第二章 点、线、面的投影
zhangzuocug@https://www.doczj.com/doc/4016902288.html,；67648699（Q）
第二章 点、线、面的投影 1
工程图是在严格的参照体系下准确空间形体表达 ！
2.1 点的投影
2.1.1 点的单面投影及特性
A
若点的位置确 定，点的投影是确 定的。
a P
第二章 点、线、面的投影
3
2.1 点的投影
2.1.1 点的单面投影及特性
A B
若点的一个投 影确定，点的位置 是不确定的。
a(b) P
2.1 点的投影
2.1.1 点的单面投影及特性
空间点在投影面上的投影仍是点。
A ⊥平面P，交于a，a即为A的正投影。 但是，有投影a无法确定空间A点。
第二章 点、线、面的投影 5
2.1 点的投影
2.1.2 点的两面投影及特性
正立投影面 两投影面体系的建立
V
投影轴
X H
水平投影面
O
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空 间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们 通常把物体放在第一分角中来研究。
第二章 点、线、面的投影 6
2.1 点的投影
2.1.2 点的两面投影及特性
V面投影 相应小写 字母加1撇
V
a′ A
空间点用 大写字母 表示
X
点的两个投影能唯一确 定该点的空间位置
O
H面投影 相应小写 字母表示
a H
第二章 点、线、面的投影 7
2.1 点的投影
2.1.2 点的两面投影及特性
两面投影图的画法
V
a′ A
V
a′
X
ax a
O
X
ax
O
H H
a H
展开时，规定V面不动，H面向下旋转90°。用投影图来表示空 间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来 表示点的空间位置。
第二章 点、线、面的投影 8
2.1 点的投影
2.1.2 点的两面投影及特性
通常不画出投影面的范围
a′
V a′ A X ax X H a O X ax
O
a
点的V面投影与H面投影之间的连线a’a垂直于投影轴OX ； 点的一个投影到OX投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻 的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa， aax= Aa' 。
第二章 点、线、面的投影 9
2.1 点的投影
2.1.3 点的三面投影及特性
点A的H（水平）投影 ： a 点A的V（正面）投影 ： a′ 点A的W（侧面）投影：a″ Z V a′ A X aX a H O aY Y aZ a″ W
空间点——A
H面投影——a V面投影——a′ W面投影——a″
点的一个投影反映了点的两个坐标； 已知两个投影即可求出第三投影。
2.1 点的投影
2.1.3 点的三面投影及特性
Z Z V a′ A X ax a H O ay Y H H YH az a″ W V a′ W a″ X O W
a
YW
移去空间点 ?V面不动 ?H面连同水平投影绕X轴向下旋转 ?W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转
第二章 点、线、面的投影
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Z Z V a′ A X aX a H O aY Y H YH a aZ a″ W X V a′ aZ a″ W
aX
O
aYW YW
aYH
点的投影连线垂直于相应的投影轴
点的H面投影与V面投影的连线垂直于OX轴——a′a ⊥OX 点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴——a′ a″⊥OZ
Z Z V a′ A X aX a H O aY Y a aZ a″ W X a′ aZ a″
aX
O
aYW YW
aYH
某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离 a′aZ = a′aYH =Aa″,点到W面的距离——X坐标 aaX = a″aZ =Aa′ ,点到V面的距离——Y坐标 a′aX = a″aYW=Aa ,点到H面的距离——Z坐标
YH
2.1 点的投影
2.1.3 点的三面投影及特性
已知A的点H面投影a和V面投影a ′，求a的W面投影a ″ Z
a′
a″
X
O
YW
a
YH
第二章 点、线、面的投影 14
2.1 点的投影
2.1.4 特殊点的投影
（1）投影面内的点 V Z Z
A a' c' b'
a'' CW c"
X
a' c' b' a b
YH O
a''
c" b''
YW
X
O
a
b H B
c
b''
Y
c
如图：A点在V面内，B点在H面内，C点在W面内。 则：A点：V面投影与自身重合；a和a ″分别在OX、OZ上。 B点：H面投影与自身重合； b ′和b″分别在OX、OY上。 C点： W面投影与自身重合； c ′和c ′分别在OY、OZ上。 第二章 点、线、面的投影
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2.1 点的投影
2.1.4 特殊点的投影
（2）投影轴上的点 Z V Z
E e' e''
X
e' e'' d'
W X
D d' d
H
f' O d'' e f F
d
f'O d'' e f
f''
YW
f''
Y
YH
