切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段
一. 本周教学内容：
切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段
1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。
3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。
4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。
6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 二. 重点、难点：
重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。 易错点分析：
1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。
2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。另外弦切角的三个条件缺一不可。弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。
3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。等积式中的各线段要记牢，不要记混。 【例题分析】
例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。
A F
B G E
D H C
已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、
∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CG
AF FB DH CH AE BG DE CG
AB CD AD BC
，同理，，即
例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EG
F
分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。由于CA 、CD 是⊙O 的切线，DF 、FB 为⊙O 的切线，所以CA ＝CD ，FD ＝FB ，这就为证明DG ＝EG 提供了条件。 证明： AB 为⊙Ｏ的直径，且CA 、FB 为⊙O 的切线
∴⊥⊥⊥∴∴
==∴==
∴=∴=AC AB FB AB DE AB AC DE FB
BGE BCA GE AC BE AC BG
BC CDG CFB DG BF CD CF DF CF BG
CB
GE AC DF CF GE DF AC CF ，，又∽，且∽， ////???? 又、、均为⊙的切线
，， AC CF BF O AC CD DF BF DG BF CD CF AC CF GE
DF
EG DG
∴==∴===∴=
例3. 如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于E 点，AE 的延长线交BC 于D 点，(1)求证：CE CD CB 2
=?，(2)若AB ＝BC ＝2，求CE 、CD 的长。
分析：要证CE CD CB 2
=?，即要证??CED CBE ∽ 证明：(1)连结BE BC 为⊙O 的切线
∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∴==?∴∠=?==
===∴=-=-=?∴==-=-A CBE OA OE A AEO
OEA DEC CED CBE
CED CBE CE CD CB
CE
CE CD CB
BC O AB ABD OB OE AB BC OC CE OC OE CE CD CB
CD CE CB 又，，∽，即解：为⊙的切线，为直径，，由勾股定理 ??2222
2901
2
125
51512
35
()()
例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，若CD 切⊙O 于D ，BE 切⊙O 于B 交CD 于E ，且CE ＝2DE 。 求证：AC CD =
3
证明： ED 、EB 都是⊙O 的切线 ∴==∴=∴∠?∴∠=?
∴∠=?=∴=∴==∴=∴=?∴=ED EB
CE DE CE EB EB EBA EBC C tgC EB
BC
BC BE
BC CE
CE CD BC CD
CD CD CB CA AC CD
2290903033
2233
3
32，是切线，＝，，，是切线，
例5. 如图，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，求B 点的坐标。
x
解：连结OB ，过B 点作BC AE ⊥于C 点 AB 是切线，∴=?AB AD AE 2
∴==∴=?+∴=∴==∴=∴⊥∴∠=?
⊥∴=?=?∴=
∴==?∴=∴AB AD DE DE OB OD OA AB OB BA OBA BC OA OB OC OA OC OC CA BC OC CA BC B 12812810513905132513144136013251360
1322
2
2，，，，是切线，，，，即，，，点坐标为，(8)()
说明：此例是圆的知识与直角坐标系结合的问题，其中涉及到切割线定理、相似三角形、点的坐标等知识。求点
B 的坐标，就需要求点B 到x 轴、y 轴的距离，即O
