第三节 洛伦兹变换式
教学内容：
1. 洛伦兹变换式的推导；
2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：
狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求：
1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；
2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；
3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()?
????
???
??
?
-'+'='='=-'+'=2
22
11c v c x v t t z z y y c v t v x x
据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系
作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，
x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）
根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
2. 由光速不变原理可求出常数k
设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：
t t c x x '='2
()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22
()222v c t t k -'=
由由此此得得到
到
()22211
c v v c c k -=
-=。。
这样，就得到
()
2
1c v vt x x --=
'，
()
2
1c v t v x x -'+'=
。由上面二式，消去x '
得到()
2
21c v c vx t t --=
'；若消去x 得到()
2
21c v c x v t t -'+'=
，综合以上结果，
就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()?????
???
???
-'+'='='=-+'=222
11c v c x v t t z z y y c v vt x x
可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
3. 讨论
（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。
（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。
四、相对论速度变换公式
洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。
设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y
x
u u
u ,,，
()
z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变
换式可得：
()()()()()2
22111c v dt
v u c v dt v dt dx c v vdt
dx x d x --=--=--=
'
()
()
()
2
2
2
2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=
--=
'
因此：
()()
(
)
()
2
2
2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=
''，即：
2
1c vu v
u u x x x --=
'
因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则
()
()
22
11c v c vu dt dy
t d y d x --=''，即
()22
11c vu c v u u x y y --=
'。同理：()2
2
11c vu c v u u x z z --='
因此得相对论的速度变换公式：
2
1c vu v
u u x x x --=
'、
()2
2
11c vu c v u u x y y --=
'、
()
2
2
11c vu c v u u x z z --='
其逆变换为：
21c u v v u u x x x '++'=、
()2
2
11c u v c v u u x y y '+-'=、
()2
2
11c u v c v u u x z z '+-'=。
讨论
（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v
u u x x -='。
（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。
证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者
测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=2
1，即光信号在S 系和S '系中都相同。
第四节 狭义相对论的时空观
一、 一、 同时的相对性
1. 概念
狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。
如图设S '系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。当灯发出闪光时：
S '系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A 、B 两
端；
S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达A 再到达B ，不同时到达。
结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。
假设两个事件P 1和P 2，在S 系和
S '系中测得其时空坐标为：
()()
()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：
由洛伦兹变换得：
()
()
2
2222
2
2111
11c v c x v t t c v c vx t t --='--='，
在S 系和
S '系中测得的时间间隔为()12t t '-'和（t 2-t 1
），它们之间的关系为：
()()()2
2
121212
1c v c x x v t t t t ----='-'
可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
2. 讨论
（1）在S 系中同时发生：t 2
=t 1
，但在不同地点发生，12x x ≠，则有：
()()
2
2
2112
1c v c x x v t t --='-'
这就是同时的相对性。
（2）在S 系中同时发生：t 2
=t 1
，而且在相同地点发生，12x x =，则有：
()()()
12
2
2
121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='?，
()()()12
2
12121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，
即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。
（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后
假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过t ?时间后到达x x ?+处，则由：
()2
2
1c
v c v x t t --=
'
得到
()(
)()?
