§4.5反函数的概念
练习题：
例1． 求下列函数的反函数：
（1）
31y x =-（)x R ∈； （2）1(0)y x =
≥； 解：（1）由31y x =-，解得1
3y x +=，
所以，函数31y x =-（)x R ∈的反函数是31()3x y x R +=∈；
（2）由函数
1(0)y x =≥，解得2(1)x y =-， 所以，函数
1(0)y x =+≥的反函数是2(1)y x =- (1)x ≥。
说明：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：
（1）反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；
（2）互换,x y ，得1()y f x -=；
（3）写出完整结论（一定要有反函数的定义域）。
例2． 判断下列函数是否有反函数。如有反函数，则求出它的
反函数。2()42()f x x x x R =-+∈； 解：
2x =
对于每一个确定的y 的值，都有两个x 与之对应因而它没有反函数。
问：加一个什么条件能使这个函数有反函数呢？
答：2()42(2)f x x x x =-+≤
由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+
∵
2x ≤，∴ 22x x -==，
互换
,x y 得2y =-
又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞ 所以，反函数为
1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．
例3. 求下列函数的反函数
1. 5,03y x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
2. 2213,(,1]x x y x ++=∈-∞-
3. 332232x y x x x +⎛⎫=≥-≠- ⎪+⎝⎭
且
例4．已知函数65()(,1x f x x R x +=
∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，求
1(7)f -的值。
例5．（1）求函数32()y x x R =-∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。
（2）求函数3()y x x R =∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。
解：（1）从32,y x =-解得23
y x +=，因此函数32()y x x R =-∈的反函数是2()3
x y x R +=∈． 函数32()y x x R =-∈和它的反函数2()3x y x R +=∈的图象如图所示（图略）。
（2）从函数
3()y x x R =∈，解得x ．因此3()y x x R =∈的反函数是
)y x R =∈
3()y x x R =∈和它的反函数)y x R =∈的图象如图所示（图略）。 由这两组图象，我们可以观察出互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
说明：（1）如果(,)a b 是()y f x =上的点，那么(,)b a 是1()y f x -=上的点，而(,)a b 与(,)b a 是关于直线y x =对称的，所以互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称的；
（2）1()()b f a a f b -=⇔=，从而，有11(()),(())f f a a f f b b --==。
例6．设23()1
x f x x +=-，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，求(3)g ．
解（法一）：函数23()1
x f x x +=-的值域为{|2}y y ≠
∵231
x y x +=
-，即23,(2)3yx y x y x y -=+-=+， ∴32y x y +=-， ∴}{13(),|22
x f x x x x x -+=∈≠-， 即}{3(),|22x g x x x x x +=∈≠-， ∴33(3)632g +==-． （法二）因为1()()g x f x -=，
∴1(3)(3)g f -=，即有2331x x +=-，得6x =， 所以，(3)6g =．
例7．已知5()2x f x x m -=
+的图象关于直线y x =对称，则求m 的值。
解：∵5()2x f x x m
-=+的图象关于直线y x =对称 ∴5()2x f x x m
-=+的反函数是本身。 故有25xy my x +=-，∴521
my x y --=- ∴155()212my y f x y y m ----==-+，所以，1m =-．
例8．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>， 求：（1）1()f x -及其1(1)f x -+；
（2）求(1)y f x =+的反函数。
解：（1）∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，
∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >， 又由
21(1)y x x +=> 得x =， ∴
1()0)f x x -=> 所以，
1(1)1)f x x -+=>-．
（2）由
2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-
∴
(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-． 说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的
反函数。
题中有1(1)y f x -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．
例9．已知函数()f x ax k =+的图象经过(1,3)，其反函数图象经过点(2,0)，则求()f x 的表达式。
解：因为反函数图象经过点(2,0)，所以原函数必过点(0,2)， 又原函数图象过点(1,3)，由此可得 023
