常用离散型随机变量的分布函数
(1) 离散型随机变量
[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者
无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概
率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分
布或分布律，表格表示形式如下：
[2] 性质： ❶
0i p ≥ ❷11n i i p
==∑
❸分布函数()i i x x F x p ==
∑ ❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非
负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
()()x
F x f x d x
-∞=
⎰ 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函
数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质
❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：
[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是
(),-∞+∞，对于任何x ，000
{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间
断点，其图形呈阶梯形。
[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随
机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.
[3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何
给定值的概率都为0.
[4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之
间取值的概率与区间端点无关，即：
{}{}
{}{}
()()
()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰
即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=
(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：
[1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X
1{}k k P X k p q -==
（ K=0、1） ()01p ≤≤ ()1q p =-
称X 服从参数为p 的0-1分布。
[2] 二项分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为：
{}k k n k n P X k C p q -==
()01k n =、
…… ()01p ≤≤ ()1q p =- 称X 服从参数为n 、p 的二项分布，简记为~(,)X B n p
{注：进行一次实验，若实验的成功率为p ，则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}
{二项分布描述n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为p ，则进行n 次独立重复试验，则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}
{如果X 服从二项分布~(,)X
B n p ，则Y=n-X 服从二项分布
~(,1)X B n p -}
[3] 超几何分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为：
1
212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==
()01m n =、
…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布，其中n, 1N 、2N 都为正整数，且n ≤1N +2N
{当2n N >时，去正概率的X 值不是从0开始，而是从2n N -开始；当1n N >时，去正概率的X 值最大不是n,而是1N }
[4] 泊松分布（Poisson ）
如果随机变量X 的概率分布为：
{}!k
P X k e k λλ-==
()01k n =、
…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，简记为~()X P λ.
[5] 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关
系最为密切：
1) 参数为p 的0-1分布，就是参数为n 、p 的二项分布
(,)B n p 当n=1时的特例；
(5) 常用连续型随机变量的分布函数
[1] 均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为： 1()0a x b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，其分布函数为： 0()1x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]a b 内的位置无关。即：若[,][,]c d a b ∈，则： {}d c P c X d b a -≤≤=- [2] 指数分布：
如果连续型随机变量的概率密度为：
0()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布，其中0λ>，相应的分布函数为： 01()00x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。 ② 指数分布具有无记忆性。 [3]
正态分布： A. 正态分布的概率密度为：
2
2
()
2
1
()
x
f x e
μ
σ
--
=
(.)
x∈-∞+∞
其中μ和σ均为常数，且0
σ>，简记为：2
~(,)
X Nμσ
B.特别地，当0
μ=、1
σ=时，称X服从标准正态分布，记作~(0,1)
X N，其概率密度为：
2
2
()
x
x e
ϕ-
=其分布函数用()x
Φ表示。
C.标准正态分布~(0,1)
X N的分布函数()x
Φ与概率密度()x
