人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC
=，D、E是斜边BC上两动点，且
∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF .
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE 的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析：()1由ABE AFC
≌，得到AE AF
=，BAE CAF
∠=∠，
45,
EAD
∠=45,
BAE CAD
∴∠+∠=45,
CAF CAD
∴∠+∠=即
45.
DAF
∠=EAD DAF
∠=∠，从而得到.
AED AFD
≌
()2由△AED AFD
≌得到ED FD
=，再证明90
DCF
∠=?，利用勾股定理即可得出结论.
()3过点A 作AH BC
⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.
2
AH BH BC
===
1
DH BH BD
=-=或7,
DH BH BD
=+=求出AD的长，即可求得2
DE.
试题解析：()1ABE AFC
≌，
AE AF
=，BAE CAF
∠=∠，
45,
EAD
∠=90,
BAC
∠=
45,
BAE CAD
∴∠+∠=
45,
CAF CAD
∴∠+∠=
即45.
DAF
∠=
在AED和AFD中，{
AF AE
EAF DAE
AD AD，
=
∠=∠
=
.
AED AFD
∴≌
()2AED AFD
≌，
ED FD
∴=，
,90.AB AC BAC =∠=?
45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，
∠=? 90.BCF ∴∠=?
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
2239.x x ∴+-=
解得： 5.x = 故 5.DE =
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.2
AH BH BC ==
= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.
点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.
2．如图1，在ABC ?中，ACB ∠是直角，60B ∠=?，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD
=，连接FG．）
（3）如图2，在△ABC
?中，如果ACB
∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-
1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
3．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为
t(s).
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由
（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；
（3）存在；
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；
（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】
解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=1，
∴BP=AC=3，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：
由（1）可知△ACP≌△BPQ
∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ．
（3）如图（2），分两种情况讨论：
当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则
34t
t xt
=-
?
?
=
?
，
解得
1
1
t
x
=
?
?
=
?
，
当AC=BQ，AP=BP时，△ACP≌△BQP，则，
3
4
xt
t t
=
?
?
=-
?
解得
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
综上所述，存在
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．
4．（1）如图（a）所示点D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关
系吗？并证明．
（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、
BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．
②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①
相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．
（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．
（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理
'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；
②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则
'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ． 【详解】
（1）AF BD = 证明如下：ABC 是等边三角形，
BC AC ∴=，60BCA ?∠=．
同理可得：DC CF =，60DCF ?∠=．
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠． 即BCD ACF ∠=∠． BCD ACF ∴△≌△． AF BD ∴=．
（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，
AF BD =依然成立． （3）①AF BF AB '+=
证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．
BD AF ∴=．
同理BCF ACD '△≌△．
BF AD '∴=．
AF BF BD AD AB '∴+=+=．
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+； BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，
BCF ACD '∴△≌△． BF AD '∴=．
又由（2）知，AF BD =．
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+． 即AF AB BF '=+． 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知ABC ?、111A B C ?均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ??≌.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】
（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】
（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=?. 在BDC ?和111B D C ?中，
1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，
∴111BDC B D C ??≌， ∴11BD B D =.
在Rt BDA ?和111Rt B D A ?中，
11AB A B =，11BD B D =，
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ??≌， ∴1A A ∠=∠.
在ABC ?和111A B C ?中，
1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，
∴111(AAS)ABC A B C ??≌.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠?. ∴Rt ABC ?≌111Rt A B C ?（HL ）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，
与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ??≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ??≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ??≌；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等； 故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC 中，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，求证：△ABD 和△DBC 都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC 分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【解析】
【分析】
（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°， 最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°. 【点睛】
本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
7．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题. 问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=?，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与
CF 之间的数量关系.
图1
发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图2
拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形. 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；
（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；
（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论． 【详解】
解：（1）BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B F ∴∠+∠=?， 45F ∴∠=?， B F ∴∠=∠， BC CF ∴=. （2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?， AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =， ()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?，
90B F ∴∠+∠=?， 45F ∴∠=?， B F ∴∠=∠， BC CF ∴=.
（3）BCF 是等腰直角三角形. 提示：如图，
ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?， AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠， BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =， ()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B BFC ∴∠+∠=?， 45BFC ∴∠=?， B BFC ∴∠=∠，
BCF ∴是等腰三角形， 90BCF ∠=?，
BCF ∴是等腰直角三角形. 【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图所示，已知ABC ?中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.
（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ （2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ?？
（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ?，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？
【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动
10
3
秒后，可得到等边三角形AMN ?；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N 运动的时间为40
3
秒． 【解析】 【分析】
（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ?+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①，
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图
②，假设AMN ?是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ?是等边三角形，再证
ACM ?≌ABN ?（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、
N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；
【详解】
解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,
1102x x ?+=
解得：10x =
（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-
∵三角形AMN ?是等边三角形 ∴102t t =- 解得103
t =
∴点M 、N 运动
10
3
秒后，可得到等边三角形AMN ?. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，
由（
1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处， 如图②，假设AMN ?是等腰三角形， ∴AN AM =， ∴AMN ANM ∠=∠， ∴AMC ANB ∠=∠， ∵AB BC AC ==， ∴ACB ?是等边三角形， ∴C B ∠=∠， 在ACM ?和ABN ?中，
∵AC AB C B AMC ANB =??
∠=∠??∠=∠?
， ∴ACM ?≌ABN ?（AAS ）， ∴CM BN =，
设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，
10302y y -=-
解得：40
3y =
，故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N 运动的时间为
40
3
秒．
【点睛】
考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.
9．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）∠DBC60α
=?-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α
?+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得
∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出
∠BEC60
=?，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】
解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，
∠DCP=∠ACP=α，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=602α
?+，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC
()
180602
180
60
22
BCDα
α
?-?+
?-∠
===?-；
（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.
理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ， ∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ， ∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；
（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE . 证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ， ∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα?-+=?， ∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，
∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=?+-?-=， ∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ， ∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ， ∵AE=DE ，
∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .
【点睛】