a k a k ⋅+=⎧⎨+=⎩ 解得1,2a k ==，所以()2f x x =+．
例10． 求函数1(0)1(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩的反函数。
解：由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->， 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．
综上可得所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．
例11．已知函数(),,y f x x A y C =∈∈存在反函数1()y f x -=，
（1）若()y f x =是奇函数，讨论1()y f x -=的奇偶性；
（2）若()y f x =在定义域上是增函数，讨论1()y f x -=的单调性。
证明：（1）()y f x =是奇函数，定义域关于原点对称， ∴()y f x =的值域也关于原点对称。 ∴()y f x =的定义域关于原点对称， 设x C ∈，存在t A ∈使()f t x =，∴1()f x t -=， ()y f x =是奇函数，∴()f t x -=-， ∴1()f x t --=-，∴11()()f x t f x ---=-=-， 所以1()y f x -=是奇函数。
（2）设12,x x C ∈，且12x x <，存在12,t t A ∈，使11()f t x =，22()f t x =， 又∵()y f x =在定义域上是增函数， ∴12t t <，即1112()()f x f x --<，
所以，1()y f x -=在定义域上是单调增的。
例12．若函数()y f x =的图象过点(1,4)，
（1）求(2)f x +的反函数的图象必经过的一个定点的坐标；
（2）若函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，求函数1(1)y f x -=+和
函数1()1y f x -=+必经过的定点。
解：（1）()y f x =的图象经过点(1,4)， ∴()2y f x =+的图象经过点(1,4)-， 所以，()2y f x =+的反函数的图象经过点(4,1)-．
（2）()y f x =的图象经过点(1,4)，
∴()1y f x -=的图象经过点(4,1)， 故函数1(1)y f x -=+的图象经过点(3,1)，
函数
1()1y f x -=+必经过的定点(4,2)．
练习：
1．已知(1)3),f x x +=≤-求1()f x -．
2． 如果1()()f x f x ax b -==+，求,a b 满足的条件。
（答案：1a b R =-⎧⎨∈⎩或10a b =⎧⎨=⎩
） 3.若函数()y f x =的图象经过点()0,1-，求函数(4)y f x =
+的反函数的图象经过的定点的坐标。
4．已知()
f x =求113f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 5．已知函数()y f x =在定义域(],0-∞上存在反函数，且
()212f x x x -=-，求112f -⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 6． 求函数21(0)21(0)
x x y x x ⎧-≥=⎨-<⎩的反函数。
反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的 内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探 索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定 义.介绍反函数的记号)(1x f y -=；了解)(1x f -表示反函数的符号，1-f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2 x y =（R x ∈）的反函数是 （2）2x y =（0≥x ）的反函数是 （3）2 x y = （0 §4.5反函数的概念 练习题： 例1． 求下列函数的反函数： （1） 31y x =-（)x R ∈； （2）1(0)y x = ≥； 解：（1）由31y x =-，解得1 3y x +=， 所以，函数31y x =-（)x R ∈的反函数是31()3x y x R +=∈； （2）由函数 1(0)y x =≥，解得2(1)x y =-， 所以，函数 1(0)y x =+≥的反函数是2(1)y x =- (1)x ≥。 说明：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是： （1）反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围； （2）互换,x y ，得1()y f x -=； （3）写出完整结论（一定要有反函数的定义域）。 例2． 判断下列函数是否有反函数。如有反函数，则求出它的 反函数。2()42()f x x x x R =-+∈； 解： 2x = 对于每一个确定的y 的值，都有两个x 与之对应因而它没有反函数。 问：加一个什么条件能使这个函数有反函数呢？ 答：2()42(2)f x x x x =-+≤ 由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+ ∵ 2x ≤，∴ 22x x -==， 互换 ,x y 得2y =- 又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞ 所以，反函数为 1()2f x x -=-∈[2,)-+∞． 例3. 求下列函数的反函数 1. 5,03y x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦ 2. 2213,(,1]x x y x ++=∈-∞- 3. 332232x y x x x +⎛⎫=≥-≠- ⎪+⎝⎭ 且 例4．已知函数65()(,1x f x x R x += ∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，求 1(7)f -的值。 例5．