有关圆的经典例题
１.
在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC
分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示,
过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ，
∵，，∴，AB AC AD AE =
==
=323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===13
2
cos cos ∠OAE AE OA ==2
2
∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°,
当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示，
同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５°
点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ，
如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ?
（1）求证:△ＡBC 是直角三角形；
()22
求的值AD BC
分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ?
则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线;
（2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF
∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC
2
2
122===
解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E
∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ?
=
又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =
12
∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90°
而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA
∴
，即·AD DE DF
AD
AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21
2
∴·，故AD BC R AD BC
R 2
2==
例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ）
A A
B CD
B AB CD ..?>??
22 C AB CD
D AB CD ..?=???
22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ??
2
()112
把的一半作出来，然后比较与的大小。AB AB CD ??
?
()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CD CD AB ???
解:解法(一），如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E,
则AF FB AB ?=?=?
12
AE EB AB ==
12
∵，∴AB CD AE CD AB ===
212
∵AF FB AF FB ?=?
=，∴
在△AFB 中,有A Ｆ+F Ｂ＞AB
∴，∴，∴，∴22
22AF AB AF AB
AF CD AF CD >>>?>?
∴AB CD ?>?
2
∴选A 。
解法（二),如图，作弦DE ＝ＣD ，连结C Ｅ
则DE CD CE ?=?=?
12
在△C ＤＥ中，有C Ｄ+ＤＥ>ＣE ∴2CD>ＣE
∵AB=2CD ，∴ＡB>CE
∴，∴AB CE AB CD ?>??>?
2
∴选A 。
例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===1
4
1 求C Ｄ的长。
分析:连结ＢD ，由AB=BC,可得DB 平分∠ＡDC,延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△E ＤＡ,又可判定A Ｄ是⊙Ｏ的直径,得∠ABD=90°，可证得△ＡBD ≌△EBD ，得DE ＝AD,利用△E ＢC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵AB BC AD ==
=1
4
1
--
∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ?=?
==4
∵⊙Ｏ的半径为2,∴ＡD 是⊙Ｏ的直径 ∴∠A ＢD=∠EBD ＝90°，又∵BD=ＢD
∴△ＡBD ≌△EBD ，∴ＡＢ=ＢE=1，AD=D Ｅ=４ ∵四边形AB ＣD 内接于⊙O,
∴∠EBC ＝∠E ＤA ，∠ECB ＝∠EAD
∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CE
AE
=
∴·CE BC AE AD BC AB BE AD =
=+=+=()1141
2
∴CD DE CE =-=-=4127
2
例５. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ?
于H,交⊙O 于点Ｅ,交AC 于点F ，P 为E Ｄ的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么?
()22
当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ?=
分析：由题意容易想到作辅助线OC, (1）要使ＰC 与⊙Ｏ相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠P ＣF ＝∠FAH+∠AFH 就可以了。
()22要使·，即使
，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DF
AD
DAF DEA == 解:（1）当PC ＝P Ｆ，（或∠PC Ｆ=∠P ＦＣ）时,PC 与⊙O 相切, 下面对满足条件P Ｃ=ＰF 进行证明， 连结O Ｃ，则∠OCA=∠ＦAH ，
∵PC ＝PF,∴∠P ＣＦ=∠PF Ｃ=∠ＡFH,
∵DE ⊥AB 于Ｈ,∴∠OC Ａ＋∠PCF=∠FA Ｈ+∠AFH=9０° 即O Ｃ⊥PC ，∴ＰC 与⊙Ｏ相切。
()22
当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ?=
连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ?=?
