第二章 习题课 与圆有关的最值问题

习题课 与圆有关的最值问题

学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语

2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题

1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .

2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .

3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r .

4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2.

例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －3

4

解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点

⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y －7＝0，

x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－3

4. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B

解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2.

因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，

所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4|

5

＝3，切线长的最小值为

d 2－R 2＝

9－4＝ 5.

反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．

(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．

跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．0 答案 B

解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝

(m －1)2＋9，

即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短．

(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2

解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.

当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝

(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.

∴半弦长＝

r 2－|CA |2＝

4－2＝ 2.

∴最短弦长为2 2.

二、与面积相关的最值问题

例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 A

解析 根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，

O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，

当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小， 则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1， 则△OAM 的面积最小值S ＝1

2

×|OA |×d ＝1.

反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．

跟踪训练2 (1)直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )

A ．1 B.12 C.24 D.3

4

答案 B

解析 设圆心到直线的距离为d (0

1－d 2，

所以S △ABO ＝1

2

·2

1－d 2·d ＝

(1－d 2)·d 2，

由基本不等式，可得S △ABO ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝1

2

，

当且仅当d ＝

2

2

时，等号成立． (2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________. 答案 2

解析 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，

由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，

又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r |PB |min ＝1

2|PB |min ，

则|PB |min ＝2， 因为|PB |＝

|PC |2－r 2＝

|PC |2－1，

所以当|PC |取最小值时，|PB |最小． 又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，

当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，|PC |最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离， 所以

|1＋4|k 2

＋1

＝

22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.

三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题

例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求y

x

的最大值和最小值；

(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．

解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.

(1)y

x

表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆

相切时，斜率最大或最小．

设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得

|3k －3|

k 2

＋1

＝2，解得k ＝9±2145，所以y

x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145

. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|P 1E |＝|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|P 2E |＝|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，

最小值为(5－2)2＋2＝11.

(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |

12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y

的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.

反思感悟 (1)形如u ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最

值问题．

(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l

b 的截距的最值问题．

跟踪训练3 (多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A ．y －x 的最大值为6－2 B ．x 2＋y 2的最大值为7＋4 3 C.y x 的最大值为32

D ．x ＋y 的最大值为2＋ 3 答案 AB

解析 对于A ，设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|2＋z |

2≤3，解得－6－2≤z ≤6－2，所以y －x 的最大值为6－2，

故A 说法正确；

对于B ，x 2＋y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋3，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，故B 说法正确；

对于C ，设y

x ＝k ，把y ＝kx 代入圆方程得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k 2)≥0，解得

－3≤k ≤3，y

x

的最大值为3，故C 说法错误；

对于D ，设m ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋m ，m 表示直线y ＝－x ＋m 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|－2＋m |

2≤3，解得－6＋2≤m ≤6＋2，所以x ＋y 的最大值为6＋

2，故D 说法错误．

1．知识清单：

(1)与距离、面积有关的最值问题

(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题． 2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．

1．圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]

答案 A

解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2， 圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝

|0－0＋25|

42＋(－3)2

＝5，

所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，

最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．

2．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．4 答案 B

解析 根据题意，圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，其圆心C (4,3)，半径r ＝2，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |＝|PC |2－4，当|PC |最小时，|PQ |最小，又由点P 在单位圆上，则|PC |的最小值为|OC |－1＝9＋16－1＝4，则|PQ |的最小值为

16－4＝

2 3.

3．点M (x ，y )在圆x 2＋(y －2)2＝1上运动，则y

x 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞) B. (－∞，－3]

C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)

D. [－3，3] 答案 C

解析 将y

x

看作圆上动点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，如图，可得k ≥3或k ≤－ 3.

4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为_________． 答案 4 5

解析 因为C 1(－2,2)，r 1＝22，C 2(2,0)，r 2＝4， 所以|C 1C 2|＝

(－2－2)2＋22＝25，

当PC 2⊥C 1C 2时，△PC 1C 2的面积最大，其最大值为1

2

×25×4＝4 5.

课时对点练

1．已知过点(1,1)的直线l 与圆x 2＋y 2－4x ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C

解析 将圆的方程x 2＋y 2－4x ＝0化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 则圆心为(2,0)，半径r ＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2， |AB |的最小值为2

22－(2)2＝2 2.

2．已知点P 是直线3x ＋4y ＋5＝0上的动点，点Q 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝4上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.195 B.95 C.59 D.295 答案 B

解析 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2， 则圆心到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离为|6＋8＋5|5＝195，

所以|PQ |的最小值为195－2＝9

5

.

3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －1＝0，则y －2x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－9,1 B ．－10,1 C ．－9,2 D ．－10,2

答案 A

解析 y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，

当直线y ＝2x ＋b 与圆

x 2＋y 2－4x －1＝0

相切时，b 取得最大值或最小值，此时|2×2＋b |

1＋2

2＝5，

解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.

4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()

A. 2

B. 3 C．1 D．3

答案 A

解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆

的半径，即|1－1＋4|

12＋(－1)2

－2＝ 2.