?? ????=--?=
-?-?=
'?t x u c v c v u t c v c v x t t 11122
22
因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。
（4）上述情况是相对的。同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S
系看来同样也是不同时的。
（5）当
c v ??时，t t ?≈'?，回到牛顿力学。
二、长度收缩（洛伦兹收缩）
假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12
x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得
12x x l -=。由洛伦兹坐标变换式：
()
()
2
222
2
111
11c v vt x x c v vt x x --='--='，
得：
()()()
()2
1
22
12121211c v x x c v t t v x x x x --=----='-'
即
()2
1c v l l -'=
1. 固有长度
观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。即
()
2
01c v l l -=
2. 洛伦兹收缩（长度缩短）
观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的
()
2
1c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。
讨论：
（1）长度缩短效应具有相对性。若在S 系中有一静止物体，那么在
S '系中观察者将
同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有
()
2
1c v l l -='
即看人家运动着的尺子变短了。
（2）当v < l l '≈ 三、时间膨胀（时间延缓） 由洛伦兹变换得()()()2 21212 121c v c x x v t t t t -'-'+'-'= -，事件P 1 、P 2 在S 系 中的时间间隔为 12t t t -=?，事件P 1 、P 2 在S ’系中的时间间隔为12 t t t '-'='?。如果在S ’系中两事件同地点发生，即 12 x x '='，则有： () () 2 2 121211c v t c v t t t t t -'?= -'-'= -=? 1. 固有时间（原时）的概念 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用 0τ表示，且： () 2 1c v t -= ?τ。 2. 时间膨胀 在S 系看来： 0τ??t ，称为时间膨胀。 3. 讨论 （1）时间膨胀效应具有相对性。若在S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为Δt （称为原时），则同理有 () 2 1c v t t -?= '?就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。 （2）当v ＜＜c 时，有t t ' ?≈? （3）实验已证实 μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。 例1: 在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在 x x '轴上相距 m .31001?处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距m 3100.2?。 问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？ 解：由题意知，在 S 系中， ，12t t =，即0 12=-=?t t t ， m x x 312100.1?=-。。而而在在S S ’’系系看看来来，，时时间间间间隔隔为 为12t t t '-'='?，，空空间间间 间 隔为 m x x 312 100.2?='-'。。 由洛伦兹坐标变换式得： ()()() () () 1112 122 121212 c v x x c v t t v x x x x --= ----='-' ()() ()2 1221212 1c v x x c v t t t t t ----='-'='?()() ()() 2121 22212 x x c v c v x x c v '-'=--= 由（1）式得()()c c x x x x v 2341112 12 12122 12=??? ??-=??????'-'--= 代入（2）式得 ()s c t 6 3 3 31077.510310310223-?=??=??='? 例2: 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16 103.4?m 。 设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 解：以地球上的时钟计算： 816 103999.0103.42????= =?v s t a 91087.28=?=（a 为a n n u a l 之首字母）； 若以飞船上的时钟计算：（原时），因为 ()2 1c v t t -'?=? 所以得 ()2 82999.011087.21-??=-?='?c v t t ()a s 4.01028.17=?= 第三节 洛伦兹变换式 教学内容： 1. 洛伦兹变换式的推导； 2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点： 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求： 1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导； 2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念； 3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 ()()????? ??? ???