2(X+X+0.5)=9.8 25000+x=6x 3200=450+5X+X X-0.8X=6 12x-8x=4.8 7.5＋2X=15 1.2x=81.6 x+5.6=9.4 x-0.7x=3.6 91÷x＝1.3 X+8.3=10.7 15x＝3 3x－8＝16 7(x-2)=2x+3 3x+9=27 18(x-2)=270 12x=300-4x 7x+5.3=7.4 3x÷5=4.8 30÷x+25=85 1.4 ×8-2x=6 6x-1 2.8 ×3=0.06 410-3x=170 3(x+0.5)=21 0.5x+8=43 6x-3x=18 1.5x+18=3x 5×3-x ÷2=8 0.273 ÷x=0.35 10.5+x+21=56 1.8x=0.972 x÷0.756=90 9x-40=5 x÷5+9=21 48-27+5x=31 x+2x+18=78 (200-x) ÷5=30 (x-140) ÷70=4 0.1(x+6)=3.3 0×.4 4(x-5.6)=1.6 7(6.5+x)=87.5 (27.5-3.5) x=÷4 x+19.8=25.8 5.6x=33.6 9.8-x=3.8 5(x+8)=102 3(x+3)=50-x+3 2(2.8+x)=10.4 3(x+2.1)=10.5 13(x+5)=169 1.5(x+1.6)=3.6 2(x-3)=5.8 （1）甲数是3.5，比乙数多a,乙数是，甲、乙两数的和是。（2）用a 元买了单价为1.8 元的西瓜2 千克，应找回元。（3）比x 少5 的数与a 相乘的积是。（4）a 的5 倍减去4.8 的差是。 （5）a 与b 的和的一半是。（6）食堂买来a 千克大米，吃了b 千克,还剩千克。 （7）买20 支钢笔共付c 元，每支钢笔的价钱是元。 （8）一个工地用汽车运土，每辆车运x 吨。一天上午运了6 车，下午运了5 车。这一天共运土（）吨，上午比下午多运土（）吨。 （9）商场上午卖出电视机10 台，下午又卖了7 台，每台电视机A 元。全天共卖电视机一共收入（）元，上午比下午卖电视机少收入（）元。 1. 育新小学共有108 人参加学校科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4 倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？ 2. 体育比赛中参加跳绳的人数是踢毽子人数的3 倍，已知踢毽子的人数比跳绳的人数少20 人，跳绳、踢毽子各有多少人？ 3. 某校五年级两个班共植树385 棵，5（1）班植树棵树是5（2）班的1.5 倍。两班各植树多少棵？ 4. 一支钢笔比一支圆珠笔贵6.8 元。钢笔的价钱是圆珠笔价钱的4.4 倍。钢笔和圆珠笔的价钱各是多少元？ 5. 食堂买来一些黄瓜和西红柿，黄瓜的质量是西红柿的1.2 倍，黄瓜比西红柿多 6.4千克。买来西红柿多少千克？ 6. 用一根长54 厘米的铁丝围成一个长方形，要使长是宽的2 倍，围成的长方形的长和宽各是多少？面积是多少？ 7. 一只麻雀的体重是81 克，恰好是蜂鸟的40 倍。一只蜂鸟重多少克？ 8. 一块长方形菜地的面积是180 平方米，它的宽是12 米，长是多少米？ 9. 食堂有一批大米，每袋25 千克，用去6 袋以后，还剩50 千克，这个食堂原来有大米多少千克？ 10. 食堂有200 千克大米，每袋25 千克，用去一些后，还剩50 千克，用去多少袋？ 11. 幼儿园大班有10 个小朋友，现在有60 个苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得2 个，小班有多少个小朋友？ 12. 小华买了相同数量的2 元和8 角的邮票，共用去了42 元，两种邮票各有多少？ 13. 甲、乙两车从相距280 千米的两地同时出发，相向而行，经过4 小时两车相遇。甲车每小时行30 千米，乙车每小时行多少千米？
悬链线方程的推导 一根无比柔软的绳子，两固定，自然静止状态下，它的形状是悬链线。其实曲线是以绳子命名的。如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢用高等数学所学的知识就够了。 第一步：背景知识 ㈠我们熟悉如何将)2sin(π α?+n 转化成余弦的形式，口诀是奇变偶不变，符号看象限。 现在扩展一下，研究正切、余切，正割、余割的转化口诀。 tanx cotx 转换：奇变号变偶不变。也就是说，n 为奇数时，要转化成相反形式，且要补一个负号，n 为偶数时就不用变了。 secx cscx 转换：奇变偶不变，符号看象限。我正弦、余弦非常相似。 ㈡不定积分 C x x C x x x x d x dx xdx C x x C x x x d x x d x x x dx x dx xdx ++=++-+=++==+-=+=====????????tan sec ln )2cot()2csc(ln )2 sin()2(cos sec cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan 2tan 22sec 2 cos 2sin 2sin csc 2 ππππ