（1）求函数32()y x x R =-∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。 （2）求函数3()y x x R =∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。 解：（1）从32,y x =-解得23 y x +=，因此函数32()y x x R =-∈的反函数是2()3 x y x R +=∈． 函数32()y x x R =-∈和它的反函数2()3x y x R +=∈的图象如图所示（图略）。 （2）从函数 3()y x x R =∈，解得x ．因此3()y x x R =∈的反函数是 )y x R =∈ 3()y x x R =∈和它的反函数)y x R =∈的图象如图所示（图略）。 由这两组图象，我们可以观察出互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称。 说明：（1）如果(,)a b 是()y f x =上的点，那么(,)b a 是1()y f x -=上的点，而(,)a b 与(,)b a 是关于直线y x =对称的，所以互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称的； （2）1()()b f a a f b -=⇔=，从而，有11(()),(())f f a a f f b b --==。 例6．设23()1 x f x x +=-，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，求(3)g ． 解（法一）：函数23()1 x f x x +=-的值域为{|2}y y ≠ 习题精选 一、选择题 1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ). A．与 B．与 C．与 D．与 2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ). A．至少有一实根 B．有且仅有一实根 C．至多有一实根 D．没有实根 3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ). A． B． C． D． 4．（）的反函数是（） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．设函数，，则的定义域是（） A． B． C． D． 6．已知，则的表达式为（） A． B． C． D． 7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（） A． B． C． D． 8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（） A．与的图象不一定关于对称； B．与的图角关于轴对称； C．与的图象不可能有交点； D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个 9．若有反函数，下列命题为真命题的是（） A．若在上是增函数，则在上也是增函数； B．若在上是增函数，则在上是减函数； C．若在上是增函数，则在上是增函数；D．若在上是增函数，则在上是减函数10．设函数（），则函数的图象是（） 11．函数（）的反函数 =（） A．（）B．（） C．（）D．（） 二、填空题 1．求下列函数的反函数: （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2．函数的反函数是_____________________． 3．函数（）的反函数是_________． 4．函数的值域为__________ ． 5． ,则的值为_________. 6．要使函数在上存在反函数,则的取值范围是_____________．7．若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________． 8．已知函数（），则为__________． 9．已知的反函数为，若的图像经过点，则 =________． 三、解答题 1．求函数的反函数． 2．若点（1，2）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求，的值．3．已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数． 4．给定实数，且，设函数（且）证明：这个函数的图象关于直线成轴对称图形． 5．若点在函数的反应函数的图象上，求． 数学的函数基础练习题 数学是一门既有深度又有广度的学科，而其中的函数概念更是数学 学习的基石之一。掌握好函数的基本概念和运算规则对于培养数学思 维和解决实际问题都具有重要意义。在这里，我将给大家提供一些函 数基础练习题，希望能够帮助大家巩固对函数的理解和应用。 1. 简单线性函数练习题 (1) 已知一条直线过点A(-2,-3)，斜率为2，求该直线的方程。 (2) 已知一条直线的方程为y = 3x + 5，判断点(-1, 2)是否在该直线上。 (3) 若函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。 2. 复合函数练习题 (1) 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x，计算f(g(3))的值。 (2) 已知函数f(x) = x^2 + 2，g(x) = x - 1，计算g(f(2))的值。 3. 函数图像练习题 (1) 画出函数y = 2x + 1的图像，并标注出该函数的y截距和斜率。 (2) 画出函数y = |x - 2|的图像。 (3) 如果已知函数y = f(x)在定义域[-1, 1]上是减函数，在定义域[1, 3]上是增函数，试画出其可能的图像。 4. 逆函数练习题 (1) 已知函数f(x) = 2x + 1，求它的逆函数f^{-1}(x)。 (2) 已知函数f(x) = x^2 - 1，求它的逆函数f^{-1}(x)。 (3) 已知函数f(x) = \sqrt{x}，求它的逆函数f^{-1}(x)在定义域[0, +\infty)上的表达式。 以上是一些基础的函数练习题，希望能够帮助大家熟悉函数的概念 和运算规则，培养数学思维和解决问题的能力。当然，这些只是起点，数学世界广阔无垠，还有更多更复杂的函数问题等待我们去挑战和探索。