C 与BC 的长。这就需要用切割线定理及相似三角形所提供的对应边成比例来提供等量关系。
【考点解析】
例1. 如图，O 是已知线段AB 上一点，以OB 为半径的⊙O 交线段AB 于C ，以线段AO 为直径的半圆交⊙O 于点D ，过点B 作AB 的垂线与AD 的延长线交于点E 。 （1）求证：AE 切⊙O 于点D ；
（2）若AC ＝2且AC 、AD 的长是关于x 的方程x kx 2
450-+=的两根，求线段EB 的长； （3）当点O 位于线段AB 何处时，?ODC 恰好是等边三角形？
分析：因为D 点在⊙O 上，所以欲证AE 切⊙O 于点D ，只要证明过D 点的半径与AE 垂直就可以了。连结OD ，因为OD 是⊙O 半径，∠ADO 是直径AO 所对的圆周角，所以∠=?ADO 90，所以AE 切⊙O 于D 。再
由切割线定理和三角形相似就可以求出EB 的长。如果O 点在AB 线段上靠近B 的三等分点处时，?ODC 恰好为等边三角形。
（1）证明：连结OD ， AO 为直径，∴∠=?ADO 90，D 为⊙O 上的点，
∴OD 是⊙O 的半径
∴AE 切⊙O 于点D ；
（2）解： AC =2，AC 、AD 是所给方程的两根
∴=245AD ∴=AD 25 由切割线定理：
AD AC AB
AB AD AC BC AB AC OD 222
252
1010284
=?∴====-=-=∴=()
在?AOD 和?AEB 中 ∠=∠A A ， 又 EB AB ⊥
∴∠=∠=?EBA ODA 90 ∴??A O D AEB ∽
∴
=∴=?=?=OD BE AD
AB
BE OD AB AD 410
2545
（3）答：当点O 位于线段AB 上靠近B 的三等分点处时，?ODC 恰好为等边三角形。
点评：本题考查了切线的判定、切割线定理，相似三角形，一元二次方程根系关系等知识。
例2. 正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的弦，CF 切⊙O 于点E ，交AD 于F ，且切点E 在正方形的内部，AE 、BE 的长是方程x x m 2
30-+=的两个实根。（1）当AB 是⊙O 的直径时（如图）
<1>用含m 的代数式表示AB 的长； <2>求m 的值和AF 的长；
（2）当AB 不是⊙O 的直径时，?ABE 能否与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似？请说明理由。若相似，求AE AB +的长。
分析：连结AE 、BE ，因为AB 是⊙O 直径，所以∠AEB 是90?角，在Rt ?AEB 中由勾股定理，
AB AE EB AE BE AE BE 22222=+=+-?()。因为AE 、BE 是方程x x m 230-+=的两个实根，所以
AE BE +=3，AE BE m ?=，即AB 可求。
设AF a =，由切线长定理和解直角三角形，作过F 与AB 平行的直线交BC 于M ，可得AF EF a ==，
AB BC CE ===5，FC a CM a =+=-55，，FM =5。解直角三角形FCM ，可得AF 。
解：（1） <1>AB m m =
-<<9209
2
()
<2>m AE BE AF =?==254
， （2）
<1>当圆心O 在正方形ABCD 外时，∠>?AEB 90，则?AEB 是钝角三角形，而?ECB 是锐角三角形，
∴?AEB 不可能与?CEB 相似；
<2>当圆心O 在正方形ABCD 内时，∠
∴∠=∠CEB EAB
①欲使?ECB ∽?ABE ，只须∠=∠EBC AEB ，就有AE BC //，这不可能
∴ 此时?ECB 与?ABE 不相似。
②欲使?EBC ∽?ABE ，只须∠=∠EBC ABE ，此时E 在对角线BD 上，
∴?EBC ∽?ABE
∴
=∴=?=∴=>>∴+=+=BE BA BC
BE
BE BA BC AB AB BE AB BE AE BE AE AB 22003
()，
点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，切线长定理，勾股定理等知识，第（2）问是探索性问题，要运用分类讨论的思想考虑各种情况。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 在Rt ABC ?中，∠=?C 90，BC ＝a ，AC ＝b ，点Ｏ在AB 上，以O 点为圆心作圆分别与BC 、AC 相切于D 、E 两点，则⊙O 的半径长（ ）
A ab a b
B a b
C a b ab
D a b ab
.
..
.
+?++22
2. 若圆的外切四边形ABCD 的面积为202
cm ，AD 边与BC 边的和为10cm ，则该圆的半径长为（ ） A. 4cm B. 2cm C. 1cm D. 以上都不对
3. 若⊙O 外一点P ，P 点与O 点的距离为4cm ，从P 点向⊙O 作切线，切线长与圆的半径之差为2cm ，则圆的半径长为（ ）
A cm
B cm
C cm cm
D cm cm
.().().()().()()177171171717+--+-+或或
4. AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，∠=?A 30，则∠C 的度数为（ ） A B C D ....40302010?
???
5. 四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，P 、Q 切⊙O 于C ，∠=?ABC 56，则∠BCP 等于（ ）
A B C D ....345624104????
