第二章 一阶微分方程的初等解法
2-1 已知?
≠=x
x dt t f x f 0 ,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。
解 对方程?
=x
dt t f x f 0
1)()(，两边关于x 求导得
?=+'x
x f dt t f x f 0
20)()()(，
即
0)()
(1
)
(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得
)
(21)(C x x f +±
=，
代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为x
x f 21)(=
。
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。
2-2 求具有性质)
()(1)
()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。
解 由导数的定义可得
s s x t x s x t x s x s
t x s t x t x s s )]()(1[)
()()(lim
)()(lim
)(200-+=-+='→→
s
s x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20?-+=→， 显然可得0)0(=x ，故
)](1[)0()
0()(lim
)](1[)(20
2t x x s
x s x t x t x s +?'=-?+='→
分离变量，再积分可得
])0(tan[)(C t x t x +'=，
再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因
子
)
,(),(1
y x yN y x xM +。
证 方法1 用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式
dy y x N dx y x M ),(),(+
)})(),(),(())(),(),({(21y
dy x dx y y x N x y x M y dy x dx y y x N x y x M --+++= 而
)ln(xy d y dy
x dx =+， y
x d y dy x dx ln =-， 所以原方程变为
0}ln )),(),(()ln()),(),({(21=-++y
x
d y y x N x y x M xy d y y x N x y x M 。 用y
y x N x y x M y x ),(),(1
),(+=
μ乘上式两边，得
0ln ),(),(),(),(21)ln(21=+-+y
x d y y x N x y x M y y x N x y x M xy d ， 由于
y y x N x y x M y y x N x y x M ),(),(),(),(+-为零次齐次函数，故它可表成y
x
的某一函数，记为)(y x f ，
)(ln )()(),(),(),(),(ln y
x
F e f y x f y y x N x y x M y y x N x y x M y x
===+-，
原方程进一步可改写成
0ln )(ln 21ln 21=+y
x
d y x F xy d ， 它为一个恰当方程，表明y
y x N x y x M y x ),(),(1
),(+=
μ为齐次方程的积分因子。
方法2 化为分离变量方程求积分因子。
设),(),,(y x N y x M 是m 次齐次函数，则令ux y =， udx xdu dy +=，有
),,1(),(),(u M x xu x M y x M m ==),,1(),(),(u N x xu x N y x N m ==
将其代入原方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 中，得
0}),1(]),1(),1({[=++du u xN dx u u N u M x m ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
)
,(),(1
)],1(),1([1),(1
y x yN y x xM u uN u M x y x m +=+=
+μ， 方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是
)
,(),(1
),(y x yN y x xM y x +=
μ。
方法3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 )
,(),(1
),(y x yN y x xM y x +=
μ满足
x
N y M ??=??)
()(μμ即可。为此，我们计算 y
yN xM M
y M ?+?=??)
(
)
(μ
])
()([)(1 2
M y yN xM yN xM y
M yN xM ?+?-+??+=
][)(1 2
NM y N
yM y M yN yN xM -??-??+=
，
x
yN xM N
x N ?+?=??)
(
)
(μ
])
()([)(1 2
N x yN xM yN xM x
N yN xM ?+?-+??+=
][)
(1 2
NM x M
xN x N xM yN xM -??-??+=
， x
N y M ??-??)
