2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义
第一讲认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为
58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818
2
＝20，则三边为20，
20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.
【变式题组】
01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.
02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八
字形角的关系即
，∠A +∠B ＝∠C +∠D ．故连结BC 有∠A +∠D ＝∠DBC +∠ACB ，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180°
【变式题组】
01．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________. 02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________. 03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.
【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________. 【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC ＝
1
2
∠A +90°.证法如下: ∠BOC ＝
C
(第1题图
)
(例
4题图)
(第3题图
)
(第2题图
)
(第3题图
)
(第2题图
)
(第
1题图)
180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－
12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+1
2
∠A ．所以∠BOC ＝125°.
【变式题组】
01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.
02.点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________. 03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________. 【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.
【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －
1
2
(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝1
2
(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.
【变式题组】 01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.
02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD
的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC
＝70°，则旋转角α＝______________.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA
＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40° 【变式题组】
01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚
线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.
(第1题图)
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
(例6题图)
(第2题图
)
(第1题图)
(第2题图)
(
第3题图)
02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)
03．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.
演练巩固·反馈提高
01．如图，图中三角形的个数为( ) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个
02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )
A 三角形的一个外角大于任何一个内角
B 三角形的一个外角等于这三角形的两个内角的和
C ．三角形的外角中，至少有两个钝角
D ．三角形的外角中，至少有一个钝角 05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定
07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.
08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.
09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.
10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.
11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝1
3
∠BAC ，求∠BAC 的度数
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
(第13题图)
E (第12题图)
培优升级·奥赛检测
01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是()
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形
02已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有( ) A．21个B．28个C．49个D．54个
03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.
04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝______________.
06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?
07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b －c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)
08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?
09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件
的n段?
10．如图，在△BCD 中，BE 平分∠DBC 交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分∠DCG ，且EC 、DB 的延长线交于A 点，若∠A ＝30°，∠DFE ＝75°.(1)求证: ∠DFE ＝∠A +∠D +∠E ；(2)求∠E 的度数 ；(3)若在上图中∠CBE 与∠GCE 的平分线交于E 1，∠CBE 1与∠GCE 1的平分线交于E 2，作∠CBE 2与∠GCE 2的平分线E 3，依次类推，∠CBE n 与∠GCE n 的平分线交于E n +1，请用含有n 的式子表示∠E n +1的度数.
11．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上 ，且AE ＝
13AB ．点F 在OC 上 ，且OF ＝1
3
OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.
12．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .
第二讲 认识多边形
考点·方法·破译
1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.
经典·考题·赏析
【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A 出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？
【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n 边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n －3)条对角线，它们将这n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形一共有
(3)
2
n n 条对角线， 解:(1)从顶点A 出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC 、AD 、AE .将六边形分成四个三角形:△ABC 、△ACD 、△ADE 、△AEF ； (2)六边形共有9条对角线.
【变式题组】
01．下列图形中，凸多边形有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
02．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则m ＝______，n ＝______，k ＝________. 03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是 .
【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n 边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n 边形分成(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n －2)·1800；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数. 解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n 边形的内角和是八边形内角和的2倍， 则有(n －2)×1800＝10800×2，解得n ＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.
【变式题组】
01．已知n 边形的内角和为21600，求n 边形的边数.
02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（ ）
A ．正方形
B ．正五边形
C ． 正六边形
D ．正七边形
03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2
＝∠3＝∠4＝700，则∠AED 的度数为（ ）
A．1100B．1080C．1050D．1000
5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）
A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变
C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800
【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？
解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这
个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为
360
60
＝6.所以这只蚂蚁需要爬行
5×6＝30(cm)才能回到点A．
【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.
(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600. (4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.
【变式题组】
01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.
02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边
形，则∠1+∠2＝_____
03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角
和少____度.
04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.
【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.
【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.
解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：
(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，
故这两个多边形的边数分别为4和10.
