整数规划及Lingo 求解
一、 概论
1.1 整数规划的定义
在工程设计和企业管理中，常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。安排生产时，投入的人力与机器数量必须是整数，生产的 某些产品（如汽车、机床、船舶等）的数量也是整数。整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。如果在线性规划的基础上，把规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，就称之为线性整数规划。大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。
在许多情况下，我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量；但在某些情况下，规划问题的决策变量却被要求一定是整数。例如，完成某项工作所需要的人数或设备台数，进入市场销售的商品件数，以及某一机械设备维修的次数等。当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。但是应用软件就方便多了，本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。
1.2 整数规划的分类
在线性规划的基础上，要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题；如果仅仅是要求一部分变量取整，则称为混合整数规划问题。全部或部分决策变量只能取0，1值的规划问题称为10-规划问题。
1.3 整数规划的一般模型
目标函数
约束条件
决策集 x 为整数
如果用集合表示上面的式子
目标函数： Cx =max(min)
约束条件为： b Ax =
例 1.1 飞船装载问题
设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值；0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。飞船总载荷不得超过数b 。设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。
建模 记j x 为第j 类仪器的装载数。
目标函数 ∑=j j x c m a x
约束条件 ∑≤b x a j j
决策集 j x 为正整数
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s
2211222221
2111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)
二、 算法简介及应用举例
2.1 解整数规划的一般算法
通常解整数规划有三种方法，下面只介绍算法思想不具体讲解，在限制条件少的情况下分支定界法最为常用。因为Lingo 软件可以很好的解决这一类问题，所以给出Lingo 的程序以便求解更复杂的问题。
图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。
用分枝定界法：反复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题, 且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.
枚举法：列出所有可行解逐一比较求出最优解。
2.2例题分析
例 2.1 背包问题
一个旅行者的背包最多只能装 6kg 物品，现有4 件物品的重量和价值分别为 2 kg ，3 kg ，3 kg ，4 kg ；1 元，1.2元，0.9元，1.1元。问应怎样携带那些物品使得携带物品的价值最大?
建模：记j x 为旅行者携带第j 件物品的件数, 取值只能为 0 或 1。 求目标函数43211.19.02.1x x x x f +++=在约束条件643324321≤+++x x x x 下的最大值.
用Lingo 软件求解0-1规划
Model:
Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;
2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
End
计算结果
图1 结果解释
变量名 取值
例 2.2 某公司要在市东、西、南三区建立分公司。拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。规定
在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；
在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；
在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
如选用i A 点，设备投资估计为i b 元，每年可获利润估计为i c 元，但投资总额不能超过B 元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？
解题时先引入10-变量)7,,2,1( =i x i
令
⎩
⎨⎧=.,0,1点没被选中当点被选中当，i A i A i x 7,,2,1 =i . 于是问题可列写成：
i i i x c z ∑==7
1Max
s.t. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≥+≤++≤∑=10,
1127654
3217
1或i i i i x x x x x x x x B
x b
例 2.3 求目标函数2123x x f +=在约束条件: 143221≤+x x , 9221≤+x x , 1x ,2x 为自然数下的最大值。
用Lingo 软件求解整数规划
model:
max =3*x1+2*x2;
2*x1+3*x2<=14;
2*x1+x2<=9;
@gin(x1);
@gin(x2);
End
计算结果为：最大值14，x1=4，x2=1。
例2.4 钢材截短问题
有一批钢材, 每根长7.3米. 现需做100套短钢材. 每套包括长2.9米, 2.1米,1.5米的各一根. 至少用掉多少根钢材才能满足需要, 并使得用料最省. 分析： 可能的截法和余料
第1种 7.3-(2.9×2+1.5)=0
第2种 7.3-(2.9+2.1×2)=0.2
第3种 7.3-(2.9+1.5×2)=1.4
第4种 7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8
第5种 7.3-(2.1×2+1.5×2)=0.1
第6种 7.3-(2.1×3)=1
第7种 7.3-(2.1+1.5×3)=0.7
第8种 7.3-(1.5×4)=1.3
模型：设决策变量按第i 种方法截i x 根钢材。
求目标函数的最小值
87654323.17.01.08.04.12.0x x x x x x x f ++++++=
约束条件
10024321=+++x x x x
10032276542=++++x x x x x
1004322875431=+++++x x x x x x
0≥i x ，i =1,…,8
编程：
model :
min =0.2*x2+1.4*x3+0.8*x4+0.1*x5+x6+0.7*x7+1.3*x8;
2*x1+x2+x3+x4=100;
2*x2+x4+2*x5+3*x6+x7=100;
