三角函数培优练习题
姓名：
一、选择题
1．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t
（s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是【 】
A ．AE=6cm
B ．4sin EB
C 5∠=
C ．当0＜t≤10时，22y t 5
= D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形 2． （2013年四川南充3分） 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部
分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272
=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294
秒。其中正确的结论个数为【 】
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3．（2013年四川泸州2分）如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把△ADE 沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，已知折痕5，且tan ∠EFC=34
，那么该矩形的周长为【 】
A ．72cm
B ．36cm
C ．20cm
D ．16cm
4．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠BCD
＝31，则tanA ＝ 4题图 C D B
A A. 31 B.32 C. 1 D. 2
3 二、填空题 5．如图，矩形ABCD 的边AB 上有一点P ，且AD=
53，BP=45，以点P 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC ，线段BC 于点E ，F ，连接EF ，则tan ∠PEF= ．
6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=35
，BE=4，则tan ∠DBE 的值是 ．
7．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC,AE=1，连接BE ，则tanE=
_ .
8．如图。矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为5，则sin ∠BOE 的值为 ．
（第8题）
（第9题） 9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，E 为DC 中点，tan ∠C=
3
4．则AE 的长度为_ __．
三、解答题 10．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=3m ，斜面坡角为300
，求木箱端点E 距地面AC 的高度。
11．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A 点的高度AB 为3米，台阶AC 的坡度为13：AB ：BC=13：，且B 、C 、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
12．（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD 中，DC=23，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．
（1）求证：△DEC ∽△FDC ；
（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度．
13．已知：如图，在Rt △ABC 中，ο90=∠C ，3AC =．点D 为BC 边上一点，且2BD AD =，
60ADC ∠=?．求△ABC 周长和BAD ∠sin ．
（结果保留根号）
14．如图，反比例函数()k y x 0x
>=
的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB=32
。 （1）求k 的值； （2）将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数()k y x 0x >=的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 的函数表达式；
（3）若直线AE 与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论并说明理由.
15．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE 上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
16．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该
建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为1
2
（即tan∠
PCD=1
2
）．（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．
（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
17．在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE
与斜坡的夹角为30°21.431.7
≈，）．
18．如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的
俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°．已知tan∠ABC=
3
3
，点P，H，B，C，A在同一个平面上，
点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）求∠ABP的度数；
（2）求A，B两点间的距离．
19．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已
知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=3
5
．（1）
求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
20．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．
（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．
21．如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，3，B(2，0)直线AB与反比例函数
m
y
x
的图像交
与点C和点D（－1，a
）．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)求∠ACO的度数；
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．
参考答案
1．D 。
【解析】（1）结论A 正确，理由如下：
解析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，
故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm 。
（2）结论B 正确，理由如下：
如图，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，
由函数图象可知，BC=BE=10cm ，BEC 11S 40BC EF 10EF 5EF 22
?==??=??=， ∴EF=8。∴EF 84sin EBC BE 105
∠=
==。 （3）结论C 正确，理由如下：
如图，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ，
∵BQ=BP=t ，∴2BPQ 11142y S BQ PG BQ BP sin EBC t t t 22255
?==
??=???∠=???=。 （4）结论D 错误，理由如下：
当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，
设为N ，如图，连接NB ，NC 。
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=82，NC=217
∵BC=10，
∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形。
故选D 。
2．B 。
【解析】根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，
∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5cm。∴AD=BE=5，故结论①正确。
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF。
∴
AB4
sin PBF sin AEB
BE5
∠=∠==。
∴PF=PBsin∠PBF=
4
5
t。
∴当0＜t≤5时，y=
1
2
BQ?PF=
1
2
t?
4
5
t=2
2
t
5
。故结论②正确。
根据5～7秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，故点H的坐标为（11，0）。
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：
11k b0
7k b10
+=
?
?
+=
?
，解得：
5
k
2
55
b
2
?