【变式题组】
01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________
02．若一个多边形的外角和是其内角和的2
5
，则此多边形的边数为_____
03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的2
3
，则这个多边形是（）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
04．内角和与其外角和相等的多边形是___________
【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（ ）A ．正三角形 B ．长方形 C ．正八边形 D ．正六边形
【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌. 解：选C ．
【变式题组】
01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（ ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．长方形
D ．正五边形
02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）
A ．正三角形、正方形、正六边形
B ．正三角形、正方形、正五边形
C ．正方形、正五边形
D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03．只用下列正多边形能作平面镶嵌的是（ ）
A ．正五边形
B ．正六边形
C ．正八边形
D ．正十边形
04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第
一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A ．669
B ．670
C ．671
D ．672
【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.
【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙
可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.
解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500
四种角度，十一边形内角和为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m 个，1500的角有
n 个，则有1200m +1500n ＝16200，即4m +5n ＝54 此方程有唯一正整数解1
10
m n =??
=?，所以
这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.
【变式题组】
01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________. 02．（黄冈）小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（ ）
A ．30cm ×30cm 的正方形
B ．50cm ×50cm 的正方形
C ．60cm ×60cm 的正方形
D ．120cm ×120cm 的正方形，
03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求
111
m n p
++的值.
演练巩固·反馈提高
01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有空隙.
02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.
03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n个图案中白色的地板砖有______块.
04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.
05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
06．下列不能镶嵌的正多边组合是（）
A．正三角形与正六边形B正方形与正六边形C．正三角形与正方形D正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）
A．边长相同B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800
C．边长之间互为整数倍D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
09．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形
10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的。
(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？
(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.
12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）
A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1
培优升级·奥赛检测
01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或15
02．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A．216块B．288块C．384块D．512块
03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（）
A．3600B．4500C．5400D．7200
04．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m
等于这个凸n边形对角线条数的4
9
，那么此n边形的内角和为___________.
05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.
06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.
07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．6300B．7200C．8000D．9000
08．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_________.
09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（）A．120 B．128 C．136 D．144
10．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”
(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝______；各内角中最小内角是_____度，最大内角是_____度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_____.
(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).
(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明理由.
11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.
(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；
(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图. 料铺地的草图.
12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF中，已知∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F
成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.
B A
C
D
E
F
第三讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）
A ．5对
B ．4对
C ．3对
D ．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由
此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中
AB DC ABC DCB BC CB =??
=??=?
∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A D
AED DEC AB DC =??
=??=?
∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE
⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中 BE CE
EF EF =??
=?
∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D 有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、
E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DE
F .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；
⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，
添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题
2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空
格）.
【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .
【解法指导】 想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF
在△ABE 和△DCF 中, AB DC AE DF BE CF =??
=??=?
∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C
在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =??
=??=?
∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE
【变式题组】
01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .
【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF
A
F
E
C
B D
A
E
第1题图
A B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
A B
C
D
O F
E
绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA 的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB ＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
AB DE
ABF DEC
BF EC
=
?
?
=
?
?=
?
∠∠
∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠F AC＝∠CDF∵∠AOD＝∠F AC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA ∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）
A．42°B．48°C．52°D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
E F
B
A
C
D
G
第2题图
B（E）
O
C
F
图③
D
A
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.
证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°,
∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.
在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA
=?
?
=??=?
∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，
∴AP ＝AQ
⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】
01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD
02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A ．
2
a b
m + B ．
2
a b
m - C ．bm D ．am
03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，
则五边形ABCDE 的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A ．72°
B ．60°
C ．58°
D ．50°
A
E
C
B
A 75° C
45° B
N
M
第2题图
第3题图
D
2
1
A
B
C P
Q
E
F D
02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）
A . C
B ＝CD B .∠BA
C ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCA
D .∠B ＝∠D ＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A . △ABE ≌△CBD
B . ∠ABE ＝∠CBD
C . ∠ABC ＝∠EB
D ＝45° D . AC ∥B
E 06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ）
A . 小华、小明都对
B . 小华、小明都不对
C . 小华对、小明不对
D .小华不对、小明对
07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.