x1+2*x3+x4+2*x5+3*x7+4*x8=100;
@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3);@gin (x4);
@gin (x5);@gin (x6);@gin (x7);@gin (x8);
end
解得i x =(40, 20, 0, 0, 30, 0, 0, 0) , )(i x f = 7
三、集合在整数规划中的应用
例3.1 SAILCO 公司需要决定下四个季度帆船的生产量。下四个季度帆船的需求量分别是40条，60条，75条，25条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，每条船的生产费用为400美元。如果加班生产，每条船的生产费用为450美元。每个季度末，每条船的库存费用为20美元。假定生产提前期为0，初始库存为10条船，如何安排生产可使总费用最小？
我们用DEM ，RP ，OP ，INV 分别表示需求量、正常生产量、加班生产量、库存量，则DEM ，RP ，OP ，INV 对每个季度都应该有一个对应的值，也就是说他们都应该是一个由4个元素组成的数组，其中DEM 是已知的，而RP ，OP ，INV 是未知的。现在我们可以写出这个问题的模型。首先，目标函数是所有费用的和：
Min
{}∑=++4,3,2,1)(20)(450)(400I I INV I OP I RP （1）
约束条件主要有两个：
（1） 能力限制
RP （I ）≤40，I=1，2，3，4； （2）
（2） 产品数量的平衡方程
INV （I ）=INV （I -1）+RP （I ）-DEM （I ），
I=1，2，3，4； （3）
INV （0）=10； （4）
当然还要加上变量的非负约束，构成了这个问题的模型。
可以看出，如果利用数组的概念，这个模型是比较容易建立的，记4个季度组成的集合QUARTERS={1，2，3，4}，它们就是上面数组的下标集合，而数组DEM ，RP ，OP ，INV 对集合QUARTERS 中的每个元素1，2，3，4分别对应于一个值，如图3-13所示。LINGO 正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了“集合”及其“属性”的概念，把QUARTERS={1，2，3，4}称为集合，把DEM ，RP ，OP ，INV 称为该集合的属性（即定义在该集合上的属性）。表1更清楚地列出了集合元素及其属性所确定的所有变量。
图2 集合及其属性
表1 集合元素及集合的属性确定的所有变量
LINGO 中的一个典型的输入方式见图3.我们可以看到这个输入方式以“MODEL ：”开始，以“END ”结束，它们之间有语句构成，可以分为三个部分：
图3 输入方式
（1）集合定义部分（从“SETS：”到“ENDSET”）：定义集合及其属性，语句“QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV,其结果正是定义了表1所列出的16个变量名（并不一定都是决策变量，如下面马上就看到DEM对应的4个变量是已知的）。
（2）数据输入部分（从“DATA：”到“ENDDATA”）：“DEM=40，60，75，25；”给出常量DEM（给定的需求量）的值，即DEM（1）=40，DEM（2）=60，DEM（3）=75，DEM（4）=25.
（3）其他部分：给出优化目标函数和约束。
目标函数（“MIN=”后面所接的表达式）是用求和函数
“@SUM（集合（下标）：关于集合的属性的表达式）”
的方式定义的，这个函数的功能是对语句中冒号后面的表达式，按照“：”前面的集合指定的下标（元素）进行求和。本例中目标函数也可以等价的写成“@SUM(QUARTERS(i):400*RP(i)+450*OP(i)+20*INV(i))”,这里“@SUM”相
当于求和符号“∑”，而“QUARTERS(i)”相当于“i∈QUARTERS”的含义。只是由于本例中目标函数对集合QUARTERS的所有元素（下标）都要求和，所有我们在相应的语句中将下标i省去。
约束是用循环函数“@FOR(集合（下标）：关于集合的属性的约束关系式)”的方式定义的，意思是对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后面的约束关系式都要成立。我们先看到能力限制（2），即每个季度正常的生产能力是40条帆船，这正是语句“@FOR（QUARTERS（I）：RP（I）<40）；”的含义。由于对所有元素（下标（I）），约束的形式是一样的，所有也可以像上面定义目标函数是一样，将下标I省去，即这个语句可以简化成“@FOR （QUARTERS：RP<40）；”，效果相同。
但是，对于产品数量的平衡方程（3）及（4）而言，由于下标I=1时的约束关系式于I=2，3，4时有所区别，所以我们这时不能省略下标“I”。实际上，I=1时的约束关系式（3）要用到变量INV（0）是一个已知的常数，即INV（0）=10），但是我们定义的属性变量中不包含INV（0）的。为了区别I=1和I=2，3，4，我们在程序中把I=1是的约束条件单独写出，即“INV（1）=10+RP（1）+OP（1）－DET（1）；”（这样一来，约束（4）实际上已经不再需要了；而对I=2，3，4对应的约束，我们对下标集合的元素增加了一个逻辑关系式“I#GT#1”（这个限制条件与集合之间有一个竖线“|”分开，称为过滤条件）。限制条件“I#GT#1”是一个逻辑表达式，意思就是I>1；“#GT#”是逻辑运算符号，意思是“大于”，其他的在后面介绍。
现在运行菜单命令“LINGO|Solve”，则可以得到图3-15所示的解答报告，全局最优解RP=（40，40，40，25），OP=（0，10，35，0），最小成本=78450.这就是我们模型的计算结果。
四、Lingo程序解释及常用函数简介
4.1 Lingo注意事项
1.Lingo中模型以“MODEL:”开始，以“END”结束，对于简单的模型，这两
个语句都可以省略；
2.Lingo中每行后面均增加了一个分号“;”；
3.所有符号都需在英文状态下输入；
4.min=函数，max=函数，表示求函数的最小，最大值；
5.Lingo中变量不区分大小写，变量名可以超过8个，不能超过32个，需
以字母开头；
6.用Lingo解优化模型时已假定所有变量非负，如果想解除这个限制可以用
函数@free(x)，这样x可以取到任意实数；
7.变量可以放在约束条件右端，同时数字也可以放在约束条件左边；
8.Lingo模型语句由一系列语句组成，每一个语句都必须以“;”结尾；
9.Lingo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“ ;” 结束。
4.2 Lingo中的其他常用函数
1．@ABS（X）：绝对值函数，返回X的绝对值；
2．@EXP（X）：指数函数（以自然对数e为底），返回e X的值；
3．@ LOG（X）：自然对数函数，返回X的自然对数值；
4．@POW（X，Y）：指数函数，返回X Y的值；
5．@SQR（X）：平方函数，返回X2的值；
6．＠SQRT（X）：平方根函数，返回X的平方根；
7．@FLOOR（X）：取整函数，返回X的整数部分（向靠近0的方向取）；
8．@SMAX（X）：取最大值，返回一列数（LIST）的最大值；
9．@SMIN（X）：取最大小值，返回一列数（LIST）的最小值；
10．三角函数：＠COS（X），@SIN（X），@TAN（X）；
变量定界函数对变量的取值范围附加限制，共有以下四种：
1．@BND（L，X，U）：限制L < = X < = U.注意，Lingo中没有与Lindo命令SLB、SUB类似的函数@ SLB、@ SUB.