求?+22a x dx ，令t a x tan =，2 2π π<<-t a C C C a x x C a x a a x C t t tdt a t a tdt a ln )ln(ln tan sec ln sec tan sec 11 2 22 22222-=+++=+++=++==+=?? ㈢ 双曲余弦 chx e e y x x =+=-2 双曲正弦 shx e e y x x =-=-2 反双曲余弦 x>0时，archy y y x =-+=)1ln(2； 反双曲正弦 arshy y y x =++=)1ln(2； 求导：shx chx chx shx ='=')()( 第二步：微分方程
《简易方程整理与复习》教学设计 教学内容 义务教育数学课程标准五年级上册教科书83页，整理和复习。 学情与教材分析 本节课是整个单元的整理与复习课，通过这节课，让学生更加清晰地明确本单元的知识，对本单元的知识点有个系统的认识，加深学生对方程、方程的解以及解方程等概念的理解，掌握解方程的方法，能用方程灵活解题。 教学目标 知识与能力 1、通过复习，使学生进一步明确字母表示的意义，加深对方程的解以及解方程等概念的理解，熟练、正确地解方程。 2、掌握用方程解题的方法。 过程与方法
经过回顾反思、总结归纳等活动，形成知识系统。 情感、态度与价值观 培养总结、归纳的能力，养成善于思考总结的习惯。 教学重难点 重点 回顾和整理解方程和用方程解决问题。 难点 分析实际问题中数量关系的特点，选择适当的解题方法。教学准备 课件、复习题 教学设计
回忆梳理，理清脉络 1、师想一想，本单元我们学习了那些知识？请同学们归纳后在小组内交流。学生独立整理知识点。小组内交流，教师巡视指导。 集体汇报与交流。（适当板书） 基本概念。 用字母或含有字母的式子表示。 简易方程。 列方程解应用题。 2、引入今天我们这节课就对单元的知识进行整理和复习。（板书课题） 二、典型例题，沟通联系 1、复习用字母表示数的知识。（课件出示复习题）
指名口答。 2、复习方程。（课件出示） ①什么叫方程、方程的解和解方程？ ②什么是等式的基本性质？ 3、解方程 学生独立完成教材第83页第1题，指名板演。集体交流解方程的过程。 总结解方程的原理是什么？要注意什么？ 4、复习列方程解决问题。 课本第83页第2题列方程解决实际问题。 学生独立完成后集体订正。
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定： （1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 （2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它
与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D 的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11）
辽宁工程技术大学力学与工程学院 流体力学综合训练（二） 题目动量方程式及其应用 班级工力13-3班 赵永振吕周翔顾鹏 姓名 李壮张敬尧陈锦学 指导教师吴迪 成绩 辽宁工程技术大学 力学与工程学院制 1
目录 1动量方程能解决流体中的问题 (1) 1.1用欧拉方法推导动量方程式 (1) 1.2特殊情况下的动量方程 (2) 2动量方程式在实际中的应用 (2) 2.1水力真空喷射泵 (2) 2.2轮船、火箭 (4) 参考文献 (6)
引言：动量方程式是根据牛顿第二定律及N-S 方程推导出来的，是以微分形式 表示的质点运动方程。动量方程式是通过质点系动量变化率的办法计算求解，是求解流体力学问题的又一条途径。该方程式在水利、航天、工业等工程方面都有应用。 一、用欧拉方法表示的动量方程式 1.1用欧拉方法推导动量方程式 在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,一部分与固体边界重合,在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度为v, 密度为ρ。在t 瞬时的初动量为t V vdV ][???ρ经过△t ，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+△t 瞬时的末动量为： 原来质点系尚留在控制 图1 动量方程式 体中的部分及新流入控 （I ）部分通过A1面非 （II ）部分通过A2 制体的总动量。 原质点系的流入动量 面流出的动量 ↓ ↓ ↓ ?????????????∑∑?+ ??=-??+?==?+→?A V V t A V t t t dA v v vdV t vdV dA v v t vdV t dt mv d F ) (}][)(]{[1lim )(0ρρρρρ对于控制体的全部控制面: ?? ???????????∑∑?+?? =-??+?== ?+→?A V V t A V t t t dA v v vdV t vdV dA v v t vdV t dt m v d F ) (} ][)(]{[1 lim ) (0ρρρρρ 这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况，也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v 换成相对速度， 并在控制