08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______
第1题图
a α
c
c
a
50° b
72° 58°
A
E
F
B
D C 10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝D
E ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向
爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .
12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90° ，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.
13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,
请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点
C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别
作l 的垂线，垂足分别为D 、E .
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）
15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE
＝DF .
D A C .
Q
P
.
B
D B A C
E F
A E
B F D C
A
E F
C
D
B
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么
情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）
⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
培优升级·奥赛检测
01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）
A ．4对
B ．5对
C ．6对
D ．7对
02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）
A ．DC
B . B
C C . AB
D .A
E ＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；
⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
F
第6题图
2 1
A
B C
E N M
3 2
1
A
D
E
B
C F
A
D
E
C
O
A E O B
F
C D 第1题图
B
第2题图
第3题图
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B C
D
E
A E
B D
C 08．如图，
D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，A
E 是△ABD 的
中线.求证：AC ＝2AE .
09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋
∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立； ⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13, 求BC 边上的中线AD 的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，
使得DE ＝AD ，再连接BE ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利
用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全
等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC
中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF . 求证：BE ＋CF ＞EF ；
A
B
E D C
A F D F C
B E D
A C
B E
A C
B 图① 图② 图③ A
B
E F C D
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
2015——2016学年度第二学期 八（13）（14）数学培优计划 一、培优目标： 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 二、培优对象：邹晓雯，曾晓怡，黄静仪，欧韵梦，邹嘉怡，黄浩贤，刘智权，钟凤敏，陈精沅，唐振枫，李世河，成汝其，刁凌星，谢梦瑶，陈家乐，黄宇等 三、培优措施： 1、是要提醒他们人外有人，天外有天。在没有看到考题，考试结果未公布之前，任何自负都是虚的，并且有一定的危害性。应该做到自信而不自负，懂得自己只是与一流的学生站在了同一条起跑线上，并没有太大的优势。 2、是要让他们懂得在考场上只有认真、努力，再加上平和的心态才是取得成功的关键。我们可以轻松但不能轻视，可以在战略上轻视，却绝不能在战术与实战中有丝毫的轻视，恰恰相反，要加倍地重视才对。因为，没有取得的成功不是你的成功。西方也有句类似的格言，蛋还没孵，先不要数鸡，如意算盘打不得。所以，对于优秀生来说一定要做到自信而不自傲。 3、我们应该让他们知道，自己在考试之前已经尽了自己 最大的努力，至于成绩的好坏是由许多因素造成的。我们没必要过分地担心与自责。应该勇敢地面对，既然自己已经尽了最大的努力，只要在考试中做到简单的题得满分，有些难度的题也要搏它一搏争取满分，类似于古人的破釜沉舟和背水一战。激起他们的斗志，往往会考出意想不到的好成绩。 只要尽了自己最大的努力，无愧于自己，无愧于这次考试就可以了，没必要过多地担忧结果。而对于考试之前忽然感觉自己什么都不会的情况，我们不
人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明 △ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点， 且∠EAF＝1 2 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且 ∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】 试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得 EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
新人教版八年级数学上册培优资料（中考题 型） 第16讲认识三角形经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围 是______________，周长l的取 值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形， 共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长 是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中 能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中 点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量 关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基 本图形，其基本方法为构造三角形或 四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图)
一、填空题 1、设 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题
) 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16 3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ) A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( ) A.5种 B. 6种 C. 7种 D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4 1 31，则△ABC 中是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）． A .x ＞1 B .x ＜1 C .x ＞－2 D .x ＜－2 k 1x ＋b
等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
F E G 暑假数学培优二 1、如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，∠ACB 的角平分线分别交AB、BD 于M、N 两点．若AM＝2，则线段ON 的长为 . 2、如图，E为正方形ABCD 内一点，∠AEB=90°，CF⊥DE 于F，若EF=2，DF=6，则S△ADE 的面积为； AE 的长为 A D B C 3、如下图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=1 0，则正方 形的边长为 4、如图，正方形ABCD 中，点E 在CD 的延长线上，点F 在AB 上，连接EF 交AD 于点G，EF=CE，若 BF=3，DG=2，则CE 的长为 E A D F B C