2．@BIN（X）：限制X为0或1。
3．@FREE（X）：取消对X的符号限制（即可取负数，0或正数）.
4．@GIN（X）：限制X为整数.
4.3 逻辑运算符
在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。
LINGO具有９种逻辑运算符：
#not#否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符
#eq#若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase #ge#若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #lt#若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase #le#若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #and#仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase
#or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true
这些运算符的优先级由高到低为：
高#not#
#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le#
低#and# #or#
4.4 循环函数
4.4.1 @for
该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过@for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。
例4.1产生序列{1,4,9,16,25}
model:
sets:
number/1..5/:x;
endsets
@for(number(I): x(I)=I^2);
end
4.4.2 @sum
该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。
例4.2求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的和。
model:
data:
N=6;
enddata
sets:
number/1..N/:x;
endsets
data:
x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
s=@sum(number(I) | I #le# 5: x);
end
4.4.3 @min和@max
返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。
例4.3求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的最小值，后3个数的最大值。model:
data:
N=6;
enddata
sets:
number/1..N/:x;
endsets
data:
x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
minv=@min(number(I) | I #le# 5: x);
maxv=@max(number(I) | I #ge# N-2: x);
end
下面看一个稍微复杂一点儿的例子。
例4.4 职员时序安排模型一项工作一周7天都需要有人（比如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要
求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。注意这里我们考虑稳定后的情况。
model:
sets:
days/mon..sun/: required,start;
endsets
data:
!每天所需的最少职员数;
required = 20 16 13 16 19 14 12;
enddata
!最小化每周所需职员数;
min=@sum(days: start);
@for(days(J):
@sum(days(I) | I #le# 5:
start(@wrap(J+I+2,7))) >= required(J));
end
计算的部分结果为
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value: 22.00000
Variable Value Reduced Cost REQUIRED( MON) 20.00000 0.000000 REQUIRED( TUE) 16.00000 0.000000 REQUIRED( WED) 13.00000 0.000000 REQUIRED( THU) 16.00000 0.000000 REQUIRED( FRI) 19.00000 0.000000 REQUIRED( SAT) 14.00000 0.000000 REQUIRED( SUN) 12.00000 0.000000 START( MON) 8.000000 0.000000 START( TUE) 2.000000 0.000000 START( WED) 0.000000 0.3333333 START( THU) 6.000000 0.000000 START( FRI) 3.000000 0.000000 START( SAT) 3.000000 0.000000 START( SUN) 0.000000 0.000000 从而解决方案是：每周最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安排人，周四安排6人，周五和周六都安排3人，周日无需安排人。
整数规划及Lingo 求解 一、 概论 1.1 整数规划的定义 在工程设计和企业管理中，常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。安排生产时，投入的人力与机器数量必须是整数，生产的 某些产品（如汽车、机床、船舶等）的数量也是整数。整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。如果在线性规划的基础上，把规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，就称之为线性整数规划。大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。 在许多情况下，我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量；但在某些情况下，规划问题的决策变量却被要求一定是整数。例如，完成某项工作所需要的人数或设备台数，进入市场销售的商品件数，以及某一机械设备维修的次数等。当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。但是应用软件就方便多了，本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。 1.2 整数规划的分类 在线性规划的基础上，要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题；如果仅仅是要求一部分变量取整，则称为混合整数规划问题。全部或部分决策变量只能取0，1值的规划问题称为10-规划问题。 1.3 整数规划的一般模型 目标函数 约束条件 决策集 x 为整数 如果用集合表示上面的式子 目标函数： Cx =max(min) 约束条件为： b Ax = 例 1.1 飞船装载问题 设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值；0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。飞船总载荷不得超过数b 。设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。 建模 记j x 为第j 类仪器的装载数。 目标函数 ∑=j j x c m a x 约束条件 ∑≤b x a j j 决策集 j x 为正整数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s 2211222221 2111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)