=-
??
?
?=
??
。
∴直线NH的解析式为：
555
y t
22
=-+。故结论③错误。
如图2，当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=
3
4
，∴
PQ3
BQ4
=，即
11t3
54
-
=。
解得：t=
29
4
。故结论④正确。
综上所述，①②④正确，共3个。故选B。
考点：动点问题的函数图象，双动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的性质，分类思想的应用。
3．A。
【解析】在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF。∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC。
∵tan∠EFC=3
4
，∴tan∠BAF =
3
4
。∴设BF=3x、AB=4x。
在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x。∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x。
∵tan∠EFC=3
4
，∴CE=CF?tan∠EFC=2x?
3
4
=
3
2
x。∴DE=CD﹣CE=4x﹣
3
2
x=
5
2
x。
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（5
2
x）2=（105）2，整理得，x2=16，解得x=4。
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm。故选A。
考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
4．C
【解析】
试题分析：△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，虽△ABC不是直角三角形，我们在正方形网格中构造一个直角三角形来，观察图形可得
sin∠ABC=
22
5
5 20255
42====
+
考点：三角函数
点评：本题考查三角函数，解答本题要求考生掌握三角函数的定义，利用三角函数的定义来做题，要求考生会做有关三角函数的题
6．C
【解析】
试题分析：若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD= 1 3
，设BE=x，则AC=2x，∴tanA=1故选C．
考点：锐角三角函数的定义
点评：本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．
7．12 25
【解析】
试题分析：如图，过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠PEM+∠EPM=90°，∠FPB+∠EPM=90°，
∴∠PEM=∠FPB。
又∵∠EMP=∠PBF=90°，∴△EPM∽△PFB。
∴
5
PF BP BP12
3
4
EP ME AD25
5
====。
∴tan∠PEF=
PF12
EP25
=。
9．2。
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB。
∵cosA=
3
5
，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x。∵BE=4，∴5x﹣3x=4，解得x=2。∴AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：22
DE1068
=-=，在Rt△BDE中，
DE8
tan DBE
BE4
∠== =2。
考点：菱形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理。12．
3
5
。
【解析】如图，过点O作OH⊥AE于点H，连接CE。∵矩形ABCD中，AO=BO，AB⊥BC，BC=4，
∴由三角形的中位线定理，得OH=2。
∵△AOE 的面积为5，∴AE=5。
∵AO=OC ，OE ⊥AC ，即EO 是AC 的垂直平分线，∴CE= AE=5。
在Rt △EBC 中，BC=4，CE=5, 由勾股定理得EB=3。
∵OE ⊥AC ，AB ⊥BC ，即∠EBC=∠EOC=900，
∴点O ，C ，B ，E 在以CE 为直径的圆上，∴∠BOE=∠BCE 。
∴sin ∠BOE=sin ∠BCE=EB 3CE 5
=。 13．652
【解析】
试题分析：先过E 作BC 的垂线，交BC 于F ，交AD 延长线于M ，根据AAS 证明△MDE ≌△FCE ，得出EF=ME ，DM=CF ，可求得DM 的长，再通过解直角三角形可求得MF 的长，最后利用勾股定理求得AE 的长．
过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M ，
∵AD ∥BC ，E 是DC 的中点，
∴∠M=∠MFC ，DE=CE ；
在△MDE 和△FCE 中，
∴△MDE ≌△FCE ，
∴EF=ME ，DM=CF ．
∵AD=2，BC=5，
∴EF=ME=2，
考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
14．解：连接AE ，在Rt △ABE 中，已知AB=3ｍ，BE=3m ，
∴根据勾股定理得22AE AB BE 23=+=。
又∵BE 3tan EAB AB ∠==，∴0EAB 30∠=。 在Rt △AEF 中，0EAF EAB BAC 60∠=∠+∠=， ∴()03EF AE sin EAF 23sin 60233m =?∠=?=?=。 答：木箱端点E 距地面AC 的高度是3ｍ。
