目录
0 引言 (1)
1 预备知识 (1)
2 几类特殊矩阵满秩分解 (2)
2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2)
2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3)
2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4)
2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4)
2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5)
3 矩阵的满秩分解的应用 (6)
3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6)
3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6)
3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7)
3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8)
参考文献
致谢
赵爱霞
（天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001）
摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解.
Full Rank Decomposition and Application for
some kinds of Special Matrix
ZHAO Aixia
(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001)
Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix,
Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.
0 引言
自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用
日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献[]5,4,3,2中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域P 上的某个已知矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法.
1 预备知识
定义[1]1.1(满秩分解)设A 是秩为>0r(r ）的m n ?矩阵,若存在m r ?列满秩矩阵F 和r n ?行满秩矩阵G ,使得
=A FG (1) 则称（1）式为矩阵A 的满秩分解.
定义[2]1.2(行酉对称矩阵)令m n A C ?∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义
*12k 1R -（A;G ,G ,,G ）为*12k 1011T
km n k R C ?--∈（A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i
A A A G A G ==?为酉变换矩阵,1,2,
1.i k =-矩阵*
12k 1R -（A;G ,G ,,G ）
称为A 的k 次行酉对称矩阵. 定义[2]1.3(列酉对称矩阵)令m n A C ?∈为任意给定的负矩阵,k 为任意给定的正整数.定义
*
12k 1C -（A;G ,G ,,G ）
为*12k 1011m kn k C C ?--∈（A;G ,G ,,G ）=(A ,A ,,A ),其中0,,i i i A A A A G G ==?为酉变换矩阵,1,2,
1.i k =-矩阵*
12k 1C -（A;G ,G ,,G ）
称为A 的k 次列酉对称矩阵. 定义[3]1.4设=a m n ij A ?∈（）R ,矩阵A 的行转置与列转置矩阵分别为
1
2(1)1
(1)2(1)22122111
12
m m mn m m m n R n n a a a a a a A a a a a a a ---??
? ?
?= ? ? ???
11(1)1211
22(1)2221(1)(_1)(1)(1)2
(1)1(1)
2
1n n n
n C m n m n m m m n mn
m m a a a a a a a a A a a a a a a a a --------?? ? ?
?=
? ? ???
若()R C A A A A ==,则称A 为行（列）对称矩阵; 若()R C A A A A =-=-,则称A 为行（列）反对称矩阵.
定义[4]1.5设m n A ?∈R ,若(),T B A -=则称A 为全转置阵,记为0B A =;若0A A =,则称A 为全对称矩阵.
定义[5]1.6(广义行延拓矩阵)设m n A C ?∈,可逆矩阵121,,,m n
k P P P C
k ?-∈为任意为给定的正整数.定义12k 1R -（A;P ,P ,,P ）
为 12k 1011T
km n k R C ?--∈（A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),
其中0,,i i A A A P A ==?1,2, 1.i k =-矩阵12k 1R -（A;P ,P ,,P ）
称为A 的广义行延拓矩阵. 定义[5]1.7(广义列延拓矩阵)设m n A C ?∈,可逆矩阵121,,,m n k P P P C
k ?-∈为任意为给定的正整数.定义12k 1-C(A;P ,P ,,P ）为
12k 1011m kn k C ?--∈C(A;P ,P ,,P ）=(A ,A ,,A ),
其中0,,i i A A A A P ==?1,2,
1.i k =-矩阵12k 1-C(A;P ,P ,,P ）称为A 的广义列延拓矩阵.
2 几类特殊矩阵满秩分解 2.1 酉对称矩阵的满秩分解
酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解.
定理 2.1.1 设(0)m n r A C r ?∈>,存在,m r r n r r F C G C ??∈∈使.A FG =令
**121,(;,,
,),T k G G F F G F G F G F -==则
〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;
〈2〉*
**12k 1=R G -?（A;G ,G ,,G ）F .
对于列酉对称矩阵,其满秩分解同行酉对称矩阵的满秩分解很是相似.