只要保持学习的热情和恒心，相信大家一定能够在数学的旅途中 不断进步！ 反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数 D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 x 1 y＝－，那么另一个函数是 [ ] A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1) 7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 [ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b)) 8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是 [ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x) C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x) 9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是 [ ] 关于反函数的练习题 反函数是数学中一个常见且重要的概念，它指的是对于给定函数 f(x)，存在一个函数 g(x) 使得对于所有的 x 在定义域中成立 g(f(x)) = x。反函数可以帮助我们求出原函数的逆变换，从而解决一系列实际问题。 为了更好地理解和掌握反函数的性质，下面将给出一些有关反函数 的练习题，希望能够帮助读者更好地理解和应用反函数。 题目一：设函数 f(x) = 2x + 3，求反函数 g(x) 的表达式。 首先，我们先假设 g(x) = y，根据反函数的定义，我们有 f(g(x)) = x。将 f(x) 的表达式代入得到： 2g(x) + 3 = x 接下来，解方程可以得到 g(x) = (x - 3) / 2 因此，反函数为 g(x) = (x - 3) / 2。 题目二：已知函数 f(x) = x^2 + 1，求反函数 g(x) 的表达式。 同样地，我们假设 g(x) = y，根据反函数的定义，有 f(g(x)) = x。代 入 f(x) 的表达式得到： (g(x))^2 + 1 = x 接下来，解这个二次方程可以得到： g(x) = √(x - 1) 题目三：已知函数 f(x) = 3x，求反函数 g(x) 的表达式。 假设 g(x) = y，根据反函数的定义，有 f(g(x)) = x。代入 f(x) 的表达 式得到： 3g(x) = x 解这个一次方程可以得到： g(x) = x/3 通过这些练习题，我们可以发现一些反函数的性质和规律。首先， 对于线性函数 f(x) = a*x + b，其反函数的表达式为 g(x) = (x - b) / a。这 表明了线性函数与其反函数之间存在着一种简单的关系。 其次，平方函数 f(x) = x^2 的反函数是开方函数g(x) = √x。这一结 果说明了平方和开方之间存在着一种互逆的关系，通过平方操作可以 获得一个数的平方，通过开方操作可以得到平方根。 最后，我们观察到常数函数 f(x) = c 的反函数也是一个常数函数 g(x) = c'，其中 c 可以是任意实数，c' 是 c 的逆元。 练习题的目的在于帮助读者通过实践掌握反函数的性质和求解方法，同时加深对函数和反函数的理解。在实际应用中，反函数可以帮助我 们进行函数的逆变换，解决一些实际问题，比如物理上的运动过程， 经济学中的成本分析等等。 总而言之，反函数是数学中一个重要的概念，在解题过程中具有广 泛的应用。通过练习题的探讨，读者可以更好地理解和应用反函数， 反函数练习题 反函数是高中数学中的一个重要概念，它与函数的定义域和值域有着密切的关系。在学习反函数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答， 可以帮助我们更好地理解和掌握反函数的性质和应用。本文将通过一些典型的 反函数练习题，帮助读者加深对反函数的理解。 1. 练习题一：已知函数f(x) = 2x + 5，求其反函数f^(-1)(x)。 解答：要求函数f(x)的反函数，即求出一个函数f^(-1)(x)，使得f^(-1)(f(x)) = x。根据题目给出的函数f(x) = 2x + 5，我们可以将其表示为y = 2x + 5。接下来， 将x和y互换位置，得到x = 2y + 5。然后，解方程x = 2y + 5，得到y = (x - 5)/2。因此，函数f^(-1)(x) = (x - 5)/2。 2. 练习题二：已知函数g(x) = 3x^2 + 1，求其反函数g^(-1)(x)。 解答：同样地，要求函数g(x)的反函数，即求出一个函数g^(-1)(x)，使得g^(-1)(g(x)) = x。根据题目给出的函数g(x) = 3x^2 + 1，我们可以将其表示为y = 3x^2 + 1。接下来，将x和y互换位置，得到x = 3y^2 + 1。然后，解方程x = 3y^2 + 1，得到y = √((x - 1)/3)。因此，函数g^(-1)(x) = √((x - 1)/3)。 3. 练习题三：已知函数h(x) = e^x，求其反函数h^(-1)(x)。 解答：函数h(x) = e^x是一个指数函数，指数函数的反函数是对数函数。因此，我们可以得到函数h^(-1)(x) = ln(x)，其中ln表示自然对数。 4. 练习题四：已知函数k(x) = sin(x)，求其反函数k^(-1)(x)。 解答：函数k(x) = sin(x)是一个三角函数，三角函数的反函数称为反三角函数。 对于函数k(x) = sin(x)，其反函数为k^(-1)(x) = arcsin(x)，其中arcsin表示反正 弦函数。 4.5 反函数的概念 反函数的概念 对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，若对于每一个y A ∈都有唯一确定的x D ∈满足()y f x =，则这样的对应也构成一个函数，称为原函数()y f x =的反函数，记作()1 x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而因变量用 y 表示，所以把它改写为 ()()1 y f x x A -=∈． 