【解析】连接AE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得AF 的长，利用三角函数即可求得EAB ∠，然后在Rt △AEF 中，利用三角函数求得EF 的长。
15．解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形，
∴AF=BE ，EF=AB=3。
设DE=x ，
在Rt △CDE 中，2DE 3CE tan 60==， 在Rt △ABC 中，∵AB BC 3
AB=3，∴BC=33 在Rt △AFD 中，DF=DE ﹣EF=x ﹣3，
∴)0x 3AF 3x 3tan30
-=-。 ∵AF=BE=BC+CE )33x 333-=。解得x=9。 答：树高为9米。
【解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，可得四边形ABEF 为矩形，设DE=x ，在Rt △DCE 和Rt △ABC 中分别表示出CE ，BC 的长度，求出DF 的长度，然后在Rt △ADF 中表示出AF 的长度，根据AF=BE ，代入解方程求出x 的值即可。
17．解：（1）由已知条件得，在Rt △OAB 中，OB=2，tan ∠AOB=
32，∴AB 3OB 2=。∴AB=3。 ∴A 点的坐标为（2，3）。
∴k=xy=6。
（2）∵DC 由AB 平移得到，点E 为DC 的中点，∴点E 的纵坐标为32
。
又∵点
E 在双曲线6y x =上，∴点E 的坐标为（4，32
）。 设直线AE 的函数表达式为1y k x b =+，则 112k b 334k b 2+=???+=??，解得13k 49b 2?=-????=??
。 ∴直线AE 的函数表达式为39y x 42
=-+。 （3）结论：AN=ME 。理由：
在表达式39y x 42
=-+中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=92。 ∴点M （6，0），N （0，92
）。 解法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON －OF=32
。 ∴根据勾股定理可得AN=
52。 ∵CM=6－4=2，EC=32
， ∴根据勾股定理可得EM=
52。 ∴AN=ME 。
解法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF=2，
∵EOM AON 11391199S OM EC 6S ON AF 222222222
??=?=
??==?=??=，， ∴EOM AON S S ??=，
∵AN 和ME 边上的高相等，
∴AN=ME 。
【解析】
试题分析：（1）在直角△AOB 中利用三角函数求得A 的坐标，然后利用待定系数法即可求得k 的值.
（2）已知E 是DC 的中点，则E 的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E 的坐标，
然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.
18．解：（1）能看到，理由如下：
由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°，则DG
DF
=tan∠DFG。
∵DF=4米，∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米）。
∵老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米，∴猫头鹰能看到这只老鼠。（2）由（1）得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
又AG
CG
=sin∠C=sin37°，则CG=
AG 5.7
9.5
sin370.6
==（米）。
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米。
【解析】
试题分析：（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠。
（2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据AG
CG
=sin∠C=sin37°，
即可求出CG的长度。
19．解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，∴四边形BEPF是矩形。
∴PE=BF，PF=BE。
∵在Rt△ABC中，BC=90米，∠ACB=60°，
∴3。
∴建筑物的高度为3
（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD
PE1 CE2 ==，
∴CE=2x。
∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，∴AF=AB﹣3﹣x，PF=BE=BC+CE=90+2x。又∵AF=PF，∴3x=90+2x，解得：330，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（303﹣30）米。
【解析】
试题分析：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的长度即可。（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，根据山坡坡度为
1
2
，用x表示CE的长度，然后根据AF=PF 列出等量关系式，求出x的值即可。
20．解：延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，
∵斜坡的顶部CD是水平的，斜坡与地面的夹角为30°，
∴∠FDE=∠AED=30°。∴FD=FE。
∵DE=18米，∴EG=GD=
1
2
ED=9米。
在Rt△FGD中，
DG
DF63
cos303
===
?
