有关圆的经典例题
1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC
2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，
如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ?
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
()22
求的值AD BC
3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A AB CD B AB CD ..?>??
C AB CD
D AB CD ..?=???
22与的大小关系不确定
4.
如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ==
=1
4
1求CD 的
长。 5.
如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB
?
于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？
()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ?
=
6.
如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >
1
2
D 作半圆的切线交AB 于
E ，切点为
F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。
分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，
∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，
在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ，
∴AD x =23
则∠tan ADE AE AD x x =
==
2233
3
点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，
（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；
（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。
分析：（1）要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O 2的直径，连结公共弦AB ，则∠A=∠C ，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD ，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙O 1上，连结AO 2、DO 2、BO 2，可得∠1=∠2，且有△AO 2C ≌△DO 2C ，故CA=CD ，可得结论CO 2⊥AD 。
解：（1）证明，连结AB ，AD 为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C ，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO 2D=90°，∴CO 2⊥AD （2）CO 2所在直线与AD 垂直， 证明：连结O 2A 、O 2B 、O 2D 、AC 在△AO 2C 与△DO 2C 中
∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=?=?
=
∵∠O 2BD=∠O 2AC ，又∠O 2BD=∠O 2DB ，∴∠O 2AC=∠O 2DB ∵O 2C=O 2C ，∴△AO 2C ≌△DO 2C ，∴CA=CD ， ∴△CAD 为等腰三角形，
∵CO 2为顶角平分线，∴CO 2⊥AD 。
例8. 如下图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别为A 、B 、C 为圆心，
以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面a
O O O O O O O O O 2
123122331???
积S 。（图中阴影部分）
分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解：S a S a a ABC
△扇，×·===3433628
222ππ()
∴阴
S a a a =-=-348238
222
ππ
此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C
为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a
2
()
分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，
因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为
，π
8
2a
原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A 1、⊙A 2、⊙A 3…⊙A n 相外离，它们的半径都是1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形A 1A 2A 3…A n ，求n 个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：()n -22
π
一、填空题（10×4=40分）
1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。
2. 圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。
3. 若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为___________。
4. 如图所示CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB 于M ，则可得出AM=MB ，AC BC ?=?
等多个结论，
请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。
5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。
6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。
7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。
8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=103，
则PC的长为___________。
9．如图5，△ABC内接于⊙O，点P是C
A
上任意一点（不与C
A、重合），
POC
ABC∠
=
∠则
,
55 的取值范围是．
10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则
∠1的度数为 .
11．已知O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与O的位置关系是．
12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧AD的三等分点，
46
BOC
∠=，则AED
∠的度数为．
（第9题图）
°
O
13．如图，Rt ABC △中90ACB ∠=，4AC =，3BC =．将ABC △绕AC 所在的直线f
旋
转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积= ．（π取3.14，结果保留两个有效数字） 14．如图8
，两个同心圆的半径分别为2和1，o
∠，则阴影部分的面积为
15．如图，
AB 是O
的直径，AM 为弦，∠O 的切线交AB 延长线于
点
N ．若12cm ON
=，则O 的半径为 cm ．
16．如图，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，
在Rt ABC △
中，若90C =∠，2BC
=，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积
为 ．
17．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，
若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与
A B ，两点不重合），过点C 作圆O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，
则PED △的周长是 ．
18、在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 . 19．如图8，在Rt ABC △中，903C
AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC
，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 20．如图9，点A B ，是O 上两点，10AB =，点P 是O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结
AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，则EF = ．
三、解答题：
第14题图
f A
B
C
B
A
C '
A '
（15题图）
（第17题图）
A
C
B
P
1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与
BD相交于F点。
（1）求证：EF·BC=DE·AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF=3，求EF的长。
2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。
3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。
（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB==
42
1
3
，∠
cos EBA，求⊙O的半径。
4．如图，ABC
△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A B
，重合），设OABα
∠=，Cβ
∠=．（1）当35
α=时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相
交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）CE
AE
3
1
=．
A
D
E