初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用 几何计算题，是在给定的已知条件下，求某些线段的长度、角的度数、两条线段的比值、图形的面积等等，它的基本问题是求线段的长度和角的大小。怎样利用方程思想去解答几何计算题？我们一般先设要求的线段的长度或角的度数为未知数，设法把其他有关的量用含未知数的代数式表示，然后把它们代入到等量关系中，建立一个代数方程或方程组，最后通过解方程或方程组得到所要求的结果。 一、求线段的长度 例1 如图1，四边形ABCD 是矩形，AD ＝10，DC ＝8，以DF 为折痕把Rt △ADF 折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，求BF 的长。 解析：要求BF 的长，可把它放到Rt △BEF 中去考虑，根据已知条件及观察图形，可以发现Rt △ADF ≌Rt △EDF ， 因此DE ＝AD ＝10， 故,6810DC DE EC 2222=-=-= ,4610BE =-= 在Rt △BEF 中，设BF ＝x ， 则EF ＝AF ＝8－x ， 又BE ＝4，根据勾股定理 ,BF BE EF 2 22+= 得方程,x 4)x 8(222+=- 解方程得3x =，即BF 的长为3。 例2 如图2，六边形ABCDEF 由五个相同的正方形组成，正方形的边长为1cm ，过点A 的一条直线和ED 、CD 分别相交于点M 、N ，若这个六边形在直线MN 两侧的部分有相等的面积，则EM 的长度是___________。 解析：设cm y NP ,cm x QM ==， 则由△AQM ∽△NPA ， 得,x 11y = 即1x y =， ①
又由△MND 的面积2cm 25= 得 ,5)1y )(1x (=++ 即.51y x x y =+++ 将①代入，可得3y x =+。 ② 由①与②可知，x 、y 是一元二次方程01t 3t 2=+-的两个根，解此方程得 253t - =或2 53+， 因为QE QM 0≤<，即1x 0≤<， 所以,253y ,253x + =- = 故).cm (215x 1EM -= -= 二、求角的度数 例3 如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC ＝130°，那么∠CAB 的大小是（ ） A. 80° B. 50° C. 40° D. 20° 解析：因为要求的是∠CAB 的度数，又已知∠ADC ＝30°，所以选择△ADC 的内角和等于180°为等量关系。 设∠CAB ＝x ，因为DA 是∠BAC 的平分线， 所以∠CAD ＝x 2 1 。 因为AB ＝AC ， 所以∠ACD ＝41 （180°－x ）。 于是可得方程 ?=?+-?+180130)x 180(41 x 21 ， 解方程得x ＝20°，即∠CAB ＝30°，故选D 。 例4 如图4所示，△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，E 在AC 上，∠BAD ＝50°，AE ＝AD ，求∠EDC 的度数。
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w
总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定： （1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 （2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它
与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11）
一、解方程 (1) 4x+2.1=8.5 (2) 7.7-3.2x=4.5 (3) 0.8x+16=96 (4) 4x－30=14 ( 5) 8.3x－2x＝63 (6) 2x÷10 = 5.2 (7)80÷2x＝20 (8)1.2x＋0.8x＝28 (9) 2x－0.1=3.7 (10) 16＋3x＝28 (11)10－2.5x=7.5 (12)6x÷3=6 二、提高练习： (1)3x+ 7x +10 = 90 (2) 3(x - 12）+ 23 = 35 (3) 7x－8＝2x＋27 (4)1.7x＋0.3x＝7.8 (5)0.7x＋0.9x=6.4 (6) 1.3x＋2.4×3x=25.5 (7)5x -18 = 3–2x (8)（7x - 4）+3（x - 2）= 2x +6 三、综合练习 1、80÷x＝20 2、12x＋8x－12＝28 3、3（2x－1）＋10=37 4、1.6x＋3.4x－x－5＝27
5、2（3x－4）+（4－x）＝4x 6、0.7(x＋0.9)=42 7、1.3x＋2.4×3=12.48、x＋(3－0.5)=12 9、7.4－(x－2.1)=6 10、7（4－x）＝9（x－4） 11、128－5(2x+3)=73 12、1.7x＋4.8＋0.3x＝7.8 13、x÷0.24＝100 14、3（x +1 ）÷（2x – 4）= 6 二、列方程解应用题： 1、学校买来10箱粉笔，用去250盒后，还剩下550盒，平均每箱多少盒？ 2、四年级共有学生200人，课外活动时，80名女生都去跳绳。男生分成5组去踢足球，平均每组多少人？