Lingo介绍 Lingo是美国LINDO系统公司（Lindo Symtem Inc）开发的求解数学规划系列软件中的一个（其他软件为LINGDO,GINO,What’s Best等），它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，目前的版本是lingo11.0。 lingo分为Demo、solve suite、hyper、industrial、extended等六类不同版本，只有Demo版本是免费的，其他版本需要向LINDO系统公司（在中国的代理商）购买，Lingo的不同版本对模型的变量总数、非线性变量个数、整型变量个数和约束条件的数量做出不同的限制（其中extended版本无限制）。 Lingo的主要功能特色为： （1）既能求解线性规划，也有较强的求解非线性规划的能力； （2）输入模型简练直观； （3）运行速度快、计算能力强； （4）内置建模语言，提供几十种内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型； （5）将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为Lingo语言； （6）能方便地与excel、数据库等其他软件交换数据。 学校图书馆40本《lingo和excel在数学建模中的应用》，袁新生、邵大宏、郁时炼主编，科学出版社
Lingo 程序设计简要说明 在数学建模中会遇到如规划类的题型，在这种模型中总存在着一个目标，并希望这个目标的取值尽可能的大或小，同时与这个目标有关的一系列变量之间存在一些约束。在构造出目标函数和约束条件的表达式后，我们需要对求出这个最值和各变量的取值。一般我们用LINGO 来对模型进行求解，本文将通过举一个简单的例子，围绕这个例子逐步学习LINGO 的使用。LINGO 只是一个求解工具，我们主要的任务还是模型的建立！ 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。 示例：求解线性规划问题： max z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 ???????????????≤≤≤≤≤≤269 + x88 + x72 + x66 + x55 + x47 + x38 + x28 + x16 15 6 + x87 + x7+ x65 + x54 + x44 + x34 + x25 + x15 444 + x86 + x77 + x68 + x58 + x45 + x32 + x27 + x14278 + x85 + x74 + x64 + x55 + x49 + x36 + x25 + x13389 + x84 + x75 + x62 + x57 + x46 + x35 + x28 + x1 2 154 + x8 3 + x79 + x66 + x55 + x45 + x3 4 + x27 + x1 求解这个模型的相应LINGO 程序代码如下： 程序一： max= x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; x1 + 7*x2 + 4*x3 + 5*x4 + 5*x5 + 6*x6 + 9*x7 + 3*x8 + 415<=; 2*x1 + 8*x2 + 5*x3 + 6*x4 + 7*x5 + 2*x6 + 5*x7 + 4*x8 + 938<=; 3*x1 + 5*x2 + 6*x3 + 9*x4 + 5*x5 + 4*x6 + 4*x7 + 5*x8 + 827<=; 4*x1 + 7*x2 + 2*x3 + 5*x4 + 8*x5 + 8*x6 + 7*x7 + 6*x8 + 444<=; 5*x1 + 5*x2 + 4*x3 + 4*x4 + 4*x5 + 5*x6 + x7 + 7*x8 + 6 15<=; 6*x1 + 8*x2 + 8*x3 + 7*x4 + 5*x5 + 6*x6 + 2*x7 + 8*x8 + 926<=; 注：然后点击工具条上的按钮 即可。本模型的最优解为2.636364
第二章整数规划 §1 概论 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解
一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 其最优实数解为：4 5min ,45,021===z x x 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 其最优实数解为：2 3min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解
一、LINGO简介 LINGO[1]是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中你的一个, 它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题,LINGO的不同版本对模型 的变量总数、非线性变量数目、整型变量数目和约束条件的数量做出不同的限制. LINGO的主要功能特色为: (1)既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力; (2)输入模型简练直观; (3)运行速度快、计算能力强. (4)内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述 较大规模的优化模型; (5)将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型; (6)能方便地与EXCEL、数据库等其他软件交换数据. LINGO像其他软件一样,对他的语法有规定,LINGO的语法规定如下: （1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示; (2) 每个语句必须以字母开头,由字母、数字和下划线所组成,昌都不超过32个字符,不区分大小写; (3)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有多个语句,语句可以跨行; (4)如果对变量的取值范围没有特殊说明,则默认所有决策变量都非负; (5)LINGO模型以语句“MODEL”开头,以语句“END”结束,对于比较简单的模型, 这这两个语句可以省略. LINGO提供了五十几个内部函数,使用这些函数可以大大减少编程工作量,这 些函数都是以字符@开头,下面简单介绍其中的集合操作函数和变量定界函数及用 法. 集合是LINGO建模语言中最重要的概念,使用集合操作函数能够实现强大的
