数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，
并运用数学方法来对模型进行分析和求解。在数学建模过程中，整数规划与混
合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。而混合整
数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。这两
种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。目标是在不超过背包容量的情况下，
选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。这个问题可以用整数
规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择
该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。通过
对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规
划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。一个典型的实际问题是运输网络设计问题。假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足
需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。这个问
题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。将供需地视为节点，建立连通
性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可
以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的
满足。通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。它们既具备一般整数
规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的
优点，可以通过线性规划算法来求解。同时，整数规划与混合整数规划也存在
一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。对于这些问题，研究者们
一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解
效率。
总之，整数规划与混合整数规划是数学建模中常用的数学工具，可以应用于解
决许多实际问题。通过合理建模和求解，可以提供决策支持和优化方案，为实
际问题的解决提供有力的工具和方法。但在实际应用中，需要根据具体问题的
特点选择合适的规划方法，并进行适当的算法优化，以确保问题能够得到准确、高效的求解。
混合整数规划及其应用 混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）是运筹学中一个重要的分支，它可以用于解决包括生产计划、物流运输、资源调度等实际问题。本文将探讨混合整数规划的基本概念、典型模型以及应用范例。 一、基本概念 1.定义 混合整数规划是指在线性规划基础上加入了整数变量的限制条件，有时还将变量限制为 0/1 取值，即 0 表示不选取某个变量，1 表示选取某个变量。 2.数学模型 混合整数规划的一般数学模型如下： $max\ Z=c^{T}x+d^{T}y$ $s.t.$ $A x+B y \leq b$ $x\in R^{n}, y \in Z^{m}$ 其中，$x$ 是连续变量向量，$y$ 是整数变量向量，目标函数 $Z$ 为一线性函数，$A$, $B$ 为系数矩阵，$b$ 为约束条件的取值。本模型中整数变量 $y$ 的限制条件可以是 $y \in\{0,1\}^{m}$ 也可以是 $y \in Z^{m}(m>0)$。
3.求解方法 求解混合整数规划可以采用分枝界限法、Gomory 切割法、随机搜索等方法。其中，分枝界限法是运筹学中最基本的解法，其最优性原理为“不断将问题分解成子问题，逐步地去掉某些变量，直到问题变为纯整数规划问题为止，然后通过确定某些变量取值来求解”。随机搜索法则是通过不断随机生成可行解并比较其目标值的大小进行求解。 二、典型模型 1.背包问题 背包问题中，有 $n$ 种不同体积和不同价值的物品，需要将它们装入一个容量为 $V$ 的背包。每种物品只有选择或不选择两种情况。设$w_{i}$ 为第 $i$ 种物品的价值，$v_{i}$ 为第 $i$ 种物品的体积，则该问题的混合整数规划模型为： $max\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}$ $s.t.$ $\sum_{i=1}^{n} v_{i} x_{i} \leq V$ $x_{i} \in\{0,1\}$ 2.生产调度问题 生产调度问题中，对于 $n$ 种产品需要进行加工，但是加工需要设备并且不同设备的加工能力存在差异。设第 $j$ 台设备的加工能力为$c_{j}$，第 $i$ 种产品需要在第 $j$ 台设备上通过加工 $t_{i, j}$ 个单
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型， 并运用数学方法来对模型进行分析和求解。在数学建模过程中，整数规划与混 合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。 整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。而混合整 数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。这两 种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。 整数规划的一个经典问题是背包问题。假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。目标是在不超过背包容量的情况下， 选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。这个问题可以用整数 规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择 该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。通过 对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规 划算法进行求解，得到最优解。 混合整数规划在实际问题中更为常见。一个典型的实际问题是运输网络设计问题。假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足 需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。这个问 题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。将供需地视为节点，建立连通 性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可 以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的 满足。通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。 整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。它们既具备一般整数 规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的 优点，可以通过线性规划算法来求解。同时，整数规划与混合整数规划也存在 一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。对于这些问题，研究者们 一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解 效率。 总之，整数规划与混合整数规划是数学建模中常用的数学工具，可以应用于解 决许多实际问题。通过合理建模和求解，可以提供决策支持和优化方案，为实 际问题的解决提供有力的工具和方法。但在实际应用中，需要根据具体问题的 特点选择合适的规划方法，并进行适当的算法优化，以确保问题能够得到准确、高效的求解。