ϕ的性质。
a)()()
x x
ϕϕ
-=即()x
ϕ是一个偶函数。
b)lim()0
x
x
ϕ
→∞
=即x轴是()x
ϕ的水平渐近线。
c)分布函数()()
x
F x
μ
σ
-
=Φ；概率密度
1
()()
x
f x
μ
ϕ
σσ
-
=。
d)若~(0,1)
X N，当C>0时，
{}2()1
P X c c
≤=Φ-
✂若随机变量X服从正态分布2
~(,)
X Nμσ，
则xμ
σ
-服从标准正态分布~(0,1)
x
N
μ
σ
-
，且
~(0,1)
x
N
μ
σ
-
✂如果2
~(,)
X Nμσ，当0
a≠时，aX b
+服从正态分布22
(,)
N a b a
μσ
+。特别地，如果a=1,
则2~(,)X b N b μσ++。
如果2111~(,)X N μσ,2222~(,)X N μσ,
且1X 、2X 相互独立，则
2222112211221122~(,)
a X a X N a a a a μμσσ+++
(6) 随机变量的函数分布的求法
设X 是一个随机变量，()y g x =是一个实函数，则()Y g X =也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X 的分布及函数()y g x =，求随机变量()Y g X =的概率分布或者概率密度乃至分布函数。
[1] 离散型随机变量的函数分布的求法
如果随机变量的函数()Y g X =是离散型（无论X 是不是离散型的）的，求Y 的分布只要逐点分析出Y 的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。
[2] 连续型函数的分布的求法
1. 分布函数法：
如果随机变量的函数()Y g X =是连续型的，
最基本的方法是分布函数法，即先求出Y 的分布
函数()()(())()Y g x y F y P g x y f x dx ≤=≤=
⎰，
然后通过分布函数求出Y 的概率密度，其中()f x 是随机变
量X 的概率密度。
2. 公式法
如果X 是连续型的随机变量，()y g x =是x
的单调可到函数，其导数不为0，则Y 的概率密
度()Y f y 可直接由X 的密度()X f y 求出：
()[()]()0X Y h y f h y f y '= ()y Z g ∈其他
其中()x h y =是函数()y g x =的反函数，()Z g 是()y g x =的值域。 3. 方法总结： 确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有： 1) 分布函数()F x 性质、离散型分布律{}i p 性质、连续型概率密度()f x 性质。 2) ()0F -∞=、()1F +∞=、()()F x F x =+。 3) 在()F x 的连续点，(0)()(0)F x F x F x -==+ 4) 11n i i p ==∑、01i p ≤≤。 5) ()1f x dx +∞-∞=⎰、()0f x ≥。 6) 特殊分布函数。
连续型随机变量 1．连续型随机变量 【知识点的知识】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字 母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变 量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试 验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、连续型随机变量的概率密度 1、定义：对于随机变量X，若存在非负可积函数f（x），（﹣∞＜x＜∞），使得对任意实数a和b，（a＜b）都 有 f(x)dx， P{a＜X≤b}=∫b a 则称X为连续型变量．f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度． 2、概率密度的性质 （1）f（x）＞0 f(x)dx=P{﹣∞＜X＜∞}＝1 （2）∫+∞ −∞ 说明：判断一个函数是否能成为某个随机变量的密度函数，以这两条性质为标准进行验证． 3、概率密度的几何意义 f(x)dx的几何意义可知：X在[a，b]内取值的概率P{a＜X≤b}即为介于直线x＝a和直线x＝b之间，由定积分∫b a 并且在x轴的上方，密度曲线的下方所围成的曲边梯形的面积．
又由于P {x ＜X ≤x+△x }═∫ x+△x x f （x ）dx ＝f （ξ）△x ，（积分中值定理） 如果将连续型X 在（x ，x+△x ）内的取值对应于离散型X 在X ＝ξ处的取值，则有P {X ＝ξ}＝f （ξ）dx ，可见f （ξ）dx 相当于离散型X 的分布律中的p k 【典型例题分析】 典例：已知随机变量ξ的概率密度函数为 f(x)={2x ，0≤x ≤10，x ＜0或x ＞1，则P(14＜ξ＜12)=（ ） A ．14 B ．17 C ．19 D ．316 解：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知： P(14＜ξ＜12)=∫ 1214（2x ）dx ＝（x 2）|1412=14−116=316 故选 D 【解题方法点拨】 （1）对于连续型随机变量X 来说，它取某一指定的实数值x 0的概率为零，即P {x ＝x 0}＝0． 据此，对连续型随机变量X ，有P {a ＜X ≤b }＝P {a ≤X ≤b }＝P {a ＜X ＜b }＝P {a ≤X ＜b } 即在计算X 落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况．这里，事件{X ＝x 0}并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的． （2）不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件．同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件．
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ❶ 0i p ≥ ❷11n i i p ==∑ ❸分布函数()i i x x F x p == ∑ ❹1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x d x -∞= ⎰ 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ❶()0f x ≥ ❷ ()1f x dx +∞ -∞=⎰ ❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ⎰ ❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之 间取值的概率与区间端点无关，即：
