a …且||2b … D ．4b <- 4．（5分）设ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 5．（5分）在10(1)x 的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45- B ．90- C ．45 D ．90 6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S = ) A ．8080- B ．4040- C ．8080 D ．4040 7．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ． 1 4 B ． 12 C ．13 D ． 34 8．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为
华南师大附中2021届高三综合测试（二） 物理 满分100分，考试时间75分钟 注意事项： 1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和答卷上。 2．选择题在选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题（7题，每题4分，共28分） 1．如图所示，有a、b两条图线，则下列说法正确的是( ) A．若横坐标为t，纵坐标为v，a、b两物体运动方向相反 B．若横坐标为t，纵坐标为S/t，a、b两物体均在做匀加速直线运动 C．若横坐标为t，纵坐标为a，图象交点对应的时刻两物体速度可能相同 D．若物体在平面上运动，横坐标为水平位置x，纵坐标为竖直位置y，交点表示a、b 两物体相遇 2．子弹恰能依次穿过3块紧贴在一起的厚度分别为3d、2d和d的木板（即穿过第3块木板后子弹速度减小为零）。设子弹在木板里运动的加速度是恒定的，则下列说法正确的是( ) A．子弹依次进入木板之前的速度之比为3:2:1 :6 B．子弹依次进入木板之前的速度之比为1:3 C．子弹依次通过各木板所需的时间之比为3:2:1 :6 D．子弹依次通过各木板所需的时间之比为1:3 3．按压式圆珠笔内装有一根小弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出来。如图所示，使笔的尾部朝下，将笔向下按到最低点，使小帽缩进，然后放手，笔将向上弹起至一定的高度。忽略摩擦和空气阻力。则笔从最低点运动至最高点的过程中，下列说法正确的是( ) A．笔的动能一直增大 B．弹簧的弹性势能减少量等于笔的动能和重力势能总和的增加量 C．笔的重力势能与弹簧的弹性势能总和一直减小 D．笔的加速度先减小后增大