第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ''+py '+qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程
y ''+py '+qy =0
得
(r 2+pr +q )e rx =0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式
2
422,1q p p r -±+-= 求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又
x r r x
r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为
x r x r e C e C y 2121+=.
(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关的解.
这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又
x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''
0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,
所以x
r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为
x r x r xe C e C y 1121+=.
(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),
y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),
y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2
1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i
x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.
可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:
第一步 写出微分方程的特征方程
r 2+pr +q =0
第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0.
其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为
y =C 1e -x +C 2e 3x .
例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.
解所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.
其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为
y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而
y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导,得
y'=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为
x=(4+2x)e-x.
例3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.
解所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0.
特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,
因此所求通解为
y=e x(C1cos2x+C2sin2x).
n阶常系数齐次线性微分方程:方程
y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +???+p n-1y'+p n y=0,
称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,???,p n-1,p n都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:
L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +???+p n-1D+p n,
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +???+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.
注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',???,D n y=y(n).
分析:令y=e rx,则
L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +???+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.
因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:
L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +???+p n-1r+p n=0
称为微分方程L(D)y=0的特征方程.
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根r对应于一项:Ce rx;
一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );
k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ? ? ? +C k x k -1);
一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:
e αx [(C 1+C 2x + ? ? ? +C k x k -1)cos βx +( D 1+D 2x + ? ? ? +D k x k -1)sin βx ].
例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.
解 这里的特征方程为
r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0,
它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .
因此所给微分方程的通解为
y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).
例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.
解 这里的特征方程为
r 4+β 4=0. 它的根为)1(2
2,1i r ±=β
, )1(24,3i r ±-=β. 因此所给微分方程的通解为
)2sin 2cos (212x C x C e y x β
β
β+=)2sin 2cos (432 x C x C e x β
β
β
++-.
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程
y ''+py '+qy =f (x )
称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:
y =Y (x )+ y *(x ).
当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:
一、 f (x )=P m (x )e λx 型
当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式
Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).
(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:
Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ? ? ? +b m -1x +b m ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ? ? ? , b m , 并得所求特解
y *=Q m (x )e λx .
(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).
成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:
Q (x )=xQ m (x ),
Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ? ? ? +b m -1x +b m ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ? ? ? , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .
(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).
成立, Q (x )应设为m +2次多项式:
Q (x )=x 2Q m (x ),
Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ? ? ? +b m -1x +b m ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ? ? ? , b m , 并得所求特解
y *=x 2Q m (x )e λx .
综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ''+py '+qy =f (x )有形如
y *=x k Q m (x )e λx
的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1 求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的一个特解.
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为
y ''-2y '-3y =0,
它的特征方程为
r 2-2r -3=0.
由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为
y *=b 0x +b 1.
把它代入所给方程, 得
-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,
比较两端x 同次幂的系数, 得
???=--=-1323
3100b b b , -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.
由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y .
例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为
y ''-5y '+6y =0,
它的特征方程为
r 2-5r +6=0.
特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .
由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .
把它代入所给方程, 得
-2b 0x +2b 0-b 1=x .
比较两端x 同次幂的系数, 得
???=-=-021
2100b b b , -2b 0=1, 2b 0-b 1=0. 由此求得2
10-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121
(*--=.
从而所给方程的通解为
x x x e x x e C e C y 223221)2(2
1+-+=.
提示:
y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,
[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )?2]e 2x ,
[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''=[2b 0+2(2b 0x +b 1)?2+(b 0x 2+b 1x )?22]e 2x .
y *''-5y *'+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''-5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)?2+(b 0x 2+b 1x )?22]e 2x -5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )?2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)-5(2b 0x +b 1)]e 2x =[-2b 0x +2b 0-b 1]e 2x .
方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式
应用欧拉公式可得
e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]
]2)(2)
([ i
e e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ---++= x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=, 其中)(21)(i P P x P n l -=, )(2
1)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ''+py '+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=
)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].
综上所述, 我们有如下结论:
如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ''+py '+qy =f (x )
的特解可设为
y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],
其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ-i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例3 求微分方程y ''+y =x cos2x 的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为
y ''+y =0,
它的特征方程为
r 2+1=0.
由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .
把它代入所给方程, 得
(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 9
42cos 31*+-=. 提示:
y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .
y *'=a cos2x -2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,
=(2cx +a +2d )cos2x +(-2ax -2b +c )sin2x ,
y *''=2c cos2x -2(2cx +a +2d )sin2x -2a sin2x +2(-2ax -2b +c )cos2x =(-4ax -4b +4c )cos2x +(-4cx -4a -4d )sin2x .
y *''+ y *=(-3ax -3b +4c )cos2x +(-3cx -4a -3d )sin2x .