常用离散型随机变量的分布函数 一、离散型随机变量： （1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。 其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下： （2）性质：?0i p ≥ ?1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- 二、连续型随机变量： （1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞ = ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。 （2）连续型随机变量的密度函数的性质：?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞ =? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞ <≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= 三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别： (1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=； 而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 (2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. (4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即： {}{}{}{}()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-= ? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= 四、常用的离散型随机变量的分布函数： （1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为：
连续型随机变量的例子 连续型随机变量是在一定范围内可以取到无限多个可能值的随机变量。以下是一些常见的连续型随机变量的例子，并对它们进行详细描述： 1. 长度：长度是一个常见的连续型随机变量。例如，我们可以测量一条线段的长度，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 2. 面积：面积也是一个连续型随机变量。例如，在平面几何中，我们可以测量一个图形的面积，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 3. 体积：体积是一个连续型随机变量。例如，我们可以测量一个物体的体积，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 4. 时间：时间是一个连续型随机变量。我们可以测量事件发生或过程经历的时间，它可以取到无限多个可能的值，例如从0到无穷大的任意实数。
5. 温度：温度是一个连续型随机变量。例如，我们可以测量环境或物体的温度，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，例如从绝对零度（-273.15摄氏度）到任意高温的任意实数。 6. 速度：速度是一个连续型随机变量。例如，在物理学中，我们可以测量物体的速度，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 7. 质量：质量是一个连续型随机变量。例如，我们可以测量物体的质量，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 8. 声音强度：声音强度是一个连续型随机变量。例如，我们可以测量声音的强度，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 9. 电压：电压是一个连续型随机变量。例如，在电子学中，我们可以测量电路中的电压，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。 10. 能量：能量是一个连续型随机变量。例如，在物理学中，
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机 变量 概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。在概率 统计中，随机变量是一个非常重要的概念。随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。 一、离散型随机变量 离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。它的特点 是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。 离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。 离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。期望值表示随 机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。 离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。例如，在市场调研中，我们可 以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。 二、连续型随机变量 连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。与离散型随 机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范 围内随机变量出现的概率密度。与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。 