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突破4
含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】
【考查角度1奇偶性问题】
方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断.
步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；
第3步：得出结论.
反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋?和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性.
【分析】利用奇偶性定义判断；
【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，
则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），
则函数f（x）为偶函数；
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．
【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；
（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，
【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），
当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，
又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
【练1.2】（2019春?福田区校级月考）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
【分析】（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；
【答案】解：（1）使解析式有意义的条件为
，
∴函数的定义域为x∈（﹣1，1）（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称，
且，（6分）
（7分）
即f（﹣x）+f（x）＝0
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f（x）为奇函数（8分）
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用．
【练1.3】（2019秋?保康县校级期中）已知函数f（x）＝lg（x+）﹣lg判断函数f（x）的奇偶性．
【分析】注意到﹣x+＝，直接由奇偶性的定义判断即可．
【答案】解：函数f （x ）的定义域为R ，∵f （﹣x ）＝lg （﹣x +
）﹣
lg
＝lg ﹣
lg
＝lg ﹣lg （x +）
＝﹣f （x ）
∴f （x ）为奇函数；
【点睛】本题考查复合函数的奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．【考查角度2
单调性问题】方法导入
复合函数单调性遵循“同增易减”的原则.步骤
第1步：换元，将原函数拆分成两个函数；
第
2步：判断这两个函数的单调性；
第3
步：根据同增异减得到复合函数的单调性.
反思
注意优先考虑定义域，单调区间为定义域的子区间.
【例2】（2019秋?工农区校级期中）已知函数y ＝（）x ﹣（
）x +1的定义域为[﹣3，2]
，求函数的
单调区间．
【分析】由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t ＝，
换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；
【答案】解：令t ＝
，则y ＝t 2﹣t +1＝（t ﹣
）2+
当x ∈[1，2]时，t ＝是减函数，此时t
，在此区间上y ＝t 2﹣t +1是减函数
当x∈[﹣3，1]时，t＝是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数
∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]
【点睛】本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤。
【练2.1】（2019秋?铜官山区校级期中）已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2），求函数f（x）的单调区间.
【分析】由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间
【答案】解：由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），
得2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，
设t＝2x+3﹣x2，
∵t＝2x+3﹣x2在（﹣1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，
而y＝log4t在R上单调增，
∴函数f（x）的增区间为（﹣1，1]，减区间为[1，3）．
【点睛】本题考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用【练2.2】（2019秋?西安区校级期末）已知f（x）＝log4（4x﹣1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；
【分析】（1）根据4x﹣1＞0求解即可
（2）利用单调性的定义判断即可
【答案】解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），
（2）f（x）在（0，+∞）上单调增，
设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）＝log4
又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1
∴0＜＜1，即log4＜0
∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
【练2.3】（2019秋?宝坻区期中）已知函数f（x）＝lg[（）x﹣2x]．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．
【分析】（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，利用指数函数的单调性解出即可得出．（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．利用定义及其指数函数的单调性即可给出证明．
【答案】解：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，
即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（5分）
（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．下面给出证明：
设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则x2﹣x1＞0
令g（x）＝（）x﹣2x，
则g（x2
﹣g（x1）＝﹣﹣+
）
＝﹣+﹣
＝
＝
∵0＜＜1，x1＜x2＜0，
∴﹣＜0
g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）
∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．（15分）
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的定义单调性及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【考查角度3单调性中的含参问题】
【例3】（2019秋?黄陵县校级期中）已知函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．
【分析】令g（x）＝x2﹣ax+a，y＝g（x）是单调递减函数，由复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，由此能求出a的取值范围．
【答案】（本小题满分12分）
解：令g（x）＝x2﹣ax+a，
∵0＜＜1，∴y＝g（x）是单调递减函数，
而已知复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，
∴只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，
即，
∴2≤a≤2（+1），
故所求a的取值范围是[2，2（+1）]．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．
【练3.1】（2019春?大连校级月考）已知函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，求实数a的取值范围，并判断f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是增函数还是减函数．
【分析】由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，则x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]上必须大于0，即可求实数a的取值范围．根据复合函数的性质，同增异减，即可判断其单调性！
【答案】解：由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，
即：函数h（x）＝x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]有h（x）＞0恒成立．
那么：，解得：2＜a＜3，
所以实数a的取值范围是（2，3）．
∵2＜a＜3，
∴f（x）＝log a h（x）（h（x）＞0）在定义域内是增函数．
h（x））＝x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]是减函数，
根据复合函数的单调性“同增异减”，
可得f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是减函数．
【点睛】本题考查了对数函数的性质的运算能力和复合函数的单调性“同增异减”的运用能力．属于中档题．
【练3.2】（2019秋?长安区校级月考）已知函数f（x）＝lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）,试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明．
【分析】利用函数单调性判断即可
【答案】解：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则△＝x2﹣x1＞0
令g（x）＝m x﹣2x，
则g（x2）﹣g（x1）＝m x2﹣2x2﹣m x1+2x1
＝m x2﹣m x1+2x1﹣2x2
∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，
∴m x2﹣m x1＜0，2x1﹣2x2＜0
g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）
∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，
∴△y＝lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
【点睛】本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．
【练3.3】（2019秋?晋安区校级期末）已知函数f（x）＝log2（m+）（m∈R，且m＞0）．（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．
【分析】（1）对数函数要有意义，必须真数大于0，即m+＞0，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；
（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为y＝log2u是增函数，要使得若函数f（x）在（4，+∞）上单
调递增，则函数u＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围．
【答案】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，
∵m＞0，
∴（x﹣1）（x﹣）＞0，
若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；
若＝1，即m＝1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．
所以，
解得：．
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．
【考查角度4最值问题】
方法导入通过换元转化为形式较为简单的函数（如二次函数或对数函数等），再求最值.