= 又∵∠∠，ADF EDA =
∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DF
AD
=
即AD ２
＝D Ｅ·DF
点拨:本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时,ＰＣ与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件,探索△PCF 的形状，显然有多个答案;第(２)问也可将AD 2=ＤＥ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似,探索出点D 的位置。
例6． 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >
1
2
D 作半圆的切线交AB 于
E ，切点为F,若AE ：B Ｅ=２：1,求tan ∠ＡDE 的值。
分析:要求tan ∠ADE,在Rt △AED 中,若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=ＥＦ+FD,而EF ＝EB ，F Ｄ=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和ＡE 的关系,进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ＡBC Ｄ为矩形,∴BC ⊥ＡB,BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，
∵DE 切⊙O 于F,∴DF=DC ，EF=EB,即D Ｅ=DC ＋EB, 又∵AE ：EB ＝2:1,设B Ｅ=ｘ，则ＡE ＝2ｘ,DC=AB=3x ， ＤE=D Ｃ＋ＥＢ=4x ，
在Ｒt △A ＥＤ中,AE=2x ，DE=4ｘ, ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x =
==
2233
3
点拨：本题中,通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于Ａ、B 两点,且点O 2在⊙O 1上，
（1)如下图，AD 是⊙O 2的直径,连结DB 并延长交⊙O 1于Ｃ，求证C Ｏ2⊥A Ｄ；
（2）如下图,如果AD 是⊙Ｏ２的一条弦，连结D Ｂ并延长交⊙Ｏ1于C ，那么CO 2所在直线是否与A Ｄ垂直?证明你的结论。
分析：（1)要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=9０°，即需证∠D+∠Ｃ=90°，考虑到AD 是⊙Ｏ2的直径，连结公共弦AB,则∠A=∠Ｃ，∠ＤB Ａ=90°，问题就可以得证。 (2）问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结ＡＣ,直观上看，A Ｃ等于CD,到底ＡC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙Ｏ1上,连结AO 2、D Ｏ2、B Ｏ2，可得∠１＝∠2,且有△AO 2Ｃ≌△ＤO 2C ，故CA=ＣD ，可得结论ＣＯ２⊥AD 。 解:（1)证明,连结AB,A Ｄ为直径，则∠A ＢD=９0° ∴∠D ＋∠BA Ｄ=90°
又∵∠ＢＡD ＝∠Ｃ,∴∠Ｄ+∠C=90° ∴∠ＣＯ２D ＝90°,∴CO ２⊥AD (2)C Ｏ2所在直线与AD 垂直， 证明:连结O 2A 、O ２B 、Ｏ２D 、AC 在△AO 2Ｃ与△ＤO 2C 中
∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=?=?
=
∵∠Ｏ2BD=∠O ２AC ，又∠O ２B Ｄ=∠O ２DB,∴∠O ２A Ｃ＝∠O 2ＤB ∵Ｏ2Ｃ=Ｏ2C,∴△AO 2C ≌△DO 2C,∴C Ａ=C Ｄ, ∴△C ＡＤ为等腰三角形,
∵CO 2为顶角平分线,∴CO ２⊥ＡD 。
例8. 如下图,已知正三角形A ＢC 的边长为a,分别为A 、B 、C 为圆心,
以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面a
O O O O O O O O O 2
123122331??? 积S 。(图中阴影部分)
分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解:S a S a a ABC △扇，×·===3433628222ππ() ∴阴S a a a =-=-348238
222ππ 此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C
为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a
2
()
分析:因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠Ａ＋∠B+∠C=180°，
因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为
，π
8
2a
原题可在上一题基础上进一步变形：⊙Ａ1、⊙A 2、⊙A ３…⊙A n 相外离,它们的半径都是1,顺次连结n 个圆心得到的n 边形A １A 2A 3…Ａn ，求n 个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解:
()n -22
π
一、填空题(1０×4＝4０分)
1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为__＿＿＿__＿__＿。
2. 圆内接四边形A ＢCD 中,如果∠A:∠Ｂ:∠C=2:３：４，那么∠D ＝_＿____＿____度。 ３. 若⊙Ｏ的半径为3，圆外一点P 到圆心Ｏ的距离为6,则点Ｐ到⊙O 的切线长为___＿＿__＿___。
4. 如图所示CD 是⊙O 的直径,AB 是弦，CD ⊥A Ｂ于M ，则可得出AM ＝MB,AC BC
?=?
