第三节 洛伦兹变换式
教学内容：
1. 洛伦兹变换式的推导；
2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：
狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求：
1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；
2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；
3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()?
????
???
??
?
-'+'='='=-'+'=2
22
11c v c x v t t z z y y c v t v x x
据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系
作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，
x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）
根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
2. 由光速不变原理可求出常数k
设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：
t t c x x '='2
()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22
()222v c t t k -'=
由由此此得得到
到
()22211
c v v c c k -=
-=。。
这样，就得到
()
2
1c v vt x x --=
'，
()
2
1c v t v x x -'+'=
。由上面二式，消去x '
得到()
2
21c v c vx t t --=
'；若消去x 得到()
2
21c v c x v t t -'+'=
，综合以上结果，
就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()?????
???
???
-'+'='='=-+'=222
11c v c x v t t z z y y c v vt x x
可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
3. 讨论
（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。
（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。
四、相对论速度变换公式
洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。
设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y
x
u u
u ,,，
()
z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变
换式可得：
()()()()()2
22111c v dt
v u c v dt v dt dx c v vdt
dx x d x --=--=--=
'
()
()
()
2
2
2
2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=
--=
'
因此：
()()
(
)
()
2
2
2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=
''，即：
2
1c vu v
u u x x x --=
'
因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则
()
()
22
11c v c vu dt dy
t d y d x --=''，即
()2
2
11c vu c v u u x y y --=
'。同理：()
2
2
11c vu c v u u x z z --='
因此得相对论的速度变换公式：
2
1c vu v
u u x x x --=
'、
()2
2
11c vu c v u u x y y --=
'、
()2
2
11c vu c v u u x z z --='
其逆变换为：
21c u v v u u x x x '++'=、
()2
211c u v c v u u x y y '+-'=、
()2
2
11c u v c v u u x z z '+-'=。
讨论
（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v
u u x x -='。
（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。
证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者
测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=2
1，即光信号在S 系和S '系中都相同。
第四节狭义相对论的时空观
一、一、同时的相对性
1. 概念
狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。
如图设
S'系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。当灯发出闪光时：
S'系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B两端；
S系（地面上）的观察者认为，A与光相向运动（v、c反向），B与光同向运动，所以光先到达A再到达B，不同时到达。
结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。
假设两个事件P1和P2，在S系和
S'
系中测得其时空坐标为：
()()
()()
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
t
z
y
x
t
z
y
x
S
t
z
y
x
t
z
y
x
S
'
'
'
'
'
'
'
'
'，
，
，
，
，
，
，
：
，
，
，
，
，
，
，
：
由洛伦兹变换得：
()()2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1c
v
c
x v
t
t
c
v
c
vx
t
t
-
-
=
'
-
-
='，
在S系和
S'
系中测得的时间间隔为
()
1
2
t
t'
-
'
和（t2-t1），它们之间的关系为：
()()
()2
2
1
2
1
2
1
2
1c
v
c
x
x
v
t
t
t
t
-
-
-
-
='
-
'
可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
2. 讨论
（1）在S 系中同时发生：t 2
=t 1
，但在不同地点发生，12x x ≠，则有：
()()
2
2
2112
1c v c x x v t t --='-'
这就是同时的相对性。
（2）在S 系中同时发生：t 2
=t 1
，而且在相同地点发生，12x x =，则有：
()()()
12
2
2
121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='?，
()()()12
2
12121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，
即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。
（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后
假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过t ?时间后到达x x ?+处，则由：
()
2
21c v c v x t t --=
'
得到
()(
)()?
?? ????=--?=
-?-?=
'?t x u c v c v u t c v c v x t t 11122
22
因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。
（4）上述情况是相对的。同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S
系看来同样也是不同时的。
（5）当
c v ??时，t t ?≈'?，回到牛顿力学。
二、长度收缩（洛伦兹收缩）
假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12
x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得
12x x l -=。由洛伦兹坐标变换式：
()
()
2
222
2
111
11c v vt x x c v vt x x --='--='，
得：
()()()
()
2
122
12121211c v x x c v t t v x x x x --=----='-'
即
()2
1c v l l -'=
1. 固有长度
观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。即
()
2
01c v l l -=
2. 洛伦兹收缩（长度缩短）
观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的
()
2
1c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。
讨论：
（1）长度缩短效应具有相对性。若在S 系中有一静止物体，那么在
S '系中观察者将
同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有
()
2
1c v l l -='
即看人家运动着的尺子变短了。
（2）当v < l l '≈ 三、时间膨胀（时间延缓） 由洛伦兹变换得()()()2 21212 121c v c x x v t t t t -'-'+'-'= -，事件P 1 、P 2 在S 系 中的时间间隔为 12t t t -=?，事件P 1 、P 2 在S ’系中的时间间隔为12 t t t '-'='?。如果在S ’系中两事件同地点发生，即 12 x x '='，则有： () ()2 2 121211c v t c v t t t t t -' ?= -'-'= -=? 1. 固有时间（原时）的概念 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用 0τ表示，且： () 2 1c v t -= ?τ。 2. 时间膨胀 在S 系看来： 0τ??t ，称为时间膨胀。 3. 讨论 （1）时间膨胀效应具有相对性。若在S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为Δt （称为原时），则同理有 () 2 1c v t t -?= '?就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。 （2）当v ＜＜c 时，有t t ' ?≈? （3）实验已证实 μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。 例1: 在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在 x x '轴上相距 m .31001?处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距m 3100.2?。 问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？ 解：由题意知，在S 系中， ，12t t =，即0 12=-=?t t t ， m x x 312100.1?=-。。而而在在S S ’’系系看看来来，，时时间间间间隔隔为 为12t t t '-'='?，，空空间间间 间 隔为 m x x 312 100.2?='-'。。 由洛伦兹坐标变换式得： ()()() () () 1112 122 121212 c v x x c v t t v x x x x --= ----='-' ()() () 2 1221212 1c v x x c v t t t t t ----='-'='?()() ()() 2121 22212 x x c v c v x x c v '-'=--= 由（1）式得 ()()c c x x x x v 2 3 41112 12 12122 12=??? ??-=??????'-'--= 代入（2）式得 ()s c t 6 3 3 31077.510310310223-?=??=??='? 例2: 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16 103.4?m 。 设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 解：以地球上的时钟计算： 816 103999.0103.42????= =?v s t a 91087.28=?=（a 为a n n u a l 之首字母）； 若以飞船上的时钟计算：（原时），因为 () 2 1c v t t -'?=? 所以得 ()2 82999.011087.21-??=-?='?c v t t ()a s 4.01028.17=?=
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