第1步：换元，得到关于新元的较为简单的函数；
步骤
第2步：求关于新元的函数的最值。即得所求函数的最值;
反思换元后，要注意新元的取值范围.
【例4】（2018秋?聊城期中）已知函数f（x）＝2+log5x，x∈[1，25]，g（x）＝[f（x）]2+f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最大值及取得最大值时x的值
【分析】（1）由已知f（x）的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求（2）由已知可求g（x）＝[f（x）]2+f（x2），结合二次函数的性质可求函数g（x）的最值及相应的x．【答案】解：∵f（x）＝2+log5x，x∈[1，25]，g（x）＝[f（x）]2+f（x2）．
（1）由题意可得，，
解可得，1≤x≤5
即函数g（x）的定义域[1，5]；
（2）∵f（x）＝2+log5x，x∈[1，25]，
∴g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝
＝
令t＝log5x，则t∈[0，1]，
而g（t）＝t2+6t+6在[0，1]单调递增，
当t＝1即x＝5时，函数有最大值13．
【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数g（x）的定义域是容易出错点．
【练4.1】（2018秋?马山县期中）已知函数f（x）＝4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）＝11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）f（x）＝11，即4x﹣2x+1+3＝11，以2x为单位，解关于x的方程，通过因式分解得（2x﹣4）（2x+2）＝0，再讨论2x为的正数的性质，可得2x＝4，故x＝2成立；
（2）以2x为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合x∈[﹣2，1]，找到函数取最大值和最小值对应的x，从而找出函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】解：（1）当f（x）＝11，即4x﹣2x+1+3＝11时，（2x）2﹣2?2x﹣8＝0
∴（2x﹣4）（2x+2）＝0
∵2x＞02x+2＞2，
∴2x﹣4＝0，2x＝4，故x＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）f（x）＝（2x）2﹣2?2x+3（﹣2≤x≤1）
令∴f（x）＝（2x﹣1）2+2
当2x＝1，即x＝0时，函数的最小值f min（x）＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当2x＝2，即x＝1时，函数的最大值f max（x）＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．
【练4.2】（2018秋?西城区校级期中）设函数f（x）＝x2﹣x+m，且f（log2a）＝m，log2f（a）＝2，（a≠1）．
（1）求a，m的值；
（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．
【分析】（1）由题意，可由f（log2a）＝m，log2f（a）＝2，（a≠1）建立起方程求出a，m的值．
（2）由（1）得，当当时f（x）取得最小值，故可令求出函数取最小值时x的值
【答案】解：（1）f（log2a）＝log22a﹣log2a+m＝m
∴log2a（log2a﹣1）＝0∴a＝1（舍）或a＝2
∴a＝2f（2）＝2+m
∴log2f（a）＝log2f（2）＝log2（m+2）＝2
∴m＝2
综上：a＝2m＝2
（2）
当时f（x）取得最小值
∴时，f（log2x）取得最小值
∴时，f（log2x）最小，
【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征
【练4.3】（2019秋?渝中区校级期中）已知1≤x≤10且xy2＝100，求（lgx）2+（lgy）2的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值时相应的x，y的值．
【分析】由题意，要求（lgx）2+（lgy）2的最大值和最小值，可先处理条件xy2＝100，两边取常用对数，得到lgx+2lgy＝2，由于得到lgy＝1﹣lgx，将其代入到f（x）＝（lgx）2+（lgy）2中即可得到（lgx）2+（lgy）2关于lgx的一元二次函数，令lgx＝t，换元后由二次函数的性质求最值，及相应的x，y的值【答案】解：xy2＝100两边取对数得到：lg（xy2）＝lg100＝lgx+2lgy＝2所以：lgy＝1﹣lgx．f（x）
＝（lgx）2+（lgy）2＝（lgx）2+[1﹣lgx]2＝（lgx）2﹣lgx+1设lgx＝t，则有0≤t≤1，f（x）＝t2
﹣t+1对称轴t＝，在区间[0，1]范围内，所以：f（x）在t＝处取得最小值，此时x＝，y＝；f（x）在t＝1处取得最大值，此时x＝10，y＝．
【点睛】本题考点是对数函数图象与性质的综合运用，考查了对数的运算性质，换元法，二次函数的性质，解题的关键是由题设条件结合换元的技巧构造出二次函数，利用二次函数的性质求出最值，本题的难点是构造函数，利用函数求最值，本题易因为换元后忘记求新元的取值范围而出错．
【考查角度5最值中的含参问题】
【例5】（2018秋?赫山区校级期中）设a＞0且a≠1，函数y＝a2x+2a x﹣1在[﹣1，1]的最大值是14，求a 的值．
【分析】令t＝a x（a＞0，a≠1），则原函数化为y＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2（t＞0），分类①当0＜a＜1时，②当a＞1时，利用单调性求解即可．
【答案】解：令t＝a x（a＞0，a≠1），则原函数转化为y＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2（t＞0）
①当0＜a＜1时，x∈[﹣1，1]，t＝a x∈[a，]，
此时f（x）在x∈[a，]上为增函数，所以f（x）max＝f（）＝（+1）2﹣2＝14
所以a＝﹣（舍去）或a＝，x∈[﹣1，1]，t＝a x∈[a，]，
②当a＞1时此时f（t），t∈[，a]上为增函数，所以f（x）max＝f（a）＝（a+1）2﹣2＝14，
所以a＝﹣5（舍去）或a＝3，
综上a＝或a＝3．
【点睛】本题考查了指数函数的性质的应用，难度较大，属于中档题，注意复合函数的单调性的运用．
【练5.1】（2019秋?南关区校级期中）已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）,是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，根据，
解得a的值，从而得出结论．
【答案】解：假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，
因此应有，解得a＝．