定理 2.1.2 设(0)m n r A C r ?∈>,存在,m r r n r r F C G C ??∈∈使.A FG =令
**121,(;,,,),T k F F G G GG GG GG -==则
〈1〉**,G F 分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;
〈2〉*
**12k 1=C G -?（A;G ,G ,,G ）F .
2.2行（列）对称矩阵的满秩分解
本小节主要介绍行列对称矩阵的满秩分解,首先介绍行对称矩阵的满秩分解.
定理 2.2.1 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,??∈∈=R G R F FG B 则行对称矩阵
n m R B J B A ?∈???
? ??=2r m 的满秩分解为
.G F J F A m ???
? ??=
这是偶数行的对称矩阵的满秩分解.下面介绍奇数行的对称矩阵的满秩分解. 定理 2.2.2 设n m r ?∈R B 的满秩分解为,,n r r r m r αβ=∈∈=??G R G R F FG B ，，
n
11,??∈∈R R r αβ则行对称矩阵n m r m R B J B A ?+∈????
? ??=)12(α的满秩分解为
.m G F J F A ????
? ??=β
上面已经对行对称矩阵给出了满秩分解,接下来将介绍列对称矩阵的满秩分解,类似的有,偶数列对称矩阵和奇数列对称矩阵的满秩分解.
定理 2.2.3（偶数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，
，n r r r m r ,??∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ B A 2r ?∈=的满秩分解为 )(n GJ G F A =.
定理 2.2.4（奇数列对称矩阵的满秩分解） 设n m r ?∈R B 的满秩分解为
，
，n r r r m r ,??∈∈=R G R F FG B 1
1r ,??∈∈=m R R F αβαβ，则列对称矩阵
())12(r n +?∈=n m R BJ B A α的满秩分解为
)(n GJ G F A β=.
前面已经给出了行列对称矩阵的满秩分解,现在我们仿照它来研究各种形式的行列反对称矩阵的满秩分解.
2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解
定理 2.3.1 (偶数行反对称矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,??∈∈=R G R F FG B 则
行反对称矩阵n
m R B J B A ?∈???
? ??=2r m -的满秩分解为 .-G F J F A m ???
? ??=
定理 2.3.2 (奇数行反对称矩阵)设n m r ?∈R B 的满秩分解为，n r r ,??∈∈=R G R F FG B r m r 则行
反对称矩阵n
m r m R B J B A ?+∈????
?
??=)12(-0的满秩分解为
.-0m G F J F A ????
? ??=
定理 2.3.3（偶数列反对称矩阵） 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，，n r r r m r ,??∈∈=R G R F FG B 则列对称矩阵()n m n R BJ B A 2r ?∈-=的满秩分解为
)(n GJ G F A -=.
定理 2.3.4（奇数列反对称矩阵） 设n m r ?∈R B 的满秩分解为,FG B =，，n r r r m r ??∈∈R G R F 则列对称矩阵())12(r 0+?∈-=n m n R BJ B A 的满秩分解为
)0(n GJ G F A -=.
下面我们来介绍另一类特殊矩阵——全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解,同样地,有比较多的形式.
2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解
定理 2.4.1 (偶数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为,FG B =
，，n r r r m r
??∈∈R G R
F 则矩阵n
m n m
R BJ J BJ
BJ B
A 22r
m n ?∈???
? ??=的满秩分解为 .(n ）
GJ G F J F A m ???
? ??= 定理 2.4.2 (偶数行奇数列全对称矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为
，
，，1r n r r r m r ,
,
???∈=∈∈=R F R G R F FG B ββα则矩阵
)
12(2+?∈???
? ??=n m r n m m m n R BJ J J B J BJ B
A α
α的满秩分解为 ().n m GJ G F J F A β
???
?