由?????=--=-=+-=-0
340304313d a c c b a , 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解
这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 2 1y y i x e x -= βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)
毕业论文开题报告 数学与应用数学 几类三阶常微分方程的通解公式 一、选题的背景、意义 常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。 常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。 有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下： 问题1 如果已知三阶线性微分方程 ()()()() +++= y P x y Q x y R x y f x ''''''
二次微分方程的通解 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线 性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0 得 (r 2prq )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
第六节二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性 微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y''+py'+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看,能否适当选取r,使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程 y''+py'+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2 +pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 1 1=、 x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2 1 21+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 1 1=、x r xe y 1 2=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 1 1=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 1 1 1 1 1 1 )1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(12111 1 =++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 1 2=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1 11 2不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1 1 21+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e ( α+i β)x 、
第一章 绪 论 例1-1 求下列微分方程2 3x dx dy =的通解，并分别求满足下列条件的特解。 （1）通过点)1,2(； （2）与直线x y =相切； （3）与直线13+-=x y 正交。 解 直接积分得方程的通解为C x y +=3。 （1）将代入通解中1,2==y x 得7-=C ，则通过点)1,2(解为73-=x y 。 （2）与直线x y =相切的解满足在切点处斜率相同，有132=x ，即得3 1± =x ，切 点坐标为)3 1, 3 1( 和)3 1,31(- - 。同（1）的解法，与直线x y =相切的解为 3 323 + =x y 和3 32 3- =x y 。 （3）与直线13+-=x y 正交的解在正交点处斜率满足3 132 =x ，即得3 1± =x ，正交 点坐标为)0,31 (和)2,3 1(- 。同（1）的解法所求方程的解为27 553 +=x y 和27 13 -=x y 。 评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标，代入通解中确定出任意常数即可得特解。 例1-2 求与曲线族x Ce y =正交的曲线族。 解 因为曲线族x Ce y =满足的微分方程为y y ='，所以与曲线族x Ce y =正交的曲线族满足的微分方程为y y 1- ='，解之得C x y +-=22 ，这就是所求曲线族方程。 评注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程，再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方程的积分曲线族正交（或夹角为某一固定值）的曲线族。 例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。 解 设所求的曲线为)(x y y =，过曲线上任一点),(y x 的法线方程为
毕业论文文献综述 数学与应用数学 几类三阶常微分方程的通解公式 一、前言部分 数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。 塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。 二、主题部分 有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特
常系数二阶微分方程的齐次通解
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附录2 常系数二阶微分方程的齐次通解 常系数二阶齐次微分方程 0=+2+2022y dt dy dt y d ωα 设其中α、ω0都是正实数。 要使二阶微分方程有确定的解，必须知道两个初始条件：初始值y (0)和一阶导数的初始值0 =t dt dy 。 这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点，不求出解中的待定常数。目的在于避免过多的数学式子，突出对有普遍意义的特征的认识。 尝试St e y =（S 为实的或复的常数）是否能为方程的解。 代入方程可得恒等式： 0=)+2+(202S S S e St ωα 由此得到决定常数S 的特征方程： 0=+2+202ωαS S 该一元二次代数方程的根为： 202-±-=ωααS 因常数项的值不同，解的形式不同： 1.自由振荡情况(无阻尼情况)（0=α） 此时，S 是一对共轭虚数： 01j =ωS 02-j =ωS 齐次通解为： t t e K e K t y 00-j 2j 1+=)(ωω 变为常用的三角函数式 )+sin(=)(0θωt K t y 这是一个等幅正弦振荡，ω0 是自由振荡角频率或谐振角频率。K 和θ 是由初始条件决定的常数。 2.欠阻尼情况（ 0<<0ωα ） 此时，S 是一对共轭复数： d 1j +-=ωαS d 2j --=ωαS 齐次通解为： )+sin(=)(d -θωαt Ke t y t 这是一个衰减振荡。其中，220-=αωωd （正实数）是衰减振荡角频率。 振幅按指数函数t e α-衰减，故称α为衰减系数。 K 和θ 是由初始条件决定的常数。 这种情况下，系统开始会有正弦振荡，但随时间而衰减，过一段时间后就消失。 3.过阻尼情况（0>ωα）