连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。这些随机变量的取 值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。 与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。 期望值表示连续型随机变量的平均取值，方差表示连续型随机变量取值的离散程度。通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述连续型随机变量的分布特征。 连续型随机变量在实际应用中也有着广泛的应用。例如，在气象学中，我们可 以将气温视为一个连续型随机变量，通过分析气温的概率密度函数，可以了解不同气温区间出现的概率，从而预测未来的天气情况。 三、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 离散型随机变量和连续型随机变量是概率统计中两种常见的随机变量类型。它 们在定义、特点和应用方面存在一些区别和联系。 首先，离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值是 连续的。这是两者最本质的区别之一。 其次，离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述，而连续型随机变 量的概率可以通过概率密度函数来描述。概率分布函数和概率密度函数是两种不同的数学工具，用于描述离散型和连续型随机变量的概率分布情况。 此外，离散型随机变量和连续型随机变量的期望值和方差的计算方法也存在差异。对于离散型随机变量，期望值可以通过将每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；方差可以通过将每个取值与其对应的概率相乘再求和，再减去期望值的平方来计算。对于连续型随机变量，期望值可以通过将概率密度函数乘以自变量后再
随机变量的应用与分析方法随机变量是概率论和数理统计学中的重要概念，可用于描述一个随机事件的性质和特征。在实际应用中，随机变量常常用于对数据进行分析和建模，因此深入了解随机变量的应用和分析方法对于数据分析工作者非常重要。 一、随机变量的概念和类型 随机变量是指一个随机事件的结果可以用具体数值表示的数学对象。根据其取值方式，可以将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。 离散型随机变量是指随机事件所有可能的结果只能取有限个或者可列个数，而随机变量的取值也是有限个或可列个数的一种随机变量。例如，扔骰子种可能出现的结果只有1、2、3、4、5、6六个，因此扔骰子这个随机事件就是一个离散型随机变量。 连续型随机变量则是指随机事件的所有结果都是从一定的范围内取值的，而且该范围内的结果数量是无限的。而随机变量在这
个范围内的取值也是一个连续区间内的任意一个实数。例如，温度、速度、体积等连续的数量就可以看做是连续型随机变量。 二、随机变量的分布与特点 随机变量的分布就是它取值的概率分布，通常称为概率分布函数。概率分布函数可用于描述随机变量的分布规律和特征，如中心位置、分散程度等。 对于离散型随机变量，其概率分布函数也称为概率质量函数，在可列性的情况下通过概率质量函数计算所有可能取值的概率，而每个可能的取值的概率均为非负值，且所有可能的概率之和等于1。 对于连续型随机变量，其概率分布函数称为概率密度函数，概率密度函数的值只能看作是某个随机变量取值的可能性大小，而具体值并不表示概率。用积分形式求出某一范围内随机变量的概率，而且概率密度函数必须满足一定的条件，例如概率密度函数的积分值等于1。
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表 示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取 某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++= 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)
统计学中的随机变量 统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。而随机变 量是统计学中的重要概念之一，它在描述统计数据的分布、计算概率 以及进行假设检验等方面发挥着关键作用。本文将介绍统计学中的随 机变量的基本概念、性质及其在实际应用中的重要性。 一、随机变量的定义与分类 随机变量是一个数值函数，它的取值取决于随机试验的结果。随机 变量可以分为离散型和连续型两种类型。 1. 离散型随机变量 离散型随机变量是指在一组有限或可数的数值中取值的变量。比如，投掷一枚骰子，点数的取值范围是1到6之间的整数，这就是一个离 散型随机变量。 2. 连续型随机变量 连续型随机变量是指在一个区间范围内取值的变量，其取值可以是 任意实数。比如，测量一个人的身高，身高可以是从0到无穷大的任 意实数，这就是一个连续型随机变量。 二、随机变量的概率分布函数 随机变量的概率分布函数是描述其取值和对应概率之间关系的函数。离散型随机变量的概率分布函数通常称为概率质量函数，连续型随机 变量的概率分布函数通常称为概率密度函数。
1. 离散型随机变量的概率质量函数 离散型随机变量的概率质量函数以概率的形式给出每个可能取值的概率。比如，掷一枚骰子的结果可能是1、2、3、4、5或6，每个结果的概率都是1/6，这就是一个离散型随机变量的概率质量函数。 2. 连续型随机变量的概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数描述了变量在某一取值范围内的概率密度。在某个取值范围内的概率可以通过概率密度函数在该范围上的积分得到。常见的连续型随机变量的概率密度函数有正态分布、均匀分布等。 三、随机变量的数学期望与方差 数学期望和方差是描述随机变量特征的重要指标。 1. 数学期望 数学期望是随机变量在其所有可能取值上加权平均的值。对于离散型随机变量，数学期望可以通过每个可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。对于连续型随机变量，数学期望可以通过概率密度函数在整个取值范围上的积分得到。 2. 方差 方差是衡量随机变量取值分散程度的指标。方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。方差可以通过每个