??=
定理 2.4.2 (奇数行偶数列全对称矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为
，r m r ,?∈=R F FG B ，n r r ?∈R G ，
1r ,?∈=R G ααβ则矩阵n m r R J BJ B
A 2)12(n m m
n n BJ J B J ?+∈?
??
?? ??=ββ的满秩分解为 ().n m GJ G
F J F A ????
?
??=α
定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ?∈R B 的满秩分解为，r m r ,?∈=R F FG B ，n r r ?∈R G ，
，n 1r 1,??∈∈=R R G βαβα则矩阵 ?
???? ??=n m n 000BJ J B J J BJ B
A m
n ββ)
12(12+?+∈n m r R ）
（的满秩分解为
().0n m GJ G F J F A ???
?
?
??=α
定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设n m r ?∈R B 的满秩分解为
，r m r ,?∈=R F FG B ，n r r ?∈R G 1m 1r ??∈∈=R R F αβαβ，，,则矩阵
????
?
??=n m m n 000
BJ J J B J BJ B
A m
α
α
)
12(12+?+∈n m r R ）
（的满秩分解为 ().0n m GJ G F J F A β
???
?
?
??=
2.5广义延拓矩阵的满秩分解
定理 2.5.1 (广义行延拓矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，r m r ,?∈=R F FG B ，n r r ?∈R G 则广义行延拓矩阵n km r 1k 21),,;(?-∈=R P P P B R A ，
的满秩分解为 .),,;(1k 21G P P P F R A -= ，
定理 2.5.2 (广义列延拓矩阵) 设n m r ?∈R B 的满秩分解为，r m r ,?∈=R F FG B ，n r r ?∈R G 则广义列矩阵n m r 1k 21),,;(k R P P P B C A ?-∈= ，
的满秩分解为 ).,,;(1k 21-=P P P G FC A ，
3 矩阵的满秩分解的应用
3.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵
广义逆矩阵概念早在1920年就被提出,但是没有受到人们的关注.至到1955年R.Penrose 通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵,这才受到关注. 3.1.1 利用矩阵A 的满秩分解求广义逆矩阵-A
在这里首先介绍最一般的广义逆矩阵的概念,并利用矩阵的满秩分解来求解一个矩阵A 的广义逆矩阵.-A
定义 ]6[1.1.1.3（广义逆矩阵-A ）设n m ?∈C A ,若存在m n ?∈C G ,使得
A AG =A
则称G 是A 的广义逆矩阵,并记为.-=A G
有了矩阵的满秩分解和广义逆矩阵-A 的定义,现在给出对矩阵A 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵-A 的算法
定理 3.1.1.1设n C A ?∈m r ,{}n m,min r rank <=A ,且存在可逆矩阵n n m C Q C P ??∈∈,m 使得
???
? ??=00
0r
I PAQ ,A 有满秩分解FG A =, 则有 .00
0,r
P I Q A F G A ???
? ?
?==-
-
-
-
或 例 3.1.1.1 试利用矩阵的满秩分解求如下矩阵A 的一个广义逆矩阵-A .
.11
1100011200
??????
?
?
?=A 解 显然2rank =A ，先求A 的满秩分解:
.00
00010001
111
1100011200
??????
?
??→???????
?
?=A
取???? ??=100011G ,从而FG A F =????
??
?
??=，得1110
01
20. 再求:,--G F
.12145162111110210106112)(1
1???
? ??---=???? ?????? ??==---H
H F F F F
???????
? ??=?
??? ???
???
? ??==--10021021
2002100101)(1
1
-H H GG G G 于是
.242-851-62-51-62-2211214516211110021
021????
? ??=???? ??---??????
?
?
?
?