（米），
∴FB=（3）米。
在Rt△AFB中，
AB=FB?tan60°=（3）3=（3≈28.2（米）。
∴古塔的高约为28.2米。
【解析】
试题分析：延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，Rt△FGD中利用锐角三角函数求得FD 的长，从而求得FB的长，然后在直角三角形ABF中利用锐角三角函数求得AB的长即可。21．解：（1）∵tan∠
3
，∴∠ABC=30°。
∵从P点望山脚B处的俯角60°，∴∠PBH=60°。
∴∠ABP=180°﹣30°﹣60°=90°。
（2）由题意得：∠PBH=60°，
∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°。
又∵∠APB=30°，∴△PAB为等腰直角三角形。
在Rt△PHB中，PB=PH?tan∠3．
在Rt △PBA 中，AB=PB?tan∠BPC=300。
∴A 、B 两点之间的距离为300米
【解析】
试题分析：（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解。
（2）在Rt △PHB 中，根据三角函数即可求得PB 的长，然后在Rt △PBA 中利用三角函数即可求解。
22．解：（1）证明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD ，
∴△DEC ∽△FDC 。
（2）∵F 为AD 的中点，AD ∥BC ，∴FE ：EC=FD ：BC=1：2，FB=FC 。
∴FE ：FC=1：3，∴EF EF 1sin FBD BF FC 3∠=
==。 设EF=x ，则FC=3x ，
∵△DEC ∽△FDC ，∴
CE CD CD FC
=，即：6x 2=12，解得：。
∴。
在Rt △CFD 中，DF =。
∴
【解析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC ，利用两角法即可进行相似的判定。
（2）根据F 为AD 的中点，可得FB=FC ，根据AD ∥BC ，可得FE ：EC=FD ：BC=1：2，再由sin ∠FBD=EF ：BF=EF ：FC ，即可得出答案，设EF=x ，则EC=2x ，利用（1）的结论求出x ，在Rt △CFD 中求出FD ，继而得出BC 。
考点：矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。
24．解：（1）在Rt △CED 中，∠CED=90°，DE=30海里， ∴DE 3cos D CD 5
∠=
=。∴CE=40（海里），CD=50（海里）。 ∵B 点是CD 的中点，∴BE=12CD=25（海里）。 ∴AB=BE ﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A 、B 的距离为16.7海里。
（2）设BF=x 海里，
在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2﹣BF 2=252﹣x 2=625﹣x 2。
在Rt △CFE 中，∠CFE=90°，∴CF 2+EF 2=CE 2，即625﹣x 2+（25+x ）2=1600。
解得x=7。 ∴BF 7sin BCF BC 25
∠==。 【解析】
试题分析：（1）在Rt △CED 中，利用三角函数求出CE ，CD 的长，根据中点的定义求得BE 的长，AB=BE ﹣AE 即可求解。
（2）设BF=x 海里．在Rt △CFB 中，利用勾股定理求得CF 2=CB 2﹣BF 2=252﹣x 2=625﹣x 2．在
Rt △CFE 中，列出关于x 的方程，求得x 的值，从而求得sin ∠BCF 的值。
25．（1）证明见解析
（2）sinα=5。 【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质得AD=DC ，∠ADC=90°，根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，从而得到∠AGD=∠CFD ，再根据同角的余角相等求∠ADG=∠DCF ，然后利用“角角边”证明△DCF 和△ADG 全等即可。
（2）设正方形ABCD 的边长为2a ，表示出AE ，再利用勾股定理列式求出DE ，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG 的正弦，即为α的正弦。
解：（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，
∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°。
∵AG ∥CF ，∴∠AGD=∠CFG=90°。∴∠AGD=∠CFD 。
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF 。
∵在△DCF 和△ADG 中，∠AGD=∠CFD ，∠ADG=∠DCF ，AD=DC ，
∴△DCF ≌△ADG （AAS ）。
（2）设正方形ABCD 的边长为2a ，
∵点E 是AB 的中点，∴AE=12
×2a=a 。 在Rt △ADE 中，2222DE AD AE (2a)a 5a =+=+=，
∴AE 5sin ADG DE 5a
∠===。 ∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=
5。 26．cos ∠BCD=45
【解析】
试题分析：解：∵在Rt △ABC 中，AC=4，BC=3，
∴由勾股定理，AB=5
∵CD 是AB 边上的高，
∴∠BCD=∠A ．
∵在Rt △ABC 中，cosA=
AC AB =45， ∴cos ∠BCD=cosA=45
考点：特殊三角函数
点评：本题难度较低，主要考查学生对特殊三角函数知识点的掌握。为中考常考题型，要求学生牢固掌握。
28．3572++，
7
21 【解析】 试题分析：在Rt ADC ?中，由sin AC ADC AD ∠=即可求得AD 的长，从而可以求得BD 的长，由tan AC ADC DC
∠=可求得DC 的长，即可求得BC 的长，在Rt ABC ?中，根据勾股定理可求得AB 的长，即可求得ABC ?的周长，过D 作DH ⊥AB 于H ，根据三角形的面积公式可求得DH 的长，再在Rt ADH ?中，根据BAD ∠的正弦函数求解即可.
在Rt ADC ?中，sin AC ADC AD ∠=
∴32sin sin 60AC AD ADC ===∠?
∴24BD AD ==
∵tan AC ADC DC
∠=， ∴31tan tan 60AC DC ADC =
==∠?
． ∴5BC BD DC =+= 在Rt ABC ?中，2227AB AC BC =+=