随机变量的概念 一、引言 随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它是指在一次试验中可 能出现的各种结果所对应的数值。随机变量在实际问题中有着广泛应用，如金融、医学、工程等领域。本文将从定义、分类、性质和应用 四个方面详细介绍随机变量的概念。 二、定义 随机变量是指在一次试验中可能出现的各种结果所对应的数值。简单 来说，就是将样本空间中所有可能出现的结果都赋予一个数值。例如，抛硬币时正面朝上为1，反面朝上为0，则抛硬币这个试验就可以用一个随机变量X来表示：X=1表示正面朝上，X=0表示反面朝上。 三、分类 根据随机变量取值的类型不同，可以将其分为离散型和连续型两类。 1. 离散型随机变量 离散型随机变量取值只能是某些特定的离散值。例如掷骰子时点数只 能取1至6这几个整数值。离散型随机变量通常用概率分布函数来描 述其概率分布情况，如二项分布、泊松分布等。
2. 连续型随机变量 连续型随机变量取值可以是任意的实数值。例如测量一个人的身高时，可以得到任意一个实数值，而不是像掷骰子那样只能得到几个离散的 整数值。连续型随机变量通常用概率密度函数来描述其概率分布情况，如正态分布、均匀分布等。 四、性质 随机变量具有以下性质： 1. 取值范围 随机变量的取值范围是指它可能取到的所有数值。对于离散型随机变 量来说，其取值范围是一些离散的特定值；对于连续型随机变量来说，其取值范围是一个区间。 2. 概率分布函数 概率分布函数描述了随机变量取某个特定值的概率。对于离散型随机 变量来说，其概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续型随 机变量来说，其概率分布函数可以用概率密度函数表示。 3. 期望 期望是指在大量重复试验中，某一事件发生的平均次数。对于随机变 量来说，期望可以用其概率分布函数来计算。
随机变量的定义与分类 随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它 是随机现象的量化表达。随机变量不仅在概率论中有着重要的角色，在各种领域中都有广泛的应用。 一、随机变量的定义 在概率论中，对于一个实验，若对于每一个结果都可以对应唯 一的实数，我们称这个实数为随机变量。简单的说，随机变量是 指一个结果对应的数值量。 例如，掷一枚骰子，用X表示掷出的点数，X的取值范围为{1,2,3,4,5,6}。此时，X就称为一个随机变量。 在概率论的学习中，随机变量是研究随机现象的基本工具之一。 二、随机变量的分类 随机变量可以分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。
1.离散型随机变量 离散型随机变量是指在随机试验的结果中，取不到某些数，如 投硬币，它只有正反两个结果。如果用X表示正面朝上的次数， 那么X的取值范围为{0,1}，X就是离散型随机变量。离散型随机 变量在数值上是可数的，例如X的取值范围为{0,1,2,3,......}。 2.连续型随机变量 连续型随机变量是指在随机试验的结果中，每一个数都可以取到，如测量某件物品的长度，它的取值范围可以是任意的实数值，可以用X表示，X就是连续型随机变量。 由于连续型随机变量在数值上是不可列举的，所以它们的概率 密度函数是它们的数值范围上的函数。 三、随机变量的性质 1.累积分布函数
累积分布函数指的是随机变量X小于等于x的概率，也就是 P(X<=x)。对于任意的随机变量X，它的累积分布函数都是单调不降的，它满足以下性质： （1）F(x)≥0； （2）F(x)≤1； （3）F(x)单调不降； （4）当x→∞时，F(x)→1； （5）当x→-∞时，F(x)→0。 2.概率密度函数 概率密度函数是描述连续型随机变量在某一点上的概率密度值的函数，也称概率密度。对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下两个性质：
统计学基础知识之随机变量的种类与描述统计学基础知识之随机变量的种类与描述 随机变量的种类与描述 有些实验结果是用数值表现的，我们可以直接用这些数值代表随机变量的数值，如掷骰子的点数。但有一些试验的结果并不是数值，而是各种态度，观点和属性，如记录顾客的性别，对于这样的试验 结果，我们通常使用不同的数值来代表不同的结果，如令“男性 =1”，“女性=0”，这样就可以用随机变量来描述试验的结果了。 根据随机变量所代表数值的不同，随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量是指它全部的取值是有限个或可列无限多个。例如，每月销售的电脑数量就是一个离散型随机变量，它的取值是0，1，2，…。这是有限个变量值。上例中掷骰子的点数，也是一个离 散型随机变量。离散型随机变量还有一些其它例子： 1)一天内光顾某家商店的顾客人数; 2)固定资产由200万元达到10亿元的年数; 3)某年观看春节晚会的观众数; 4)一个班级上课迟到的学生数; 连续型随机变量是指在某一段区间上可以取无限多个数值的'随 机变量。也就是说连续性随机变量是个无间隔变量，他在一定区间 内可以取任何值。例如，每天接到的前两个电话的时间间隔是个随 机变量，这个随机变量的取值可以是任意X≥0。它可以是1min， 2.34min， 3.6547min等，因为在理论上任意两个时刻之间都可以有 无数个时间段，所以时间间隔是一个连续型随机变量。连续型随机 变量的其它例子还有：
1)一口油井每小时抽出是由的质量; 2)等待电梯所用时间; 3)企业一年的利润; 4)灯泡的寿命; 对于两种不同的随机变量，他们的概率计算也是不同的。离散型随机变量的取值可以一一举例，因而可以分别计算他们的概率值，而连续型随机变量的取值是连续的，计算概率的方法相对复杂。
连续型随机变量的分布与应用连续型随机变量是概率论与数理统计中重要的研究对象之一，它与离散型随机变量相辅相成，被广泛应用于各个领域。本文将探讨连续型随机变量的分布特性以及在实际问题中的应用。 一、连续型随机变量的定义与性质 连续型随机变量是在一定范围内取任意实数值的随机变量。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是实数区间内的任意一个点，且其概率密度函数可用来描述其分布特性。 1. 概率密度函数 对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意x，有f(x) ≥ 0； （2）归一性：∫f(x)dx = 1。 2. 分布函数 连续型随机变量的分布函数F(x)定义为X ≤ x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。由于连续型随机变量无论取任何具体值的概率都是0，因此F(x)可用概率密度函数进行求解。 二、常见的连续型随机变量分布 在概率论与数理统计中，涉及到很多形式不同的连续型随机变量分布。下面介绍几种常见的分布类型及其特点。