第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020m ax x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点 方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ， 最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是 A 的最优值 * z 的上界，记为 z ；而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采 取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。现举例说明： 例2 求解A 219040m ax x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解 =1x 4.81, =2x 1.82, ① ② ③ ④ ⑤
一、线性规划 1.简介 1.1适用情况 用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如： （1）资源的合理利用 （2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题 （7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件 （1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。 1.3线性规划模型的构成 决策变量、目标函数、约束条件。 2、一般线性规划问题 数学标准形式： 目标函数： 1 max == ∑ n j j j z c x 约束条件：1 ,1,2,...,,..0,1,2,...,.=?==???≥=?∑n ij j i j j a x b i m s t x j n matlab 标准形式： 3、可以转化为线性规划的问题 例：求解下列数学规划问题 解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22 +-===i i i i i x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量 []1414,,,, ,?? ==???? T u y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型 其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2??=---??? ?T b 111111131 - - ?? ??= - -???? -1 -1 3?? A 。
利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。 程序如下： 略 二、整数规划 1.简介 数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。 1.1整数规划特点 1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有 ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 ③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。 2）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整获得。 1.2求解方法分类 （1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （2）隔平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （3）隐枚举法—可求“0-1”整数规划。 （4）匈牙利法—解决指派问题。 （5）蒙特卡洛法—求解各种类型规划. 1.3整数规划的应用模型 （1）固定费用的问题。 （2）指派问题。 （3）合理下料问题。 （4）流动推销员问题。 （5）生产与销售计划问题。 2、一般整数规划模型 目标函数： 约束条件： 例：指派问题的数学模型(0-1型整数规划) 拟分配n 人去做n 项工作，若分配第i 人去做第j 项工作，需花费ij c 单位时间，如何分配工作才能使花费总时间最少？ 模型的建立 引入0-1变量1,i j 0第人做第项工作， ，第i 人不做第j 项工作. ?=??ij x 指派问题的数学模型为 利用匈牙利算法、拍卖算法等求解出最优解。 三、非线性规划 1、简介 目标函数或约束条件中包含非线性函数的规划问题为非线性规划问题。 1.1非线形规划模型的构成 决策变量、目标函数、约束条件。 1.2非线性规划的应用模型
组合优化问题中的混合整数规划模型研究 组合优化问题是一个重要的数学领域，涉及到许多实际应用。其中一种常见的 问题就是如何有效地选择和组合一系列的元素，以达到最优的效果。这类问题叫做组合优化问题，混合整数规划模型是其中的一种常用的数学模型。 混合整数规划模型通常用于解决二元决策问题，即决策集合只包含0和1两种 情况的问题。在混合整数规划模型中，一部分变量为整数，一部分变量为实数。通常情况下，混合整数规划问题很难求解。因为这类问题的可行解空间很大，因此需要采用优化算法来求解。 混合整数规划模型的求解可以分为线性规划和整数规划两个步骤。由于线性规 划是一个简单而又高效的求解方法，因此通常是先求解线性规划问题，然后再用整数规划方法来求解整数解。这种方法称为分支定界法，是求解混合整数规划问题中最常用的方法。 在混合整数规划模型中，目标函数通常是一个线性函数。例如，考虑一个生产 调度问题，其中一家公司需要决定如何制造一批产品，以达到最大利润。每个产品可以在不同的时间内生产，而且每个产品都有不同的成本和利润。在这种情况下，生产调度问题可以被描述为一个混合整数规划模型，其中目标函数是最大化总利润。 假设有n个产品，它们可以在m个时间段内制造。令x_{i,j}表示第i个产品在 第j个时间段内是否被制造。在每个时间段内，公司只能制造一个产品，因此有以 下约束条件： \sum_{i=1}^n x_{i,j} <= 1, for j=1,2,...,m. 另外，每个产品有一个成本c_i和一个利润p_i。公司需要考虑利润和成本之间的平衡，以最大化整个调度周期的利润。因此，目标函数可以表示为：maximize \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (p_i - c_i) x_{i,j}.