∴ABC ?的周长2753AB BC AC =++=++
过D 作DH ⊥AB 于H
∵AC BD DH AB S ABC ?=?=
?2121 ∴72127
234=?=?=AB AC BD DH 在Rt ADH ?中，7
212721
2sin ===∠AD DH BAD . 考点：解直角三角形的应用
点评：解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3
则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴33 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得3 ∴CD=CE+DE=123）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．
第九讲 锐角三角函数 板块一 锐角三角函数 【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =?∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。 ⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5 C ．45 D ．56 ⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。如果MC n =，CMN α∠=。那么P 点与B 点的距离为 。 【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =?∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的 取值范围是( ) A ．1 02 m << B ．02m << C ．0m < D ．0m << B 5 B 4 B 3 B 2B 1 A 5A 4A 3A 2A 1B A C D E D C B A B N
12?5? D C B A ⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1 sin cos 8 αα?=，且4590α<<°°，则 cos sin αα-的值是( ) A B ． C ． 34 D ． ⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302= °，1 sin 2102 =-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°° ；因为sin 452= ° ，sin 2252 =°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。由此可知sin 240=°( ) A ．1 2 - B ． C ． D ． 板块二 解直角三角形及应用 【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角 12CBD ∠=?，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把 坡角降为5?。 ⑴求坡高CD ； ⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09?≈?≈?≈，，) 【例4】面积专题： 题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A ． 1sin α B ．1 cos α C ．sin α D ．1
锐角三角函数培优-题型分类 【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．1．（2009?牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k 的值为（） A．B．2 C．±2 D． 【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值． 【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx ﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=， ∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为， 即||=4×，k=±2． 故选C． 【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 2．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．B．1 C．D． 【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA===，故选A． 【考点3】锐角三角函数的定义． 3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中． 过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E． ∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=DC， 设CD=BD=1， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2． 在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1， 则CE=，DE=． ∴tan∠DAC===．
讲义编号：组长签字：签字日期：
2、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 3、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 4、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 、 5 5 B 、 25 5 C 、12 D 、2 5、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =， 32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ） A 、2 B 、 2 2 C 、 63 D 、33 6、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ） A 、1 2 B 、13 C 、14 D 、 24