()(μμ 2
)
()
()( yN xM MN NM y MN NM x y y x x +-+-=
，
由于),(),(y x N y x M dx dy -=为齐次方程，令)(x
y
g N M = 显然
)(1
)(22M N N M N g x y x y g x x x -='-=，
)(1
1)(2y y y MN N M N
g x x y g -='=，
故
0)()()()
()(2
22
22
2
=+'-=+'+'-=??-??gN xM g x y x y N gN xM g x y N g x xy N x
N y M μμ， 因而μ是齐次方程的积分因子。
评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M ，除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个积分因子 )
,(),(1
),(y x yN y x xM y x +=
μ，将其转化为恰当方程来求解。
2-4 解方程
3
31y x xy dx dy +=。 解 由题得
33y x xy dy
dx
+=， 这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有
323
y y x dy
dx
x +=--， 令2
-=x z ，
322y yz dy
dz
--= ， 而
yz dy
dz
2-=的解为2~y e C z -=。 采用常数变易法，令2
)(~
y e y C z -=代入
322y zy dy
dz
--=中得 C e e y y C y y ++-=2
22)(~，
故2
12y Ce y z -++-=， 从而原方程的解为
1)1(2
22=++--y Ce y x 。
评注：在微分方程中，变量x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y 求解，也可以就x 进行求解，如果方程
),(y x f dx
dy
=就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化为
)
,(1y x f dy dx =，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题2-15，4），和2-16，4）。
2-5 试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件。
解 根据判别准则（定理），)(y x +μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是
x
y x N y x μy y x M y x μ?+?=?+?)]
,()([)],()([ 。
则有
y
y x μM x y x μN x N y M y x μ?+?-?+?=??-??+)
()())(
(， 即
)
()
()()())(
(y x d y x μd M y x d y x μd N x N y M y x μ++-++=??-??+， )()
(1)()(y x f y x y x d y x d M N x N y M +=+?++=-??-
??μμ，
因此方程具有形如)(y x +μ的积分因子的充要条件是
)(y x f M
N x
N y M +=-??-??。
)(xy μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是
x
N xy μy M xy μ??=??)
()()()(
即 y
xy μM x xy μN x N y M xy μ??-??=??-??)
()())(
( )
()()())(
(xy d xy d xM yN x N y M xy μμ-=??-??， )()
(1)()(xy g xy xy d xy d xM yN x N y M =?=-??-
??μμ，
因此方程具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件是
)(xy g xM
yN x
N
y M =-??-??。
评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从而给出求积分因子的思路。
2-6 设),(y x f 及
y
f
??连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子。
证 必要性。若方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程，则方程可写为
0))()((=+-dx x Q y x P dy ，令 1, ))()((=+-=N x Q y x P M ，
由题有y
M
??连续，
)(x P N x N
y M -=??-??， 由定理2-2的结论1方程有积分因子?
-dx
x P e )(，仅依赖于x 。
充分性。设方程0),(=-dx y x f dy 有仅依赖于x 的积分因子)(x μ，即
0),()()(=-dx y x f x dy x μμ
为恰当方程，有
dx x d y y x f x )()),()((μμ=?-?，
dx
x d y y x f x )
()),()
(μμ=??-， dx
x d x y y x f )()(1),(μμ-=??， 上式右端仅为x 的函数，令其为)(x P ，积分上式，得 )()(),(x Q y x P y x f +=， 故该方程为线性方程。
评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。
2-7 设函数
)(),(u g u f 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程
0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ。
证 方法1 用积分因子定义证明。
令, )(xy yf M =)(xy xg N =
x
μN y μM ???-???)
()( 0)
()()()()()(2
2=-'-'--'--'-'--'=
g f g
g f g f g g f f g f g f f ， 故该方程有积分因子1
)])()([(--=xy g xy f xy μ。
方法2 利用变量代换方法证明。
令 xy u =，xdy ydx du +=，代入方程消掉一个变量x ，有 0)())((=+-
dy u g y
u
dy y u du u f ， 0))()(()(=--
dy u g u f y
u
du u f ， 这是分离变量方程，只要给两端乘以因子1
))]()(([--=u g u f u μ就可分离变量，从而变为恰当方程。
所以原方程的积分因子为1
))]()(([--=xy g xy f xy μ。 评注：求积分因子时，注意整体变量代换。 2-8 假设方程
0),(),(=+dy y x N dx y x M
中的函数满足关系
)()(y Mg x Nf x
N
y M -=??-??，其中)(),(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，试证方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因子??
+=))()(exp(dy y g dx x f μ。
证 由于
))()(( ]
)([ ])([)
()()()()()()()()()()()(=-+-?