6. 圆内两条弦相交，其中一条弦长为8cm ，而且被交点所平分，另一条弦被交点分为1：4两部分，则这条弦长为（ ）cm 。 A. 2
B. 8
C. 10
D. 12
7. PAB 为过圆心O 的割线，交⊙Ｏ于A 、B ，而且PA ＝OA ＝4，PCD 为⊙O 的另一条割线，而且PC ＝CD ，C 点、D 点在⊙O 上。则PC 长为（ ） A. 4
B.
6
C. 24
D. 26
二. 填空题：
1. 已知，?ABC 的三边分别切⊙O 于D 、E 、F ，若∠=?∠=?FOD EOD 140100，，则∠A ＝ _____________________。（AB 与⊙O 交于F ，BC 与⊙O 交于D ，AC 与⊙O 交于E ）
2. 已知?ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别切⊙O 于D 、E 、F 三点，而且AB ＝7cm ，AC ＝5cm ，AD ＝2cm ，则
BC ＝_____________。
3. 一条弦分圆周为2：3两部分，过这条弦的一个端点引圆的切线，则所形成的两个弦切角的度数为_______________。
4. 已知如图，弦AD 与CE 相交⊙O 内一点F ，延长EC 与过⊙O 上点A 的切线相交于点B ，若AB ＝BF ＝FD ，BC ＝1，CE ＝8，则AF ＝_____________。
5. 已知圆内两弦AB 、CD 相交于点E ，CE ＝4cm ，DE ＝9cm ，E 是AB 中点，OE ＝8cm ，则⊙O 的直径是____________。
三. 解答题：
1. 已知如图，在直角梯形ABCD 中，∠=?A 90，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12cm ，
梯形ABCD 的面积为902
cm ，求BC 、CD 、DA 的长。
2. 已知如图，AB 为半圆直径，PA AB ⊥，PC 切半圆于C 点，CD AB ⊥于D 交PB 于M ，求证CM ＝DM 。
3. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于B ，且BC ＝BD ，AD 交⊙O 于E ，若AB ＝8，CD ＝12，求?C
D E 的面积。
D
4. 已知如图，EB 是⊙O 的直径，A 是BE 延长线上一点，过A 点作⊙O 的切线AC ，切点为D ，过B 点作⊙O 的切线BC ，交AC 于C 点，若EB ＝BC ＝6，求AD 、AE 的长。
A E O B
5. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，CD AB ⊥于G ，P 是CD 延长线上一点，PE 切⊙O 于E ，EB 交CD 于F 。求证：PF PD PC 2
=?
【疑难解答】
A. 教师自己设计问题：
1. 模拟试题的第4小题涉及到的知识是什么？有几种解题方法？
2. 模拟试题的第5小题证明方法是什么？ B. 对问题的解答：
1. 答：此题中涉及到切线长、相似三角形、切割线定理等知识，也可以理解为涉及到勾股定理等。 解法1：连结DO
AC OD AC ADO 是切线，∴⊥∴∠=?90
同理∠=?
∠=∠∴B A A ADO ABC 90 ，∽??
∴OD BC AO AC ：＝：
EB BC OB OD CD CB CD CB CD AC AD OD BC AO AC AE AD AE AD AE x AD x
AD AD AE AB
==∴==∴=∴=∴=+=∴=++===∴=?6366
363612
22，、都是切线，：：，：：解得：：设，则是切线，()()
即()()
2622
x x x x =?+=解得
∴==AE AD 24，
解法2：连结ED 、DB 、OC ，设OC 交DB 于F 点。
CD CB CD CB OC DCB EB BC CD O EB EO EB EDB CD CB CO DCB CO DB DE CO
AD AE CD EO AD AE AE x AD x
AC AB BC x x x AE AD 、是切线，及平分，是中点，是直径，且平分，：：即：：设，则由勾股定理，有即，∴=∠==∴==∴∠=?
