新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案
一、选择题
1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3
tan 4
B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则
AE
AD
的值（ ）
A ．
35
B ．
34
C ．
45
D ．
67
【答案】D 【解析】 【分析】
根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝
3
7
AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝
12AB ，进而可求得AE AD
的值． 【详解】
解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝
12AC·h ，S △BCE ＝12
BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝
12AC·h ：1
2
BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ，
∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4
B =， ∴A
C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝
3
7
AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝
1
2
AB ，
∴
3
6
717
2
AB
AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键．
2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）
A ．1000sin α米
B ．1000tan α米
C ．
1000
tan α
米 D ．
1000
sin α
米 【答案】C 【解析】 【分析】
在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC
AB
α=，即可解决问题． 【详解】
解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC
AB
α=， ∴1000
tan tan AC AB αα
=
=米． 故选：C ． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )
A 83
B 43
C ．8
D ．83【答案】A 【解析】 【分析】
根据折叠性质可得BE=
1
2
AB ，A′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，可得∠EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA ′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt △ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出BM 的长即可. 【详解】
∵对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，AB=4， ∴BE=
1
2
AB=2，∠BEF=90°， ∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A’处，并使折痕经过点B ， ∴A ′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′， ∴∠EA ′B=30°， ∴∠EBA ′=60°， ∴∠ABM=30°，
∴在Rt △ABM 中，AB=BM ?cos ∠ABM ，即4=BM ?cos30°， 解得：83
， 故选A. 【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40?，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，
CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64?≈，cos400.77?≈，tan 400.84?≈）
A ．78.6米
B ．78.7米
C ．78.8米
D ．78.9米
【答案】C 【解析】 【分析】
如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度 【详解】
如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G
∵BC 的坡度为1:0.75
∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm ∵BC=140m
∴在Rt △BCF 中，()2
220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m
∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m ，CE=FG=36m ∴DG=167m ，BG=120m 设AB=ym ∵∠DAB=40° ∴tan40°=
167
0.84120
DG AG y ==+ 解得：y=78.8 故选：C 【点睛】
本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．(31)π+
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积． 【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长3
2sin 60=
=?
．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2， ∴底面周长为2π
∴侧面积为
1
2222
ππ??=，∵底面积为2r ππ=， ∴全面积是3π． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）
A ．
1113
B ．
1315
C ．
1517
D ．
1719
【答案】C 【解析】 【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP= OF 可得出△OEF ≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值． 【详解】
解：∵矩形纸片ABCD ，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处， 根据折叠性质，可得：△DCP ≌△DEP ， ∴.DC=DE=4， CP= EP ， 在△OEF 和△OBP 中
90 EOF BOP B E OP OF ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△OEF ≌△OBP(AAS) ∴ОE=OB ， EF= ВР.
设EF=x,则BP=x ，DF= DE-EF=4-X ，
又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x, ∴AF=AB-BF=1+x.
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2 解得: x=
3
5
∴DF=4-x=
175
∴cos ∠ADF=15
17
AD DF = 故选: C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点
E ，连接AC 交DE 于点
F .若3
sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D 【解析】 【分析】
连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =． 【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=?， AD CD =Q ， DAC DCA ∴∠=∠， 而DCA ABD ∠=∠， DAC ABD ∴∠=∠， DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=?， 而90ADE BDE ∠+∠=?， ABD ADE ∴∠=∠， ADE DAC ∴∠=∠， 5FD FA ∴==，
在Rt AEF ?中，3
sin 5
EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=，
22534AE ∴-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠， ADE DBE ∴??∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =， 16BE ∴=，
41620
AB
∴=+=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝3BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．
【详解】
解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝3
∵AG分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GM
AG
，cos∠GAM＝
AM
AG
，
∴GM＝AG?sin30°3AM＝AG?cos30°＝3，同理可得HT3CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB＝23，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝3，
∴GN＝HT，
又∵GN∥HT，
∴四边形GHTN是平行四边形，
∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC
∠=（）
A．3
B．
3
6
C．
3
D．
3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC
tan ABC
BE
∠=得出答案．
【详解】
解:连接DC，交AB于点E．
由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=
x
=3x tan 30?