功能,LINGO 提供的常用集合操作函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等.@FOR(s:e)常用在约束条件中,表示对集合s 中的每个成员都生成一个约束条件表达式,表达式的具体形式由参数e 描述;@SUM(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值的和;@MAX(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最大值;@MIN(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最小值. LINGO 默认变量的取值可以从零到正无穷大,变量定界函数可以改变默认状态,如对整数规划,限定变量取整数,对0-1规划,限定变量取0 1或.LINGO 提供的变量定界函数有:@BIN(X)、@BND(L,X,U)、@GIN(X)、@FREE(X).@BIN(X)限定X 为0或1,在0-1规划中特别有用;@GIN(X)限定X 为整数,在整数规划中特别有用;@BND(L,X,U)限定L ＜X ＜U,可用作约束条件;@FREE(X)取消对X 的限定,即X 可以取任意实数. 二、LINGO 在线性规划中的应用 具有下列三个特征的问题称为线性规划问题(Linear program )[2]简称LP 问题,其数学模型称为线性规划(LP)模型. 线性规划问题数学模型的一般形式为:求一组变量(1,2,,)j x j n = 的值,使其满足 1122max(min),n n z c x c x c x =+++ 21111221112112222211 22 ***. 0,1,2,,,,..n j n n n n nn nn n n x j n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b ?? ?????≥=?? +++++++++
Lingo、lindo简介 一、软件概述 (1) 二、快速入门 (4) 三、Mathematica函数大全--运算符及特殊符号 (11) 参见网址： https://www.doczj.com/doc/4e19218279.html,/ 一、软件概述 （一）简介 LINGO软件是由美国LINDO系统公司研发的主要产品。LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即交互式的线性和通用优化求解器。LINGO可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于 内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。能方便与EXCEL，数据库等其他软件交换数据。 LINGO实际上还是最优化问题的一种建模语言,包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用,并提供与其他数据文件（如文本文件、Excel 电子表格文件、数据库文件等）的接口,易于方便地输入、求解和分析大规模最优化问题。 （二）LINGO的主要特点： Lingo 是使建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更 有效率的综合工具。Lingo 提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求 解最佳化模型。
1 简单的模型表示 LINGO 可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。LINGO的建模语言允许您使用汇总和下标变量以一种易懂的直观的方式来表达模型，非常类似您在使用纸和笔。模型更加容易构建，更容易理解，因此也更容易维护。 2 方便的数据输入和输出选择 LINGO 建立的模型可以直接从数据库或工作表获 取资料。同样地，LINGO 可以将求解结果直接输出到数据库或工作表。使得您能够在您选择的应用程序中生成报告。 3 强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求解器用来求解线性的，非线性的(球面&非球面的)，二次的，二次约束的，和整数优化问题。您甚至不需要指定或启动特定的求解器，因为LINGO会读取您的方程式并自动选择合适的求解器。 4交互式模型或创建Turn-key应用程序 您能够在LINGO内创建和求解模型，或您能够从您自己编写的应用程序中直接调用LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提供了一整套建模环境来构建，求解和分析您的模型。对于构建turn-key解决方案，LINGO提供的可调用的DLL 和OLE界面能够从用户自己写的程序中被调用。LINGO也能够从Excel宏或数据库应用程序中被直接调用。 5 广泛的文件和HELP功能
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻 找能够使目标函数最大或最小的整数解。在实际应用中，整数规划模 型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。 本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。 一、整数规划模型的构建方法 1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来 表示的变量。这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。 2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的 指标。根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线 性组合或非线性函数。例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润 的最大化或成本的最小化。 3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足 问题的实际限制。约束条件可以是等式或不等式。例如，在物流调度 问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。 4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条 件和问题的具体要求。例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或 限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。 二、整数规划模型的求解方法
1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数 解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。然而， 穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。 2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。通过将 整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不 断迭代求解，最终找到最优解。这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。 3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。它通过添加 割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。这种方法能 够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。 4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。它通过不断分解问题，同时使用割平面来提高解的质量。这种方 法的搜索效率较高，尤其适用于规模较大的整数规划问题。 总结： 整数规划模型的构建涉及确定决策变量、定义目标函数和约束条件 等步骤。合理的模型构建可以准确描述问题，为求解提供基础。 整数规划模型的求解方法包括穷举法、分支定界法、割平面法和分 枝定界法等。根据问题的规模和要求，选择适当的方法进行求解，以 找到最优解或接近最优解的策略。