=∠∴⊥∴∴=====++=++∴=∴==663902126266
2
24
22222//()()
2. 答：此题涉及到切割线定理，等腰三角形、弦切角等知识。要证明一条线段是另外两条线段的比例中项，
应考虑到什么知识可以得到一条线段的平方。勾股定理和切割线定理可提供平方关系，另外含有公共边的相似三角也可以提供平方关系。因为命题中已存在切割线定理，因此很容易想到要证明PE ＝PF 。构造与弦切角有关的辅助线，可以沟通已知和未知的关系。此题有不少证法，下面介绍两种： 证法一：连结AE
AB AEB AB CD AGF A GFE EFD GFE A EFP PE PEF A PEF PFE PE PF
PE PD PC PF PD PC
是直径，，，＝是切线，，∴∠=?⊥∴∠=?∴∠+∠=?
∠+∠=?∴∠∠∴∠=∠∴∠=∠∴==?∴=?909018018022
证法二：连结OE
PE OE EP OEB FEP OE OB OEB B
B GFB EFP BFG B EFP PEF PFE PE PF
PE PE PD PC
PF PD PC
是切线，，＝，而且，是切线，∴⊥∴∠+∠=?=∴∠∠∠+∠=?∠=∠∴∠+∠=?∴∠=∠∴=∴=?∴=?90909022
【试题答案】
一.
1. A
2. B
3. C
4. B
5. A
6. C
7. D 二.
1. 60?
2. 8cm
3. 72108??，
4. 4
5. 20cm 三.
1. 提示：根据S AD BC AB 梯形=
+?=1
2
90()，求出AD ＋BC ＝15，求出CD ＝15，过C 点作CE AD ⊥于E ，在Rt CED ?中，CE ＝AB ＝12，CD ＝15，由勾股定理求出DE ＝9，设CB ＝x ，则AE ＝x ，因为
AD BC CD +==15，即DE x +=215，求出 x =3。所以BC ＝3，AD ＝3＋9＝12。
2. 提示：过B 作BQ AB B ⊥于，交PC 延长线于Q ，后通过成比例线段导出CM ＝DM 。
3. 提示：过E 点作EF CD ⊥于F 点，可证?DEF ∽?DAB ，得
DE DA EF
AB
=，可求出 BD ＝6，由勾股定理，求出AD ＝10，又由切割线定理BD DE DA 2
=?，求出DE =
18
5
。可求出EF AB DE DA =
?=7225。所以S EF CD CDE ?=?=??=1212127225432
25
。
4. 见疑难解答。
5. 见疑难解答。
《切线长定理》评课稿 舒兰十二中 曹雪松
李艳萍老师的《切线长定理》这一课体现了“阳光课堂” 的理念。所谓“阳光课堂”，它的核心理念是“积极向上、优质高效、和谐愉悦、整体提升”；“阳光课堂”的内涵：培养学生高尚健全的思想品格，自信乐观的人生态度，积极进取的阳光心态；提高学生自主学习、自我管理的能力，以达到知识与方法的优质高效；营造和谐愉悦的课堂氛围，创设轻松快乐的学习环境；整体提升学生的综合素养和教师的专业品质，全面推进教育内涵的发展。李艳萍老师此次的阳光教学行动，采用“问题导学”的教学模式，即学前准备——自主学习——合作探究——归纳提升——达标测评。 一、课前学案的充分“预设”与课堂的自由“生成”相呼应。 本节课中李老师课前以学案的形式预设问题：分别让学生画圆的一条切线，两条切线，三条切线、四条切线。以开放的形式为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间。优秀的学生可以画出多种位置的切线发展他们思维的广泛性，学困生也可以在复习切线判定的基础上顺利完成，激发他们研究的兴趣。这样，不仅节省了课上时间，也兼顾到所有学生的发展，为课堂自由“生成”切线长的概念做好了铺垫。由于，课前学生亲自动手画出圆的切线，不仅增强了学生直观体验，更易于学生体会并发现切线和切线长的区别，完成基础目标的教学。 二、充分体现新课标中自主学习、合作探究的精神。 新课标中积极倡导自主、合作、探究的学习方式。以激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲。本节课中设置了三个探究问题主线：
问题一：观察从圆外一点画出圆的两条切线的图形，小组交流讨论你的发现和结论，加以验证，并向大家展示你的成果。此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可的到更多的边等、角等、弧等的结论。然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识。可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法。本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识。最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识。这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受。 这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成三角形的图形，此环节让学生根据题设和已有的切线长定理，经过观察推理学生水到渠成的得出三角形的内切圆的相关概念。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . 用相交弦定理.
