第一章：函数与极限
1.1 初等函数图象及性质
1.1.1 幂函数
函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3
的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]
1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数
函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。
因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0 由于y=(1/a)-x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。[如图] 2．对数函数 指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a>0，a≠1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。 若0 1．三角函数 正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。 例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[-，]上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。 这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有。 1.2 数列极限的概念 设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时都有，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全 部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念 设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才 有。例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，为2。 1.4 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列 满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。 在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。 对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无 限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。 从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即。可以证明，当x取实数而趋于或 时，函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是 e = 2.718281828459045… 1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则 我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条 件。柯西（Cauchy）极限存在准则数列收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有。 必要性的证明设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当n>N时，有；同样，当m>N时，也有。 因此，当m>N，n>N时，有 所以条件是必要的。充分性的证明从略。 这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大 号码的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。 1.6 连续函数 1.6.1 定义：若函数f(x)在x0点的附近包括x0点本身有定义，并且， 则称f(x)在x0点连续，x0为f(x)的连续点。[如图] 1.6.2 充要条件：f(x)在x0点既是左连续又是右连续。 初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。 1.6.3 三类不连续点： (1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如图] (2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。[如图] (3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义。[如图] 1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同 1.7.1 定义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间内任意两点x1,x2，当 时总有，就称f(x)在区间内一致连续。 1.7.2 与连续的比较： (1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。 (2)连续函数对于某一点x0，取决于x0和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。 (3)一致连续的函数必定连续。[例：函数y = 1/x，当x∈(0,1)时非一致连续，当x∈(C,1)时一致连续] (4)康托定理：闭区间[a , b]上的连续函数f(x)一定在[a , b]上一致连续。 第二章：导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 2.1 导数的概念 2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该领域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为, 即,也可记作。 导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。 2.1.2 求导举例 例求函数（n为正整数)在处的导数 解 把以上结果中的换成得,即 更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式. 例求函数的导数 解即这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得 就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。 例求函数的导数. 解= 即这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有 例求函数的导数. 解 =作代换即得 这就是对数函数的导数公式,特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式: 2.1.3 导数的几何意义 由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图： 例求等边双曲线y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 由于,于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0. 所求法线的斜率为k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为2x-8y+15=0. 2.2 微分的概念 2.2.1 微分的定义设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那末称函数在点是可微的, 而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即 例求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解函数在处的微分为在处的微分为 函数在任意点的微分，称为函数的微分,记作或,即 例如, 函数的微分为函数的微分为 通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作dx，即.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f’(x)dx, 从 而有x=3就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”. 2.2.2 微分的几何意义 设△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量, 当∣△x∣很小时, ∣△y-dy∣比∣△x∣小得多,因此在M点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 第三章：中值定理与导数的应用 上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础 3.1 三个中值定理 3.1.1 罗尔定理 罗尔定理如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。 3.1.2 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点 ，使等式(1)成立。 3.1.3 柯西中值定理 柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F’(x)在(a,b)内的每一点处 均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(2)成立。 3.2 洛必达法则 3.2.1.洛必达法则的概念. 定义:求待定型的方法(与此同时);定理:若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定义,且f(x)= g(x)=0; 并且f’(x)与g’(x)在(a,a+)上存在. 0 且=A 则= =A,(A可以是). 证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0, 则[a,a+) 上== 即x时,x,于是= 3.2.2 定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,x。所以对于待定型, 可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。 注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。2.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考 虑是否符合洛必达法则条件中f’(x)与g’(x)的存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记号.) 1. 可化为=，事实上可直接套用定理。 2. 0=0 3. -=-，通分以后=。 4.、、取对数0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0。 3.3 泰勒公式及其误差图示来源:实践,常用导数进行近似运算. 由于时所以,因此 范围:在直接求f(x)困难,而在x附近x0处f(x0)与f’(x0)较易时应用.条件是x与x0充分接近,可达到一定的精度. 利用当为不同函数时.有常用近似公式如下:(|x|很小时) Sinx x,tgx x,,,,Ln(1+x)x. 泰勒公式来源:上述公式在|x|很小时,于是即,p1=f(0)+f’(0)x 与f(x)在x=0处函数值相等，且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使与 在二阶导数处也相等.于是,,. 得依此类推: 对于误差,有定理: 在x=0处有n+1阶连续导数,则上式误差(在x 与0 之间) 由定理:此式为在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即: 公式推广:一般地在x=X0附近关于X0点的泰勒公式 注意:虽然泰勒公式是在x="附近"展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即x离 过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不 同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度. 3.4 函数图形描绘示例 定理:若f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导.则f(x)在[a,b]单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a,b)内(或), 推论:若f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且不变号, 则(或<0) 严格单调上升(下降). 定理(极值的必要条件):若x0为f(x)的极值点,那么x0只可能是f’(x)的零点或f(x)的不可导点. 定理(极值判别法):则, f()为极大值, , f()为极小值 若不存在,但f(x) 在与上可导 则若内,内则为极小点,反之为极大点 定义:若曲线在一点的一边为上凸,另一边为下凸,则称此点为拐点,显然拐点处 定义:若则称ax+b为f(x)的一条渐进线. 定义:若则称x=c为f(x)的一条垂直渐进线. 定理:若f(x)的一条渐进线为ax+b 则, 证明:由定义知即 所以即带回定义得 函数图象描述的基本步骤: 1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质,如奇偶性,对称性\周期性等. 2.求出与及与不存在的各点. 3.由2的结果函数的上升,下降区间,及图形的上凸,下凸区间以及各极值点. 4.定出函数的渐近线. 5.描点作用. 3.5 曲率的概念及计算公式 3.5.1 概念:来源：为了平衡曲线的弯曲程度。 平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，△s为AB弧长。 例：对于圆，。所以：圆周的曲率为1/R，是常数。而直线上，所以，即直线“不弯曲”。 对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义， 为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。 3.5.2 计算公式的推导： 由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218） 因为，所以。令，同时用代替得 所以或 具体表示； 1、时， 2、时， 3、时，（令）
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