LINGO使用说明 一、LINGO的基本特性 1.建模语言：LINGO使用一种直观的建模语言，被称为LINGO语言， 它使用简洁的语法和自然语言类似的表达方式，使用户能够轻松地描述问题。 2.线性优化：LINGO支持线性规划（LP）和整数线性规划（ILP）， 它的线性优化功能包括线性约束、线性目标函数和变量定义，可以解决诸 如生产优化、资源分配等问题。 3.非线性优化：LINGO还支持非线性规划（NLP）和全局优化（GLO），可以解决包括非线性约束和非线性目标函数的问题。它提供了多种求解方 法和算法，如牛顿法、逐次线性规划等。 4.约束和限制：LINGO能够处理各种类型的约束和限制，包括等式约束、不等式约束、逻辑约束等。用户可以根据具体问题定义约束，LINGO 会自动处理约束的完整性和一致性。 5.求解器：LINGO内置了一系列高效的求解器，如线性规划求解器、 非线性规划求解器、整数规划求解器等。用户可以根据问题的复杂程度选 择最适合的求解器。 6.结果分析：LINGO可以生成详细的结果报告，包括优化解、约束条件、目标函数值等。用户可以通过结果报告来分析问题的解决方案，做出 决策。 二、LINGO的使用方法
2.创建模型：在LINGO中，用户需要先创建一个模型文件，来描述问题。可以通过鼠标点击“新建模型”按钮或选择文件菜单中的“新建”选 项来创建一个新的模型文件。 3.定义变量：在模型文件中，用户可以定义变量。变量可以是整数、 二进制或连续的，并为每个变量分配一个名称、类型和取值范围。 4.定义目标函数：在模型文件中，用户可以定义一个目标函数。目标 函数可以是线性的或非线性的，并定义在变量上。 5.定义约束：在模型文件中，用户可以定义约束。约束可以是线性的 或非线性的，并定义在变量上。用户需要通过约束来限制变量的取值范围。 6.设置求解器：在模型文件中，用户可以选择合适的求解器来解决问题。LINGO提供了多种求解器，用户可以根据问题的复杂程度选择最适合 的求解器。 7.求解问题：在模型文件中完成定义后，用户可以点击求解按钮来解 决问题。LINGO将自动调用相应的求解器，寻找最佳解决方案。 8.分析结果：在问题求解完成后，LINGO将生成一个结果报告。用户 可以通过结果报告来分析问题的解决方案，并根据需要做出决策。 总结： LINGO是一种专业的优化软件，可以用于解决复杂的数学规划问题。 它提供了一套强大的建模语言和算法库，使用户能够轻松地定义问题并找 到最佳解决方案。LINGO具有丰富的特性，包括线性优化、非线性优化、 约束和限制处理、多种求解器等。用户可以按照上述的使用方法来使用LINGO，解决各种实际问题。
LINGO基本用法 1、概况 (1) 2、LINGO的基本用法 (1) 3、用LINGO编程语言建立模型 (2) 4、建立LINGO/LINDO优化模型需要注意的几个基本问题 (3) 5、对求解结果的分析 (3) LINGO基本用法 LINGO是专门用来求解各种规划问题的软件包，其功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。 1、概况 LINGO是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中的一个，它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，LINGO分为Demo、Solve Suite、Super、Hyper、Industrial、Extended等六种不同版本。只有Demo版是免费的。LINGO的不同版本对模型的变量总数，非线性变量的数目，整形变量数目和约束条件的数量作出了不同的限制。LINGO的主要功能： (1) 既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力； (2) 输入模型简练直观 (3) 运行速度快，计算能力强 (4) 内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型 (5) 将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型 (6) 能方便地与Excel，数据库等其他软件交换数据 2、LINGO的基本用法 通常一个优化模型由下列三部分所组成： (1) 目标函数：一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小值。 (2) 决策变量：目标函数值取决于哪些变量 (3) 约束条件：对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等式表示） 注：LINGO默认所有决策变量都非负，因而变量非负条件可以不必输入。 LINGO的语法规定： (1) 求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示； (2) 每个语句必须以分号";"结束，每行可以有多个语句，语句可以跨行； (3) 变量名称必须以字母(A~Z)开头，由字母，数字(0~9)和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写； (4) 可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX= 20*X1+300*X2; (5) 以！开头，以；号结束的语句是注释语句；
lingo整数规划 整数规划是运筹学中的一种优化方法，用于解决决策问题中存在离散决策变量的数学规划问题。在整数规划中，决策变量的取值只能是整数。 整数规划的应用非常广泛，包括生产计划、资源分配、货物运输等领域。下面将介绍一些与整数规划相关的术语和技巧。 1. 最优解：整数规划的目标是找到使目标函数最大或最小的整数解。最优解指的是在满足约束条件的前提下，使目标函数的取值达到最优的决策变量取值。 2. 整数线性规划：整数线性规划是整数规划的一种特殊情况，其中目标函数和约束条件都是线性的。 3. 整数非线性规划：整数非线性规划是整数规划的另一种形式，其中目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的。 4. 分枝定界法：分枝定界法是求解整数规划问题的一种常用方法。它通过将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解。 5. 割平面法：割平面法是求解整数规划问题的另一种方法。它通过加入额外的线性不等式约束，逐步削减可行解空间，直到找到最优解。 6. 整数规划松弛：整数规划松弛是指将整数规划问题中的整数
约束条件松弛为连续变量的约束条件，从而将整数规划问题转化为线性规划问题。 7. 整数规划可行解：整数规划问题的可行解是指满足所有约束条件的整数取值。 8. 整数规划解的整数性：整数规划解的整数性是指整数规划问题的解是否满足整数约束条件。 9. 混合整数规划：混合整数规划是一类更一般的整数规划问题，其中决策变量可以是整数或连续变量。 10. 整数规划的应用：整数规划在各种领域中都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、货物运输等。通过合理的建模和求解技巧，整数规划可以帮助企业优化决策，提高效益。 总之，整数规划是一种应用十分广泛的优化方法，通过对决策变量的整数约束进行建模，帮助解决实际问题中存在的离散决策变量的优化问题。