第二章整数规划 §1 概论 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解
一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 其最优实数解为：4 5min ,45,021===z x x 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 其最优实数解为：2 3min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解
第四章整数规划 整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。 整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。 本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。 第一节整数规划问题及其数学模型 一、问题的提出 在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。 整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。先来看下面的例子。 例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？ 表4－1 12 量都要求为整数，建立模型如下：
混合整数规划 混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）是运筹学中重要的整数规划问题，它是指线性规划最优化模型中部分变量被限定为整数，即模型中含有整数变量和连续变量 的最优化模型。混合整数规划的实现机理有：假如，在最优化模型中仅限一个变量为整数，则我们可以将这个模型等价地转化为一个具有多向分支的离散模型，每个分支对应一个整 数取值；假如，所有变量都被限定为整数，则它就成为全整数规划模型，是NP完备问题，无法使用最优化技术近似求解。 混合整数规划在企业决策分析中具有重要意义，如在市场选择活动分析中，此类模型 中需要在多种情况下选择投入最优数量而不是最优受益，留有余地於投资计划中。此外， 混合整数规划可以用于分配问题，其中线性约束提供了问题的结构及信息；整数约束可以 特殊的表达投资的整数上限，满足商业需求。 混合整数规划模型是一种复杂的问题，它既具有线性规划模型的特征又具有全整数规 划模型的特征，相比而言，混合整数规划往往更具有挑战性和实用性。 混合整数规划方法可以有效地生成局部最优解，但严格来讲其无法得到全局最优解。 人们也提出了算法来弥补缺点。近年来，大量的算法从理论、算法、实践上都在不断发展，基于分支定界的方法，包括定界算法、启发式算法、最优性算法、加权增量法等，已经成 为求解混合整数规划模型有效算法的主要手段。 混合整数规划在工程和管理科学研究中有重要应用，其分析方式可以逺源地求解一定 条件下变量和约束条件最优化模型。混合整数规划问题研究也涉及到一系列复杂问题，包 括如何在给定有限的计算资源时解决多变量视图、如何实现启发式算法、如何生成整数可 行解等等。随着技术的进步，人们将继续努力以改进混合整数规划的求解技术。
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻 找能够使目标函数最大或最小的整数解。在实际应用中，整数规划模 型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。 本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。 一、整数规划模型的构建方法 1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来 表示的变量。这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。 2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的 指标。根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线 性组合或非线性函数。例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润 的最大化或成本的最小化。 3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足 问题的实际限制。约束条件可以是等式或不等式。例如，在物流调度 问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。 4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条 件和问题的具体要求。例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或 限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。 二、整数规划模型的求解方法