反函数的性质 （1）原函数()y f x =与其反函数()1 y f x -=的图象关于直线y x =对称． （2）原函数()y f x =的定义域和值域分别是其反函数()1 y f x -=的值域和定义域． （3）奇函数的反函数仍是奇函数，偶函数没有反函数． （4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性． 例1：求下列函数的定义域 （1）() () 1lg 2x y x -= -； （2）已知函数()2x y f =的定义域是[]1,2，求()2log y f x =的定义域． 例2：求下列函数的解析式 （1）已知) 11f x =+，求()f x ； （2）设()()310,f x x f x x x ??=?+≠∈ ??? R ，求()f x ． 例3：某单位用木料制作如图2-1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ） 的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积28cm ．问x 、y 分别为多少（精确到0.001m ）时用料最省？ 例4：求下列函数的反函数 （1）()() () 2 10220x x f x x x ?-+≤?=?+>?? （2）()23(1)1 且x f x x x x +=∈≠-R 例5：（1）已知()ax b f x x c += +（a 、b 、c 是常数）的反函数是()1253 x f x x -+= -，求a b c ++的值． （2）设点()1,2P --既在函数()()20f x ax b x =+≤的图象上，又在其反函数的图象上，求()1 f x -． 反函数构造和性质练习题 反函数是数学中一个重要的概念，它与函数相互对应，是函数的一种特殊情况。在本文中，我们将针对反函数的构造和性质进行练习，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。 1. 构造反函数 在给定一个函数的情况下，如何构造它的反函数呢？我们以一个具体的例子来说明。 假设有函数 f(x) = 2x + 3，现在要构造它的反函数。 首先，我们将 f(x) 中的 x 替换为 y，即 f(y) = 2y + 3。 然后，将 f(y) 等式两边关于 y 进行求解，消去 y 前面的系数，得到y = (x - 3) / 2。这就是反函数 f^(-1)(x)。 通过上述步骤，我们成功地构造出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。 2. 反函数的性质 反函数具有以下几个重要的性质： 性质一：对于函数 f(x) 的定义域和值域，反函数 f^(-1)(x) 的定义域和值域分别与之相同。 性质二：对于函数 f(x) 的任意两个不同的定义域上的元素 x1 和 x2，如果它们分别对应到反函数 f^(-1)(x) 的值域上的元素 y1 和 y2，那么 x1 和 x2 一定也是对应到 f(x) 上的不同的值域上的元素。 性质三：对于函数 f(x) 和它的反函数 f^(-1)(x)，它们互为反函数， 即对于任意 x 属于 f(x) 的定义域和任意 y 属于 f^(-1)(x) 的定义域，有 f^(-1)(f(x)) = x 和 f(f^(-1)(x)) = x。 3. 练习题 接下来，我们进行一些反函数构造和性质的练习题。 练习一：给定函数 g(x) = 5x - 2，求它的反函数 g^(-1)(x)。 解答一：首先，将 g(x) 中的 x 替换为 y，得到 g(y) = 5y - 2。然后，将 g(y) 等式两边关于 y 求解，消去 y 前面的系数，得到 y = (x + 2) / 5。因此，函数 g(x) = 5x - 2 的反函数为 g^(-1)(x) = (x + 2) / 5。 练习二：已知函数 h(x) = 4x^2 + 3x - 1，求它的反函数 h^(-1)(x)。 解答二：首先，将 h(x) 中的 x 替换为 y，得到 h(y) = 4y^2 + 3y - 1。然后，将 h(y) 等式两边关于 y 求解，得到一个关于 y 的二次方程。通 过解这个二次方程，可以得到反函数的表达式。具体的解法可以使用 配方法、因式分解或求根公式等。 练习三：验证函数 f(x) = 2x + 3 和它的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2 是否满足反函数的性质。 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下） 三、对数 4.4对数概念及其运算 四、反函数 4.5反函数的概念 五、对数函数 4.6对数函数的图像与性质 六、指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程 4.8简单的对数方程 第五章三角比 一、任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的是那叫比 二、三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的余弦、正弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三、解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1、当a ＞1时,函数y=a -x 与y=log a x 的图像？ 2、函数)45(log 1x x y -=+的定义域是？ 3、2log 31,21log 31,3log 21,3 1log 21的大小关系式是 4、函数与的图象关于什么对称？ 5、方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______ 6、已知log a 3=m,log a 4=n, 则a 2m+n y x =3y x =--3 7、解方程：9x＋4x= 2 5·6x. 8、已知2lg 2y x =lgx＋lgy,求 y x的值. 1、将74πα=-化为k πθ+（k Z ∈）的形式，则当θ最小时，θ的值是_______。 30°角转化为弧度制__________ 2、始边与x 轴正半轴重合，终边与－330°对称的角的集合为？ 3、角α的始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(),a a （0a ≠），则sin α=__________。 