用LINGO求解整数规划 在LINGO中，输入总是以model:开始，以end结束；中间的语句之间必须以“；”分开； LINGO不区分字母的大小写； 目标函数用MAX=…；或MIN=…；给出（注意有等号“=”）。 在LINDO中所有的函数均以“@”符号开始，如约束中@gin(x1)表示x1为整数，用@bin(x1)表示x1为0-1整数。 在现在的LINDO中，默认设置假定所有变量非负。 函数中变量的界定： @GIN(X)：限制X为整数 @BIN(X)：限定变量X为0 或1。 @FREE(X)：取消对x的符号限制（即可取任意实数包括负数） @BND(L,X,U)：限制L<= X <= U LINGO提供了大量的标准数学函数： @abs(x)???????????? 返回x的绝对值 @sin(x)???????????? 返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x)???????????? 返回x的余弦值 @tan(x)???????????? 返回x的正切值 @exp(x)???????????? 返回常数e的x次方 @log(x)???????????? 返回x的自然对数 @lgm(x)???????????? 返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x)??????????? 如果x<0返回-1；否则，返回1 @smax(x1,x2,…,xn)? 返回x1，x2，…，xn中的最大值 @smin(x1,x2,…,xn)? 返回x1，x2，…，xn中的最小值 例1：整数规划模型在LINGO中可以如下输入： model: Max=5*x1+8*x2;！*号不能省略 x1+x2<=6;!约束条件和目标函数可以写在model：与end之间的任何位置 5*x1<=45-9*x2; @gin(x1);@gin(x2); ！和LINDO不同，不能写在end之后 end 运行后同样得到最优解为x1=0，x2=5，最优值为40。
1、实验目的和任务 1.1.进一步掌握Lingo编程操作； 1.2通过实验进一步掌握运筹学整数规划问题的建模以及求解过程，提高学生分析问题和解决问题能力。 2、实验仪器、设备及材料 计算机、Lingo 3、实验内容 指派问题 问题P274 设有n个人，计划做n项工作，其中七表示第i个人做第j项工作的收益，现求一种指派方式，使得每个人完成一项工作，并使总收益最大。 说明：其中“-”表示某人无法做某项工作。 建模 决策变量：设变量为七，当第i个人做第j项工作时，七=1,否则，七=0 目标函数： =Z Z c /=! J=l 约束条件：每个人做一项工作，即 Z 七=1" = 1,2, 每项工作有一个人去做，即
£ x u = 1，，= /=! 从问题的形式来看，指派问题是运输问题的特例，也可以看成是0-1规划问题。 求解过程 编写模型程序： model : !Assignment Problem Model ; sets : Flight/l..6/; Assign(Flight,Flight) :c z x; endsets !Here is income matrix; data : c=20 15 16 5 4 7 17 15 33 12 8 6 9 12 18 16 30 13 12 8 11 27 19 14 -99 7 10 21 10 32 -99 -99 -99 6 11 13; enddata !Maximize value of assignments; max=@sum (Assign:c*x); @for (Flight(i): !Each i must be assigned to some j ; @sum (Flight(j):x(i,j))=1; !Each i must receive an assignment; @sum (Flight(j) :x(j z i))=1; )； end 计算结果： Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: Variable Value Reduced Cost C( lr 1) 20.00000 0.000000 C( 1, 2) 15.00000 0.000000 c ( 1, 3) 16.00000 0.000000 135.0000
LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的再结合 LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的再结合随着信息技术的不断发展，计算机在解决复杂问题方面的作用越来越重要。特别是在生产、物流、规划等领域，计算机的运用已经成为提高效率和优化资源配置的关键。在这一背景下，LINGO语言和0-1混合整数规划选址模型的结合应运而生，旨在通过LINGO语言的优势和0-1混合整数规划选址模型的精确性，更好地解决选址问题。 LINGO语言是一种基于高层次的数学和逻辑编程语言，它 具有强大的求解能力和灵活的编程特性。LINGO语言可以将复 杂的数学模型转化为计算机可以理解和求解的形式，大大简化了数学模型的表达和求解过程。同时，LINGO语言还提供了丰 富的算法库，可以用于求解各种数学模型。这些特点使得LINGO语言成为了解决复杂问题的理想工具。 0-1混合整数规划选址模型是一种常用的选址问题求解方法。选址问题是指在一定的约束条件下，确定一些点或区域中的最佳（或次佳）位置。该模型涉及在给定的候选位置中选择一些位置以最大化（或最小化）某个目标函数。而0-1混合整数规划则是在候选位置是否被选择的问题上引入了0-1变量，使得问题更接近实际情况。通过将选址问题转化为0-1混合整数规划问题，并利用LINGO语言的求解能力进行求解，能够得到选址问题的最优解。 具体而言，LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的再 结合可分为以下几个步骤。首先，需要确定选址问题的目标函数和约束条件。目标函数可以是最大化产出、最小化成本、最小化距离等，而约束条件可以包括资源限制、市场需求等。然
后，将选址问题转化为数学模型并使用LINGO语言进行表达。LINGO语言的丰富函数库可以用来处理各类约束和目标函数。 接下来，利用LINGO语言提供的求解器对模型进行求解。LINGO的求解器可以采用多种算法，如整数规划、线性规划等，从而得到选址问题的最优解。最后，对求解结果进行分析和优化。如果求解结果符合实际需求，那么可以直接应用于实际问题中；如果不符合实际需求，还可以通过调整模型的参数或目标函数等方式进行优化。 LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的结合具有很多 优势。首先，LINGO语言可以大大简化数学模型的表达和求解 过程，提高了问题求解的效率。其次，0-1混合整数规划选址 模型能够更准确地描述实际选址问题，提高了求解结果的可行性。最后，LINGO语言的灵活性使得可以通过调整模型的参数 和目标函数等来进行优化，进一步提高了选址问题求解的效果。 总之，LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的再结合 为选址问题的求解提供了一种强大而高效的工具。通过LINGO 语言的优势和0-1混合整数规划选址模型的准确性，可以更好地解决选址问题，提高资源利用效率和经济效益。但需要注意的是，在具体应用中，还需要根据实际情况进行适当的调整和优化，以取得最佳的求解效果。只有不断探索和创新，才能在选址问题求解中获得更好的结果 综上所述，LINGO语言与0-1混合整数规划选址模型的结 合为选址问题的求解提供了一种强大而高效的工具。通过LINGO语言的简化表达和求解过程以及0-1混合整数规划选址 模型的准确描述，可以更好地解决选址问题并提高资源利用效率和经济效益。然而，在具体应用中，需要根据实际情况进行