5、如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点 B 旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1 在同一直线上，那么EE1 的长为 6、如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG，连接 DF，M、N 分别是DC、DF 的中点，连接MN．若AB=7，BE=5，则MN= 7、如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE＝8，过点E 作EF∥BC，分别交BD、CD 于 G、F 两点．若点P、Q 分别为DG、CE 的中点，则PQ 的长为
M 8、如图，正方形 ABCD 中，点 E 是AB 边上一点，点F 是 BC 边上一点，连接 EF ，设∠EDF= . （1）如图 1，=45°，E 为 AB 的中点，则 CF ：BF 的值为 （2）如图 2，=30°，过点 E 作 EM ∥BC 交 DF 于M 点，问 AE+CF 与 EM 有何数量关系？ （3）如图 3，若 =60°，AD=4，直接写出 S △DEF 的最小值 A D A D A D E E E B F F F 9、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AB=8．点 P 从点A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边 AB 向点 B 运动．过点 P 作PD ⊥AB 交折线 AC-CB 于点 D ，以 PD 为边在 PD 右侧做正方形PDEF ．设正方形PDEF 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，点 P 的运动时间为 t 秒（0＜t ＜4）． （1）当点D 在边 AC 上时，正方形PDEF 的边长为 （用含 t 的代数式表示）． （2）当点E 落在边 BC 上时，求 t 的值． （3）当点D 在边 AC 上时，求S 与 t 之间的函数关系式． （4）作射线PE 交边 BC 于点G ，连结 DF ．当DF=4EG 时，直接写出 t 的值．
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的 定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2
八年级培优试卷 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤ 16
人教版八年级上册数学 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解 析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在 线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若 60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D= 1 2 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=1 2 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D= 1 2 ∠A=30?是解题的关键.
超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：
八年级上数学培优试题及答案
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第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第 三边x的长．
状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等． 参考答案: 1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21． 3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015． 4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B． 5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，
数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，
∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，
河南省固始县第三中学八年级数学培优作业 （考查内容:整式的乘除与因式分解） 命题人：吴全胜 一、 选择题 1、化简23()a -的结果是（ ） A ．5a - B ．5a C ．6a - D ．6 a 2、下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．4 26a a a =÷ C ．632)(x x = D ．32a a a =? 3、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）. A 、2222)1(xy y x x xy -=-； B 、)3)(3(92-+=-x x x ； C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-； D 、c b a x c bx ax ++=++)(. 4、下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5 236)2(4x x x -=-?； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥2 3)()(a a a -=-÷- 其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x 6、 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A 、4x 2+1 B 、4x 2－4x －1 C 、x 2+xy +y 2 D 、x 2 －4x +4 7、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8、 把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（ ）. A. 22008 B. －2 2008 C. －2 2009 D. 22009 9、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2 ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题
2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义 第一讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
最新八年级上数学培优试题及答案解析 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类 推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第三边x的长． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性．
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x
一、填空题 1、设ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b 满足a b 4(a b 2) 2 0 ， 则第三边的长 c 的取值范围是． 2、函数y 4 x 3 的图象上存在点P，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是。 3、在△ABC中，∠B 和∠C 的平分线相交于O，若∠BOC= ，则∠A= 。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。 5、已知直线y a 2 x x a 4 不经过第四象限，则 a 的取值范围是。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为。 7、如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km) 和行驶时间t(h) 之间 的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km；②汽车在行驶途中停留了0.5h ； 80 ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正 3 确的说法有. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工 了28 千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 D 千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm°则顶角度数为( ) A.m° B.2m° C.(90-m) ° D.(90-2m) ° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y( 微克/ 毫升) 与服药后时间x( 时) 之间的函数关系如图所示，则