4、角α是第三象限角，且 cos 02α<，则2α是第_____象限角。 5、设 2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则sin 2θ＝________。 函数的复合与反函数练习题 函数是数学中常见的概念，用于描述输入和输出之间的关系。函数的复合和反函数是函数学习中的重要内容。本文将通过一些练习题来帮助读者理解和掌握函数的复合与反函数的概念。 练习题一： 设函数f(x) = 2x + 3, g(x) = x^2 - 1，求f(g(x))和g(f(x))。 解答： 首先求f(g(x))： f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 - 2 + 3 = 2x^2 + 1 接下来求g(f(x))： g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 8 练习题二： 设函数h(x) = e^x，求h(h(x))。 解答： 将h(x)代入h(h(x))中： h(h(x)) = h(e^x) = e^(e^x) 练习题三： 设函数y = f(x)的反函数为x = g(y)，若f(2) = 5，求g(5)。 解答： 由题意可得f(g(y)) = y，将y = 5代入得到f(g(5)) = 5，即g(5) = 2。 练习题四： 设函数f(x) = x^3，求f^{-1}(x)。 解答： 反函数的求解可以通过交换x和y，并解出x关于y的表达式。 设y = x^3，解x得到x = \sqrt[3]{y}，即反函数f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}。 练习题五： 设函数f(x) = \frac{1}{x}，求f^{-1}(x)。 解答： 同样地，设y = \frac{1}{x}，解x得到x = \frac{1}{y}，即反函数f^{-1}(x) = \frac{1}{x}。 练习题六： 设函数f(x) = 2x - 1，求f(f^{-1}(x))和f^{-1}(f(x))。 解答： 首先求f(f^{-1}(x))： 提能拔高限时训练7 反函数 一、选择题 1.假设y ＝f(x)有反函数,那么方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( ) 解析:y ＝f(x)存在反函数,那么x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此最多有一个实根. 答案:C 2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),假设f(x)＝2x ,那么f -1( 2 1)的值为( ) A.2 B.1 C.2 1 解析:令f(x)＝2x ＝21,那么x ＝-1,故f -1(21)＝-1,应选D. 答案:D 3.假设函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,那么f(x)等于… ( ) +1 +2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,因此y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x . 答案:B 4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,假设mn ＝16(m,n ∈R +),那么f -1(m)+f -1(n)的值为 ( ) .1 C 解析:设y ＝2x+3,那么有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3. 于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2. 答案:A x x f -=11 )((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),那么( ) (x)在其概念域上是增函数且最大值为1 (x)在其概念域上是减函数且最小值为0 (x)在其概念域上是减函数且最大值为1 (x)在其概念域上是增函数且最小值为0 解析:由x x f -=11 )((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x) 在其概念域上是增函数,且最小值是0. 答案:D ⎩⎨⎧<-≥=0 ,,0,22x x x x y 的反函数是( ) 4.5反函数的概念（第一课时） 【教学过程】 引入：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相 教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1x f y -=；了解)(1x f -表示反函数的符号，1-f 表示对应法则. 概念讲述 1、 反函数定义： 对于函数(),,y f x x D y A =∈∈。如果对于A 中的任意一个y 值，在 D 中总有唯一确定的x 值域之对应，总有()y f x =，这样得到x 关于y 的函数叫做 (),y f x x D =∈的反函数，记作1(),x f y y A -=∈。习惯上，自变量用x 表示，函 数用y 表示，则改写为()1,y f x x A -=∈ 2、探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1 下列函数是否存在反函数 （1）2x y =（R x ∈） （2）2x y =（0≥x ） （3）2x y =（0 4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的大体概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既能够让学生同意、明白得反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数大体概念的明白得，还为尔后反三角函数的教学做好预备,起到承先启后的重要作用. 