切割 线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 点到直线的距离： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。直线Ax+By+C=0 坐标（Xo ，Yo ）那么这点到这直线的距离就为：。
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
C B O A D C E O A B D 弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ . 3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______. 4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________. 2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ? ，则DBE D的大小为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° 7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125° 8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ） A.2 B.3 C.23 D.4 9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350 ，那么∠ACP 等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125 6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ） A. 300 B. 450 C. 500 D. 600 11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若 ∠ABD=440，∠AED=1000 ，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ） A.780 B.920 C.560 D. 1450 C B A D C B A D P O C B D E O A F B P C O A C B D A P O A E B C O D
. 切线长定理第24章圆切线的性质及判定 小题）一．选择题（共21D，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点?1．（2015衢州）如图，已知△ABC ，CE=4，则⊙O的半径是（）的切线交的⊙OBC于点E．若CD=5 4 3 ．C．A．DB ． 与为切点，POO的切线，A枣庄校级模拟）如图，P是⊙O外一点，PA2．（2015?是⊙，则∠C 的度数为（上一点，连接CA，CB），⊙O相交于B点，已知∠P=28°C为⊙O 28°62°31°56°A．B．C．D． 3．（2015?河西区一模）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（） 40°50°55°60°A．B．C ．D． 4．（2015?杭州模拟）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）
3．DCA．B．．22 经过圆心．若为切点，BC的切线，的弦，OAC是⊙OA是⊙天津）如图，2014．5（?AB 的大小等于（，则∠B=25∠°C）1 / 4 . °50°40°20°25 ．．D ．B．CAAC⊥，DEO交BC的中点于D6．（2015?临淄区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，⊙，则下列结论：，连接AD于E）DE是⊙O的切线， 正确的个数是（EDA=∠B；③OA=AC；④②①AD⊥BC；∠ 4个D．个C．3 个A．1 个B．2交的延长线上，弦CD的直径，点P在BA（2015?杭州模拟）已知：如图，AB是⊙O7．、交圆与GGF⊥BC，∠P=∠D，过E作弦AB于E，连接 OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC ．则下列结论：BG两点，连接CF、F．则其中正BG弦CF的弦心距等于③OD∥GF；④①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；）确的是（ ②③④①③④①②③①②④．D．C ．．AB）圆周角的度数（2永川区期末）有下列结论：?（1）平分弦的直径垂直于弦；8．（2013秋）（5）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；等于圆心角的一半；（3）垂直于半径的直线是（6三角形的外心到三边的距 离相等； 圆的切线．）其中正确的个数为（ 4个3个D．2．1个B．个C．A 上任意一点，为CD交于O，Q中，对角线．（2012?武汉模拟）正方形ABCDAC、BD9 ．下列
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
一、填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ． 3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____． 4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 二、选择 5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（） A．62.5°B．55° C．50°D．40° 6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径， 则图中与∠PAB相等的角的个数为（） A．1 个B．2个C．4个D．5个 7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径， MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 A．38°B．52°C．68°D．42° 三、解答 8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°， AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数． 9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于 P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求 ∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长． 2 11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC． 12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证： （1）△ABE为等腰三角形； （2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
圆的切线 1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 用数量关系表示是：如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么: (1)直线I和O O相交1 d
例4、已知：如图所示，AB为半圆0的直径，直线 MN于点E, BE交半圆于点F, AD=3cm BE=7cm (1 )求0 0的半径； (2)求线段DE的长. 例5、如图所示，AB为O 0的直径，BC CD为O 0的切线, 求证：AD// 0C 例6、已知如图所示，在梯形ABCD中, AD// BC, / D=90°, AD+ BC=AB以AB为直径作O 0, 求证：O 0和CD相切. 例7如图，AB是半圆0的直径，AD为弦， (1)求证：BC是半圆0的切线； (2)若0C // AD , 0C 交BD 于E, BD=6 , 例8、如图，AB为O 0的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC?的延长线于点E,连结BC. (1) 求证：BE为O 0的切线； 1 (2) 如果CD=6 , tan/ BCD= ，求O 0 的直径. 2 例9如图，AB为O 0的直径，BC切O 0于B, AC交O 0于P, CE=BE , E在BC上.求证：PE是O 0的切线. B E