1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数 解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。然而， 穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。 2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。通过将 整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不 断迭代求解，最终找到最优解。这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。 3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。它通过添加 割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。这种方法能 够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。 4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。它通过不断分解问题，同时使用割平面来提高解的质量。这种方 法的搜索效率较高，尤其适用于规模较大的整数规划问题。 总结： 整数规划模型的构建涉及确定决策变量、定义目标函数和约束条件 等步骤。合理的模型构建可以准确描述问题，为求解提供基础。 整数规划模型的求解方法包括穷举法、分支定界法、割平面法和分 枝定界法等。根据问题的规模和要求，选择适当的方法进行求解，以 找到最优解或接近最优解的策略。
生产流程中的混合整数规划模型与求解 混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）模型是一种应用广泛的数学模型，在生产流程中也得到了广泛的应用。生产流程中的混合整数规划模型是指将生产流程中的各个环节和决策变量建模，通过数学方法进行求解，以得出最优解。本文将探讨混合整数规划模型在生产流程中的应用，并介绍一种求解混合整数规划模型的方法。 一、混合整数规划模型在生产流程中的应用 生产流程是一系列经过规划和安排的生产活动和工序，其中包括材料采购、生 产加工、产品检验等环节。生产流程中的各个环节涉及到多个决策变量，如何优化这些变量，提高生产效率和降低成本，是生产流程中的一大难题。混合整数规划模型提供了一种数学工具，可以帮助生产企业进行生产规划和决策。 以生产加工环节为例，生产企业需要决定何时开始生产、选择哪些机器进行生产，以及如何安排生产任务等问题。这些问题都可以转化为混合整数规划模型，并由模型求解器求解，得出最优解。通过混合整数规划模型，生产企业可以降低生产成本，提高生产效率，减少生产周期。 二、混合整数规划模型的建立 混合整数规划模型的建立，需要将生产流程中的各个环节和决策变量进行建模。以生产加工环节为例，假设有N台机器，每台机器每小时可以生产Mi个产品，其 中i=1,2,…,N。生产企业需要在T小时内完成生产任务，最大化生产数量。此时， 可以将生产加工环节的决策变量建模为： 其中，xi表示是否选择第i台机器生产，yi表示第i台机器在t小时内是否工作。 同时，由于xi和yi均为二进制变量，混合整数规划模型可以建立为： 其中，C表示生产成本，表示选择第i台机器的成本；
数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。本 文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。 一、混合整数规划 混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。它的特点是既 包含了整数变量，又包含了连续变量。混合整数规划可以表示为如下 形式的数学模型： $$\min f(x,y)$$ $$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$ $$x \in X , y \in Y$$ 其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量， $X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。 为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界 算法、混合整数线性规划算法等。这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。 混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。例如，在物流领域中， 为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。混合整数规划可以帮助解 决这类问题，提高效益。 二、多目标规划
多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。 多目标规划可以表示为如下形式的数学模型： $$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$ $$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$ $$x \in X$$ 其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。 多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。帕累托 最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各 个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。加权和法是指通过给不同 目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。 多目标规划在工程设计、投资决策等领域有广泛的应用。例如，在 项目投资中，有可能存在多个决策目标，如最大化利润、最小化风险等。多目标规划可以帮助决策者在不同目标之间做出权衡，得到一个 满意的解决方案。 综上所述，混合整数规划和多目标规划是数学中的两个重要概念。 它们在实际问题中的应用非常广泛，通过优化算法和决策方法，可以 帮助解决各类优化问题，提高效益和决策质量。对于研究者和决策者 来说，深入理解和掌握这两个概念是非常有益的。
