新人教版八年级数学上册培优资料（中考题型）
第16讲认识三角形
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().
A．1 B．2 C．3 D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为
58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818
2
＝20，则三边为20，20，
18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.
解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
F
D C
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.
【变式题组】
01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
(第1题图
)
02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF 与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
(例4
题图)
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八
字形角的关系即
C D
，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
【变式题组】
01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
(第2题图
)(第3题图
)
02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________. 03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.
(第3题图)
E
【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝
______________.
C
【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC ＝
1
2
∠A +90°.证法如下: ∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+1
2
∠A ．所以∠BOC
＝125°.
【变式题组】
01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.
(第
1题图)
C
°，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.
03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.
【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.
【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－
(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －1
2
(180°－∠B －∠C )＝ 90°－
∠B －90°+
12∠B + 12∠C ＝1
2
(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°. 【变式题组】
01.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，
则∠BFE ＝__________.
(说明:原题题、图不符.由已知得∠A ＝98°, BD ⊥AC ，则点D 在CA 的延长线上.)
02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB
的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF
为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至
△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来
解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC
＝180°－2×70°＝40°
【变式题组】
01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕
点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.
(第1题图)
M
02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转
角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)
3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.
(第2题图)
(第1题图)
(第2题图)
B
C
(第3题图)
B
C
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
演练巩固·反馈提高
01．如图，图中三角形的个数为( )
A ．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么
这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定
03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角
形的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )
A ．三角形的一个外角大于任何一个内角
B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C ．三角形的外角中，至少有两个钝角
D ．三角形的外角中，至少有一个钝角
05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定
07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长
分别是______________.
09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数
是______________.
(第9题图)
D E
B
A
C
10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，
∠β＝______________.
11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________.
13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，
∠DAE ＝1
3
∠BAC ，求∠BAC 的度数
第17讲 认识多边形
经典·考题·赏析
【例１】如图所示是一个六边形.
(1)从顶点A 出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？
(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？
【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n 边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n －3)条对角线，它们将这n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形一共有
(3)
2
n n 条对角线， 解:(1)从顶点A 出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC 、AD 、AE .将六边形分成四个三角形:△ABC 、△ACD 、△ADE 、△AEF ；
(2)六边形共有9条对角线. 【变式题组】
01．下列图形中，凸多边形有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
02．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则m
＝______，n ＝______，k ＝________.
03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的
边数是.
【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n 边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n 边形分成(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n －2)·1800；
(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数. 解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800； (2)设n 边形的内角和是八边形内角和的2倍，
γ
βα
(第10题图)
Ⅰ
(第11题图)
F
E A
E D A
(第13题图)
E A
C
4
32
1
(第12题图)
A
则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.
【变式题组】
01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.
02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）
A．8 B．7 C．6 D．5
04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）
A．1100B．1080C．1050D．1000
5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）
A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变
C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800
【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？
解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这
个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为
360
60
＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝
30(cm)才能回到点A．
【解法指导】多边形的外角和为3600.
(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.
(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.
(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.
(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.
【变式题组】
01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.
02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A
后成四边形，则∠1+∠2＝_____
03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边
形的内角和少____度.
04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____
米.
【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.
【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.
解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：
(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，
故这两个多边形的边数分别为4和10.
【变式题组】
01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________
02．若一个多边形的外角和是其内角和的
2
5
，则此多边形的边数为_____
03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的
2
3
，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
04．内角和与其外角和相等的多边形是___________
【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）
A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形
【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.
解：选C．
【变式题组】
01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A．正三角形B．正方形C．长方形D．正五边形
02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）
A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形
C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用下列正多边形?能作平面镶嵌的是（）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7
个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）