§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个nm复矩阵A可以分解为两个与A的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设nm复矩阵A的秩为r，如果存在两个与A的秩相同的复矩阵F与G，使得FGA，则称此式为复矩阵A的满秩分解。 当A是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A可以分解为单位矩阵与A自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设nm复矩阵A的秩为r0，则A有满秩分解。 证：因为0rrankA，对A施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵0GB， 其中G为nr矩阵，并且0rrankG；因此存在着有限个m阶初等矩阵之积， 记作P，有BPA，或者BPA1，将矩阵1P分块为SFP1 ，其中F为rm矩阵，S为)(rnm矩阵，并且rrankF，rnrankS。 则有FGGSFBPA01，其中F是列满秩矩阵，S是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r阶非奇异矩阵D，则有 GFGDFDFGA~~))((1。 例1、 求矩阵122211212101A的满秩分解。 解：对矩阵A进行初等行变换 0111000001130200012101100122201011210012101GBIA 其中30202101G所以000030202101B，111011001P；而SFP1120110011，其中121101F 由此可见，所以有12110101FGGSFBPA30202101。
定义4.3.2设nm复矩阵H的秩为r0r，并且满足以下条件： 1）矩阵H的前r行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后rm行的元素均为零； 2）如果矩阵H的第i行的第一个不为零的元素1在第ij列ri,,2,1， 则rjjj21； 3）矩阵H的rjjj,,,21列是单位矩阵mI的前r列； 则称矩阵H为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r的nm复矩阵A，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形H，而且矩阵H的前r列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以n阶单位矩阵nI的n个列向量neee,,,21为列构成的n阶矩阵njjjeeeP,,,21叫做置换矩阵。其中njjj,,,21是n,,2,1的一个全排列。 定理4.3.2设nm复矩阵A的秩为r0r，矩阵A的Hermite标准形为H，则在矩阵A的满秩分解FGA中，可以取矩阵F为A的rjjj,,,21列构成的rm列矩阵，G为H的前r行构成的nr列矩阵。 例2、求矩阵122211212101A的满秩分解。 解：先求出矩阵A的Hermite标准形 HA0000230102101122211212101，H的第1列与第2列构成3I的前两列，所以矩阵F为A的第1列与第2列构成的23矩阵，G为H的前2行构成的42矩阵，即222101F，230102101G， 所以222101FGA230102101。 对比例1，可以看出矩阵A的满秩分解不唯一。