--='='='--=' 222 11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()? ???? ??? ?? ? -'+'='='=-'+'=2 22 11c v c x v t t z z y y c v t v x x 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1. 时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。 对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。 在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点， x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。 在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。 同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ） 根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。 狭义相对论 狭义相对论基本原理： 1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价 的。 2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。 假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。 Ⅰ洛伦兹变换 现假设，x ’=k(x-vt)①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。将①代入②： x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②： ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/c ct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2 k= 2 2 /11c v - 将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=2 2 /1c v vt x -- y ’=y z ’=z t ’= 2 2 2/1/c v c vx t -- 或有 x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立， x ’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k= 2 2 /11c v - Ⅱ同时的相对性 第三节洛伦兹变换式 教学内容： 1. 洛伦兹变换式的推导； 2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点： 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求： 1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导； 2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念； 3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 x x vt 1 v c 2 y y z z t t vx c2 \1v c 2 或 x x vt J1 v c 2 y y z z t t vx c2 J v c 2 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1.时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间 和空间都是均匀的，因此时空坐标 间的变换必须是线性的。 对于任意事件P在S系和S 系中的时空坐标(x, y, z, t)、(x', y'，z'，t')，因S'相对于S 以平行于 x轴的速度v作匀速运动，显然有 y'=y,z'=z。 在S系中观察S系的原点， x=0 ；在S'系中观察该点， x'= -vt'，即x'+vt'=O。因此x=x '+vt'。 在任意的一个空间点上，可以设：x=k( x '+ vt') ，k是一比例常数。 同样地可得到：x'= k' ( x-vt) = k' (x+ (-v)t) 根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号)，所以k=k'。 V1 v,c 2 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。 3. 讨论 (1) 可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象, 故它有一定的适用范围。 (2) 当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情 形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。 2?