, ∴BF AF 2EF 23x ===
EC 3
tan ABC BE 23x 3x 33=
===
+∠, 故选:A 【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．
10．如图所示，Rt AOB ?中，90AOB ∠=? ，顶点,A B 分别在反比例函数()1
0y x x
=>与()5
0y x x
=-
<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）
A 5
B 5
C 25
D 10
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到S △BDO =52
，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=
5OB
OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】
解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()1
0y x x =
>与()50y x x
=-<的图象上，
∴S△BDO=5
2
，S△AOC=
1
2
，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴
251
5
22
BOD
OAC
S OB
S OA
??
==÷=
?
??
△
△
，
∴5
OB
OA
=，
∴tan∠BAO=5
OB
OA
=.
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
11．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）
A．（
16
3
，2）B．（
16
3
，1）C．（
8
3
，2）D．（
8
3
，1）
【答案】A
【解析】
【分析】
延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝
CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．
【详解】
解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，
∵CD∥x轴，
∴DF⊥OB，
∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，
∴FC＝CG＝CE，
∴DH＝CG＝CF，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴tan∠OAB＝DH
AH
＝
OB
OA
＝
3
4
，
∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，
∵CD∥OA，
∴∠DCA＝∠CAG，
∵∠DAC＝∠GAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，
∴x＝2
3
，
∴DH＝2，OH＝16
3
，
∴D（16
3
，2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．
12．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2
x
的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象
于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．
7
2
C ．8
D ．7
【答案】C 【解析】 【详解】
解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ， 由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2
x
的图象上， ∴﹣as inα=﹣
2
acos α
，得a 2sinαcosα=2， 又∵点C 在反比例函数y=k
x
的图象上， ∴2acos α=k
2asin α
，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C. 【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.
13．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ?与
ADM ?关于AM 所在直线对称，将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）
A 17
1365B 6
1365
C 7
1525
D ．
617
【答案】A 【解析】 【分析】
过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明
AEH EMG V :V ，则有
1
3
EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求
,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用
cos FN
EFC EF
∠=
即可求解． 【详解】
过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则
90AHG MGE ∠=∠=?，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? ， ∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．
由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====，
90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? ， AEH EMG ∴∠=∠， AEH EMG ∴V :V ，
1
3
EH AE MG EM ∴
== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+ 在Rt AEH V 中，
222AH EH AE +=Q ，
222(1)(3)3x x ∴++= ，
解得4
5
x =
或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==
，65
CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q
17
5
FN BF BN ∴=+=
． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF
EN FN =+=，
17
cos 1365
FN EFC EF ∴∠=
=． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．
14．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ?中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ?=（ ）
A ．
12
B ．2
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】 解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∵∠A=2∠B ，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°， ∴在Rt △ABC 中，BC=sin AC
B
∠=2AC ， ∴sin ∠B ?sadA=1AC BC BC AC
=g , 故选：C ． 【点睛】
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －
12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝1
2
x 刻画，下列结论错误的是( )
A ．斜坡的坡度为1: 2
B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势
C ．小球落地点距O 点水平距离为7米
D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m 【答案】D 【解析】 【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ． 【详解】
解：214212
y x x y x ?=-+????=??，
解得，1100x y =??=?，2
2772
x y =???=??， 7
2
∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；
21
42
y x x =-
21
(4)82
x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，
∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正
确，
当7.5y =时，2
17.542
x x =-，
整理得28150x x -+=， 解得，13x =，25x =，
∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题
意； 故选：D 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
16．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A ．cot cot m αβ-千米
B ．cot cot m βα-千米
C ．tan tan m αβ
-千米 D ．tan tan m
βα-千
米 【答案】A 【解析】 【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答. 【详解】
在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m
αβ
-. 所以答案选A.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=
4
3
，⑤S △DOC =S 四边形EOFB
中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】
分析：由正方形ABCD 的边长为4，AE =BF =1，利用SAS 易证得△EBC ≌△FCD ，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC =90°正确，③CE =D F 正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD =∠DFC ，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．
详解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴BC =CD =4，∠B =∠DCF =90°． ∵AE =BF =1，∴BE =CF =4﹣1=3．
在△EBC和△FCD中，
BC CD
B DCF
BE CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；
连接DE，如图所示，若OC=OE．
∵DF⊥EC，∴CD=DE．
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠
DFC=
DC
FC
=
4
3
，故④正确；
∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=
S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤
正确；
故正确的有：①③④⑤．
故选D．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
18．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）
A．2 B3C2D．1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°， ∵PA 是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan ∠AOC =
PA OA
