第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,, ,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。
4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0 ()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ
高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
第一章函数 函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。 §1.1 集合 一、概念 集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。 举例： 有限集合：由有限个元素构成的集合。 无限集合：由无限个元素构成的集合。 集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a?A。 二、表示方法 1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。如：A =｛a，b，c，d｝ 即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。 2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。 3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。 三、全集与空集 由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。全集是相对的。 不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。 四、子集 1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则
a∈B”，则称A为B的子集。记为A?B或B?A。 如果A?B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。记作A?B或B?A。 2、定义：设有集合A和B，如果A?B且B?A，则称A与B相等。 结论：（1）A?A，即“集合A是其自己的子集”； （2）Φ?A，即“空集是任意集合的子集”； （3）若A?B，B?C，则A?C，即“集合的包含关系具有传递性”。 五、集合的运算 1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。 性质：（1）A?A∪B，B?A∪B； （2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。 2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。 性质：（1）A∩B?A，A∩B?B； （2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。 3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。即A－B =｛x∣x∈A且x ? B｝。 4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。即A=｛x∣x∈U且x ? A｝。 性质：A∪A =U，A∩A=Φ。 习题7、8：
第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.
第一章 函数，极限与连续 第一节 函数 一、集合与区间 1.集合 一般地说，所谓集合（或简称集）是指具有特定性质的一些事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。 由有限个元素组成的集合称为有限集。 由无穷多个元素组成的集合称为无限集。 不含任何元素的集合称为空集。 数集合也可以称为（数轴上的）点集。区间是用得较多的一类数集。 设a,b 为实数，且a0。开区间),(δδδ+-a a 称为点a 的δ邻域，记作),(δa U ，即}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U 。其中a 叫作这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。 在点a 的领域中去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作),(),(}||0|{),(),,(0 0δδδδδ+?-=<-<=a a a a a x x a U a U 即 二、函数概念 定义：设x 和y 是两个变量，若对于x 的每一个可能的取值，按照某个法则f 都有一个确定的y 的值与之对应，我们称变量y 是变量x 的函数，记为y =)(x f .这里称x 为自变量，y 为因变量。自变量x 的所以可能取值的集合称为定义域，记为D(f)；因变量y 的相
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
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1.解:⑴相等. 因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相 (2)相等. 因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等. 2.解:(1)要使函数有意义，必须 4x0 x 0 所以函数的定义域是( (2)要使函数有意义 x 3 0 lg(1 x) 0 x 4 即x 0 ,0) U(0,4] ■必须 即 所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1). (3)要使函数有意义x2 1 0 即x 1 所以函数的定义域是( (4)要使函数有意义
1 x 0 ,1)U( 1,1)U(1, 必须 1 s i n x 1 2si nx 1 即 2 n 5 n 7 n 2k n x 2k n 2k n x 2k n 6 或6 6 必须 ,(k 为整数).
所以函数的定义域是［i k n ,6k n , k 为整数. 3. 解:由已知显然有函数的定义域为 (-s ,+x), i . i 又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sin x 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为 [-1,1]. 为反函数. 1 X x 1 __y 8.解:(1)由y 「解得 1 y , 1 x 1 x 所以函数y 「的反函数为y c (x 1) . (2)由 y ln(x 2) 1 得 x e y 1 2, 所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x1 2 (x R). 也即 n k n x n k n 6 6 (k 为整数). 4.解: 1 f(0) - 1 0 1 0 f( x) 1 ( x) 1 ( x) 1, 1 x 1 0 5.解: f(x 1) (x 1) 1, 0 x 1 2 6.解: f (g(x)) 2g(x) ?xl nx 1 丄 X x 1 Fl g(f(x)) f(f(x)) g(g(x)) g(x)ln g(x) xlnxln(xln x). 7.证:由y 2x 3 1 解得x 故函数 f (x) 2 x 3 g(x) G 1 是同一个函数,所以f(x) 1 的反函数是 x 1 2 (x R) ,这与 2x 3 1 和 g(x) 1 x' 1, 0 x 1 x, 1 x 3 f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x , 2f(x) ?2x y 1 y
教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性
数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b )
第一章随机事件和概率 1某城市有三种报纸A,B,C.该城市中有60%家庭订阅A报，40%的家庭订阅B报，30% 家庭订阅C报，又知有20%的家庭同时订阅A报和B报，有10%的家庭同时订阅A报和C报，有20%的家庭同时订阅B报和C报，有5%的家庭三份报都订阅，试求该城市中有多少家庭一份报也没订。 2从0，1，2，…，9等十个数字中任选出三个不同的数字，试求下列事件的概率。①{三个数字中不含0和5}；②{三个数字中含0但不含5}；③{三个数字中不含0或5}。 3一口袋中共有5个红球2个白球，从中有放回地取2次，一次取一个球，求： ⑴第一次取得红球，第二次取得白球的概率；⑵红白球各一个的概率； ⑶第二次取得红球的概率。 在无放回的取球方式下，上述各事件的概率各是多少？ 、
概率论与数理统计作业集 2 4 在线段AD 上任取两个点B 、C ，在B 、C 处折断而得三个线段，求这三个线段能构 三角形的概率。 5 已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=1/4，P （AB ）=0，P （AC ）=P （BC ）=1/16，求事件A ，B ，C 全不发生的概率。 6 设A ，B 是两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ,问： (1) 在什么条件下)(AB P 取得最大值，并求此最大值； （2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，并求此最小值。
),(B A P ? 8 已知41)(= A P ，31)(=A B P ，21)(=B A P ，求)(B A P ? 9． 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P 求)(B A B P ?