列方程解的应用题 教学目标 1．使学生初步学会分析稍复杂的两步计算的应用题的数量关系，正确列出方程． 2．学生会找出应用题中相等的数量关系． 教学重点 训练学生用方程解“已知比一个数的几倍多（少）几是多少，求这个数”的应用题． 教学难点 分析应用题等量关系，并会列出方程． 教学过程 一、复习准备 （一）写出下面各题的式子． 1．比的3倍多15 2．比的4倍少2 3．2个与34的和 4．5个与0.6的3倍的差 （二）解答复习题 少年宫舞蹈队有23人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人．合唱队有多少人？ （学生独立解答） 23×3＋15 ＝69＋15 ＝84（人） 答：合唱队有84人． 二、新授教学 （一）导入新课（改复习为例4） 少年宫合唱队有84人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人．舞蹈队有多少人？ 1．比较：例4与复习题有什么相同点和不同点？ 相同点：“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”这句话没有变； 不同点：复习题已知舞蹈队人数求合唱队人数， 例4是已知合唱队人数求舞蹈队人数． 2．教师说明：例4就是我们以前见过的“已知比一个数的几倍多几是多少，求这个数”的应用题．今天我们学习用方程解答这类应用题．教师板书：列方程解应用题 （二）教学例4 1．画线段图分析题意 2．看图思考：舞蹈队人数和合唱队人数有什么关系？
3．学生汇报讨论结果：舞蹈队人数的3倍加上15正好等于合唱队人数．（根据：合唱队人数比舞蹈队人数的3倍多15人） 4．列方程解答 教师板书： 解：设舞蹈队有人． 答：舞蹈队有23人． 5．思考：还可以怎样列方程？（或） 引导：例题的方法最简单，解题时要用简单的方法解． （三）变式练习 少年宫合唱队有84人，合唱队的人数比舞蹈队的人数的4倍少8人，舞蹈队有多少人？ 三、课堂小结 今天这节课你学到了什么知识？在学习中你有什么感想？ 四、巩固练习 （一）只列式不计算． 1．图书室有文艺书180本，比科技书的2倍多20本，科技书本． 2．养鸡厂养母鸡400只，比公鸡的2倍少40只，公鸡只． （二）学校饲养小组今年养兔25只，比去年养的只数的3倍少8只．去年养兔多少只？ （三）一个等腰三角形的周长是86厘米，底是38厘米．它的腰是多少厘米？ 五、课后作业 （一）地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍多13天．水星绕太阳一周要用多少天？ （二）买3枝钢笔比买5枝圆珠笔要多花0.9元．每枝圆珠笔的价钱是2.6元，每枝钢笔的价钱是多少钱？ 六、板书设计 列方程解应用题 例4．少年宫合唱队有84人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人．舞蹈队有多少人？ 解：设舞蹈队有人． 答：舞蹈队有23人．
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。 对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2 假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0tan wL T θ=，而tan dy dx θ=，对该式取微分，则有()() 00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds =1 ）分离变量后并积分： 0 tan d w dx T =?（2） 对式（2）积分后得到： 10tan w sh x c T θ??=+ ???（3） 对式（3）再次分离变量后，得 10w dy sh x c dx T ??=+ ??? （4） 并积分， 10w y sh x c dx T ??=+ ????（5） 查积分公式可得： 0120T w y ch x c c w T ??=++ ??? （6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。
假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则 对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w =,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ??=- ??? （7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。 而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。0,0,tan wL x y T θ=== ，代入式（3）,（6）可解得： 002cosh sinh wL T a T c w ?????? ?????=（8） 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。 L 为悬链线长度，在y 已知的情况下，根据式（7）可求出x 值，并对曲线积分，即可求出悬链线长度L 。 2 带悬锤的悬链线方程 有悬锤的悬链线，受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是1c 和2c 不同而已。 从图3可以看出，以悬锤点为界，上段悬链线中的竖向力多了悬锤重C G 和2L ，水平力均相同，悬锤以下段，悬链线与一般悬链线相同。 图 3 带悬锤的悬链线受力图 悬挂点处初始值：0,0x y ==，且 ()120 tan C w L L G T θ++=（9） 式中；C G 为悬锤水下重力，实际重力应作换算。