二、教学目标设计 （1）明白得反函数的概念，并能判定一个函数是不是存在反函数； （2）把握求反函数的大体步骤，并能明白得原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特点的主动探讨，初步学会自主地学习、独立地探讨问题； 把握观看、比较、分析、归纳等数学实验研究的方式；体验探讨中挫折的艰辛与成功的欢乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特点；反函数概念域的确信. 四、教学流程设计 五、教学进程设计 一、设置情境，引出概念 引例：在两种温度气宇制摄氏度(C )和华氏度（F ）彼此转化时会发觉，有时两人选用相同的数据，如下 表，所成立的函数关系和作出的图像完全不同，这是什么缘故呢？ C 0 20 35 100 115 F 32 68 95 212 239 教师点拨：指导学生观看上面两个函数的异同，引出反函数的概念.介绍反函数的记号)(1 x f y -=；了解 )(1 x f -表示反函数的符号，1 -f 表示对应法那么. 二、 探讨研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 创设情景引入 引导探索研究 例题巩固概念 总结归纳提升 练习巩固反馈 例1（1）2 x y =（R x ∈）的反函数是 （2）2 x y =（0≥x ）的反函数是 （3）2x y =（0 (完整)反函数典型例题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)反函数典型例题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)反函数典型例题的全部内容。 反函数求值 例1、设有反函数，且函数与互为反 函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所 以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设 ,则点在函数的图象上，从而点在函数的图象上，即．由反函数定义有 ,这样即有 ，从而． 小结:利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数，确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组,关键是如何布列？ 如果注意到g（x)的定义域、值域已知，又与g（x）互为反函数，其定义域与 值域互换,有如下解法: 解：∵ g（x）的定义域为且，的值域为。 又∵g(x) 的定义域就是的值域，∴ 。 ∵g（x）的值域为， 由条件可知的定义域是， , ∴ 。 ∴ . 令, 则即点（3,1) 在的图象上。 又∵与g（x) 互为反函数, ∴ （3，1) 关于的对称点(1，3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , 。 故。 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数： （1） ; (2）；（3)； （4）； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个，依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大，故通常对给出的函数的图象进行观察，断定是否具有反函数。 解: （1） ,(2）都没有问题，对于（3)当时,和 ,且 。 对于（4)时,和 .对于（5）当时，和。 故(3），(4),(5)均不存在反函数. 小结：从图象上观察，只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数 例4、已知函数， ,求的反函数。 分析: 由于已知是 ,所求是的反函数，因此应首先由找到 ,再由求出的表达式,再求反函数. 例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B．C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D． 2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限． （3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限． （4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 （5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（）． A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 （6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D． 3．函数的增减性 （1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）． A．正数B．负数C．非正数D．非负数 （2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）． A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜ （3）下列四个函数中：①；②；③；④． y随x的增大而减小的函数有（）． A．0个B．1个C．2个D．3个 （4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）． 反比例函数的概念 1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x 是______，y 是______．自变量x 的取值范围是______． 2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别． (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为____________，是______函数． (2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________________，是______函数． (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ． 