?
=?
?
+??
-??+??=??-??+++++x Nf y Mg N M e e x Nf e N e y Mg e M x
N y M x y dy
y g dx x f dy
y g dx x f dy
y g dx x f x dy y g dx x f dy y g dx x f y μμ
故??
+=))()(exp(dy y g dx x f μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子。
评注：给出了积分因子的一种构造方法。
2-9设),(y x μ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子，从而可得可微函数
),(y x U ，使得)(Ndy Mdx μdU +=。试证),(~y x μ也是方程的积分因子的充要条件是)(),(~U μφy x μ=，其中)(t φ是t 的可微函数。
证 必要性。若),(~y x μ也是方程的积分因子，则存在可微函数),(~y x U ，使得)(~
~Ndy Mdx μU d +=，即有
)(~)(~
~Ndy Mdx μμμNdy Mdx μU d +=+=dU μ
μ~=，
则dU μμU ?=~~，即U ~
是U 的函数，当然dU U d ~也是U 的函数，且记为
)(~U φdU
U d =，由于积分因子的可微性，)(U φ是可微函数。
由dU μ
μ
U d ~~=，则)(),(~U μφy x μ=。
充分性。证明)(),(~U μφy x μ=是积分因子。为此将其乘以方程两端得
0))((=+Ndy Mdx U μφ， 0)]()[(=+Ndy Mdx μU φ， 0)(=dU U φ，
0)(=?dU U φd 。
即存在二元可微函数),(~
y x U dU U φ?
=)(，使得0~
))(,(~==+U d Ndy Mdx y x μ
，故)(),(~
U μφy x μ=是方程的积分因子。 评注：这个结论告诉我们，方程的积分因子之间的关系。若知道一个积分因子，则可构造该方程积分因子的通式。在寻找方程的积分因子时，常用到此结论，可参见例2-5和例2-6。
2-9 设),(),,(21y x y x μμ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，且
≠21μμ常数，求证C =2
1μμ
是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的通解。 证 由于),(),,(21y x y x μμ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，由定理有
)2,1)((=??-??=??-??i x
N
y M y M x N
i i i μμμ。 同时，若≠21μμ常数，则0)(2
1≠μμ
d ，只要证明这个全微分沿方程的解恒为零即可，即有
dx N
M y x N M
y x y x y x d ])()[(1)),(),((
1222112221μμμμμμμμμ??-??-??-??=
0)]()([1])()[(121212
2
1222112
2≡??-??-??-??=??-??-??-??=
dx x N
y M μμx N y M μμμN dx μy
μ
M x μN μy μM x μN μN
故
C =2
1
μμ是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的通解。 2-10 假设齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程，当0≠+yN xM 时，试证它的通解可表示为C dy y x yN dx y x xM =+),(),(。
证 令),(),(),(y x yN y x xM y x U +=。
要证明C y x U =),(为方程的通解，就是要证明全微分),(y x dU 沿方程的解恒为零即可。为此，计算
x x yN xM M x
U
++=??， y y xM yN N y
U
++=??
， 则有 dx N
M
y U x U dy y U dx x U y x dU )(),(??-??=??+??=。 即要证明
N
xM yN N M yN xM M y
y x x ++=++ 即可。
因为所给方程为恰当方程，有 x y N M =， 故有
MN
M N N M y M N N M x MN
M
xM M yN N yN N xM N xM yN N M yN xM M y y x x y y x x y y x x )
()( -+-=
--+=
++-++
再由N M dx dy -=为齐次方程，故令)()(u g x
y g N M ==， 显然
)(1
1)()(1
)(22
2M N N M N g x u g M N N M N
g x y u g y y u y x x u x --='=--='-
=，
故
N
xM yN N M yN xM M y
y x x ++-++ 0)1()(22
2
='-'=
MN
g x N y g x y N x u u ，
故有C dy y x yN dx y x xM =+),(),(为原方程的通解。
评注：以上两道题都是证明某二元函数),(y x U 为方程的通解（或通积分）的问题。这就是要证明全微分),(y x dU 沿该方程的解恒为零，即证明
0)(),(=??-??=??+??=
dx N M y U x U dy y U dx x U y x dU ，或0=??-??N
M
y U x U 即可。 2-11 求解下列隐式方程 1）
122='+y x ， 2）22)2()1(y y y '-=-'
3） 2
1??? ??+=dx dy dx dy x 4）0422
=+??
