分式方程及其应用
一、基本概念
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
二、题型分类
考点一：分式方程
题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程
时，去分母后变形为（ ）。 A ．
()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）
A ．0322
=--x x B ．
13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π
x 题型（二）解分式方程
用常规方法解下列分式方程：25211
111 332552323
x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；
题型（三）分式方程的解 1.已知方程
26
1=311x
ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2
2.方程134
622
32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( )
A. 无解
B. 0 , 3
C. -3
D. 0, ±3
22311x x x
++=--
3. 如果
)
2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是( ) A ．
3
4 B. 3
5 C. 41
D. 2
4（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1
2
12-+
=-+a a x x 的两个解是（ ） A ．a a 2,
B ．1
2,1--a a C ．12,-a a D ． 11
,-+a a a
题型（四）用换元法解分式方程
1.用换元法解分式方程152--x x +5
10102--x x =7时,如果设15
2--x x =y,那么原方程可化为( )
A. y+
710=y B. y+71=y C. 10y+71
=y
D. y+10y 2=7 2.解方程 （1）06)2(5)2(
2=+---x x x x ； （2）解方程x
x x x 325
4322
2+=-+.
题型（五）解分式方程组
1.解方程组：11131129
x y x y ?-=??
???=??
题型（六）增根 1. 若解分式方程
2111
x x m x x x x
+-++=
+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或
D. 12或-
2. 若方程
3
23-=
--x k
x x 会产生增根，试求k 的值
题型（七）求待定常数的值或取值范围
1.关于x 的分式方程1131=-+-x
x m 的解为正数，求m 的取值范围；
2.若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞1
C ．a ≥1且a ≠4
D ．a ＞1且a ≠4
3.若分式方程x
m
x x -=--221无解，求m 的值。
4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果a
b
b a
c b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2
变式1：已知123421+=-=+x x y y x ,则)(3
23
x y -的值是______________.
变式2：已知d c b a 、、、为正整数，且c
d a b c d a b )1(71,74-=
+-=，则a c 的值是_________；b d
的值是___________．
对应练习： 一、选择题
1、关于x 的方程
的解是正数，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞－1
B ．a ＞－1且a ≠0
C ．a ＜－1
D ．a ＜－1且a ≠－2
2．若解分式方程
x
x x x m x x 1
1122+=
++-+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或
D. 12或-
3、已知
,511b
a b a +=+则b a a b +的值是（ ）
A 、5
B 、7
C 、3
D 、3
1
4、若x 取整数，则使分式
1
-2x 3
6x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 5、已知
x
B
x A x x x +-=--1322
，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 二、填空题 1、若分式方程
x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为__________,若已知1
3
2112
-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；
2、
___________,
a +
b +
c ≠0，则k 的值为 . 3、方程
的解是_____________已知关于x 的方程
只有整数解，
则整数a 的值为_____________ 4、已知d c b a 、、、为正整数，且c
d a b c d a b )1(71,74-=
+-=，则a c 的值是_________；b d
的值是___________．
5、设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22
m n mn
-的值为___________,若与互为倒数，则x=__________.
三、解答题
1、解下列分式方程
（1）
x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11
4112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535
2、解下列方程
（1）4441=+++x x x x ； （2）5
69108967+++++=+++++x x x x x x x x
211
x a x +=-121-x )4(31+x
3、若关于x 的分式方程
3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值.
4、若分式方程12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
5、解关于x 的方程)0(≠+=--d c d
c
x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .
6、若分式方程
x
m
x x -=--221无解，求m 的值。
7、若关于x 的方程1
1122+=
-+-x x
x k x x 不会产生增根，求k 的值。
8、若关于x 分式方程
4
3
2212
-=++-x x k x 有增根，求k 的值。
9、若关于x 的方程1
1512
2
1
--=
+-+
-x k x
x k x
x 有增根1=x ，求k 的值。
10、m 为何值时，关于x 的方程
2243
2
x mx x x -+-=
+2会产生增根？当a 为何值时, )
1)(2(21221+-+=+----x x a
x x x x x 的解是负数?
考点二：分式方程的实际应用 题型（一）行程问题 （1）一般行程问题
1．某次列车平均提速20km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400km ，提速后比提速前多行驶100km ，设提速前列车的平均速度为xkm/h ，下列方程正确的是（ ）
A．=B．=
C．=D．=
2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
（2）水流问题
1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
2、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.