LINGO的使用简介 LINGO软件是美国的LINGO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包．LINGO除了能够用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解、以及一些线性和非线性方程(组)的求解等．LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，即可以求解整数规划，而且执行速度快．LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具．LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果．在这里仅简单介绍LINGO的使用方法． LINGO(Linear INteractive and General Optimizer )的基本含义是交互式的线性和通过优化求解器．它是美国芝加哥大学的 Linus Schrage 教授于1980年开发了一套用于求解最优化问题的工具包，后来经过完善成何扩充，并成立了LINDO系统公司．这套软件主要产品有：LINDO，LINGO，LINDO API和What’sBest．它们在求解最优化问题上，与同类软件相比有着绝对的优势．软件有演示版和正式版．正式版包括：求解包(solver suite)、高级版(super)、超级版(hyper)、工业版(industrial)、扩展版(extended)．不同版本的LINGO对求解问题的规模有限制，如附表３-1所示． 附表３-1 不同版本LINGO对求解规模的限制 版本类型总变量数整数变量数非线性变量数约束数 演示版 300 30 30 150 求解包 500 50 50 250 高级版 2000 200 200 1000 超级版 8000 800 800 4000 工业版 32000 3200 32000 16000 扩展版无限无限无限无限 3.1 LINGO程序框架 LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络最优化问题和最大最小求解问题，以及排队论模型中最优化等问题． 一个LINGO程序一般会包括以下几个部分： (1) 集合段：集部分是LINGO模型的一个可选部分．在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义．集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束．一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分．一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须先定义． (2) 数据段：在处理模型的数据时，需要为集部分定义的某些元素在LINGO求解模型之前为其指定
LINDO软件简介/求解线性规划问题 LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。LINDO/GO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。LINDO/GO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。 一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。整数规划（IP—Integer Programming）问题。其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。 LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦在10^4量级以上。虽然LINDO和LINGO 不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。 要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。 下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。（例子均选自张莹《运筹学基础》） 例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。 问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。 表１ (1 g/cm^2=98Pa)
数学模型第四次作业 整数规划和对策论模型 4.1实验目的 学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用LINGO 软件求解。 4.2 基本实验 1. 工程安排问题 三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。 解：根据题意，设0 1 i i x i ⎧=⎨⎩第个工程未被选中第个工程被选中 ，i=1,2,3,4,5 目标函数为：123452*********Max x x x x x =++++ 限制条件为： 1234512345123455437825794625..81021025 01 i x x x x x x x x x x s t x x x x x x ++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪⎩为或 使用Lingo 编程： model : max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;
5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25; 1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25; 8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); end 运行得到结果： Global optimal solution found. Objective value: 95.00000 Objective bound: 95.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -20.00000 X2 1.000000 -40.00000 X3 1.000000 -20.00000 X4 1.000000 -15.00000 X5 0.000000 -30.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 95.00000 1.000000 2 6.000000 0.000000 3 4.000000 0.000000 4 4.000000 0.000000 分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三、四项工程可以使总收入达到最大。 2. 固定费用问题 一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设
求得x1=3 , x2=1，最大值为4.运用matlab求时可以发现有两组解：x1=3 , x2=1和x1=2, x2=2。通过验证也可知这两组解均满足。Lin go的一个缺陷是：每次只能输出最优解中的一 个(有时不只一个)。那么，怎样求得其他解呢？一个办法是将求得的解作为约束条件，约束x1不等于3，x2不等于1,再求解。如下： model: max=x1+x2; x1+9/14*x2<=51/14; -2*x1+x2<=1/3; @gi n(x1);@gi n(x2); @abs(x1-3)>0.001; @abs(x2-1)>0.001; end 求得x1=2，x2=2.若再次排除这组解，发现Lin go解不出第三组解了，这时我们可以断定： 此优化模型有两组解： x1=3，x2=1 和x1=2，x2=2. 求解模型时需注意：Lin go中，默认变量均为非负；输出的解可能是最优解中的一组，要判断、检验是否还有其他解(根据具体问题的解的情况或用排除已知最优解的约束条件法)。 2、非线性整数规划： Max z —+ 3巧+ + 2兀；—8比—2心—3兀 0 < A; < 99 (/ 二L ….5) Xj + + X. + 工4 + X - 400 斗+2A\+2X+ W 800 2工i +x2十6心< 200 [x3 +x4+5X5<200 model: sets: row/1..4/:b; col/1..5/:c1,c2,x; lin k(row,col):a; en dsets data: c1=1,1,3,4,2; c2=-8,-2,-3,-1,-2; a=1 1 1 1 1