当a ＝10时，S 与h 的关系式为____________，是____________函数； 当S ＝18时，a 与h 的关系式为____________，是____________函数． (4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为______，是______ 函数． 3．下列各函数①x k y =、②x k y 12+=、③x y 53=、④14+=x y 、⑤x y 2 1 -=、 ⑥31-= x y 、⑦24 x y =和⑧y ＝3x －1中，是y 关于x 的反比例函数的有：____________(填序号)． 4．若函数11 -=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为_________ ___． 5．近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为____________． 6．已知函数x k y = ，当x ＝1时，y ＝－3，那么这个函数的解析式是( )． (A)x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 31= (D)x y 31 -= 7．已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( )． (A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3 8．已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3． (1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－2 3 时，求x 的值． 9．若函数5 2 2)(--=k x k y (k 为常数)是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______ __________________． 10．已知y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，那么y 是z 的______函数． 11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为 ( )． (A)y ＝100x (B)x y 100 = (C)x y 100 100- = (D)y ＝100－x 12．下列数表中分别给出了变量y 与变量x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )． 第四章：幂函数、指数函数与对数函数 第五节：反函数的概念 【知识梳理】 1、定义：一般地，对于()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定放的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=.习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈. 2、性质特点： 特点一（概念特点）： ○ 1函数的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域. →反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该是原函数的值域. →1[()]()f f x x x D -=∈、1[()]()f f x x x A -=∈. ○2()y f x =、1()x f y -=、1()y f x -=的函数图象；→对称性——关于y x =对称. ○ 3存在条件：只有从定义域到值域的一一对应所确定的函数才有反函数. 特点二（交叉特点）： ○112⎧⎨⎩、定义域上的单调函数必有反函数，存在反函数不一定具有单调性；单调性、互为反函数的两函数具有相同的单调性. ○2→→⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩存在反函数情形其反函数也是奇函数奇函数不存在反函数情形奇偶性存在反函数情形定义域为单元素集偶函数不存在反函数情形 ○31[()]2()1F f x f x a →↔→-→→→→⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 分段函数求反函数时，分段求解重点、情形复合函数、情形考题特点：求对称点问题、三角函数五类函数周期函数不存在反函数截取其定义域片段，单独考查2、其他周期函数抽象函数很难与反函数进行知识交叉指数函数常见函数对数函数其他常见函数 3、方法技巧 11112()()()()3()4()()() A B C A y f x y f x f a b f b a B f x a y f x y x f x f x ---→↔→====-===⎧⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭⎨⎧⎨⎩、反函数存在性判断：一一对应四类函数判断 、先求反函数的定义域求原函数的值域、求解反函数、反解五类函数求法 、写出反函数的解析式，并注明定义域、若函数与互为反函数，若，则、对称点问题、情形 、求证一个函数的图像关于成轴对称图形，只须证明⎪⎪⎪⎪⎩ 4、2↔→⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 反函数是否存在 1、反函数的学习，注意三点反函数求解反函数与其他知识点的交叉重要几个标注、求解一函数的反函数时 注意总结反解的技巧分离参数（为将来遇到函数综合题中的分离参数法积累足够基础） 原函数和反函数图像可能重合.4.5反函数的概念(练习题)
反函数练习题
数学的函数基础练习题
(完整版)反函数基础练习含答案
关于反函数的练习题
反函数练习题
4.5 反函数的概念
反函数构造和性质练习题
上海高一数学练习题
函数的复合与反函数练习题
反函数(练习详细答案)
上海理工大学附属中学高一下册数学45 反函数的概念(1)教案
高中数学下册 4.5《反函数》沪教版
(完整)反函数典型例题
反比例函数知识点及题型归纳(培优)练习题
九年级反比例函数练习题含答案
4.5反函数的概念
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