线性规划问题的混合整数规划算法研究 线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题中。它 通过构建数学模型，寻找可以使目标函数最小或最大的变量值，帮助决策者更好地制定方案。但是，在某些实际问题中，变量需要满足整数约束，而线性规划只能解决实数问题，所以需要混合整数规划算法来解决这类问题。 一、混合规划问题 混合规划问题是指线性规划问题中包含整数（0或正整数）变量的约束条件， 也就是说，它在线性规划的基础上增加了一定的约束。这种情况下，原本的线性规划算法无法得到满足整数要求的最优解。混合规划问题的解决方法是使用混合整数规划算法。 二、混合整数规划算法 混合整数规划算法（Mixed Integer Programming，MIP）是指解决包含整数、实数变量的线性规划问题的算法。MIP算法的核心思想是将整数规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划算法求得最优解。它的过程包括建立问题的数学模型、求解线性规划问题、判断是否满足整数约束、选择分支策略、再次求解线性规划问题等等。在其中，转换整数规划问题的线性松弛问题是MIP算法求解混合整数规 划问题的重要环节。线性松弛问题是将整数规划中整数变量的约束条件转换为线性约束条件的问题。 三、分支定界算法 分支定界算法（Branch and Bound Algorithm）是解决混合整数规划问题的一种 常用的方法。在混合整数规划问题中，得到的线性规划问题无法满足整数约束条件，因此，需要将解空间划分为子集，在每个子集上进行测算，再通过分支判定来进一步判断是否继续搜索。该算法的核心思想是通过每次分支，将问题分成两个子问题，
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结 四大模型对应算法原理及案例使用教程： 一、优化模型 线性规划 线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。 案例实操 非线性规划 如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。 建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。 整数规划 整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为
MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。 多目标规划 求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 目标规划 目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。 目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。目标规划一般数学表达式： 动态规划 动态规划是解决多阶段决策过程首先考虑的一种方法。1951 年美国数学家贝尔曼等人根据一类多阶段决策问题的特性提出了解决这类问题的“最优化原理”。根据动态规划原理得到动态规划的一般模型为 其中，fk（xk）为从状态xk出发到达终点的最优效益，N表 示可将系统分成N个阶段。根据问题的性质，上式中的min有时是max。
数学建模各类方法归纳总结 数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对 现实世界中的问题进行分析和解决。随着科技的不断发展和应用需求 的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。本文将对数学建模 的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。 一、经典方法 1. 贝叶斯统计模型 贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。它通过利用先 验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和 预测。贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。 2. 数理统计模型 数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。它通过收集 和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法 对数据进行推断和预测。数理统计模型在市场预测、风险评估等领域 有着重要的应用。 3. 线性规划模型 线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约 束条件来描述和解决问题。线性规划模型在供应链管理、运输优化等 领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。 4. 非线性规划模型
非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。 二、进阶方法 1. 神经网络模型 神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。 2. 遗传算法模型 遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。 3. 蒙特卡洛模拟模型 蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。蒙特卡洛模拟模型在金融风险评估、粒子物理学等领域有着广泛应用。 4. 数据挖掘模型