高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.
第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C
第一章 函数与极限 第一节 函数 一、集合 定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a . 设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径. 点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。 ，即 (),U a δ。 ()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-?+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-< 把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域. 二、函数 1．函数的定义 定义：对于任意x D R ∈?，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是 x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数， 由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域． 例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507?? =???? ， 1=，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥，
定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >． 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数） 对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x ==， 1 csc sin y x x == 反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22 ππ - arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]π
第一章 复数与复变函数 12．下列关系表示的z 点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ 1212(1).()z z z z z z -=-≠ 解：此图形表示一条直线，它不是区域。 (2).4;z z ≤- ≤816;2;x x ≤≤此图形为≤x 2的区域。 1(3). 1;1z z -<+ 解： 222211(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。 (4).0arg(1)2Re()3; 4 z z π <-< ≤≤且 解：此图形表示[2,3]区间辐角在 [0,] 4π 的部分。 (5).1Im 0;z z ≥>且 解：1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。 12(6).Im ;y z y <≤ 解：它表示虚部大于1y 小于等于2y 的一个带形区域。 (7).231;z z >->且 解：此图形表示两圆的外部。 131 (8).;2222i i z z - >->且 解： 211()22y +->2x ，2231()22x y +-> ，它表示两相切圆半径为12的外部区域。 (9).Im 12;z z ><且 解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。
(10).20arg ; 4z z π <<< 且） 第二章 解析函数 8．由已知条件求解析函数()f z u iv =+， 22u x y xy =-+，()1f i i =-+。 解：2,2x y u x y u y x =+=-+， 2,2xx yy u u ==-。 所以0xx yy u u +=即u 是平面上调和函数。由于函数解析，根据C R -条件得2x y u v x y ==+，于是，2 2()2y v xy x ψ=++, 其中()x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得2'()x v y x ψ=+=2y u y x -=-， 所以'()x x ψ=-，即2()2x x c ψ=-+。于是22 222y x v xy c =+-+ 又因为()1f i i =-+，所以当0,1x y ==，时1u =，112v c =+=得12c = 所以 ()222 2 1 (2) 222y x f z x y xy i xy =-+++-+。 第三章 柯西定理 柯西积分
高等数学精品课教案 摘要：一个量无论多么小,都不能是无穷小,零唯一例外.当...的导数的相关公式和运算法...设均可导,则(1);(2)(为常数);(3)30.复合函数的求导法则设,均可导,则复合... 关键词：论,算法,导 类别：专题技术 来源：牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/501649228.html,）
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《高等数学》精品课教案 课 题：§1.1函数及其性质 教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值 2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义 教学重点：初等函数的概念、图形及性质 教学难点：分段函数的概念 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程 一、导入新课 在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子： 例如：某种商品的销售单价为p 元，则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系：L =px 又例如：圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2 r S π= 不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。 二、讲授新课 （一）函数的定义 定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。 定义10 （集合的观点）A ，B 为两个数集，对任意的x ∈D ，存在f ，在B 中有唯一确定的值与之对应。记作：f ：A →B 函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。 例1 f(x)=2x 2 +3x-1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为： f( )=2( )2 +3( )-1 例10：设f(x+1)=2x 2 +3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则 f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2 -t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④y=x 0 (x ≠0 ) ⑤y=tanx(x ≠Z k k ∈+ ,2 π π)等. 例2 求函数y=6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：
2016～2017 学年第 一 学期 科目: 高等数学(一)第一章 单元测试题答案 命题教师： 使用班级：全校16级理科 一．单项选择题（每小题2分，共20分） 1．选B 因为A 、C 、D 中两个函数的定义域不同 2．选C 220ln(1)lim 1tan x x x →+= 3．选C 根据连续的定义. 4．选A 根据连续的定义 5．选D 初等函数在其定义区间是连续的，故只要0)2)(1(≥--x x 即可，由于分母不能取0，故（D ）正确。 6．选Ｄ 00sin sin lim lim 1||x x x x x x ++→→==，00sin sin lim lim 1||x x x x x x --→→=-=- 0sin lim || x x x →∴不存在 7．选Ｄ 11(1)100 lim(1)lim[1()]x x x x x x e ?---→→-=+-=， 8．A 00lim ()1,lim ()1(0)x x f x f x f →-→+===，故是连续点。 9．选Ｃ 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0 x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0 x f x x →存在，例如x x 1sin lim 0→，函数11sin 1≤≤-x 有界，但在0=x 点极限不存在 10．选Ｃ 003sin 3sin 334lim lim ,22229 x x mx m mx m m x mx →→===∴= 二. 填空题(每小题3分，共15分，请把答案填在横线上)
习题12-5 1. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解: (1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0; 解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为 x Q xy y P ??==??12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C dy y y x dx x y x =++??0 2202)46(3, 即 C y y x x =++32233 43. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0; 解 这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为 x Q y x y P ??=--=??22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C dy y x dx a y x =+-??0 202)(, 即 a 2x -x 2y -xy 2=C . (3)e y dx +(xe y -2y )dy =0; 解 这里P =e y , Q =xe y -2y . 因为 x Q e y P y ??==??, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C dy y xe dx e y y x =-+??0 00)2(, 即 xe y -y 2=C . (4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0; 解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为 x Q x y y P ??=-=??s i n c o s ,