第三章控制系统状态方程求解
3－1 线性连续定常齐次方程求解
所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：
………………………………………………………(3
－1)
上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。
我们知道，标量定常微分方程的解为：
………………（3
－2）
与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：
………………………………(3
－3)
其中为与X（t）同维的矢量。
将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：
即:
……………………………………………（3－4）
将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得：
(3)
5）
代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：
(3)
6)
我们记：
(3)
7）
其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为：
(3)
8）
当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明：
(3)
9）
从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：
(3)
10）
所以：
【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式，
3－2 的性质及其求法
性质1：
【证】根据的定义式（3－7），
【证毕】
性质2：①
②
③
【证】：
①：根据(3－7)式，即有：
②：由性质1及其关系①，
③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，
，所以：
即：
从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。
【证毕】
性质3：若矩阵A，B可交换，即AB＝BA，那么，否则不成立。
【证】根据（3－7）式的定义，
比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当AB＝BA式，。【证毕】
性质4：
【证】因为
所以
上式右边多项式中，由于t是标量，所以A可以左提或右提出来。所以：
或
由此可知，方阵A及其矩阵指数函数是可交换的。
【证毕】
性质4可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A，即：
……………………………………………（3－11）
【例3－2】已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵A
解：根据（3－11）式
性质5：若矩阵A为一对角阵，即A=，那么也是对角阵，且
【证】按照（3－7）定义式，并注意
所以有：
【证毕】
性质6：若n×n方阵A有n个不相等的特征根，M是A的模态矩阵，，则有：
……………………………………………………………………（3－12）
【证】考虑齐次方程的解，其解为：
……………………………………………………………………（3－13）
我们对齐次方程作线性变换X＝MZ，则有：
，即：
，且，所以：
即，两边左乘M得：
…………………………………………………………………（3－14）
比较（3－13）和（3－14），因此有:
上式经常用来求。
【证毕】
【例3－3】已知，求
解：
所以
的特征向量满足：
求得：
同理，，求得：
所以，模态阵，
根据（3－12）式，
性质7：若为m i×m i的约当块，即
那么有：
……………………………………………（3－15）
【证】
不难验证，AB＝BA，即A，B可交换。所以根据性质3，又根据性质5，
又根据（3－7）：
性质8：若约当标准型矩阵
式中为m i×m i阶约当块，那么：
………………………………………………………(3－16)
(证明略)。
性质9：若n×n阶矩阵A有重特征根，是将A转化为约当标准型J的变换阵，即，那么有：
…………………………………………………………………………（3－17）
（证明略）。
（3－17）式经常用来求有重特征根的矩阵的。
【例3－4】已知，求
解：
根据第二章有关内容，可知：
设，则
得：
得：
得：
，
根据（3－17）式：
性质10：设A=, B=, 则有
=
=*=
（证略）。
性质11：矩阵指数可表示为有限项之和
＝
……………………………………………………………………………（3－18）
其中当A的n个特征根互不相等时，满足：
＝
……………………………………………………(3－19)
即满足：
……………………………………（3－20）
若A有n重特征根，不妨设为重根，这时（3－20）只有个独立方程，剩下的个方程，可由下列关系添加：
………………………………………………………………………………………（3－21）
【证】下面只证明A有n个不相等特征根的情况。
根据凯利－哈密顿(Cayley－Hamilton)定理，方阵A满足其本身的特征方程，即：
所以：
也就是说，所有都可以表示为线性代数和。
将代入的定义式（3－7），经整理可得：
…………………………………………………………………………（3－22）
下面再求的关系式。因为A有n个不同的特征根，并设M为A 的模态矩阵，则有：
……
……………………………………………………………（3－23）
…………………………（3－24）
又根据（3－12）式，
所以可得：
…………………………………………………………（3－25）
即：
所以，（3－20）式得到证明。
【例3－5】已知，利用凯利－哈密顿定理求。
解：在例3－3中我们求得A矩阵，有两个不同的根，
根据（3－19）式
性质12：矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得：
…………………………………………………………（3-26）
【证】：
考虑，在初始条件下的解：
对两边取拉氏变换，得：
拉氏反变换，得：
例3－6：利用拉氏反变换法求，其中。
解：
=
3－3 线性连续定常非齐次状态方程求解
线性定常非齐次状态方程为：
，……………………………………………………(3－27）
从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的作用下运动。要求系统在任意时刻的状态，就必须求解（3－27）。
采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，（3－27）式可写成：
两边同时左乘，得：
根据矩阵微积分知识，上式进一步有：
两边同时在区间积分，得：
两边同时左乘，并整理得：
即：…………………………………（3－28）
当初始时刻时，（3－28）变为：
第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(
取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
第2章 系统的状态空间描述 输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1 ()(),y t x t μ = 1 d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ ?=-?=-? 即 μ 2 (m ) c 3 ()(m /s)u t 3 ()(m /s)y t ()(m) x t
11 ()()()x t x t u t c c μ'=-+. 解 t t c c x t x u c 001()e ()e d τμμττ- ??=+ ? ??? ?. 若()u t r ≡, 则 0()e 1e ,()t t c c x t x r r t μμμμ--??=+-?→∞ ? ? ??, 若想()x h ∞=, 只要()h u t μ =.
例2.2 LRC 123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+ 选1()()C i t v t 和； 则： 1 1()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+???'?=-? 其余 2()()/, C i t v t R = ()()(),()(). L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C ) (t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2 图
1. 系统的状态变量 状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()T n x t x t x t x t =???? 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明