混合整数规划 混合整数规划是一种数学规划方法，旨在解决同时包含整数变量和连续变量的优化问题。混合整数规划适用于许多实际问题，例如资源分配、路线优化和生产调度等方面。 在混合整数规划中，目标函数和约束条件可以包含整数变量和连续变量。整数变量通常表示决策变量，例如决定分配多少资源、购买多少设备等。连续变量则表示各个决策变量的数量或度量。整数变量和连续变量的混合使用可以更精确地描述实际问题，提高求解结果的准确性。 混合整数规划的一般形式如下： 最小化（或最大化）：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm 其中，Z表示目标函数值，c1、c2、…、cn表示目标函数中各 个变量的系数，x1、x2、…、xn为决策变量，a11、a12、…、amn表示约束条件中的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的 右端值。 混合整数规划的求解可以通过线性规划的方法进行。首先，将整数变量放宽为连续变量，形成一个线性规划问题。然后，通过遍历整数变量的取值范围，求解多个线性规划问题，分别计
算各个取值下的目标函数值。最后，选择使目标函数值最优的整数变量取值作为最终的解。 混合整数规划的求解过程中，需要注意寻找合适的整数变量的取值范围，以及如何削减求解空间。对于整数变量的取值范围，可以根据实际问题的约束条件进行限制，避免不必要的计算。对于求解空间的削减，可以应用启发式算法、剪枝算法等方法，提高求解效率。 总之，混合整数规划是一种强大的数学规划方法，可以解决同时包含整数变量和连续变量的复杂优化问题。它不仅提供了更精确的求解结果，还可以有效地优化各个决策变量的取值，实现资源的最优分配和生产的最优调度。混合整数规划在实际问题中有广泛的应用前景。
基于混合整数规划的路径规划优化研究 路径规划是指在给定的地图和起终点条件下，找到一条最优路径的 过程。而在现实生活中，路径规划问题往往受到不同约束条件的限制，如时间、距离、交通流量等。因此，采用混合整数规划方法来优化路 径规划方案成为一种有效的解决策略。 一、问题描述 在路径规划问题中，给定一个有向带权图G=(V,E)，其中V表示节 点集合，E表示边集合。每条边e∈E都有一个非负的权重w(e)，表示 从节点v到节点u的成本。同时，假设起点为s，终点为t。 我们的目标是找到一条从s到t的最优路径，使得路径上的总成本 最小。路径的成本可以由多种因素组成，如距离、时间、经过的节点 数等。 二、混合整数规划模型 为了解决路径规划问题，我们可以建立如下的混合整数规划模型：Minimize ∑w(e)*x(e) subject to ∑x(e) = 1, ∀v∈V （路径限制：每个节点只能有一个入度和一个 出度） ∑x(e) - ∑x(e') = 0, ∀v∈V\{s,t} （流平衡约束：除了起终点之外的 节点流入流出要平衡）
x(e) ∈ {0,1}，∀e∈E （边的选择变量为0-1整数） 其中，x(e)表示边e是否被选择，选中为1，否则为0。该目标函数 为路径上的总成本，约束条件保证了路径的连通性和流平衡性。 三、求解方法 为了求解混合整数规划模型，我们可以采用分支定界法或者启发式 搜索算法。分支定界法是一种穷举搜索的方法，通过逐步分解原问题，逐步减少问题规模，最终得到问题的解。而启发式搜索算法通过设定 启发函数，根据预先设定的规则选择下一步的搜索方向，从而提高搜 索效率。 四、案例研究 为了验证混合整数规划方法在路径规划优化问题中的有效性，我们 以城市交通规划为例进行案例研究。 假设有一城市交通网络图，包含多个路口和道路，每条道路都有一 个权重，表示通过该道路的时间成本。我们需要计算从一个路口到另 一个路口的最优路径，使得总时间成本最小。 我们可将该问题建模为混合整数规划问题，并使用相应的求解方法 求得最优路径。 五、实验结果与分析
基于混合整数规划的多品种货物调度问题建 模研究 在现代物流运输中，如何高效地调度多品种货物成为了一个重要的问题。为了 实现最优的货物调度方案，可以使用数学建模方法，其中混合整数规划是一种常见的技术手段。本研究旨在基于混合整数规划，对多品种货物调度问题进行建模研究，以寻求最优的调度方案。 首先，我们需要定义问题的背景和目标。假设有一个物流中心，其任务是将来 自不同供应商的多品种货物分配到不同的目的地。这个物流中心有一定的运输资源，包括不同类型的车辆和司机。任务是确定每辆车应该被分配多少货物以及它们的调度顺序，以最小化总运输成本或最大化运输效率。 以下是我们的建模思路： 1. 构建决策变量 我们可以定义一个二维的决策变量矩阵，其中每一行表示一个车辆，每一列表 示一个货物。每个单元格的取值可以表示该车辆是否被分配运输该货物。例如，如果第i辆车被分配运输第j件货物，则决策变量xij为1，否则为0。 2. 确定约束条件 - 每辆车的运输容量限制：每辆车的总货物重量不能超过其容量限制。 - 每件货物的运输要求：每件货物可能具有特定的运输要求，例如需要特定类 型的车辆进行运输。 - 每辆车只能被分配运输一次：每辆车只能被分配一次运输任务，即每一行的 决策变量之和等于1。 - 非负约束：决策变量要满足非负性。