m e r b e g o 圆的切线 一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 用数量关系表示是：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：（1）直线l 和⊙O 相交d
t h 例4、已知：如图所示，AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3cm ，BE=7cm ， （1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长. 例5、如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点， 求证：AD∥OC，. 例6、已知如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD ＋BC=AB ，以AB 为直径作⊙O，求证：⊙O 和CD 相切. 例7如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ． （1 ）求证：BC 是半圆O 的切线； （2）若OC ∥ AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长． 例8、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长 线于点E ，连结BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD=6，tan ∠BCD= ，求⊙O 的直径．1 2 例9如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： PA=PB PO⊥AB,且PO平分AB APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙ O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交 AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. C B O A D C B A D P O
P B A O 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ． 1 个； B ．2个； C ．4个； D ．5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm ．求BC 、AC 的长． 3．已知：如图，△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．
2019 中考数学专题练习-圆的 切线长定理（含解析） 、单选题 1.如图，△ ABC是一张周长为17cm 的三角形的纸片，BC=5cm ，△O是它的内切圆，小明准备用剪刀在△O的右侧沿着与△O相切的任意一条直线MN 剪下△ AMN，则剪下的三角形的 变化 2.下列说法正确的是（） A.过任意一点总可以作圆的两条切线 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等大于圆的 半径 3.如图，PA，PB 切△O于A，B 两点， CD 切△O于点E，交PA，PB 于C，D．若△O 56 周长为（ A. 12cm C. 6cm D. 随直线MN 的变化而 径为1，△ PCD的周长等于2 ，则线段AB 的长是（） ABCD 的四条边都相切,且AB=16,CD=10, 则四边形ABCD 的周长为() B. 52 C. 54 D. B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一 的半
5.如图，PA，PB，CD 与△O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△ PCD的周长为（）
A.8 B. 18 C. 16 D. 14 7. 如图，四边形 ABCD 中，AD 平行 BC ，△ ABC=90°，AD=2 ，AB=6 ，以 AB 为直径的半 △O 切 CD 于点 E ，F 为弧 BE 上一动点， 过 F 点的直线 MN 为半 △O 的切线， MN 交 BC 于 M ， 8. 圆外切等腰梯 形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图， △ ABC 是一张三角形的纸片， △O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知 AD=10cm ， 小明准备用剪刀沿着与 △O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形 （△ AMN ），则剪下的 △AMN 的周长为（ ） A. 7 D. 10 B. 14 C. 10.5 交 CD 于 N ，则 △ MCN 的周长为（ A. 9 B. 10 C. 3 D. 2 6.如图， 的周长是
圆的切线之----- A 班经典练习题 班级 姓名 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A 、经过半径外端点的直线是圆的切线； B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C 、垂直于半径的直线是圆的切线； D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－ 21∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P ? 第3题图 O F E D C B A ? 第4题图 P O F E D B A ?第6题图 C O E D B A 二、填空题： 5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。 6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。 7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。 8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝ 。
初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定 理 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦定理⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB. 相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
证明圆的切线方法及例题 ： 有 证明圆的切线常用的方法 O A，证明OA⊥l 就行了，简称“连 一、若直线l 过⊙O 上某一点A，证明l 是⊙O 的切线，只需连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. E F 与⊙O 相切. 求证： O E，AD. 证明： 连结 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=90 0. ∴EF 与⊙O 相切. 说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 1
P A=PD. B C 延长线上一点，且 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为 P A 与⊙O 相切. 求证： 结EC. 作直径AE，连 证明一： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB= ∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+ ∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90 0 . ∴∠1+∠EAC=90 0. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 结OA ，OE. 延长AD 交⊙O 于E，连 证明二： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=90 0. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA= ∠BDE, ∴∠1+∠PAD=90 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 合运 综 用. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识 的 说明： 2