7、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3 A ，则这个菱 sin 5 形的面积= cm2。 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3 ，点D在BC边上，且 5 ∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。 9、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。 10、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2， tan∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC （2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，是判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE 的值。 考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算： （1）019(π4)sin 302 --+-- （2）201()(32)2sin 3032 ---+?+- （3）1 0182sin 45(2)3-?? -+-π- ??? （4）2sin45°＋3cos30°－2 3 2、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2 B =（ ） A 、2 1 B 、 23 C 、22 D 、2 1 3、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 4、Rt△ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3 3 ，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念（1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α＋cos α＝１；（２）若α>４5°，则sin α＞co ｓα;(3)若co ｓα>,则α<60°；(4)。正确得有( ）A 、(1) (２） （3)(４) B 、(２)（3)(4） C 、（1)(3)(4） D 、(1)（２)（3) 变式: 1、下列各式中，不正确得就就是( ) A. B 、 C 、 D 、ｔan ４5°>sin ４5° 2、已知∠Ａ满足等式,那么∠A 得取值范围就就是( ） A 、0°<∠A ≤９0° B 、90°<∠Ａ<180° C 、0°≤∠A <90° Ｄ、0°≤∠A ≤9０° ３、α就就是锐角,若ｓin α＝cos150，则α= ４。若sin530１8\=0、8０18,则ｃos3604２\= 题型:锐角三角函数基本概念(２) 例:已知sin α·cos α=,且４5°＜α<90°，则ＣＯS α-si ｎα得值为（ ) A 、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 变式： 1、已知△ABC 中,∠Ｃ=９0°,下列各式中正确得就就是( ） A.sinA ＋c ｏsB=s ｉnC B 、si ｎA ＋sinB=ｓinC C 、 D 、 2、已知si ｎα+cos α=m ，sin α×ｃos α=ｎ,则m ，n 得关系式( ) A.m=n Ｂ、ｍ＝2ｎ+1 C 、 D 、 题型:求三角函数值 例:如图，菱形得边长为5,AC 、BD 相交于点Ｏ，ＡC=6,若，则下列式子正确得就就是（ ) A.sin α= B 、cos α= C 、t ａn α= D 、cot α＝ 变式:1、设0°＜α<４5°,sin αco ｓα=,则s ｉn α＝ ２、已知si ｎα-ｃo ｓα＝,0°＜α<１8０°,则ｔan α得值就就是（ ) B 、 C 、 Ｄ、 3、如图,在正方形ABCD 中,Ｍ为ＡD 得中点,E 为ＡB 上一点,且BE=３A Ｅ,求sin ∠ＥCM 。 4、如图，在矩形中,就就是边上得点，,,垂足为,连接。 (１)求证:;(２）如果,求得值。 题型:三角函数值得计算(1) 例:计算:= 变式:1、计算：= 2、计算:0000002000027tan 63tan 60cot 360 sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值得计算(2） 例：化简根式:＝ 变式:1、若,化简下式: αααααα αsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知ｔａnA=3,且∠A 为锐角,则cotA －= 3、已知为锐角,,求得值。 题型:三角函数与一元二次方程得综合题（1) 例：在Rt △ABC 中,∠C=９０°，斜边＝５，两直角边得长ａ,b 就就是关于x 得一元二次方程得两个实数根,求Rt △ABC 中较小锐角得正弦值。 变式:1、若就就是得三边，,且方程有两个相等得实数根,求得值。 2、已知a,ｂ,c 为△A ＢC 中三个内角∠A,∠B,∠C 得对边。当m ＞0时,关于x 得方程有两个相等得实数根,且。试判断△ＡBC 得形状、
1锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=??cossin，ctgα=??sincos； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC = 思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比， sinA=135?ACCD，tanB=2?BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． 注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径， 不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21??； （2）RCcBbAa2sinsinsin???．
【例2】在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A 32? B32? C．0.3 D23? 思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 2【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D 作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值． 思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，