等多个结论,请你按现有的图形再写出另外两个结论：___＿___＿___。
5. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是_＿_____＿＿＿＿。
6. 圆柱的高是13ｃｍ，底面圆的直径是6ｃm ，则它的侧面展开图的面积是____＿_＿_＿_＿。
7． 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱,拱的跨度A Ｂ=16cm,拱高CD=4ｃm ，那么拱形的半径是__________＿。
8. 若PA 是⊙O 的切线，A 为切点,割线PBC 交⊙O 于B,若B Ｃ=２0，ＰA=103,则PC 的长为___＿_＿___＿_。
９.如图５，△ABC 内接于⊙O,点P 是C A
上任意一点（不与C A 、重
合），POC ABC ∠=∠则,55
的取值范围是 ．
10.如图，量角器外沿上有Ａ、B 两点,它们的读数分别是７0°、40°，则∠
１的度数为 .
11．已知O 的半径是3,圆心O 到直线l 的距离是3,则直线l 与O 的位置关系
是 .
１2.如图,已知点E 是圆O 上的点， B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点, 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 .
13.如图，Rt ABC △中90ACB ∠=，4AC =，3BC =．将ABC △绕AC 所在的直线f 旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的侧面积= ．（π取3.14，结果保留两个有效数字）
14.如图8,两个同心圆的半径分别为2和1，
o AOB 120∠=,则阴影部分的面积为
（第9题图） f
A
B C
图8
A
O
B
120o
A
O
B N
M °
O
15．如图,AB 是O 的直径,AM 为弦，30MAB ∠=,过M 点的O 的切线交AB 延长线于点N .若12cm ON =，则O 的半径为 ｃ
m. １6.如图,Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =,4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 .
１7.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，,切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点(点C 与A B ，两点不重合)，过点C 作圆O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ．
18、在平面内,⊙O 的半径为5cm,点P 到圆心O 的距离为３cm ，则点Ｐ与⊙O 的位置关系是 .
19.如图８，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，.将其绕B 点顺时针旋转一周,则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 .
２０.如图9，点A B ，是O 上两点，10AB =，点P 是O 上的动点（P 与A B ，不重合)连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，则EF = .
三、解答题:
1. 已知：如图所示，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过B 点作⊙Ｏ1的切线交⊙O ２于D,连结DA 并延长与⊙O 1相交于C 点，连结B Ｃ。过Ａ点作ＡE ∥BC 与⊙O 2相交于E 点，与BD 相交于F 点。
(１）求证:EF ·BC=D Ｅ·AC ；
（２)若ＡD=3,AC=１,AF =3，求EF 的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花,为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案,要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。
C B A C ' A ' （15题图）
O A D P E B C （第17题A C B
图8
A E
O
F
B P
图9
３． 已知:△ABC 是⊙Ｏ的内接三角形,BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点,过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E,交直线A Ｃ于点F 。
(１）如图所示,当点P 在线段AB 上时,求证:PA ·ＰB=PE ·P Ｆ；
（2)当点Ｐ为线段BA 延长线上一点时,第(１）题的结论还成立吗？如果成立,请证明;如果不成立，请说明理由；
（３)若ＡB ==
421
3
，∠cos EBA ,求⊙Ｏ的半径。 4.如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合)，设
OAB α∠=，C β∠=.(1）当35α=时,求β的度数;(2）猜想α与β之间的关系，并给予
证明．
５、（８分)已知:如图,在△ＡBC 中,AB =ＡC ，以B Ｃ为直径的半圆O 与边A Ｂ相交于点D ,切线ＤＥ⊥AC ,垂足为点E .
求证：（1）△ＡBC 是等边三角形;（2）CE AE 3
1
=．
６、已知:如图,在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． (1)判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；
(2）若:8:5AD AO =,2BC =,求BD 的长．
A
D
O
E
D
C
O
A
B
E
C
A B
E F
M
N 图①
C
A
B
E
F M
N 图②
7、如图，在梯形AB ＣD 中,ＡＢ∥C Ｄ,⊙O 为内切圆，Ｅ为切点， (Ⅰ)求AOD ∠的度数；（Ⅱ)若8=AO c ｍ,6=DO cm,求OE 的长.