题型（二）工程问题
1．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则
根据题意所列方程正确的是（）
A．﹣=2 B．﹣=2
C．﹣=2 D．﹣=2
2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？
题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题
例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人
（3）这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
1.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
（2）若购买的两种球拍数一样，求x
2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
3. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。
4.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
题型四：其他类型
1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，
第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？
2、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格
产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？
3、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，
求甲班的合格率？
4、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求
这两种商品每千克的价值。
5、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？
对应练习：
1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？
2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B 的速度是A 的速度的3倍，求两车的速度。
4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度
5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
6、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短 了2小时，求原来的平均速度
7、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.
8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
9、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的2
1
1倍，求单独浇这块地各需多少时间？
10、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？
11、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.
12、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的2
1
2倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？
13、打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？
14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
15、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
16、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
17、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X 公顷，那么应满足的分式方程是什么？
18、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。
19、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨1/3，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格。
20、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？
21、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。
22、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？
分式及分式方程 教学目标： 1 ?掌握分式概念、性质及运算. 2 ?掌握分式方程的概念、解法、及增根问题. 一、知识回顾 知识点1:分式及分式概念 分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有: 分式方程：分母含 字母的方程叫分式方程. 知识点2:分式性质 易错点1约分，找 公因式，同时约去分子分母的公因式?用的是分式的除法性质 易错点2通分，找 最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质. 知识点3:解分式方程 1 ?思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根. 2 .易淆点 (1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题 增根的概念：是 整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题. ?课前热身 1. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式? 分式： ______________________ ；整式 _____________________ ； 2. 当x ___________ 时，分式 土N 有意义；当x _____________ 时，分式 ：_2无意义. x —3 x 一4 2x — 4 3. 若分式 ------- 的值为0,那么 _______________ . X +1 -1等. x ①x '②:’③為’④写’⑤亡’⑥ 2 x 2x1 x 2 -2x 1 2 ⑦c" a-b ，⑧—，⑨(x-1)， x
2 a 1 = 2a 1 a 1 a 1 ； 2 a -4 a — 2 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ） 2 x c 3 x x-1 c x a b x (x-1)2 彳 A. _3 一 B. --- =3—X C. =— —— D. 1 5 6 7 a a b a b X -1 x - a 3 9. 若关于x 的分式方程 ----- - 一=1有增根，则a= ______________ x -1 x x 5 10. 解下列分式方程： 1 ； 2x —5 5—2x 分式部分 二、例题辨析 的值为正数，则x 的取值范围是（） x A. x >0 B. x >-4 C. x M0 D. x >-4 且 x M0 如果把分式 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ x+y A .不变 B .变大3倍 C .缩小3倍 D .无法确定 (1 )当 x _____________ 时，分式 的值为负 数. 12 —6x 4.填空（1） 3x 2 x 2 2x () x 2 (2) （—）； （x y ） 2 ； (3) a 2 - a b a - b ab ( _______ ) 5.化简: 3a 2b 3 -12ab 2 3a 2 b(m -1) 2 9ab (1 - (3) 2 m - 2m 1 1 -m 2 6.计算: 6a 2y 2 8y 3a 7 a 2 1 _ a —2 a 2 2a
一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝ ；︱－12︱＝ ； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（ ） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2
14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（ ） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 18. （郴州）当x= 时，分式 的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于 ． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为 ． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2
解分式方程练习题中考) 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：．3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1．5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：．7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：．
9．（2011?陕西）解分式方程：． 请问重庆最专业的课外辅导学校-重庆无忧教育的官网和优惠电话是多少?（AB）A、官网http：//https://www.doczj.com/doc/4e8183156.html, B、课程优惠电话：400-028-6086 023-******** 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程：
（2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°； （2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1
27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：．
专题复习：分式 【基础知识回顾】 一、分式的概念 若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式 提醒：①：若则分式A B无意义 ②：若分式A B=0，则应且 二、分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ? ?= a m b m ÷ ÷= （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。 约分的关键是确保分式的分子和分母中的，约分的结果必须是分式。 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的 提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分。 ③约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项。 三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a? d c= ②分式的除法：b a÷ d c= = 2、分式的加减 ①用分母分式相加减：b a± c a=