由光速不变原理可求出常数k 设光信号在S 系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t (或t')， 光信号到达点在S 系和S'系中的坐标分别是：x=ct, x'=ct'，贝, k 2 x 2“ xx c tt 2 2 k tt c vt x vt 2 k ct vt ct vt 由此得到 这样，就得到 得到 就得到 v 2 x vt x vt 由上面二式，消去x' vx c 2 vx c 2 洛仑兹变换， 或 若消去x 得到 洛仑兹反变换 vt 2 t vx c ,综合以上结果, vt t vx c 2 v'1 首先，我们要给出狭义相对论的两个基本假设： 1、相对性原理。 2、光速不变原理。 所谓相对性原理指的是一个原则，物理规律在不同的惯性参照系中，有相同的数学形式。关于这个原理，在我们这次推导过程中并没有显著地用到，这里就一笔带过吧。 这里要详细说一下光速不变原理。 光速不变原理的一个通俗的解释就是：光在任何惯性系中都有相同的速率。 这个解释其实和我们的日常生活是有尖锐矛盾的，下面我们通过例子来详细体会一下这种矛盾到底尖锐到什么程度。 我们设想一个场景：A和B两个人，A静止在地面上，A用一把枪瞄准了B，在某时刻开了一枪，B在子弹出膛的瞬间以一个恒定的速度逃跑。我们知道，如果B逃跑的速度非常快，要是和子弹速度一样的话，子弹是追不上B的，看下图。 详细地考察这个过程，我们会看到是这样的：在子弹射出枪膛后的一段时间里，子弹以一个大的速度前进了一段距离（比如前进了4米）。而B则相同的速度也前进了一段相同的距离（也前进了4米），子弹与B的间距并没有减小（一直是10米）。无论子弹飞了多久，子弹和B的间距仍然是相同的（10米），子弹是追不上B的。这是我们熟悉的常识。 现在这个例子中，我们假定A开的是激光枪，射出的不是子弹，而是一束激光。再假定B 逃跑的速度十分接近光速（不设B逃跑速度为光速，是为了避免一个混乱）。那么在地面上的A看来，在一段时间内，激光和B由于速度十分相近，所以激光慢慢地接近B，而追上B则会花大量的时间。 而在B看来会怎么样？B也是一个惯性系，而光速不变原理指出，激光在B惯性系里也是以光速前进的，所以B会惊恐地发现，激光在极短的时间内就击中了他。 如果仔细对比A和B这两人对同一个过程（A向B射击激光束，最后B被激光束击中）的 观察，会发现俩人的看法具有很大的差异，在这里的巨大差异体现在两人对激光自射出枪膛到击中B所用的时间是完全不同的：A发现激光束击中B发生在激光束被射出后的很长的一段时间后（比如1小时之后），而B却发现激光束自被射出到射中自己，花了连1微妙 都不到的时间。这是多么不可思议的事情？对于同一个过程，两个处在不同运动状态的观察者，居然会有截然不同的描述。 我们现在把这个例子中的AB初始间距拉得长一点，比如300万公里。于是在B的眼里， 自激光发射到击中B的过程中，B竟然还享受了人生最后的一根烟。他抽这根烟，花了10 秒钟。那么A怎么看呢？很明显，A发现激光击中B，和B抽完那根烟是同时同地发生的 事情。而A发现激光束追到B花了1个小时的时间，那也就是说，A发现B的这根烟，抽 了1个小时。A发现B抽烟的速度很慢，不但如此，A还发现B做任何事情的速度都很慢， 比如点烟、心跳、呼吸等，都极其缓慢。同样，A也发现B手上的手表指针也走得很慢很 慢。这是什么？这就是“时间膨胀”：A发现B惯性系中的时间，走得比A自己要慢。 这在我们日常经验中是不可思议的，然而光速不变原理指出，事情就是这样的。 一、间隔不变原理 1、事件：一件事情发生可以用地点和时间来标识。在一个参考系如S 中可以记作(,,,),x y z t 另一参考系' S 中可以记作''''(,,,),x y z t 两件事情发生，分别在两参考系中可以记为 22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ?=-+-+--- 这两事件的间隔在' S 参考系中定义为 '2''2''2''22' '221212121()()()()s x x y y z z c t t ?=-+-+--- 注意两事件的间隔只能在同一惯性参考系才有意义，2 s ?是一种整体记法，就表示两事件在S 系中的惯性，计算方法如下， 22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ?=-+-+--- 不表示两间隔之差，这种写法22221s s s ?=-是错误的。 由光速不变原理可以推出间隔不变：任何两事件的间隔，从一个惯性参考系变换到另一惯性参考系保持不变。2 '2 s s ?=? 二、洛伦兹变换 设惯性参考系' S 相对于惯性参考系S 以速度v 运动，选取两个参考系的坐标轴相互平行，x 轴方向沿速度v 方向，且0t =时两坐标原点重合。 在这种情况下有 '',y y z z == 考虑两个事件，事件1在0t =时刻发生在两惯性参考系的原点，事件2在S 系中发生t 时刻，两事件在两个惯性参考系S 和' S 分别记为 由两事件在两惯性参考系中间隔相等可以得到 '2'2'22'222222x y z c t x y z c t ++-=++- （1） 由于从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的变换为线性变换，所以有 '1112' 2122x a x a ct ct a x a ct =+=+ （2） 将（2）式代入（1）式再结合' ' ,y y z z ==可以得到 洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的 现在我们设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。 可令 （1）. 又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有 ，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。 故有 （2）. 对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得 （3）. （4）. 将（2）代入（1）可得： ，即 （5）. （1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有 ， 。 代入（1）（2）式得： ， 。