分式方程及其应用
一、基本概念
1．分式方程 :分母中含有 的方程叫分式方程 .
2．解分式方程的一般步骤： （ 1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（ 2）解这个整式方程； （ 3）验根，把整式方程的根代入
，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，
必须舍去 .
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数， 并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
② 解所得到的关于辅助未知
数的新方程，求出辅助未知数的值；③
把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答 .
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （ 1）检验所求的解是否是所列
；（ 2）检验所求的解是否
.
二、题型分类 考点一：分式方程
题型（一）分式方程去分母
1、解分式方程
2 +
x + 2
= 3时，去分母后变形为（ ）。
x - 1 1 - x
A ．2 x 2 3 x 1
B ．2 x 2 3 x 1
C ．2 x 2 3 1 x
D ．2 x 2 3 x 1
2、下列方程是分式方程的是（
）
． x
2
2 x
3 0
．
x
x 1 ． 1
． x 2
A
B C
x
D
1
3
x
题型（二）解分式方程
用常规方法解下列分式方程
2x ；（2） x5
2 x 1
1
；
：（）
；（ ）
1
1
1
3
x x 3
2x 5 5 2x
x 3 2 x 3
题型（三）分式方程的解
1. 已知方程 ax
2 的解与方程 6 =
3 的解相同，则 a 等于（ ）
a 1
x 1
x
1
A ． 3
B ．－ 3
C. 2 D ．－ 2
2.方程
6x 2 2x 2
6x 4
2 3x
2
3x -5=0 的解是 ()
x 1
A. 无解
B.0,3
C. -3
D.0, ±3
A B 2x 3 那么 A-B 的值是 ()
3. 如果
x 2
( x 1)( x 2)
x 1
A ．
4
B. 5
C. 1
D. 2
3
3
4
2 c
2 x 1
c, x 2
2 2 a 2
4（ C ）关于 x 的方程 x
的两个解是 c ，则关于 x 的方程 x
的两个
x
c
x 1
a
1
解是（
）
A ． a,
2
B ． a 1,
2
C ． a,
2
D ． a,
a 1
a
a 1
a 1
a 1
题型（四）用换元法解分式方程
x 2 5 10 x 10
x 2 5 1.用换元法解分式方程
1 +
2
5
=7 时 ,如果设
=y,那么原方程可化为 ()
x
x
x
1
A. y+
10 B. y+
1 C. 10y+
1 D. y+10y 2=7
7
7
7
y
y
y
2.解方程
（1） (
x ) 2
5( x )60
；
（ 2）解方程 2x 2 3x 4
2 5 .
x 2
x
2
2x
3x
题型（五）解分式方程组
1 1 1
x y 3 1.解方程组：
1 2 1 x y 9
题型（六）增根
1. 若解分式方程 2 x
m 1 x 1
产生增根，则
m 的值是（
）
x 1
x x
x
A.1或
2 B. 1或
2
C.
或
2 D.1或 2
1
2. x 2
k 会产生增根，试求 k 的值
若方程
x 3
x 3
题型（七）求待定常数的值或取值范围
m 3
的解为正数，求m 的取值范围；
1.关于x的分式方程 1
x 1 1 x
2.若关于 x 的分式方程的解为非负数，则 a 的取值范围是（）
A． a≥1B．a＞ 1C． a≥1 且 a≠4D． a＞ 1 且 a≠4
x 1 m
无解，求 m 的值。
3.若分式方程
x
2 2 x
4.设a、b、c是三个互不相同的正数，如果
a c c b
，那么（）．
b a b a
A．3b 2c B．3a 2b C．2b c D．2a b
变式 1：已知 1 4 3 , 则23 (
y )
x 2 y y x 2x 1 3 x 的值是______________.