列方程解决两步计算的应用题 杜庄一小高娣 教学目标： 1．经历猜数游戏、列方程解决问题以及认识方程的解和解方程的过程。 2．知道什么叫方程的解和解方程，能根据数量关系列方程解决问题，并能检验方程的解是否正确。 3．在猜数、列方程解决问题的活动中，体验列方程解决问题的价值，增强学习数学的信心。 教学重点： 使学生在解决问题的过程中，理解并掌握本节课的解法。 教学难点： 会正确列方程解决实际问题。 教学突破： 将“列方程解一步计算的实际问题”的经验迁移到“列方程解两步计算的实际问题”中。
多少，再求x的值。（1）方程的两边都减去10. （2）先求出2x等于多少。…… 2．鼓励学生用算出的数列出方程，并解答。请两名同学板演。 师：对，我们可以把2x看作一个数，先求2x是多少。 边讨论边选择一个方程板书。 师：下一步怎么办？ 生：方程两边都除以2。 师：好！请同学们选择一个计算结果列出方程。在练习本上试着解答。 每个方程分别请一个学生板演，教师巡视了解学生解方程的情况。 3．交流学生解方程的过程和结果。让学生看一看求出的x是不是自己想的数。 师：我们来看黑板上这几位同学做的，请他们为大家介绍一下是怎样做的。 请板演的学生讲解自己的做法。 师：看一看，求出的x的值，是不是你心中想的那个数？ 生：是。
4．结合求出的x的值，教师介绍什么叫方程的解，什么叫解方程。如，x＝25是方程2x+10＝60的解，求方程的解的过程叫做解方程。然后，让学生结合自己解的方程说一说什么是方程的解，什么叫解方程。 师：看来，方程不但能解决一个简单的实际问题，还能解决数学游戏中的问题。下面，老师告诉你们两个关于方程的名词。 板书：方程的解 解方程 结合求出的x的值，教师介绍什么叫方程的解，什么叫解方程。 师：用你刚才列的方程说一说，什么是方程的解，什么是解方程。 指名发言。 三、解决问题 1．读题、看情境图，说一说了解到哪些数学信息，要解决什么问题。 师：下面，我们再来用方程解决一个实际问题。五年级（1）班同学向山区小朋友赠书，请同学们看书第30页，自己读题。 学生看课件。 师：说一说了解了哪些数学信息，要解决什么问题。
路程计算及列方程解应用题专项练习 例题 1.学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地．甲、乙两人早晨7点一起从学校出发，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，丙上午9点才从学校出发，下午5点甲、丙同时到达军训驻地．问：丙在何时追上乙？ 2．甲、乙、丙三人依次相距280米，甲、乙、丙每分钟依次走90米、80米、72米．如果甲、乙、丙同时出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等？ 3. 甲、乙两地相距1000米，小华从甲地、小明从乙地同时相向而行，小华每分钟走60米，小明每分钟走65米。两人几分钟相遇？ 4小东、小英同时从某地背向而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经
过多少分钟两人相距285米？ 5一条毛巾的价钱是一条手帕的4倍，妈妈买了3条毛巾共花了24元，每条手帕多少元？ 6用长120厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的1.5倍，求它的长和宽各是多少厘米？ 列方程解应用题专项练习（一） 一、填空题 （1）小兰家养了x只公鸡，养的母鸡只数是公鸡的4倍。公鸡与母鸡共有（）只。（2）果园里有梨树x棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多10棵。果园里有苹果树（）棵。 （3）学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表示（），20x + x表示（）。（4）一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典（）元，3本故事书和2本字典一共是（）元。 2、解方程。 （1）8x + 6x = 210 （2）16x - x = 9 （3）12x ÷ 16 = 4.32 （4）0.8x + 4 = 7.2
3、列方程解答。 （1）一个数的6倍减去36等于0，求这个数。 （2）一个数的2倍比它的4倍少28，求这个数。 4、列方程解决问题。 （1）粮店里原有2650千克面粉，卖出100袋后，还剩150千克。每袋面粉重多少千克？ （2）一张桌子和一把椅子共卖245元，已知桌子的价格是椅子的4倍。一张桌子多少元？ （3）一种学生用的足球，育才小学购买了12只，新华小学购买8只，育才小学比新华小学多花了144元钱。每只足球多少元钱？ (4)甲、乙两车同时由A地到B地，甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后乙车才出发，两车同时到达B地．求AB两地的距离?