?==---F G A 3.1.2 利用矩阵A 的满秩分解求M-P 广义逆矩阵+A
接下来将介绍由Moore 和Penrose 研究出的M-P 广义逆,并研究利用矩阵满秩分解来求解一个矩阵A 的M-P 广义逆矩阵.+A
定义]6[1.2.1.3（广义逆矩阵+A ）设n m ?∈C A ,若存在m n ?∈C G ,使得
⑴;A A =AG ⑵;G GAG =⑶;)(AG AG H =⑷;)(GA GA H =
则称G 是A 的P M -广义逆矩阵,并记为.+=A G
定理 3.1.2.2 设n C A ?∈m r ,且FG A =是A 的满秩分解,则有
,)()(11H H H H B B B DD D G --=
就是A 的一个P M -广义逆矩阵，+A 并且+A 是惟一的.
特别地, 对于行满秩和列满值秩矩阵,我们有
⑴设n m C F ?∈是一个行满秩矩阵,则有;)(1-+=H H FF F F ⑵设n m C G ?∈是一个列满秩矩阵,则有.)(1H H G G G G -+=
例3.1.2.1 设矩阵A 为
,55444411
??
????----=A 求A 的P M -广义逆矩阵.+A
解 取[],5441,11=??
?
???-=G F 则A FG A 是=的满秩分解,由引理可得
[])11()1111(11-??
????--==--+H
H F F F F ）（
??
??
??-=212
1
, [],54415815441544154411
1
?????
?
??????=???
???? ??????????????????????????==--+）（H H GG G G
于是
=
=+
++F G A ??
???
???????????????----=
??????-?????
???????11652912911161116
52912911161
21215441581 3.2 线性方程组的极小最小二乘问题
在高等代数中,对于给定的矩阵n n ?∈C A ,向量n C b ∈,存在矩阵n n C G ?∈使得Gb x =是线性方程组b =Ax 有解的充要条件是1-=A G .同样的，对于相容线性方程组）)(b (,b A R Ax ∈=的解与广义逆矩阵-A 也有类似结果:
对于给定的矩阵n m ?∈C A ,对任何)(A R b ∈,存在矩阵m ?∈n C G 使得b G x =是线性方程组
b =Ax 相容的充要条件是.-=A G 进而, 线性方程组b =Ax 相容的充要条件是.b b AA =-
事实上,由上面得到的结论b A x -=是b =Ax 的解,于是.b b AA =-另外,令
b b AA A b A x ===--00x ,则,这说明方程组b =Ax 有解即)(A R b ∈，故线性方程组b =Ax 相容. 现在利用线性方程组b =Ax 的系数矩阵A 的广义逆矩阵-A 可以给出相容线性方程组
b =Ax 的通解.由于b -A x =是相容线性方程组b =Ax 的一个特解,并根据非其次线性方程组的
解的结构可以得到,b =Ax 的通解是由它的特解和齐次线性方程组0=Ax 的通解
)(,n 为任意向量）（y y AA I x --=组成.
定理 3.2.1 设矩阵n m ?∈C A ,则相容线性方程组b =Ax 的通解为
)(,b n 为任意向量）（y y AA I A x ---+=.
例 3.2.1 求线性方程组
???
??=++=+=+1
03233x 321
2
131
x x x x x x 的通解.
解 因对 ???
?
?
??=????? ??=103b ,111032301A
有2),(rank rank ==b A A ，方程组相容.先求-A 得：
????
?
??-=-000101001A
于是所给方程组的通解为
33213123023y 1002003-0002-3b y y y y AA I A x ????
? ??-+????? ??-=????? ??????? ??+????? ??=-+=--）（ 现在,假设线性方程组b =Ax 是不相容的,即它是矛盾方程组.虽然它在一般意义下无解,但是在实际问题中所遇到的线性方程组都是不相容的.在这种情况下,实际应用要求我们找到一个近似解n 0C x ∈使得它的误差范数最小,即
{}
n C x A A ∈=,b -x min b -x 0
并将这样的近似解称为不相容线性方程组的最小二乘解.然而,对于一般的不相容线性方程组的最小二乘解并不唯一,通常将其中范数最小二乘解称为极小最小二乘解,并且它是唯一的.