变式2：已知a、b、c、d为正整数，且b
4d 7 , b 1 7(d 1) ，则
c
的值是 _________；
d
的值是a c a c a b
___________．
对应练习：
一、选择题
1、关于 x 的方程2 x a
1 的解是正数，则 a 的取值范围是（）x 1
A ． a＞－ 1 B． a＞－ 1 且 a≠ 0 C． a＜－ 1 D． a＜－ 1 且 a≠－ 2
2．若解分式方程2x m 1 x 1
产生增根，则 m 的值是（）
x 1 x 2 x x
A. 1或 2
B. 1或
2 C. 1或2 D.1或2
3、已知1 1 5 b a
）a b a b
, 则的值是（
a b
A 、 5
B 、 7 C、 3 D 、1 3
4、若 x 取整数，则使分式6x 3
的值为整数的x 值有 ()
2x - 1
A 3 个B4 个 C 6 个 D 8 个
5、已知2x 3 A B
，其中 A、 B 为常数，那么 A ＋ B 的值为（）
x 2 x x 1 x
A、－2 B 、 2 C、－ 4 D 、4
二、填空题
1、若分式方程4x 5 m
无解，那么 m 的值应为__________,若已知AB 2x
3
（其中 A、
x 2 2 x x 1 x 1 x2 1 B 为常数），则A=__________ ， B=__________ ；
1 1 3 ，则分式
2 x
3 xy 2 y
的值等于 ___________,若k
a 2
b b 2
c c 2 a
2、已知x y x 2 xy y c a
，且b
a+b+c≠0，则 k 的值为.
3、方程的解是 _____________ 已知关于 x 的方程只有整数解，则整数 a 的值为 _____________
4 、已知a、b、c、d为正整数，且b
4d 7 , b 1 7(d 1) ，则
c
的值是 _________ ；
d
的值是a c a c a b
___________．
2 2
1 与1
( x
5、设 m＞ n＞ 0，m2＋ n2＝ 4mn，则m
n 的值为 ___________,若
1
4) 互为倒数，则x=__________. mn 2x 3
三、解答题
1、解下列分式方程
（1）1 3
；（2） 2 1 0 ；（3）
x 1
4 1 ；（ 4）
5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x2 1 x 3 4 x
2、解下列方程
（ 1）x 4 x 4 4 ；（2）x
7 x 9 x 10 x 6
x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5
3、若关于x的分式方程 2 1 m
有增根，求 m 的值.
4、若分式方程2x a
的解是正数，求 a 的取值范围.
x
1
2
x a c
提示：（ 1） a,b,c, d 是已知数；（2） c d 0 .
5、解关于x的方程
x (c d 0)
b d
6、若分式方程x 1 m 无解，求 m 的值。
x 2 2 x
7、若关于x的方程x k 2
1 x 不会产生增根，求k 的值。
x 1 x 2 x 1
8、若关于x分式方程 1 k
x2 3 有增根，求 k 的值。
x 2 x 2 4
9、若关于x的方程 1 k 5 k 1
有增根 x 1 ，求 k 的值。
x1 x x2 x x2 1
10 、 m 为何值时，关于 x
2 mx 3
会产生增根？当 a 为何值时, 的方程
x 4 x 2
x 2
x 1 x 2 2x a
的解是负数 ? x 2 x 1 (x 2)( x 1)
考点二：分式方程的实际应用
题型（一）行程问题
（ 1）一般行程问题
1．某次列车平均提速 20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多
行驶 100km ，设提速前列车的平均速度为 xkm/h ，下列方程正确的是（）
A．=B．=
C．=D．=
2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600Km的普通公路，另一条是全长 480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地
所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
（2）水流问题
1、轮船顺水航行80 千米所需要的时间和逆水航行60 千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3 千米 / 时，求轮船在静水中的速度。
2、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5 小时，再由乙地返航至距甲地尚差 2 千米处，已用了 3 小时，若水流速度每小时 2 千米，求船在静水中的速度.