8、已知Ｒｔ△AB Ｃ中，?=∠90ACB ,CB CA =,有一个圆心角为?45,半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线ＣE ，C Ｆ分别与直线AB 交于点M ,Ｎ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=; （Ⅱ）当扇形C ＥF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立,请说明理由．
9．如图，ABC △内接于
O ，过点A 的直线交O 于点P ，交BC
的延长线于点D ，2
AB AP AD =.（１）求证：AB AC =；(2）如果60ABC ∠=,O 的半径为１,且P 为AC 的中点，求AD 的
长．
10.(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O 中,AB ,CD 是两条直径,M 为OB 的中点，
CM 的延长线交⊙O 于点Ｅ,且EM ＞M Ｃ.连结DE ,D Ｅ15（1) 求证:AM MB EM MC ?=?；(2) 求E Ｍ的长; (3)求s ｉｎ∠ＥO Ｂ的值.
11.（本题满分10分，第（1)小题满分3分，第(2）小题满分7分）
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，
导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示)．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形,A 是OD 与圆
（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
（２)由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面
CE 的坡度),求r 的值.
12．已知，如图,直线MN 交O 于A B ，两点,AC 是直径,AD 平分CAM ∠交O 于D ，
过D 作DE MN ⊥于E ． （1）求证:DE 是O 的切线;
（2)若6DE =cm ，3AE =ｃm ，求
O 的半径．
?
图
7
第12题图
C
O
B A
D
M E N
圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm 例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3 ,2 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（） A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 11.如图，已知在ABC ?中，? = ∠90 A，A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长． 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝ 13、△ABC中，AB=AC=10，BC=12 14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P 条数为＿＿。 1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____ B P A O
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD 相交于点E ，在不添加 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B A O C
【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC ?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H B D C E A O
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是( ) A ．勒洛三角形是轴对称图形 B ．图1中，点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误； 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解． 2．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?
九年级上册圆经典题汇总 1、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 2、（2013?黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
3、（2013?毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（） A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30° 4. （2013台湾、17）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE 与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（） A．5 B．6 C． D． 5、（2013?苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧
的弧长为．（结果保留π） 6、（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C 的大小为（度）． 7、(2013年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接 圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 8. （2013?湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线．
有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。 132O AB AC BAC 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE === =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132cos cos ∠OAE AE OA ==22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于 E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE A F FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =1 2 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==21 2
∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??AB ∴，∴，∴，∴22 22AF AB AF AB AF CD AF CD >>>?>? ∴AB CD ?>?2 ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 则DE CD CE ?=?=?12 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ?>??>? 2∴选A 。 例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD == =1 4 1 求CD 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD == =1 4 1
有关圆的经典例题 １. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示, 过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===13 2 cos cos ∠OAE AE OA ==2 2 ∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°, 当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示， 同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证:△ＡBC 是直角三角形；
()22 求的值AD BC 分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线; （2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2== 例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??
圆典型例题精选 【例题 1 】如图所示， AB 是圆 O 的一条弦， OD AB ，垂足为 C ，交圆 O 于点 D ，点 E 在 圆 O 上．（1）若 AOD 52o ，求 DEB 的度数； E （ 2 ）若 OC 3 ， OA 5 ，求 AB 的长． O AC B D 【例题 2 】如图，线段 第 1 题图 AB 经过圆心 O ，交圆 O 于点 A,C ，点 D 在圆 O 上，连接 AD ， BD ， ∠ A= ∠ B=30 度． BD 是圆 O 的切线吗？请说明理由． 【例题 3 】已知 AB 为 ⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB ⊥ CD 于点 E ．连接 AC 、 OC 、 BC ． A （ 1 ）请说明： ∠ ACO= ∠ BCD ． （ 2 ）若 EB=8cm ， CD=24cm ，求 ⊙ O 的直径． O E C D B 【例题 4 】如图，梯形 ABCD 内接于 ⊙ O ， BC ∥ AD ， AC 与 BD 相交于点图E 9 ，在不添加任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若 BD 平分 ∠ ADC ，请找出图中与 △ ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外） ． 【例题 5 】如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， AC=5 ，BC=12 ， ⊙ O 的半径为 3． （ 1 ）若圆心 O 与 C 重合时， ⊙O 与 AB 有怎样的位置关系？ （ 2 ）若点 O 沿线段 CA 移动，当 OC 等于多少时， ⊙ O 与 AB 相切？
．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：