定理 3.2.2对于给定的矩阵n m ?∈C A ,对任何)(A R b ?,存在矩阵m ?∈n C G 使得b G x =是线
性方程组b =Ax 相容的充要条件是，+=A G 且极小最小二乘解为b +=A x .
例 3.2.2 求线性方程组
???
????
=++=+=+=++3
642x 1
22x 0x 332x 32131
31321x x x x x x
的极小最小二乘解.
解 因对 ??
????
? ??=???????
?
?=3101b ,64
2202101
321
A 有3),(rank 2rank ==b A A ，而,所以所给方程组不相容.先求+A 得：
????
?
??=+221148-4-22-1051-301A ,
故方程组的极小最小二乘解为
.3211013101221148-4-22-1051-3010????
? ??=?
????
?
?
???????
??==+b
A x
参考文献
[1] 程云鹏. 矩阵论[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2000: 220-225.
[2] 魏洪增. 矩阵理论与方法[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006: 250-280.
[3] 蔺小林,蒋耀林. 酉对称矩阵的QR分解及其算法[J]. 计算机学报. 2005. 28: 817-822.
[4] 邹红星,王殿军,戴琼海. 行（或列）对称矩阵的QR分解[J]. 中国科学. 2009. 32（9）: 842-849.
[5] 郭伟. 全对称矩阵的满秩分解及其Moore-Penrose逆[J]. 四川师范大学学报. 2009. 32（4）: 454-457.
[6] 许成峰,刘智秉. 广义延拓矩阵的QR分解[J]. 九江学院学报. 2009. 29（6）: 78-78.
[7]黄延祝,钟字铭,李正良. 矩阵理论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 182-208.
致谢
光阴似箭，日月如梭，转眼间我的大学生涯即将结束了。对我而言，这四年充实的大学生活将会成为我人生道路中一段难忘的经历。在这里，我要特别感谢陪伴我度过四年美好时光的所有老师和支持我的家人、朋友。
首先非常感谢我的导师梁茂林老师。在梁老师的精心指导和严格要求下，使我顺利完成了论文的研究工作。从论文选题、方案设计、到论文的撰写，都是在梁老师悉心指导下完成的。这期间梁老师以他广博的知识、丰富的经验、忘我的工作热情以及严谨的工作作风不断的影响着我，使我不仅在学习能力上有了很大的起色而且在对待工作的态度上也有了新的认识。四年中，我取得的每一点进步无不倾注了老师的心血，在此表示我最诚挚的谢意。
其次感谢我的家人和朋友对我的支持和鼓励。
总之，将来无论走到哪里我也不会忘记，那些曾经关心、帮助和支持过我的人。在这里再一次向所有关心我、帮助我的人致以由衷的感谢。
§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。 当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。 证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵， 其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积， 记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。 则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌ 但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有 。 例1、求矩阵的满秩分解。 解：对矩阵进行初等行变换 其中所以，；而，其中 由此可见，所以有。 定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件： 1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零； 2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列， 则； 3）矩阵的列是单位矩阵的前列； 则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。 定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。例2、求矩阵的满秩分解。 解：先求出矩阵的Hermite标准形
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
§矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵???? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换
()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。 定义设n m ?复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件： 1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零； 2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =， 则r j j j <<< 21； 3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列； 则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ?复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。 定义以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵() n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的
目录 0 引言 (1) 1 预备知识 (1) 2 几类特殊矩阵满秩分解 (2) 2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2) 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3) 2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4) 2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4) 2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5) 3 矩阵的满秩分解的应用 (6) 3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6) 3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6) 3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7) 3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8) 参考文献 致谢
赵爱霞 （天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001） 摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解. Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special Matrix ZHAO Aixia (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001) Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.
109 §4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵??? ? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换 ()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。