两式相乘消去t和T得： . 将γ反代入（2）（5）式得坐标变换： 3．速度变换： 同理可得V（y），V（z）的表达式。 4．尺缩效应： B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由 得： ，又△t=0（要同时测量两端的坐标），则 ，即： ， 。 5．钟慢效应： 由坐标变换的逆变换可知， ，故 ，又 ，（要在同地测量），故 。 （注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。） 6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是： ） B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t（b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为 （1）. 探测器开始接收时刻为 ，最终时刻为 ，则 （2）. 相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 第17卷第8期大 学 物 理V o l.17N o.8 1998年 8月COLL EGE PH YS I CS A ug.1998 关于洛伦兹变换的推导 王笑君1) 关 洪2) (1)华南师范大学物理系,广州 510631;2)中山大学物理系,广州 510275)α 摘 要 介绍了从时空的一些普遍性质出发而推导洛伦兹变换的几种有代表性的方法,特别阐明了每种方法的推导依据(包括隐含的依据),并对这些依据所对应的物理意义进行了讨论. 关键词 洛伦兹变换;推导 分类号 O412.1 长期以来,在国内刊物发表的一些文章[1]上,以及笔者不时有机会看到的一些稿件上,每每声称发现了推导狭义相对论里洛伦兹变换的新的基本方法.但在实际上,这些文稿往往只是前人工作的重复,并且还常常采取了一些不必要的或多余的假设;此外,一些已出版的书籍里,也存在着类似的问题.所以,系统介绍一下这方面的情况,相信是会有益处的. 我们所说的推导洛伦兹变换的基本方法,指的是从关于空间和时间的一些普遍性质出发而做的推导,不包括从例如电磁场方程的不变性那样的具体要求,或者从时间延长和长度收缩等“实验现象”(事实上不存在任何关于长度收缩的直接实验证据)出发所做的推导.下面按历史先后的顺序,简单地介绍几种有代表性的推导方法. 1 E i n ste i n的光速不变原理 众所周知,作为E in stein的狭义相对论基础的两条支柱,是他的“光速不变原理”和“相对性原理”.这两条原理可以简单地陈述如下: 1)物理定律在一切惯性参照系中都采取同样的形式. 2)在任何给定的惯性系中,光速c都是相同的,且与光源的运动无关. 今设在一惯性系S里的空时坐标是x、y、z 和t,在另一个惯性系S′里相对应的空时坐标是x′,y′,z′和t′.S′相对于S的速度沿着x轴亦即x′轴的方向,其大小为v;而且当t=0时,两个参照系的原点相重合.那么,根据光速不变原理2),对于从原点出发的光的传播过程,在参照系S和S′里应当分别有: x2+y2+z2=c2t2(1) x′2+y′2+z′2=c2t′2(2)容易算出,满足条件(1)和(2)的坐标的齐次线性变换关系,必定采取以下形式: x′=<(v) x-v t 1-(v c)2 y′=<(v) y z′=<(v) z t′=<(v) t-(v c2)x 1-(v c)2 (3) 这就是在E in stein的早期工作里得出的初步公式,其中含有一个未能确定的、仅含速度参数v的公共函数因子<(v)[2].这一因子的存在,反映了把任意参照系的空间和时间尺度乘上同一个系数,不会影响光的速度.从式(2)不难看出,如果采取光速c=1的自然单位,空间和时间的变换就呈 α 洛仑兹变换的严格推导 1 此推导过程从狭义相对性原理及光速不变原理出发，进行严格推导。 2 设事件P 在S 系中坐标为()t z y x ,,,,在'S 系中坐标为()',',','t z y x ， 'S 系以速3 度u 沿'S 系的x 轴正方向匀速运动。设真空中光速为c 。洛仑兹变换推导过程4 如下： 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因洛仑兹变换为伽利略变换中速度u 接近光速c 时的数学形式，当速度u 远18 远小于光速c 时洛仑兹变换应能退化为伽利略变换。所以参照伽利略变换，洛19 仑兹变换形式可设为： 20 ?????+=+=+=g f e d b a gt fz z et dy y bt ax x λλλλλλ''' ?? ???+=+=+=g f e d b a t g z f z t e y d y t b x a x ''''''''''''''''''λλλλλλ 21 1.讨论',x x 之间的数学关系： 22 当'',0ut x x -==时，有： 23 b a t b ut a '''')'('0λλ+-=，即b a a t b t u a '''''')('0λλλ+-= 24 't 为齐次型 a a a t b t u a b a '''''')('0,''λλλλλ+-==∴ 25 若等式成立，有：a a a b u b u a ''' ' ,') ('λλ-=--=- 26 u - 的正负性与 a a b '' ' λ-无关且有意义 1''==∴b a λλ 27 则''b u a -=-，有：''''ut a x a x += 28 当ut x x ==,0'时，有： 29 b a bt ut a λλ+=)(0，即b a a bt t au λλλ+=0 30 t 为齐次型 a a a bt t au b a λ λλλλ+==∴0, 31 若等式成立，有：a a a b u b au λ λ-=-=, 32 u 的正负性与 a a b λ-无关且有意义 1==∴b a λλ 33 则b au -=，有：aut ax x -='。这里有： 34 ? ??+=-='''''ut a x a x aut ax x ，由狭义相对性原理可知，应有'a a =，则： 35 ? ??