投影轴上的点 在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合， 另一投影面上的投影与坐标原点重合。
第二章 点、线、面的投影 16
2.1 点的投影
2.1.5 两点的相对位置
Z
V
a′ b′ A B b
H
B在A左 b′
W
Z a′
A在B上 b″
a″
a″ b″
X
O
X
O b
YW
a Y
a A在B前 YH
根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置 ——两点的左右关系，X坐标大在左，小的在右； ——两点的前后关系，Y坐标大在前，小的在后； ——两点的上下关系，Z坐标大在上，小的在下。
第二章 点、线、面的投影
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2.1 点的投影
2.1.6 重影点的投影
Z
V
a′ A b′ B a (b)
H
a″ O b″
W
X
Y
当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在 对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此 投影面的重影点。如：A、B两点在H面上的投影重合 为一点。
2.1 点的投影
2.1.6 重影点的投影
Z Z
V
a′ A b′ B a (b)
H
a′ a″ O b″
W
a″ b″ O YW
b′ X
X
Y
a (b)
不可见的投影字母加括号（ ）表示 判断的基本原则——看第三坐标，大者可见
YH
2.1 点的投影
2.1.6 重影点的投影
Z Z
V
b′ ( c′ ) C O B c
H
c″ b″
W
b′ ( c′ )
c″
b″
X
X b Y c b
O
YW
前遮后 原则：看第三坐标 上遮下 左遮右
YH 想像一下光线的方向
2.2 直线的投影
（1）直线对投影面的倾角 Z
V
Z a′ a″
W
a′ A b′
β γ α O
a″
b′ X a Y O
b″ YW
X B
H
a
b″
b b YH
倾角:空间直线对投影面的夹角
α——对 H 面的倾角 β——对 V 面的倾角 γ——对 W 面的倾角
第二章 点、线、面的投影
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2.2 直线的投影
（2）直线的分类
一般位置直线
直线
特殊位置直线
投影面垂直线
投影面平行线
2.2 直线的投影
2.2.1 特殊位置：投影面垂直线
（1）铅垂线: 垂直于水平投影面的直线
a′ b′
Z
a″ b″
a′
Z
A b′
X O
a″
X
O
YW
B a(b)
b″
a(b)
YH
Y
投影特性： 1． a b 积聚 成一点。 2． a′ b′⊥OX ; a″ b″ ⊥ OYW 。 3． a′ b′ = a″ b″ = AB。反映实长
倾角 α＝90° β＝γ＝0
第二章 点、线、面的投影
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2.2 直线的投影
2.2.1 特殊位置：投影面垂直线
（2）正垂线: 垂直于正投影面的直线
a′b′
Z
a″
b″
a′b′ A
Z
a″ B b″
O
X a
O
YW
X
a
倾角 β＝90° α＝γ＝0°
b b
Y
YH
投影特性： 1． a′ b′ 积聚 成一点。 2． ab ⊥ OX ; a″b″ ⊥OZ。 3． ab = a″b″ =AB。 第二章 点、线、面的投影 24
2.2 直线的投影
2.2.1 特殊位置：投影面垂直线
（3）侧垂线:垂直于侧面投影面的直线 Z
a′
b′
Z
a″b″
a′
b′
X a″b″ A
X O
O
YW
B
a
b YH
a 倾角 γ＝90° α＝β＝0°
b
Y
投影特性： 1． a″b″ 积聚 成一点。 2． ab ⊥ OYH ; a′b′⊥ OZ。 3． ab = a′b′ =AB。
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第二章 点、线、面的投影
2.2 直线的投影
2.2.2 特殊位置：投影面平行线
（1）水平线：只平行于水平投影面的直线 Z
z a′ b′ a″ b″
X
O
YW
a′
A
b′
β
a″
γ
a b″ b
YH
B
X
O
a b
Y
投影特性： 1．a′b′平行于 OX ; a″b″平行于 OYW 。 2． ab=AB。 3．反映β、γ 角的真实大小。
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第二章 点、线、面的投影
2.2 直线的投影
2.2.2 特殊位置：投影面平行线
γ
（2）正平线：只平行于正面投影面的直线 Z
Z b′ α O b″
a′ X
a″ YW
b′ a′
B A α γ
O
a″ b″ a b YH
X
a
b
Y
投影特性： 1． ab 平行于 OX ; a″ b″平行于 OZ。 2． a′ b′=AB。 3． 反映α、γ角的真实大小
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第二章 点、线、面的投影
2.2 直线的投影
2.2.2 特殊位置：投影面平行线
（3）侧平线：只平行于侧面投影面的直线
a′
Z
a″ β
a′ A b′
X
Z
b′ a″ X a O
α
b″ YW
β α a b
O
b B b″
Y
YH
第二章 点、线、面的投影
投影特性： 1． a′b′ 平行于 OZ ; ab平行于 OYH 。 2． a″b″ =AB。 3．反映 α、β 角的真实大小。
