第2章 控制系统的状态方程求解
要点：
① 线性定常状态方程的解
② 状态转移矩阵的求法
③ 离散系统状态方程的解
难点：
① 状态转移矩阵的求法
② 非齐次状态方程的解
一 线性定常系统状态方程的解
1 齐次状态方程的解
考虑n 阶线性定常齐次方程
???==0
)0()
()(x x t Ax t x &
（2-1） 的解。
先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为
???==0
)0(x x ax
x &
（2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得
移项 0)()(x s X a s =-
则 a s x s X -=0
)(
取拉氏反变换，得 000!)()(x k at x e t x k k
at ∑∞
===
标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为
000!)()(x k At x e t x k k
At ∑∞
=== （2-3） 式中，∑∞
==0!)(k k
At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程
???==00
)()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0
)(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0
t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0
t t A e -又称为定常系统的状态转移矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)
从上面得到两个等式
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
2 非齐次状态方程的解
设n 阶非齐次方程
???=+=0)()()()(x t x t Bu t Ax t x & (2-6)