+=-='''aut ax x aut ax x (1) 36 2.讨论 ',y y 之间的数学关系： 37 当0',0==y y 时，e t e '''0λ= 0'≥t 0'=∴e 38 精心整理 第三节洛伦兹变换式 教学内容： 1.洛伦兹变换式的推导； 2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点： 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求： 1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导； 2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念； 3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - =' =' =' - - =' 2 2 2 1 1 c v c vx t t z z y y c v vt x x 据狭义相对论的两个 1.时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间 的，因此时空 对于任意的时空坐标(x， y，z，t)、(x'，S以平行于x 轴的速度v作,z'=z。 在S系中在S'系中观察 该点，x'=-v t'，x'+v t'。 在任意的：x=k（x'+v t'）， k是—比例常数。 同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t） 根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。 2.由光速不变原理可求出常数k ????设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则： 由此得到 ()2 2 21 1 c v v c c k - = - = 。 这样，就得到 () 2 1c v vt x x --= '， () 2 1c v t v x x -'+'= 。由上面二式，消去x '得到 () 2 21c v c vx t t --= '；若消去x 得到() 2 21c v c x v t t -'+'= ，综合以上结果， 就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。 3.讨论 （1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。 （ 学仅是相对论洛变换公式。 设因因此此： ： 因因y y ''==y 。同理： u z '因此得其逆变换为： 21c u v v u u x x x '++'=、 ()2 2 11c u v c v u u x y y '+-'=、 ()2 2 11c u v c v u u x z z '+-'=。 讨论 （1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 v u u x x -='。 （2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。 证明：设S '系中观察者测得沿x '方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者测得该光信号的速度为： 大 学 物 理 科技期刊 COLLEGE PHYSICS 1998年8月 第17卷 第8期 关于洛伦兹变换的推导 王笑君1) 关 洪2) 1) 华南师范大学物理系，广州 510631； 2) 中山大学物理系，广州 510275) 摘 要 介绍了从时空的一些普遍性质出发而推导洛伦兹变换的几种有代表性的方法，特别阐明了每种方法的推导依据(包括隐含的依据)，并对这些依据所对应的物理意义进行了讨论. 关键词 洛伦兹变换；推导 分类号 O 412.1 长期以来，在国内刊物发表的一些文章［1］上，以及笔者不时有机会看到的一些稿件上，每每声称发现了推导狭义相对论里洛伦兹变换的新的基本方法.但在实际上，这些文稿往往只是前人工作的重复，并且还常常采取了一些不必要的或多余的假设；此外，一些已出版的书籍里，也存在着类似的问题.所以，系统介绍一下这方面的情况，相信是会有益处的. 我们所说的推导洛伦兹变换的基本方法，指的是从关于空间和时间的一些普遍性质出发而做的推导，不包括从例如电磁场方程的不变性那样的具体要求，或者从时间延长和长度收缩等“实验现象”(事实上不存在任何关于长度收缩的直接实验证据)出发所做的推导.下面按历史先后的顺序，简单地介绍几种有代表性的推导方法. 1 Einstein的光速不变原理 众所周知，作为Einstein的狭义相对论基础的两条支柱，是他的“光速不变原理”和“相对性原理”.这两条原理可以简单地陈述如下： 1) 物理定律在一切惯性参照系中都采取同样的形式. 2) 在任何给定的惯性系中，光速c都是相同的，且与光源的运动无关. 今设在一惯性系S里的空时坐标是x\,y\,z和t,在另一个惯性系S′里相对应的空时坐标是x′,y′,z′和t′.S ′相对于S的速度沿着x轴亦即x′轴的方向，其大小为v；而且当t=0时，两个参照系的原点相重合.那么，根据光速不变原理2)，对于从原点出发的光的传播过程，在参照系S和S′里应当分别有： x2+y2+z2=c2t2 (1) x′2+y′2+z′2=c2t′2 (2) 容易算出，满足条件(1)和(2)的坐标的齐次线性变换关系，必定采取以下形式： 第三节 洛伦兹变换式教学内容： 1. 