故存在实数a＝，使f（x）的最小值为0．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．
【练5.2】（2018秋?洮北区校级期中）已知函数为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）原函数是幂函数，由f（3）＜f（5）知函数在（0，+∞）上的单调性，由幂指数大于0解得m的值，再根据函数为偶函数即可求出m的具体值；
（2）把（1）中求出的f（x）代入，整理后由对数式的真数大于0求出a的初步范围，再根据函数在[2，3]上有定义进一步缩小a的范围，然后分类讨论函数在区间[2，3]上的最大值，根据最大值为2求解a的值．
【答案】解：（1）由条件知幂函数在（0，+∞）上为增函数，则﹣2m2+m+3＞0∴，
又m∈Z，∴m＝0或1．
当m＝0时，f（x）＝x3，不满足f（x）为偶函数；
当m＝1时，f（x）＝x2，满足f（x）为偶函数；
∴f（x）＝x2．
（2），令h（x）＝x2﹣ax，由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）＝x2﹣ax在[2，3]上为增函数．
当1＜a＜2时，g max＝g（3）＝log a（9﹣3a）＝2，∴，又1＜a＜2，∴
当0＜a＜1时，g max＝g（2）＝log a（4﹣2a）＝2，∴，又0＜a＜1，∴此种情况不存在．
综上，存在实数，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．
【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，是中档综合题．
【练5.3】（2019春?揭阳期末）已知函数f（x）＝（）x，当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af （x）+3的最小值g（a）．
【分析】由x的范围和指数函数的单调性，求出f（x）的值域，利用配方法化简y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3，根据一元二次函数的性质对a进行分类讨论，由单调性求出最小值即可；
【答案】解：∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）＝（）x∈[，3]，…（1分）
y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3＝[（）x]2﹣2a（）x+3
＝[（）x﹣a]2+3﹣a2，…（3分）由一元二次函数的性质分三种情况：
当a＜时，y min＝g（a）＝﹣；…（5分）
当≤a≤3时，y min＝g（a）＝3﹣a2；…（6分）
当a＞3时，y min＝g（a）＝12﹣6a…（7分）
∴g（a）＝…（8分）
【点睛】本题考查了指数函数的单调性，以及一元一次、一元二次函数的性质的应用，考查配方法、分类讨论思想．
【考查角度6恒成立问题】
【例6】（2018秋?上杭县校级期中）已知f（x）＝b?a x（a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）．
（1）试求a，b的值；
（2）若不等式（）x+（）x+1﹣2m≥0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）的解析式即可求得a，b的值；
（2）可将问题转化为[（）x+（）x+1]≥m在x∈（﹣∞，1]上恒成立．即[（）x+（）x+1]
的最小值大于等于m．可用指数函数的单调性和二次函数配方法求[（）x+（）x+1]的最小值．
【答案】解：（1），则，
可得f （x ）＝4?2x ；
（2）（
）x +（
）x +1﹣2m ≥0在x ∈（﹣∞，1]上恒成立
等价于[（
）x +（）x +1]≥m 在x ∈（﹣∞，1]上恒成立，
令t ＝（
）x ，又x ≤1，可得t ≥
，
y ＝
（t 2+t +1），当t ＝
时，y min ＝，
所以m 的取值范围为（﹣∞，]．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和指数函数的单调性、二次函数的值域，考查运算能力，属于中档题．【练6.1】（2018春?中原区校级月考）函数
，已知f （3）＝﹣2．
（1）求的定义域，判断并证明函数f （x ）的单调性；
（2）若不等式对于x ∈[3，4]恒成立，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）根据f （3）＝﹣2．求解出a 的值，即可求解定义域，根据复合函数的单调性：同增异减可得函数f （x ）的单调性
（2）分离参数法，把m 分离出来，转化为一个新函数，利用其单调性求解即可．【答案】解：函数
，
∵f （3）＝﹣2．即4＝10﹣3a ，可得：a ＝2．
∴函数f （x ）＝
其定义域满足：10﹣2x ＞0，
得：x＜5，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，5）．
令10﹣2x＝u，（u＞0）则f（x）＝，
函数u是一次函数，k＝﹣2＜0，在其定义域内是减函数，
f（x）＝的底数为，在其定义域内也是减函数，
根据复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）是增函数．
即函数f（x）在定义域内是增函数．
（2）∵不等式对于x∈[3，4]恒成立，
∴
而函数在区间[3，4]上是增函数．
所以，g（x）在区间[3，4]上的最小值是
即，实数m的取值范围是．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数单调性的判断和恒成立问题利用单调性解决，属于中档题．
【练6.2】（2019秋?孟津县校级期末）设函数f（x）＝log2（1+a?2x+4x），其中a为常数（1）当f（2）＝f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围．
2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，
函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;
2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ．
7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案：
指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81
求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又
是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.
指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2