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。 对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2 假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0 tan wL T θ=，而tan dy dx θ=，对该式取微分，则 有()() 00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds =1 ）分离变量后并积分： 0 tan d w dx T θ=?（2） 对式（2）积分后得到： ()110 tan w sh x c T θ-=+ 10tan w sh x c T θ??=+ ??? （3） 10tan dy w sh x c dx T θ??==+ ??? 对式（3）再次分离变量后，得 10w dy sh x c dx T ??=+ ??? （4） 并积分， 10w y sh x c dx T ??=+ ? ?? ?（5） 查积分公式可得：
0120T w y ch x c c w T ??=++ ??? （6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。 假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则 对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w =,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ??=- ??? （7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。 而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。0,0,tan wL x y T θ=== ，代入式（3）,（6）可解得： 001sinh wL T a T c w ?? ???= 002cosh sinh wL T a T c w ?????? ?????=（8） 0000000cosh sinh sinh wL wL T a T a T T T w y ch x w T w w ?????????????? ??? ???????????=--????????????? ??? 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。 L 为悬链线长度，在y 已知的情况下，根据式（7）可求出x 值，并对曲线积分，即可求出悬链线长度L 。 2 带悬锤的悬链线方程 有悬锤的悬链线，受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是1c 和2c 不同而已。 从图3可以看出，以悬锤点为界，上段悬链线中的竖向力多了悬锤重C G 和2L ，水平力均相同，悬锤以下段，悬链线与一般悬链线相同。 图
第二章导线应力弧垂分析 第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D 点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11） 再进行分离变量积分，有 于是，导线任一点D的纵坐标为： （2－12） 式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：x=0, dy/dx=tgα=0 代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝0 代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为： （2－13） 式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可
(2) 7.7-3.2x=4.5 (5) 8.3x — 2x = 63 (8)1.2x + 0.8x = 28 (11)10— 2.5x=7.5 (3) 0.8x+16=96 (6) 2x +10 = 5.2 (9) 2x —0.1=3.7 (12)6x + 3=6 (2) 3(x - 12)+ 23 = 35 (4) 1.7x +0.3x =7.8 (8)(7x - 4 )+3(x - 2)= 2x +6 1、 80+ x = 20 2、 12x + 8x — 12= 28 3、 3(2x —1) + 10=37 4、 1.6x + 3.4x — x — 5= 27 5、 2( 3x — 4) +( 4— x )= 4x 6、 0.7(x + 0.9)=42 7 、 1.3x + 2.4 3=12.4 8、 x +(3—0.5)=12 9 、 7.4— (x — 2.1)=6 10、 7(4— x )= 9(x — 4) 11 、 128 — 5(2x+3)=73 12 、 1.7x + 4.8 + 0.3x = 7.8 13、 x +0.24=100 14 、 3 (x +1 ) + ( 2x -4) = 6 二、列方程解应用题： 1学校买来10箱粉笔，用去250盒后，还剩下550盒，平均每箱多少盒? 、解方程 提高练 习： (5)0.7x + 0.9x=6.4 (6) 1.3x + 2.4X 3x=25.5 (1) 4x+2.1=8.5 (4) 4x －30=14 (7)80 + 2x = 20 (10) 16 + 3x = (1)3x+ 7x +10 = 90 (3) 7x — 8 = 2x + 27 (7)5x -18 = 3^2x 三、综合练习