, ∴PA= tan60°×1=3. 故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
19．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．
A ．3
B ．3
C ．3
D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵∠MAB=45°，BM=102，
∴22BM MA +22(102)(102)+， 过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，
在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，
锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 4 3，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323 C ．10 D ．12 2、已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（ ） A ．30°B ．45° C ．60° D ．75° 4、化简2)130(tan - ＝（ ）。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足02 2=--b ab a ，则tanA 等于（ ） A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是（ ）A ．1 4 B ． 13 C ．1 2 D ．2 (1) (2) (3) 7、如图2所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P?是AB?延长线上一点，?BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ） A ． 32 B ．23 C ．2 D ．1 2 8、如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A ．（30+20）m 和36tan30°m B ．（36sin30°+20）m 和36cos30°m C ．36sin80°m 和36cos30°m D ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向 走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中，若│sinA-1│+（3 -cosB ）=0，则∠C=_______
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B ．53 C ．255 D ．52 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，23），求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 1． 已知cosA=2 3，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
第四章《锐角三角函数》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是 （） A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1 2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（） A．B．C．D． 3．已知sinα?cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（） A．B．﹣C．D．± 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（） A．B．C．D． 6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（） A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA 8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（） A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90° 9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（） A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
10．下面四个数中，最大的是（ ） A ． B ．sin88° C ．tan46° D ． 二．填空题（共8小题） 11．用“＞”或“＜”号填空： 0． 12．已知∠A 为锐角，且，那么∠A 的范围是 ． 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ． 14．如上图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值 是 ． 15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B 到A 行走了26米时，小杰实际上升高度 AC= 米．（可以用根号表示） 16．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值 是 ． 17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，∠CBD=40°，则点B 到CD 的距离为 cm （参考数据 sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm ，可用科学计算器）． 18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A 看地面上的一点B ，俯角 为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ，那么楼的高度AC 为 m （结果保留根号）． 三．解答题（共8小题） 19．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ， 求证：=． 第16题 第17题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3 tan 4 B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则 AE AD 的值（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3 7 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝ 12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：1 2 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4 B =， ∴A C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝ 3 7 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝ 1 2 AB ，
∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ． 1000 tan α 米 D ． 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000 tan tan AC AB αα = =米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q
4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．
例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
广州市初中数学锐角三角函数的解析 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( ) A ．4 B ．83 C ．6 D ．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ， 由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ， ∴∠OAB =60°， 在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43， ∴光盘的直径为83． 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ） A 5 B ．35 C 2 D ．23 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》测试题 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1、等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的正弦值为（ ）。 A 、 185 B 、165 C 、1513 D 、13 12 2、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 也扩大3倍 B 缩小为原来的 3 1 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 （ ） A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα) 4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5 3，则BC 的长是 （ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 5、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A 20° B 30° C 40° D 50° 6、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 7、在△ABC 中，∠C=90°，则下列关系成立的是（ ） A. AC=ABsinA B. BC=ACsinB C. AC=ABsinB D. AC=BCtanA 8、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.() 3214+米 9、已知sin α= 2 3，且α为锐角，则α=（ ）。 A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10、如果∠A 是等边三角形的一个内角，那么cosA 的值等于（ ）。 A 、2 1 B 、 2 2 C 、 2 3 D 、1 二、填空题：（30分） 11、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ .，sinB ＝ ，tanB ＝ . 12、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 13、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ . 14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ . 15、如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察 到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． 16、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 18、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 19、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA= 3 ，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为 . x O A y B