例 2 ．已知，如图， CD 是直径， EOD 84 ，AE 交⊙ O 于 B ，且 AB=OC ，求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ， CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=6cm ， EB=2cm, CEA 30 ， 求 CD 的长． 例 6. 已知：⊙ O 的半径 0A=1，弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数． 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ；②点在圆上 d=r ；③点在圆内 d 有关圆的经典例题 1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2.如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， （1）求证：△ABC 是直角三角形； 分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线； （2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA 例3.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（） 分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ??2 解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ， ∵AF FB AF FB ?=?=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴选A 。 例4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。 分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD 例5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ? 于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。 初三数学有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， （1）求证：△ABC是直角三角形； 分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线； （2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA 例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E， ∵ 在△AFB中，有AF+FB>AB ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE ∴选A。 例 4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长 AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD 有关圆的经典例题 1. 在半径为 1的⊙ O 中，弦 AB 、AC 的长分别为 3和 2，求∠ BAC 的度数。 2. 如图：△ ABC 的顶点 A 、B 在⊙ O 上，⊙ O 的半径为 R ，⊙O 与AC 交于 D ， 如果点 D 既是 AB 的中点，又是 AC 边的中点， （ 1）求证：△ ABC 是直角三角形； （2）求 AD 的值 BC 4. 如图，四边形 ABCD 内接于半径为 2的⊙ O ，已知 AB BC 1 长。 5. 如图， AB 、 AC 分别是⊙ O 的直径和弦， D 为劣 3. 如图，在⊙ O 中， AB=2CD ，那么（ ） A. AB 2CD B. AB 2CD D. AB 与2CD 的大小关系不确定 C. AB 2CD AD 1， 求 CD 的 弧 于H，交⊙O 于点E，交AC 于点F，P为ED 的延长线上一点。 1)当△ PCF 满足什么条件时，PC与⊙O 相切，为什么？ (2)当点D在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD2DE· DF ，为什么？ 1 6. 如图，四边形ABCD 是矩形(AB 1BC)，以BC为直径作半圆O，过点 2 D 作半圆的切线交AB 于E，切点为F，若AE：BE=2 ：1，求tan∠ AD E 的值。 分析：要求tan∠ADE ，在Rt△AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴ BC⊥AB，BC⊥ DC ∴AB 、DC切⊙ O于点 B 和点C， ∵DE 切⊙O于F，∴ DF=DC ，EF=EB，即DE=DC+EB ， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在Rt△ AED 中，AE=2x ，DE=4x， ∴ AD 2 3x AE 2x 3 则tan ∠ ADE AD 2 3x 3 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙ O1 与⊙ O2相交于A、B 两点，且点O2在⊙ O1上， (1)如下图，AD 是⊙ O2的直径，连结DB 并延长交⊙ O1于C，求证CO2⊥ AD ； 1 / 3 圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=o ，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD E 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B O C 2 / 3 【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=o ，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H C E A O 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 圆的概念和性质 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C D O E B C 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>?? （1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？ ()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ? = 6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O > 1 2 D 作半圆的切线交AB 于 E ，切点为 F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。 分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ， ∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x = == 2233 3 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上， （1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ； 圆经典重难点真题 一．选择题（共10小题） 1．（2015?安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂 足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（） A．2 B．4 C．4D．8 2．（2015?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°， 则∠ABC的度数是（） A．80°B．160°C．100°D．80°或100° 3．（2015?兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于 A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 4．（2015?包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将 △ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的 路径为，则图中阴影部分的面积为（） A．πB．πC．πD．π 5．（2015?黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C （0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的正弦值为（） A．B．C．D． 6．（2015?黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径 AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（） A．3 B．8 C． D．2 7．（2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5， 小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 8．（2015?衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB 为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于 点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 9．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E， 且CE=2，DE=8，则AB的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（2015?海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆 心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（） A．45°B．30°C．75°D．60° 二．填空题（共5小题） 11．（2015?黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O 的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径 为． 12．（2015?宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 若∠C=130°，则∠BOD=°． 13．（2015?南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．初三圆经典例题
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