题型（二）工程问题
1．施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工 x 米，则
根据题意所列方程正确的是（）
A．﹣=2B．﹣=2
C．﹣=2D．﹣=2
2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，
实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
3、某车间加工1200 个零件，采用新工艺，工效是原来的 1.5 倍，这样加工同样多的零件就少用10 小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？
题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题
例 1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按批发价付款，
购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用120 元，如果购买60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要120 元，
（ 1）这个八年级的学生总数在什么范围内？
（ 2）若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人
（ 3）这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
1.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓
球拍贵 20 元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000 元要多，多出的部分能购买25 副乒乓球拍．（1）若每副乒乓球拍的价格为 x 元，请你用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
（2）若购买的两种球拍数一样，求x
2. 某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨，已知现在采煤33000 吨煤所需的时间和原计划采23100 吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
3.某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用 p 表示 d。
4.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按批发价付款，
购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用120 元，如果购买60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要120 元，
（ 2）若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
题型四：其他类型
1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元，
第二次捐款为5000 元，第二次捐款人数比第一次多20 人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数 X 人，那么 X 应满足怎样的方程？
2、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48 件合格产品，乙厂有45 件合格
产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？
3、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48 人合格，乙班有 45 人合格，甲班的合格率比乙班高5%，
求甲班的合格率？
4、重量相同的两种商品，分别价值900 元和 1500 元 ,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300 元 ,分别求
这两种商品每千克的价值。
5、某甲有 25 元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？
对应练习：
1、走完全长3000 米的道路，如果速度增加25%，可提前30 分到达，那么速度应达到多少？
2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲
地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是 15 千米， A 骑自行车从甲地到乙地先走， 40 分钟后， B 骑自行车从甲地出发，结果同时
到达。已知 B 的速度是 A 的速度的 3 倍，求两车的速度。
4、假日工人到离厂25 千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发 1 小时 20 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的 3 倍，求汽车和自行车速度
5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24 千米，我部队离桥头30 千米，我部队急行军速度是敌人
的 1.5 倍，结果比敌人提前48 分钟到达，求我部队的速度。
6、甲乙两地相距 360 千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短了 2 小时，求原来的平均速度
7、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5 小时，再由乙地返航至距甲地尚差 2 千米处，已用了 3 小时，若水流速度每小时 2 千米，求船在静水中的速度.
8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大 4，用个位上的数去除这个两位数商是 3，求这个两位数 .
9、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇 2 小时后，由小抽水机继续工作 1 小时完成 .已知小抽水机独浇这
块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的
1 1
倍，求单独浇这块地各需多少时间？
2
10、某水泵厂在一定天数内生产 4000 台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产
25% ，可提前 10 天完成
任务，问原计划日产多少台？
11、现要装配 30 台机器，在装配好 6 台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了 3 天
完成任务。求原来每天装配的机器数
.
1
12、某车间需加工 1500 个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的
2 倍，所以加工完比原计划少用
9 小
2
时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？
13、打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打 2000 字所用时间比乙打 1800 字的时间少 5 分钟，求甲乙二人每分钟各
打多少字？
14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和 15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
15、某农场原有水田 400 公顷，旱田 150 公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，
要求旱田占水田的 10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
16、某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨，已知现在采煤33000 吨煤所需的时间和原计划采23100 吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
17、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000 公顷，退耕还林与退
耕还草的面积比是5： 3，设退耕还林的面积是X 公顷，那么应满足的分式方程是什么？
18、甲种原料和乙种原料的单价比是2： 3，将价值2000 元的甲种原料有价值1000 元的乙混合后，单价为9 元，求甲的单价。
19、某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方水费上涨1/3，小利家去年12 月的水费是15 元，而今年 7 月份的水费则是30 元，已知小利家今年7 月的用水量比去年12 月份的用水量多 5 立方米，求该市今年居民的用水的价格。
20、小明和同学一起去书店买书，他们先用15 元买了一种科普书，又用15 元买了一种文学书，科普书的价
格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？
21、某种商品价格，每千克上涨 1/3，上回用了 15 元，而这次则是 30 元，已知这次比上回多买 5 千克，求这次的价格。
22、小明和同学一起去书店买书，他们先用15 元买了一种科普书，又用15 元买了一种文学书，科普书的价
格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？