洛伦兹变换式的推导； 2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点： 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求： 1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导； 2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念； 3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 ()()????? ??? ??? --='='='--='222 11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()? ???? ??? ?? ? -'+'='='=-'+'=2 22 11c v c x v t t z z y y c v t v x x 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1. 时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。 对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。 在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点， x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。 在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。 同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ） 根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。 万方数据 万方数据 万方数据 洛伦兹变换推导方法探讨 作者：万滇天， 来淑芬 作者单位：万滇天(江西电力职业技术学院,江西南昌,330032)， 来淑芬(南昌航空大学,江西南昌,330063) 刊名： 江西电力职业技术学院学报 英文刊名：JOURNAL OF JIANGXI VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE OF ELECTRICITY 年，卷(期)：2011,24(1) 参考文献(2条) 1.史蒂芬·霍金;许明贤;吴忠超时间简史 2005 2.史蒂芬?霍金;吴忠超果壳中的宇宙 2005 本文读者也读过(10条) 1.蔡志东关于洛伦兹变换过渡到伽利略变换的条件问题[期刊论文]-物理通报2011,40(9) 2.冯胜奇洛伦兹变换成立的充分与必要条件[期刊论文]-物理与工程2010,20(4) 3.殷岳才.YIN Yue-cai爱因斯坦与物理规律的协变性[期刊论文]-沈阳师范学院学报(自然科学版)2000,18(2) 4.杨江河Lorentz变换的意义[期刊论文]-益阳师专学报2000,17(5) 5.狭义相对论百年风雨[期刊论文]-物理与工程2005,15(5) 6.汤庆国.吕仁花.TANG Qing-guo.LU Ren-hua关于能量--动量洛伦兹变换的讨论[期刊论文]-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(2) 7.吴文良.李玉清洛伦兹变换的逻辑隐患及解决方案[期刊论文]-云南民族学院学报(自然科学版)2003,12(1) 8.陈聪动能定理对伽利略变换具有不变性的一种证明[期刊论文]-职大学报2004(2) 9.罗明娅相对论洛伦兹变换的推导[期刊论文]-职大学报2001(4) 10.侯新杰.毕小群.薛晓舟因果性、因果反常和快子[期刊论文]-河南师范大学学报(自然科学版)2001,29(1) 本文链接：https://www.doczj.com/doc/4d14005666.html,/Periodical_jxdlzgdxxb201101029.aspx 坐标系K1 （O1，X1，Y1，Z1）以速度V相对于坐标系K（O，X，Y，Z）作匀速直线运动；三对坐标分别平行，V沿X轴正方向，并设X轴与X1轴重合，且当T1=T=0时原点O1与O重合。设P为被“观察”的某一事件，在K系中观察者“看”来。它是在T时刻发生在（X，Y，Z）处的，而在K1系中的观察者看来，它是在T1时刻发生在（X1，Y1，Z1）处的。这样的两个坐标系间的变换，我们叫洛伦兹坐标变换。 在推导洛伦兹变换之前，作为一条公设，我们必须假设时间和空间都是均匀的，因此它们之间的变换关系必须是线性关系。如果方程式不是线性的，那么，对两个特定事件的空间间隔与时间间隔的测量结果就会与该间隔在坐标系中的位置与时间发生关系，从而破坏了时空的均匀性。 例如 设X1与X的平方有关，即X1=AX^2，于是两个K1系中的距离和它们在K系中的坐标之间的关系将由X1a-X1b=A(Xa^2-Xb^2）表示。现在我们设K 系中有一单位长度的棒，其端点落在Xa=2m和Xb=1m处，则X1a-X1b=3Am。这同一根棒，其端点在Xa=5m和Xb=4m处，则我们得到X1a-X1b=9Am。这样，对同一根棒的测量结果将随棒在空间的位置的不同而不同。为了不使我们的时空坐标系原点的选择与其他点相比较有某种物理上的特殊性，变换式必须是线性的。 先写出伽利略变换 X=X1+VT1； X1=X-VT 增加系数k，X=k(X1+VT1)； X1=k1(X-VT) 根据狭义相对论的相对性原理，K和K1是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k1应该相等，即有k=k1。 这样， X1=k（X-VT） 为了获得确定的变换法则，必须求出常数k，根据光速不变原理，假设光信号在O与O1重合时（T=T1=0）就由重合点沿OX轴前进，那么任一瞬时T（由坐标系K1量度则是T1),光信号到达点的坐标对两个坐标系来说，分别是 X=CT； X1=CT1 XX1=k^2 (X-VT)(X1+VT1) C^2 TT1=k^2 TT1(C-V)(C+V) 由此得 洛伦兹变换的详细推导 第三节 洛伦兹变换式 教学内容： 1. 