通常任何材料包括导线在内,都具有一定的刚性,但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长,因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小,故在计算中假定: (1)导线为理想的柔索。因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 (2)作用在导线上的荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1、悬链线方程 为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上,导线悬在空中的曲线形态,从数学角度用什么方程来描述就是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态,而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示,给出了悬挂于A、B两点间的一档导线,假定为悬挂点等高的孤立档,设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面,可随导线一起摆动,显然这就是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析,可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析OD段导线的受力关系,由图2－5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σx S,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为T0=σ0S,T0为导线O点的切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外
还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x, 其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示,如图2－6所示, 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力的代数与分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数与分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力与张力,σx、T x为导线任一点的应力与张力,S、g为导线截面与比载。将上述二式相比,则可求得导线任意一点D的斜率为: (2-10) 由微分学知识可知,曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式(2－10)就是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律,还需要将不定量 L x消去,因此,将式对x微分得: (微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2)将上式移项整理后,两端进行积分 这就是个隐函数,因此,再进行分离变量积分,查积分公式有: (2－11) 再进行分离变量积分,有
在高压架空线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力、和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线线长微小的变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。设计弧垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减少，同时杆塔荷载增大因而要求强度提高。设计弧垂过大，满足对地距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。因此设计合适的弧垂是十分重要的。 架空线悬链方程的积分普遍形式 假设一：架空线是没有刚度的柔性索链，只承受拉力而不承受弯矩。 假设二：作用在架空线上的荷载沿其线长均布；悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。 由力的平衡原理可得到一下结论： 1、架空线上任意一点C 处的轴向应力σx 的水平分量等于弧垂最低点处的轴向应力σ0，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等。 σx cos θ=σ0 2、架空线上任意一点轴向应力的垂直分量等于该点到弧垂最低点间线长L oc 与比载γ之积。 σx sin θ=γL oc 推导出： 0 t g L o c γ θσ= dy Loc dx γ σ= 即 0'y L o c γσ= （4-3） 由（4-3）推导出 10 ()dy sh x C dx γ σ=+ (4-4) 结论：当比值γ/σ0一定时，架空线上任一点处的斜率于该点至弧垂最低点之间的线长成正比。最 后推到得到架空线悬链方程的普遍积分形式。C1、C2为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。 0(1)20 y ch x C C σγ γσ= ++ （4-5）