②异分母分式相加减：b a± d c= = 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a) m = 四、分式方程的概念 分母中含有的方程叫做分式方程 【提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即 分式方程整式方程 2、解分式方程的一般步骤：①、②、③、 3、增根： 在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。 【提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分 母后的整式方程无解。如： 1 3 1 = - - -x x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。 三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】
代数方程2---分式方程 无理方程 板块一、分式方程 1、用“去分母”的方法解分式方程 例题1. 解分式方程 12244212=-+-++x x x x 例题2、解分式方程 2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632 x x x --+ 限时训练： 1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x （4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4 2、分式226232 x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1 214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14 1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21 32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________ 压轴题： 1、已知方程 24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。 2、已知关于x 的分式方程 () 02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。
2、用“换元法”解分式方程： 例1、解分式方程 012 1863222=+-+-+-x x x x 例2：解下列分式方程： 2 122112122=+++-+x x x x 限时训练： 1、 分式方程0101712=+?? ? ??--??? ??-x x x x ，若设y x x =??? ??-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________ 2、 在分式方程41 331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________ 3、 解分式方程12 222422=+-+ -x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。 4、 解分式方程组???????=++=-+871033y y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________， 原方程组可化为整式方程组_________________ 压轴题： 1、已知：622122=+++ x x x x ，求x x 1+的值 2、解方程：22 356635620x x x x -+- +=
分式的典型练习题 1、若分式4 242--x x 的值为零，则x 等于 。若分式961|2|2+---x x x 的值为0，则x = 。 2、若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ；分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足 。 3、分式方程3-x x +1=3-x m 有增根，则m= ； 4、若关于x 的分式方程3232 -=--x m x x 无解，则m 的值为 。 5、已知a=25,25-=+b ,求2++b a a b 得值为_________。 6、若将分式a+b ab (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的12 C ．不变 D ．缩小为原来的14 7、把分式0.122 0.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.122 0.30.25x x -+= ． 8、不改变分式的值，使231 72x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数， 应该是（ ） A. 231 72x x x ++- B. 231 72x x x --- C. 23172x x x +-+ D. 231 72x x x --+ 9、若分式212()() x x x +--的值为0，则x 的取值范围为 （ ） (A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠ 10、▲不论x 取何值，分式m x x +-21 2总有意义，求m 的取值范围。 11、（1）已知0132=+-x x ，求① 221x x +的值。 ② 求441 x x +的值 （2）已知31 =+x x ，求1242 ++x x x 的值。 12、▲若112323,2x xy y x y x xy y +--=--则分式=___ 13、已知21)2)(1(43-+-=---x B x A x x x 是恒等式，求A 和B 的值。
分式单元复习 （一）、分式定义及有关题型 一、分式的概念： 例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π x 2、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥13 94y x + ⑦πy +5 3、下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 例:当x 时，分式 22+-x x 有意义；当x 时，2 2 -x 有意义。 练习：1、当x 时，分式6 53 2+--x x x 无意义。 2．使分式 ||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 3、分式 5 5+x x ，当______x 时有意义。 4、当a 时，分式3 21 +-a a 有意义． 5、当x 时，分式2 2 +-x x 有意义。 6、当x 时， 2 2-x 有意义。 7、当x 时，分式 43 5 x x +-的值为1； 8．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231 x x + D ．2221 x x + 9当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. 23x + B.212x - C.1 x D. 211x + 三、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零 例1：若分式2 4 2+-x x 的值为0，那么x 。 例2 . 要使分式 9 632 +--x x x 的值为0，只须（ ）. （A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对 练习：1、当x 时，分式 6 ) 2)(2(2 ---+x x x x 的值为零。 2、若分式2 4 2+-x x 的值为0，那么x 。 3、如果分式 2 ||5 5x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ） 4.分式1 21 22++-a a a 有意义的条件是 ，分式的值等于零的条件是 。 5.已知当2x =-时，分式 a x b x -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（ ） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2 6.使分式x 312 --的值为正的条件是 7.若分式 9 32 2-+a a 的值为正数，求a 的取值范围 8、当x 时，分式x x --23的值为负数． 9、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是 （二）分式的基本性质及有关题型 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 1.填空： aby a xy = ； z y z y z y x +=++2) (3)(6;
三人行教育陈老师教案——分式方程典型例题 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 11 4 112=---+x x x 专练一、解分式方程 （1）14-x ＝1； （2）3 5 13+=+x x ； （3） 30120021200=--x x （4）255 522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 222746 1x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程x x x --=+-34 731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程3 1 3292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 专练习二： 1.若方程 33 23-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?
题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值. 思考:已知关于x 的方程 m x m x =-+3 无解,求m 的值. 题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制. 例5、.若关于x 的方程 81=+x ax 的解为41 =x ,则a = 例6、.关于x 的方程 12 -=-+x m x 的解大于零, 求m 的取值范围. 注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正???>去掉增根正的解0x ;②若解为负? ??<去掉增根负的解0 x 解： 专练三： 1.若分式方程 5 2 )1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 3.已知关于x 的方程3 23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 4.若方程k x x +=+233有负数根,求k 的取值范围. .