习题7-2 可分离变量的微分方程 1求下列微分方程的通解： （1）2211y y x -='-； 解 = = 两端积分得 arcsin arcsin y x C =+， （C 为任意常数） 即为原方程的通解。 （2）0tan sec tan sec 2 2 =+xdy y ydx x ； 解 将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y x dy dx y x =- 两端积分得ln tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C = 故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。 2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）e y y y x y x =='= 2 ,ln sin π ； 解 将原方程分离变量，得 ln sin dy dx y y x = 两端积分得()tan ln 2ln tan 2 x d d y x y ? ? ? ?? =??， 即ln ln ln tan ln 2x y C =+ 故原方程的通解为ln tan 2x y C =,代入初始条件,2 x y e π ==,得1C =.于是,所求之特解为tan 2 x y e =. （2）.1,022 ==+=x y ydx xdy 解 将原方程分离变量，得 2dy dx y x =- 两端积分得 2dy dx y x =-??， 即ln 2ln ln y x C =-+
故原方程的通解为2 x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C =.于是,所求之特解为 24x y =. 3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程. 解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率2002y y y x x -'= =--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =. 代入初始条件23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =. 习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）022=-- -'x y y y x 解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有 y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+分离变量, dx x = . 两边积分得ln ln ln u x C =+,即u Cx =. 将y u x = 代入上式整理,得通解为2y Cx +=; (b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0y y x '-+=,即 0y y y y x x ''-- =--=(因为0x <时,x x -==),也就是 y y x '=+与x >0的情况一样) 所以,对任意的0x ≠,方程的通解为2y Cx =(C 为任意常数). （注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或y A =,若0x =,则原方程变为 0y +=,只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A =,当 A <0时方程有解.） （2）0cos 3)cos 3sin 2(=-+dy x y x dx x y y x y x
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为
二次微分方程的通解Last revision on 21 December 2020
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线 性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0 得 (r 2prq )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又
教学参考 常微分方程的通解* 钱明忠 陈友朋 (盐城师范学院数学科学学院 江苏盐城 224002) 摘要 给出常微分方程通解的定义,研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,给出通解包含所有解的若干充分性条件. 关键词 通解;常数独立;所有解 中图分类号 O175.1 常微分方程的通解和所有解是两个不同的概念,但不少教材未将这两个概念说清楚,甚至于将两者混淆起来,例如文献[1][2]等,给学生理解和求解常微分方程带来了困难.事实上,有些方程 的通解就不包含所有解.例如方程d y d x =1-y 2 1-x2 的通解为arcsin y=arcsin x+C,其中C为任意常 数,而y=1也是该方程的解,它不包含在通解之中;又如y=0是方程d y d x =y x -(y x )2的一个解, 它不包含在该方程的通解y= x ln|x|+C (C为任意常数)之中. 本文将给出常微分方程通解的定义,同时研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,然后给出通解包含所有解的若干充分性条件,证明过程突出通解定义中的 常数独立条件的验证这一关键,为进一步区分通解和所有解带来了方便. 考虑如下一般的n阶常微分方程 F(x,y,d y d x ,!, d n y d x n )=0.(1) 定义 若函数y= (x,c1,c2,!,c n)是方程(1)的解,且其中的任意常数c1,c2,!,c n独立,即, , ?,!, (n-1)关于c1,c2,!,c n的雅可比(Jacobi)行列式 D( , ?,!, (n-1)) D(c1,c2,!,c n)) #0, 其中 (k)(k=1,2,!,n-1)表示 对x的k阶导数.则称y= (x,c1,c2,!,c n)为常微分方程(1)的通解.如果关系式 (x,y,c1,c2,!,c n)=0所确定的隐函数y= (x,c1,c2,!,c n)为方程(1)的通解,则称关系式 (x,y,c1,c2,!,c n)=0为方程(1)的隐式通解,也简称为方程(1)的通解. 对于一般的常微分方程,其通解不一定包含所有解而仅仅是所有解的一部分.但在一些特殊情形下,方程的通解包含它的所有解.例如,n阶线性微分方程 d n y d x n +a1(x) d n-1y d x n-1 +!+a n-1(x) d y d x +a n(x)y=f(x),(2) 其中a i(x)(i=1,2,!,n)及f(x)为区间[a,b]上的已知连续函数,则有如下结论:定理1 设y1(x),y2(x),!,y n(x)为方程(2)所对应的齐次线性方程 d n y d x n +a1(x)d n-1y d x n-1 +!+a n-1(x)d y d x +a n(x)y=0 106 高等数学研究 ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol 10,N o 4 Jul.,2007 *收稿日期:2006-02-08;修改稿:2007-05-25.
二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(2 2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中 p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解*y 的方法。
下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型 由于方程（1）右端函数 f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数 函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??' =+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?" =?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 1 、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 0 11,,,, -为 未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并 得到特解 y e Q x x m *?=λ() 2 、如果λ是特征方程 r pr q 2 0++=的单根。