?
??-??? ??x dx dy y dx dy x
5） 1122
=???
?
??????? ??-dx dy y
解 1） 令t p y cos =='，代入方程，得
t x sin =，
由tdx dy cos =，积分得
C t t C t d t y ++=
+=?2sin 4
1
2sin cos ， 方程参数形式的通解为
??
?
??++==C t t y t x 2sin 41
2sin 。 2） 令yt y ='-2，则有
t
t y t y 22
1,1-=+='，
dt t t y dy dx )11(112
2--?+='=
， 方程参数形式的通解为C t
x +=1
，t t y 21-=。
3） 令 p y ='，则2
1p xp +=，
p p
x +=
1
， 由于dp p p dp p p dx y dy ????
??+-=???? ??+-='=1112， 积分上式得
C p p y ++
-=2
2
1ln ， 故方程参数形式的通解为 ???
?
??
?+-=+=C p p y p p
x ln 2
11
2
。
4） 令p y ='，得 0422
=+-x yp xp ， 将y 解出得
p
x xp y 221+=
（1）
给(1)式两边关于x 求导，得
2
2222p dx dp
x
p dx
dp x p p -++=
，
即 0212)4(22
=???
?
??--p dx dp p x p ， 由
021
22=-p
dx dp p x ，得
x
dx p dp = ， c x p ln ||ln ||ln +=，
cx p =，
代入（1）得 c
cx y 2
212+=
，即得方程的通解为 c
x c y 2
22+=
。 又由042
=-p ，得2±=p ，故得x y 2±=也是方程的解。 5） 令t y sin ='，则有
1)sin 1(22=-t y ，
t y sec =，
由于 dy t
y dy dx sin 1
='=
， ?
?
=??=t
dt
tdt t t x 2cos tan sec sin 1， 1tan C t x +=，
由??
?=+=t
y C t x sec tan 1，消去参数t 得原方程的通积分为 1)(2
2++=c x y 。
评注：根据方程的特点，通过引入适当的变换，可以求得原方程的参数形式的通解，寻找适当变换是求解的关键。这类不显含x （或y ）的方程，如果从方程中能解出y '或y （或
x ）的关系，方程将转化为显式方程或将y （或x ）解出的方程，从而按照相应的方法求解。
否则，我们就要引入变换，其目的在于通过这个便量代换，将方程中的y '，y （或x ）从方程中解出，用新的参变量表示，然后再求方程的解。
2-12 解下列方程
1） )(22
22x y y x y dx
dy x -=- 2）
252233363224y y y x x xy x dx dy +-+-= 解 1） 解法1（降次法）方程可化为
)(222222
x y y x
y dx dy x y -=-， )(22
222
222x y y x
y dx dy -=-， 令q x u y ==2
2
, 方程可化为下列迫努利方程
)21
(22q q
u u dq du -+=， 从而得
)12(121
q
q u dq u d
-+-=， 令
z u
=1
，则 2)1
2(--=q
q z dq dz ， 此方程的通解为
q
e C e z q
q
2
2
)(+=-， 故原方程的通积分为 22
4
1y
x Ce x =+，另外还有0=y 也是方程的解。 解法2 )(2222x y y x y dx dy x
-=-给方程两端同乘以2x
dx 得 dx x y y x ydx
xdy )(2222
-=-， dx x y y x
y
d )(222-=，
令
u x
y
=，则 xu y =，方程可化为分离变量方程 dx u u x du )1(223-=
分离变量，再积分得
4
2
21x Ce u
u =-， 故原方程的通积分为 4
222x e Cy x y =-，另外还有0=y 也是方程的解。 2）解法1 （降次法）原方程可化为
3632
2432