3. 建立目标函数 根据具体情况，我们可以制定目标函数来衡量运输方案的好坏。例如，我们可以最小化总运输成本，该成本可以包括车辆的运输费用、司机的工资以及其他额外费用。 4. 编写混合整数规划模型 根据上述定义的决策变量、约束条件和目标函数，我们可以编写混合整数规划模型。这个模型可以使用数学建模工具或软件实现，例如MATLAB、Python中的PuLP库、Gurobi等。 5. 求解模型并分析结果 使用所选择的求解器对混合整数规划模型进行求解，并获得最优的调度方案。根据结果，我们可以对调度方案进行评估和比较，以及进行灵敏性分析。 6. 针对实际情况进行优化 根据现实情况，我们需要进一步考虑其他因素的影响，例如交通拥堵、货物的紧急程度等。我们可以根据具体情况对模型进行优化或修改，以解决实际问题。 综上所述，基于混合整数规划的多品种货物调度问题建模研究可以帮助物流中心有效地制定最优的运输调度方案，以提高运输效率和降低运输成本。这种建模方法可以根据具体情况进行调整和优化，以适应不同的实际需求。
组合优化问题的整数规划建模与求解方法研 究 组合优化是运筹学中的一个重要分支，主要研究在给定一组约束条件下，如何 选择最优的组合使得某个目标函数的值最大或最小。整数规划是组合优化问题的一种常见形式，其中决策变量被限制为整数。 在实际应用中，我们经常面临各种组合优化问题，例如货物配送、资源调度、 排课等等。这些问题的规模庞大，约束条件复杂，直接求解往往是不现实的。因此，我们需要研究有效的建模方法和求解算法来应对这些挑战。 在组合优化问题的整数规划建模中，一个重要的步骤是定义决策变量和约束条件。决策变量表示问题中需要做出选择的部分，而约束条件限定了变量之间的关系。合理地定义这两个部分可以帮助我们更好地描述问题，并找到最优解。 对于建模的一般方法，我们可以采用0-1整数规划、混合整数规划等方法。0-1整数规划中，决策变量只能取0或1，可以用来表示选择或排除某个元素的情况。 而混合整数规划允许决策变量既可以取整数，又可以取非整数值。在建模时，我们需要根据问题的特点选择合适的整数规划形式。 除了建模方法，求解组合优化问题的整数规划也是一个关键的步骤。对于小规 模问题，我们可以采用穷举法、分支定界等精确求解方法，通过遍历所有可能的解空间来找到最优解。然而，对于大规模问题，这些方法往往是不可行的，因为计算复杂度过高。 因此，我们需要研究高效的求解算法来解决大规模组合优化问题。常用的方法 包括启发式算法、近似算法、元启发式算法等。启发式算法通过启发式规则来搜索解空间，帮助我们找到一个较好的解。近似算法则通过对问题进行适当的简化，找
到一个近似最优解。元启发式算法结合了启发式和近似思想，通过多次迭代来改进解的质量。 同时，求解组合优化问题的整数规划还可以利用现有的优化软件和工具，如MATLAB、Gurobi、CPLEX等。这些工具提供了丰富的求解接口和优化算法，可以快速求解大规模的整数规划问题。 总之，组合优化问题的整数规划建模与求解方法研究涉及到了建模方法和求解算法两个方面。在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的建模形式，并采用适当的求解方法来获得最佳解。随着优化算法和工具的不断发展，我们相信在未来的研究中，组合优化问题的整数规划建模与求解方法将会得到更多的突破和改进。
实验四 混合整数规划 一、问题重述 某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。 请帮该公司解决以下问题： (1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？ (2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。 (3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目 总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 二、符号说明 i A :：投资额； i b ：i A 个项目所获得的年利润； i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润； i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量； i p ：投资第i A 个项目的投资风险； 三、模型的建立 对于问题一 目标函数：8 1max i i i c x ==∑
s.t. 150000i i i i i i b x b x m ⎧≤⎪ ⎨⎪≤⎩∑ 对于问题二 设定0—1变量 131130...,1...,A A y A A ⎧⎨ ⎩项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资 项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ⎧⎨ ⎩,项目不同时投资 ,项目同时投资 目标函数：'''' 11133111332445524455' '''322667788 322667788max ()(1)()()(1)()()(1)() y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++ ++++-+++ s.t. 1 13 131 24545 23267826783 1500001000i i i i i i b x k y x x x x y k y x x x x y k y x x x x x x x x y k b x m ⎧≤⎪⎪ =⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪ ≤⎨⎪⎪≥⎪ ⎪≤⎪ ⎪≥⎪⎪ ≤⎩∑ 对于问题三： 目标函数： max min max() i i i i i i c x b x p =∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ⎧≤⎪ ⎨⎪≤⎩∑ 对于问题三模型的简化 固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。 max i i i c x =∑