课题：___函数的解析式___ 教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标会求简单函数的解析式 过程与方法目标 学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中 总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握 换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学 生分类讨论的数学思想。 情感,态度与价值 观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创 造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式 难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域 教学过程设计 问题与情境 设计 意图 活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙 地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙 地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正 反两 种情 况出 发，让 学生 回忆 体会 函数 解析 式用 法和 求法。 活动2类型解法 函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等）， 利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转 化为数学问题。 培 养学 生用 自己 的语 言来 总结 类型 与解 法 活动3提高探究 资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得 的线段长为2 2. 掌 握利 用待 定系 数法 求解 析式。
人教版高中数学公式整理 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间的子区间形如 ，，不同上含参数的不等式(为参 数)恒成立的充要条件是 。 (2)在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数) 有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式
， 或且 ，成立 且或 13.四种命题的相互关系(右图): 14.充要条件记表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若，且，则是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n
分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。 O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。 一． 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。 联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。 ，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+ 求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x (2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式 高中数学指数和对数知识点 (一)指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1(y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1* >∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log = 对数式与指数式的互化：x N a =log ? N a x = 对数的性质 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． （二）对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ； （2）二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。 （3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+， （1） 求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （四）课堂练习： 1． 用区间表示下列集合： {}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本P 19练习2。 高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零； 对数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(02.y=2 3 2 53 1x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --15 1 1 5. (21)log x y -= 6. ) 3lg(-=x y 7. x x y 2= 8. 2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y= )34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 2 1x f 的定义域是 （） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ， (2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（） A.[]05 2 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数12 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是 } 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(=（D ） x x f =)( 10、已知函数)(x f y =的图象如图1所示，则函数的定义域是（） (A)[－2,0](B)]5,1[]0,2[I - (C)[1,5](D)]5,1[]0,2[Y - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是() A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23 {|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域：高中数学求函数解析式的各种方法
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