322+-+-=y x y x xdx dy y ，或 1
21
232
3223+-+-=y x y x dx dy ， 令q x u y ==2
3
, 方程化为下列可转化为齐次方程的方程
1
212+-+-=u q u q dq du 。 解此方程得其通解为C qu q q u u =+---2
2
，因此，原方程的通解为
C y x x x y y =+---324263。
解法2 将原方程转化对称形式为
0)224()363(332522=+--+-dx x xy x dy y y y x
易判断此方程为恰当方程，因而方程的解为
C x x y y y x =--+-243632。
评注：当方程中自变量和未知函数的次数较高时，我们仿照此例的方法可先设法“降次”，有可能化为可积方程，然后积分求解，这也是求解常微分方程常用的技巧。但有时将方程转化为对称形式后，有意想不到的结果。若判断方程是恰当方程，则可直接得到方程的通解，如果不是，再尝试用其它方法求解。
2-13解下列方程
1） ydy x xdy ydx 2
=- 2） ()01=-+xdy ydx xy
3）(
)
022
2=-+xydy dx y x 4）(
)
012
=++-dy y x ydx 5）0)]([2
2
=-+-xdy dx y x x y 解 1） 容易观察方程有积分因子
21
x
，乘以方程两端得 ydy x xdy
ydx =-2
，
22
1
dy x y d =??? ??-，
故原方程的通积分为
C x
y
y =+221。 2） 原方程各项重新组合得
()02=-+xdy ydx dx xy ，
容易观察方程有积分因子
2
1
y ，乘以方程两端得 02
=-+
y
xdy
ydx xdx ， 0212
=???
? ??+y x d dx ， 故原方程的通积分为 C y
x
x =+22，还有解 0=y 。 3） 原方程各项重新组合得
0)2(22=+-dx x xydy dx y ， 0)(222=+-dx x xdy dx y ，
容易观察方程有积分因子
2
1
x ，乘以方程两端得
02
2
2=+-dx x xdy dx y ， 即 02=???
?
??-x y d dx ，
故原方程的通积分为 C x
y x =-2
， 即 Cx y x =-22 。
4） 原方程各项重新组合得
()02=---dy dy y xdy ydx 。
容易观察方程有积分因子
2
1
y ，乘以方程两端得
01
2
2=---dy y
dy y xdy ydx ， 即 01=???
? ??+-????
??y d dy y x d ， 故原方程的通积分为
C y y
y x =-+1
，即 ()y C y x +=+1；还有解 0=y 。 5） 原方程各项重新组合得
()
dx y x x xdy ydx 22+=-
容易观察方程有积分因子
2
21
y
x +，乘以方程两端得 xdx y x xdy
ydx =+-2
2，
即
2
21arctan dx y x d =???? ?
? ， 故原方程的通积分为 C x y x +=
2
arctan 2
。 评注：注意利用微分式
)(2y x d y xdy ydx =-，)(2
x y
d x ydx xdy =-， )(ln y x d xy xdy ydx =-， )(2
2y x arctg d y
x xdy ydx =+-，
)(ln 212
2y x y
x d y
x xdy ydx +-=--，
)(ln 2
2y x y
x d y x xdy ydx +-=--。
2-14解下列方程
1）
5
64432++++=y x y x dx dy 2） ()()02122=-++-+dy y x dx y x 3） x
y
xe dx dy e
=??
? ??+-1 解 1） 令 z y x =+32 ，则 ()5
222
75243232++=
+++=+=z z z z dx dy dx dz ， 分离变量得
dz z z dx 22
75
2++=，
积分得 17
22ln 49972C z z x ++-=
， 即 ()17
2232ln 4993272
C y x y x x +++-+=
， 故原方程的通积分为
??
?