Chapter2状态方程的解 我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程 （0)(≠t u ）初值问题的解： 00 0)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x ≥=+=& 或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解： 00 0)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==& ????离散连续线性定常????离散连续线性时变?? ?? ? ??????数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解 我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 其解为 00 0!)(x k t a x e t x k k k at ∑∞ === 对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000! )(x k t A x e t x k k k At ∑ ∞ === 定义矩阵指数：k k k k k At t A k t A At I k t A e ! 1 21!220 ++++=≡∑ ∞ =Λ，它仍是一个矩阵。 若初始时间为0t ，则状态方程的解为 00 00) (!)()(0x k t t A x e t x k k k t t A ∑∞ =--== ∑ ∞ =--=0 0) (! )(0k k k t t A k t t A e 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。 )(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。 2.1.2 矩阵指数At e 的性质
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
实验报告 实验名称利用 MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用 MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用 MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用 MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用 MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数 step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数 impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数 lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数 initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
的秩为 n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为 n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题2.1 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0.5; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0:0.5:10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')
第三章控制系统状态方程求解 3－1 线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： ………………………………………………………(3 －1) 上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： ………………（3 －2） 与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： ………………………………(3 －3) 其中为与X（t）同维的矢量。 将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即： 即: ……………………………………………（3－4） 将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得： (3) 5） 代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：
(3) 6) 我们记： (3) 7） 其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为： (3) 8） 当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： (3) 9） 从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： (3) 10） 所以：
【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式， 3－2 的性质及其求法 性质1： 【证】根据的定义式（3－7）， 【证毕】 性质2：① ②
第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x = 线性定常连续系统：Ax x = ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(x e t x At ?=。 其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00 )(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 设Ax x = 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中 ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，则 +++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210 +++++=k k t b t b t b b A 故而有： ????? ?? ????== ====003 230 2 12 01!1! 3131 2 121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有0)0(b x =。 故 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ++ +++=k k t b A k t b A t Ab b 02 02 00! 1! 21 )0()! 1!21(22 x t A k t A At I k k ++ ++ += 定义：∑ ∞ == ++ +++=0 2 2! 1! 1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e 则)0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x = 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(11x A sI L t x ?-=-- 则 ])[()(11---==A sI L e t At φ 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ?? ? ???=00 10 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 ++ ++ +==k k At t A k t A At I e t ! 1! 21)(2 2φ 此题中： ???? ??=00 10A ， ?? ? ???====00 0032n A A A 所以
实验报告 实验名称利用MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
矩阵的秩为n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0::10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')