洛伦兹变换式的推导； 2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点： 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求： 1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导； 2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念； 3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 ()()???????? ???--='='='--=' 222 11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()???????? ?? ? -'+'='='=-'+'=2 22 11c v c x v t t z z y y c v t v x x 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1. 时空坐标间的变换关系 作为一条公 设，我们认为时 间和空间都是均 匀的，因此时空 坐标间的变换必 须是线性的。 对于任意事件P在S系和S'系中的时空坐标(x，y，z，t)、(x'，y'，z'，t')，因S'相对于S 以平行于x轴的速度v作匀速运动，显然有y'=y, z'=z。 在S系中观察S系的原点，x=0；在S'系中观察该点，x'=-v t'，即x'+v t'=0。因此x=x'+v t'。 在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x '+v t'），k是—比例常数。 同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t） 根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。 2.由光速不变原理可求出常数k 设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是： 第三节 洛伦兹变换式 教学内容: 1、 洛伦兹变换式的推导; 2、 狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩与时间的延缓; 重点难点: 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求: 1、 了解洛伦兹坐标变换与速度变换的推导; 2、 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩与时间延缓概念; 3、 理解牛顿力学中的时空观与狭义相对论中的时空观以及两者的差异。 三、洛伦兹坐标变换的推导 ()()????? ??? ???--='='='--=' 222 11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()? ???? ??? ?? ? -'+'='='=-'+'=2 22 11c v c x v t t z z y y c v t v x x 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1、 时空坐标间的变换关系 作为一条公设,我们认为时间与空间都就是均匀的,因此时空坐标间的变换必须就是线性的。 对于任意事件P 在S 系与S '系中的时空坐标(x ,y ,z ,t )、(x ',y ',z ',t '),因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动,显然有y '=y , z '=z 。 在S 系中观察S 系的原点,x =0;在S '系中观察该 点,x '=-v t ',即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。 在任意的一个空间点上,可以设:x =k (x '+v t '),k 就是—比例常数。 同样地可得到:x '=k '(x -v t )= k '(x +(-v )t ) 根据相对性原理,惯性系S 系与S '系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k =k '。 这里会给一些具体例子来推导一个简单的洛伦兹变换。需要说明的是，这个推导过程并不具有十分严格的意义，只是让大家能够从物理含义上看出洛伦兹变换是怎么回事。 首先，我们要给出狭义相对论的两个基本假设： 1、相对性原理。 2、光速不变原理。 所谓相对性原理指的是一个原则，物理规律在不同的惯性参照系中，有相同的数学形式。关于这个原理，在我们这次推导过程中并没有显著地用到，这里就一笔带过吧。 这里要详细说一下光速不变原理。 光速不变原理的一个通俗的解释就是：光在任何惯性系中都有相同的速率。 这个解释其实和我们的日常生活是有尖锐矛盾的，下面我们通过例子来详细体会一下这种矛盾到底尖锐到什么程度。 我们设想一个场景：A和B两个人，A静止在地面上，A用一把枪瞄准了B，在某时刻开了一枪，B在子弹出膛的瞬间以一个恒定的速度逃跑。我们知道，如果B逃跑的速度非常快，要是和子弹速度一样的话，子弹是追不上B的，看下图。 详细地考察这个过程，我们会看到是这样的：在子弹射出枪膛后的一段时间里，子弹以一个大的速度前进 了一段距离（比如前进了4米）。而B则相同的速度也前进了一段相同的距离（也前进了4米），子弹 与B的间距并没有减小（一直是10米）。无论子弹飞了多久，子弹和B的间距仍然是相同的（10米），子弹是追不上B的。这是我们熟悉的常识。 现在这个例子中，我们假定A开的是激光枪，射出的不是子弹，而是一束激光。再假定B逃跑的速度十 分接近光速（不设B逃跑速度为光速，是为了避免一个混乱）。那么在地面上的A看来，在一段时间内，激光和B由于速度十分相近，所以激光慢慢地接近B，而追上B则会花大量的时间。 而在B看来会怎么样？B也是一个惯性系，而光速不变原理指出，激光在B惯性系里也是以光速前进的，所以B会惊恐地发现，激光在极短的时间内就击中了他。洛伦兹变换的详细推导6
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