??+-=+
+C x y y x 2331472232ln 9 ， 还有解 07
22
32=++y x 。 2） 原方程变形为
()()212-+-+-=y x y x dx
dy ，
令 y x z +=，则
dx
dy dx dz +=1， 21
2121+-+=
---=z z z z dx dz ， 分离变量得
dx dz z z =++-1
2
， 积分得
11ln 3C x z z +=++-， 13
1ln C z x z ++=+。
故原方程的通积分为 ()y
x Ce y x +=++23
1。
3） 原方程变形为 y x xe dx dy +=??
?
??+1， 令 u y x =+，则
u xe dx
dy dx du =+=1， xdx du e u
=-， C x e
u
-=--2
2
， 故原方程的通积分为 ()
C x e
y x =++-2
2。 评注：在解一阶常微分方程时，经常利用整体代换的思想化简方程，从而达到求解的目的。
2-15 解下列方程
1） x y e dx dy x y
+= 2） 01)1(=????
?
?-++dy y x e dx e y x
y x 3） 022=-???
? ??+dy e x dx y xye y
x
y x 4） xy x y dx dy -=
解 1） 令 x y u = ，则 u e dx
du
x u u +=+ ，
即得
x
dx
du e u =
- ， C x e u -=--||ln ，
故原方程的通积分为 C x e x
y =+-||ln 。
2） 令
u y
x =，则 dy du
y u dy dx +=，代入方程有 u u
u e e ue dy du y u +-=+1， y dy
du u
e e u u -=++1，
积分得 1||ln ||ln C y u e u
+-=+，
C u e y u =+)(，
故原方程的通积分为 C x ye y
x =+ 。 3） 原方程变形为
y
x
e x y x y dx dy -??
? ??+=2， 令u x
y =，则 u e u u dx du x u 1
2
-+=+， x dx
du u e u
=2
1，
积分得
C x e u
-=-ln 1
，
即得原方程的通积分为 C x e y
x =+ln 。 4） 方程可化为
y
x y x dy dx =， 令
u y
x =，则 dy du
y u dy dx +=，代入上方程得 u u dy
du
y
u =+ ， y
dy du u
=1， 两边积分得 C y u +=ln 2 ，
2
ln 21??
?
??=y C u ，
即得原方程的通积分为2
ln 21??
?
??=y C y x ；另外还有解 0=y 。
评注：齐次方程是利用整体代换将原方程化简为可分离变量的方程来求解的。 2-16 解下列方程
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
二阶微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为
常微分方程复习题 一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1 2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答： )(x y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 答：cos 2,sin 2x x . 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 答：x x x e ,e 3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是 。 4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。 5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。 6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。 7. 称为n 阶齐线性微分方程。 8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。 9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。
10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。 9. 微分方程4 230xy y y ''''++=的阶数为 。 10. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的 通解可表为 . 11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2, ,)i x t i n =是其对应的齐次线性 方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 . 12. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0 n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。 答：1()0w a x w '+= 13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ． 16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。 17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是 ()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。 18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。 19. 设* X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 . 20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(), ,()n X t X t X t 线性无关的充要条件
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
第二节 几类简单微分方程及其解法 本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =， 其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为： )()(),(y g x f y x F =， 即)()('y g x f y = (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程. 设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为： dx x f dy y g )() (1=， 上式两边积分，可得 ??=dx x f dy y g )()(1. 上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边. 例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x e y 记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 解2：
原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln 2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为 ?u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成 ln du u c u =+?，而是写成ln du u u =?； （2） 不定积分等式中至少有一个形为?u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧. 例2 求微分方程y xy ='的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dy dx y x =?? c x y ln ln ln += cx ln = 则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）. 例3 求微分方程dx e x dy x e y y )1(2)1(2+=+的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ??+=+2121， c x e y ln )1ln()1ln(2++=+ )1(ln 2x c +=， ).1(12x c e y +=+ 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）. 例4 求微分方程)'('2 y y a xy y +=-的通解.
一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
二阶常微分方程解
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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其
22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
二阶常微分方程的降 阶解法
郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号
二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式
Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times