1. 均匀分布 均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在给定区间上的密度函数是常数。均匀分布常用于模拟实验、随机抽样等场景。 2. 正态分布 正态分布，又称高斯分布，是自然界中许多现象的分布模型。它以其钟形曲线而著名，均值、方差是正态分布的两个重要参数。正态分布在统计推断、假设检验等方面有广泛的应用。 3. 指数分布 指数分布广泛应用于描述一些事件的持续时间或间隔时间，如设备寿命、电话呼叫等。它具有无记忆性质，也就是说未来的发生与过去无关，仅与当前时刻有关。 4. 泊松分布 泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积、单位长度等）内某事件发生的次数的概率分布。泊松分布常用于描述到达某一地点的车辆数、电话呼叫数等。 5. 威布尔分布 威布尔分布常用于描述产品寿命或可靠性的分布。它是指数分布的一般形式，通过加入形状参数来调整分布的形态。 三、连续型随机变量在实际问题中的应用 1. 风险分析
随机变量函数 随机变量函数的概念是统计学中的基本概念，它描述了那些具有不确定性、随机性的变量及其变化规律。随机变量函数可以分为离散型和连续型，其中离散型随机变量函数指的是概率解释下，某种随机事件发生的可能性分别对应着一组离散的数值，而连续型则是某种事件发生的概率分布函数，以及其中每一点取值的概率。 随机变量函数一般用来描述某个实验取值的概率分布模型，通过它可以计算出该实验的期望值、方差、分布曲线及概率密度等。例如，在信息论中，自由度概率密度函数就可以用来描述发射源的信息熵。 离散型随机变量函数的计算方法是计算某一特定值出现的概率。离散型随机变量函数可以表示为数学形式，通常表示为： P(X=x)，其中X表示一个离散型随机变量，P(X=x)表示x值概率。此外，某一特定值x发生的概率可以通过其对应的分布函数（密度函数）来表示：f(x)=P(X=x)。 连续型随机变量函数的计算方法是求出某一区间内某个或多个值出现的概率。连续型随机变量函数可以用下述的数学形式来表示：P(a 随机变量函数来确定抽样时，样本空间分布的变化规律，以此来确定抽样结果的可靠性。 无论是离散型还是连续型的随机变量函数，它们都有它们自身特定的分布情况，它们都可以用来描述某一实验取值的概率分布情况。此外，由于随机变量函数能够提供变量取值的概率分布信息，因此，它们在概率论和统计学中都有着广泛的应用。 离散型随机变量与连续型随机变量是概率论中的两个重要概念，它们 在描述随机现象和量化随机变量的分布特征时起着关键作用。在实际 问题中，我们常常需要区分离散型和连续型随机变量，并且要深入理 解它们之间的关系。 一、离散型随机变量的定义与特点 离散型随机变量是指其取值有限或者可数，并且每个取值都有一定的 概率。离散型随机变量通常用概率分布来描述，其概率分布函数（Probability Mass Function，PMF）可以用来描述每个取值的概率。离散型随机变量的特点包括以下几点： 1. 取值有限或者可数，不会出现连续的取值。 2. 每个取值都有一定的概率。 3. 概率分布函数可以明确地给出每个取值的概率。 二、连续型随机变量的定义与特点 连续型随机变量是指其取值在一个区间内连续变化，并且每个取值的 概率为0。连续型随机变量通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述，其概率密度函数可以用来描述取 值落在某个区间内的概率。连续型随机变量的特点包括以下几点： 1. 取值在一个区间内连续变化，可以取无穷多个不同的取值。 2. 每个取值的概率为0，只能描述落在某个区间内的概率。 3. 概率密度函数可以用来描述落在某个区间内的概率密度，而不能直接给出每个取值的概率。 三、离散型随机变量与连续型随机变量的关系 离散型随机变量与连续型随机变量之间存在着密切的关系，主要体现在以下几个方面： 1. 范围上的关系：离散型随机变量的范围是有限或者可数的，而连续型随机变量的范围是连续的。可以说，连续型随机变量是离散型随机变量的一种拓展，即将离散型随机变量在实数范围上进行了拓展，使其可以取无穷多个取值。 2. 概率分布的通联：离散型随机变量用概率分布函数描述每个取值的概率，而连续型随机变量用概率密度函数描述落在某个区间内的概率密度。其实，两者都是描述了随机变量在某个范围内取值的概率分布情况，只不过形式上有所不同。 3. 极限的关系：由于连续型随机变量的范围是无穷的，因此在一定条件下，当离散型随机变量的取值足够大时，它们和连续型随机变量在数学上是可以相互接近的。 需要指出的是，离散型随机变量与连续型随机变量虽然在描述和性质上有所不同，但在实际问题中常常是相互转化的。可以通过极限的方法将离散型随机变量近似为连续型随机变量，也可以通过离散化的方法将连续型随机变量近似为离散型随机变量。这种相互转化的方法在 概率论与数理统计教学教案 第2章 随机变量及其分布 教 学 基 本 内 容 一．随机变量 1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示． 2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量. 二．分布函数 1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数． 2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图． 3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有： {}{}{}()()P a X b P X b P X a F b F a <≤=≤-≤=-, 授课序号02 (,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ()P λ． A 在一次试验中出现的概率为(1k k n n C p →∞-. ）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p ． ）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数 (,,H n N 件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03离散型随机变量与连续型随机变量的关系
随机变量及其分布教案
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