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是
2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是．
4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进
价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（）
分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+-
分式与分式方程题型 一、单选题 1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列各式中计算正确的是（ ） .A 31273-??= ??? .B 236a a a ?= .C ()23639a a --= .D 538 a a a += 3、分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412() a a b -,④12x -中,最简分式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 5、 |1x －|3x －的值为负值，则x 取值为（ ） A 、x<1 B 、x<3 且x ≠1 C 、x<3 D 、 x=3 6．若把分式xy y x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ C ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 7、若方程342(2) a x x x x =+--有增根，则增根可能为（ ） A ：0 B ：2 C ：0或2 D ：1 8、不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523 x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+ 9、已知4 32c b a ==，则c b a +的值是（ ）A ．54 B. 47 C.1 D.45 10、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -=+306030100 B ．306030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．30 6030100+=-x x 11．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ） A ． 1%206060++=x x B. 1% 206060-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）（x x 二、填空题 1、用科学计数法表示下列各数：0．000 04=________ －0.0000000102= ； 2、当x ________时，分式x x 2121-+有意义． 3、当x ________时，分式2 21-+x x 无意义 4、当x _________时，分式1 12+-x x 的值为零 5、当x 时，分式21x x -的值为正数；
分式方程应用题分类解析 分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题． 一、营销类应用性问题 例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？ 分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为 二、工程类应用性问题 例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2 ，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ④列表为 ⑤列方程为 三、行程中的应用性问题 例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为 四、轮船顺逆水应用问题 例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。 分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即 顺水航行速度千米30=逆水航行速度 千米 20．设船在静水中的速度为x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速 度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为
分式和分式方程 专题复习讲义 中考考点知识梳理： 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 （1） ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （2）);()(为整数n b a b a n n n = （3） ;c b a c b c a ±=± （4） bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程
的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 考点典例 一、分式的值 【例1】当x= 时，分式 x－2 2x＋5的值为0． 【答案】2. 【解析】 试题分析：∵x－2 2x＋5 的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式. 【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】 1.使分式 1 1 x- 有意义的x的取值范围是（） A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A． 考点：分式有意义的条件． 2.若分式 21 1 x x - + 的值为0，则x＝ 【答案】1 【解析】 试题分析：根据题意可知这是分式方程， 21 1 x x - + ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，
分式知识点和典型习题 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 2、下列分式中，最简分式有（ ） 32222 2222222 212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，() 14 32 +x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4+-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2+-x x 为非负数. （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 13132 21+- （2） b a b a +-04.003.02.0 （3）b a b a 10 141534.0-+ 题型二：分数的系数变号 2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
分式练习 题型一、分式化简 1. m n m n m n m n n m ---+-+22 2.112---a a a 3. )1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a 4.a b ab b b a a ----222； 5. 2 121111x x x ++++-； 6.1112421222-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .
7.2322123)5()3(z xy z y x ---? 题型二、解分式方程 （1） x x 311=-； 231+=x x （2） 0132=--x x （3） 11 4112=---+x x x （4） x x x x -+=++4535 （5）1713 7 22 22--+=--+x x x x x x
（6） 22 322=--+x x x 012112=---x x （7） 3 423-=--x x x 题型三、求正解负解无解 1. 当k 为何值时，关于x 的方程 1) 2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数. 2. 若分式方程 122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 变式 1.若关于x 的分式方程 的解为正数，那么字母a 的取值范围是 ．
变式2．已知关于 3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 4．若1044m x x x --=--无解，则m 的值是 （ ） A. —2 B. 2 C. 3 D. —3 5．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 求待定参数 的取值范围。的解是正数，求的方程 m x m x x x 323-=--
分式方程及其应用（讲义） 课前预习 1.请回顾相关知识，填空： 2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息． 梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型． 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否_________________． 知识点睛
1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程． 2. 解分式方程： 根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________． 精讲精练 1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ① 315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152 x x +=+； ⑤11 x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程： （1）2115225 x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1) x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---； （5） 2236111 x x x +=+--；
a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
行程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方 程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 水流问题 1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度 2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 其他问题 1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？ 2、一个正多边形的每个内角都是172度，求它的边数N应满足的分式方程。 3、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？ 4、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？ 工程问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工 作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。 1、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？ 2、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？ 3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？ 4、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。 5、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 耕地问题 1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。 2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。