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2.2 直线的投影
2.2.3 一般位置直线
Z b′
a″
b′
Z
B a′
X
b″
X
a′ b
O
b″
YW
β γ
O
α
A a
b
a″
Y
a YH
投影特性： 1． a b、 a′b′、a″ b″均小于实长。 2． a b、a′b′、a″ b″均倾斜于投影轴。 3．不反映 α 、 β 、γ 实角。
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第二章 点、线、面的投影
直角三角形法 ——求实长和倾角的方法
（1）用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端 点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边 即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 （2）直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面 的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 （3）解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题結果。但用哪个 长度来作直角边不能搞错。
第二章 点、线、面的投影
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已知ab、a ′ b ′为 AB两面投影，求α
a′
⊿Z
a′ TL
V
Z
A b′ X B b ⊿Z X
b′
O O
α
A1 a
a
H
⊿Z Y
b
to47
α
TL
已知ab、a ′ b ′为 AB两面投影，求β TL Z a′
V
a′
β
⊿Y
A b′ X B1 ⊿Y B b
β
O a TL
H
b′
X O
a
Y ⊿Y
b
已知 线段的实长AB，求它的水平投影
AB a′ X
b′ |zA-zB|
O
AB
|zA-zB| a
第二章 点、线、面的投影
ab
ab
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2.2 直线的投影
2.2.4 直线上的点
直线上的点具有两个特性： （1）从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 （2）定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= a′c′ : c′b′ = a″c″ : c″ b″
a′ Z
V
Z
a″
c′
a′ c′ b′ C B b c
H
c″
b″ O YW
A
a″ c″ W
X
b′ a c b Y
第二章 点、线、面的投影
X
a
O
b″
YH
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已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c' 。
b ′ c'
a ′ X b c a
第二章 点、线、面的投影
O
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已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
V
b
′
c
b′ c' X O a′ a c
c b
第二章 点、线、面的投影
bc ca
′
a′
B A
a
C
X
O
H
b
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已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
b′
L AB
c' a′ X b BC=L a c
第二章 点、线、面的投影
zA-zB O ab
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2.2 直线的投影
2.2.5 两直线的相对位置
（1）两平行直线
Z V a' C b' X Bd b H a Y c d' D A O d" b" b a YH c" W a" X d c b' d' O d" b" Y c' a' c' Z c" a"
已知AB//CD，则 ab//cd , a′ b′ // c′ d′ , a″ b″ // c″ d″ AB:CD = ab:cd = a′ b′ : c′ d′ = a″ b″ : c″ d″
2.2 直线的投影
2.2.5 两直线的相对位置
（1）两平行直线 b′ c′ a′ X b a c d a O X c b d a′ c′ O d′ b′ d′
判断两直线是否平行 ?对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行； ?对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一 投影反映直线实长，则两直线平行。
已知两侧平线AB和CD,判断AB和CD是否平行。
c′
【解一】 作出第三投影 【解二】 字母顺序一样, 投影长度成比例
Z
c″
a′ d′
X
a″ d″
YW
b′ a
O
b″ c d
YH
b
第二章 点、线、面的投影
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