函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数 ()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2． 因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 +=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639 ==米， 2 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
三角函数中的易错题 三角函数是中学数学的重要内容，但涉及知识重复、题型多样，解题方法灵活多变，但不少学生由于对知识理解的不深或思维不严密，做题过程中往往由于忽视一些条件而导致错误，现针对学生们容易出现的一些问题给予点拨。 一．例1、求函数y= x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 错解：∵ y=x x 2tan 1tan 2-= tan 2x ∴ T= π/2 假如 T=π/2 是y=x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 则有∫（0+π/2)=∫(0) 成立 而实际上 当x=0+π/2时，函数y= x x 2tan 1tan 2- 无意义 ∴T=π/2不是函数y= x x 2tan 1tan 2-的最小正周期 正解： y= x x 2tan 1tan 2- 其定义域为x=k π±π/4 x ≠k π+π/2 由图像可知：函数y= x x 2tan 1tan 2- 最小正周期应为π 练习： 求函数y=x x x x cos 3cos sin 3sin ++ 的周期T ［T= π ］ 二、例2、设sin α+ sin β =1/3 求sin α-cos 2β的最值。 错解：sin α=1/3-sin β 由 -1≤sin α≤1 知 -1≤1/3-sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤4/3 ∵sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤1 ∴sin α-cos β=1/3-sin β-(1-sin β）=(sin β-1/2)-11/12 当 sin β=1/2时，有最小值-11/12
当sinβ=-1时, 有最大值4/3 分析：最大值不对，原因在于未注意函数的有界性 正解：sinα-cosβ=(sinβ-1/2)-11/12 当sinβ=1/2时，有最小值-11/12 当sinβ=2/3时, 有最大值4/9 练习：若sinαsinβ=1/3 则cosαcosβ的取值范围。［-2/3,2/3］三、例3、在△ABC中，sinA=3/5, cosB=5/13 求cosC 错解：∵sinA=3/5 ∴cosA=±4/5 ∵cosB=5/13 ∴sinB=12/13 ∴cosC=-cos(A+B)=16/65或56/65 分析：A、B、C是三角形的内角，当A+B＜π时应深入讨论A、B的实际变化范围。 即由sinA=3/5 而1/2<3/5π 不合题意 ∴只有π/6 2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I 初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【解析】 分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A（1，1）， ∴OA=， ∴BO=， ∵直线AC的解析式为y=x， ∴直线BD的解析式为y=-x， ∵OB=， ∴点B的坐标为（?，）， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴， 解得，k=-3， 故选C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到 达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重 高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ， 三角部分易错题选 一、选择题： 1．为了得到函数?? ? ? ?- =62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 答案: B 2．函数?? ? ? ??+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C 2 π D 23π 答案: B 3．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 正确答案：A 4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+ 4π),其中以点(4 π ,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 正确答案：D 5．函数y=Asin(ωx+?)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+?)(ω>0, A ≠0)的图象在区间 (x 0,x 0+ω π )上（ ） A ．至少有两个交点 B ．至多有两个交点 C ．至多有一个交点 D ．至少有一个交点 正确答案：C 6． 在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 π或π65 D ． 3π或3 2π 正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。 7．已知tan α tan β是方程x 2 +33x+4=0的两根，若α，β∈(-2 ,2π π)，则α+β=（ ） A ． 3 π B ． 3 π或-π32 C ．- 3 π或π32 D ．-π3 2 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8． 若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 解一：设点(sin cos )θθ，，则此点满足 x y x y +=+=???1 1 22 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 1．（2010?嘉祥县校级模拟）已知函数 （ω＞0）， ，且f （x ）在区间 单调递减，则ω的值为（ ） 2．（2006?奉贤区一模）函数，则集合{x|f （f （x ））=0} 元素的个数有（ ） 3.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 4．（2011?安徽）已知函数f （x ）=sin （2x+φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （）|对x ∈R 恒成立，且)()2 (ππ f f ＞，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 5．已知ω＞0，函数f （x ）=cos （﹣ωx ）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） 6．（2014?大庆一模）已知函教f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 7.（2013?和平区校级二模）函数f （x ）在R 上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f （2cos 2θ+2msin θ）+f （﹣2m ﹣3）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 8．（2012?安徽模拟）函数)2 sin()(?π +=x a x f 的一个零点为，且 ， 对于下列结论：①；②；③ ④f （x ）的单 调减区间是 ；⑤f （x ）的单调增区间是 ．其中正确的结论是．（填写所有正确的结论编号） 9.（2014?陕西校级一模）方程在区间[0，π]内的所有实根之和为．（符号[x]表示不超过x的最大整数）． 10.（2009?静安区一模）（理）已知函数a cos 4 )(sin cos ) (的 =) 2 sin ( x a x x - x - x - f+ 定义域为，则实数a的取值范围是．11.（2014秋?宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解 12.（2013春?下城区校级期中）已知函数f（x）=，x∈[0，） （1）若g（x）=f（x）+，求g（x）的最小值及相应的x值 （2）若不等式（1﹣sinx）?f（x）＞m（m﹣sinx）对于恒成立，求实数m的取值范围． 13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则 ①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数； ④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）． 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 高中数学易做易错题 专题一：三角比 1．若角α终边上一点P的坐标为（θ cos，θ sin）（Z k k∈ + ≠, 2 π π θ），则θ α-＝。错解：由θ αtan tan=得π θ αk = -（Z k∈）。 正解：同时θ αsin sin=，θ αcos cos=，∴π θ αk2 = -（Z k∈）。 2．已知β α β αtan 3 tan , sin 2 sin= =，求α 2 cos。 错解：由1 cot csc2 2= -β β消去β得1 cot 9 csc 42 2= -α α，解得 8 3 cos2= α。 分析：遗漏0 sin= α的情形。还有1 cos2= α的情形。 3．已知α、β∈（0，π）， 13 5 ) sin( , 2 1 2 tan= + =β α α ，求β cos。 错解： 5 4 4 1 1 2 1 2 2 tan 1 2 tan 2 sin 2 = + ? = + = α α α， 5 3 4 1 1 4 1 1 2 tan 1 2 tan 1 cos 2 2 = + - = + - = α α α ∵α、β∈（0，π），∴ 13 12 169 25 1 ) ( sin 1 ) cos(2± = - ± = + - ± = +β α β α， ∴α β α α β α α β α βsin ) sin( cos ) cos( ] ) cos[( cos+ + + = - + = ∴ 65 16 cos- = β，或 65 56 cos= β。 分析：∵) sin( 13 5 5 4 sinβ α α+ = > =，∴ 2 π β α> +，∴ 13 12 ) cos(- = +β α，∴ 65 16 cos- = β。 集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 35种高中数学易错题失分题汇总解析 关键词：高考数学易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表： 正文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中 有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关. 1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 1.数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且 高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-2 1或a ≥2 1 B.a ＜2 1 C.-2 1≤a ≤2 1 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ?0且20140120 a a a ??≤?-≤?≥?>?. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥?+≥??-≤ 必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥?，有下列命题： ①//l m αβ?⊥ ；②//;l m αβ⊥?； ③//.l m αβ?⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④80个高中数学易错题
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