5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()

A.

5

5 B.

1

5 C.

121

5 D.

115

5

答案 B

解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，

故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，

而距离的最小值为|2＋4|

1＋4

－5＝5

5

，

故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为1

5.

6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为3时，r的值为()

A．2 B. 3 C. 2 D．1

答案 D

解析如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，

当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．

由题意得|PC|min＝d＝|3×(－1)＋4×0－7|

32＋42

＝2，

所以(3)2＝22－r2，∴r＝1.

7．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2

解析 ∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1)2＝2，

∴半径最大为2，

∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.

8．已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则m 的最小值为________． 答案 3

解析 根据题意，点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)， 则AB 的中点为(0,0)，|AB |＝2m ，

则以AB 的中点为圆心，半径r ＝1

2×|AB |的圆为x 2＋y 2＝m 2，设该圆为圆O ，

若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，

则圆C 与圆O 有交点，必有|m －2|≤|OC |≤m ＋2，

即⎩⎪⎨⎪⎧

|m －2|≤5，m ＋2≥5，

又由m >0， 解得3≤m ≤7， 即m 的最小值为3.

9．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；

(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2

的最大值和最小值．

解 (1)由圆C 的方程x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，

∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22，

又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，

∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.

(2)由题可知n －3m ＋2

表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，

即kx －y ＋2k ＋3＝0，

则n －3

m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k

2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，

∴n －3

m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3.

(1)求圆的方程．

(2)P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．

解 (1)圆与x ，y 轴正半轴都相切，

∴圆的方程可设为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，

圆心C 到直线的距离为3，

∴由点到直线的距离公式，得d ＝|3a ＋4a ＋1|32＋4

2＝3， 解得a ＝2，

∴半径为2.

∴圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.

(2)PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，

∴△PCE≌△PCF，

∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，

∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，

∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，

由(1)知|PC|min＝3，

∴|PE|2min＝32－4＝5，即|PE|min＝5，

∴S△PCE＝1

2|EC|·|PE|＝

1

2×2×5＝5，

∴四边形PECF面积的最小值为2 5.

11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()

A．6 B．4 C．3 D．2

答案 B

解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为()

A．5 B．10 C．15 D．20

答案 A

解析如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，

∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.

13．已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，点B 的坐标为(0,2)，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，则|PB |＋|PQ |的最小值为________．

答案 2 5

解析 由于点B (0,2)关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，

则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，

又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－R ＝35－5＝25，

所以|PB |＋|PQ |的最小值为2 5.

14．已知实数x ，y 满足方程y ＝－x 2＋4x －1，则y x

的取值范围是________． 答案 [0，3]

解析 方程y ＝－x 2＋4x －1化为(x －2)2＋y 2＝3(y ≥0)，表示的图形是一个半圆，令y x

＝k ，即y ＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时，k ＝3，所以y x

的取值范围是[0，3]．

15．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为________． 答案 30

解析 把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心M (1，－1)，

半径r ＝ 3.直线l 与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d ＝|1－(－1)－1|12＋(－1)

2＝22，由勾股定理得半弦长＝3－⎝⎛⎭

⎫222＝102，

所以弦长|AC |＝2×102

＝10. 又B ，D 两点在圆上，并且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径)，两三角

形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋12

|AC |×|DE |＝12|AC |×|BD |＝12

×10×23＝30. 16．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65.

(1)求圆C 的标准方程；

(2)已知N (2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

①求证：1x 1＋1x 2

为定值； ②求|PN |2＋|QN |2的最大值．

(1)解 由圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65，设C (a ，0)，

直线l ：4x ＋3y －6＝0的斜率为－43

， 则k CM ＝6535

－a ， 所以6535

－a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1， 所以a ＝－1，

所以C (－1,0)，|CM |＝

⎝

⎛⎭⎫－1－352＋⎝⎛⎭⎫652＝2， 即r ＝2，

所以圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.

(2)①证明 设直线l 1：y ＝kx (k >0)，与圆联立方程组可得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0，

Δ＝4＋12(1＋k 2)>0，x 1＋x 2＝－21＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2

， 则 1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23为定值．

②解 |PN |2＋|QN |2＝(x 1－2)2＋(y 1－1)2＋(x 2－2)2＋(y 2－1)2

＝(x 1－2)2＋(kx 1－1)2＋(x 2－2)2＋(kx 2－1)2

＝(1＋k 2)(x 1＋x 2)2－2(1＋k 2)x 1x 2－(4＋2k )(x 1＋x 2)＋10

＝12＋4k 1＋k 2＋16， 令t ＝3＋k (t >3)，

则k ＝t －3，

所以12＋4k 1＋k 2＋16＝4t 1＋(t －3)2＋16＝4t ＋10t

－6＋16≤4210－6＋16＝210＋22， 当且仅当t ＝10t

，即t ＝10时，取等号，此时k ＝10－3， 所以|PN |2＋|QN |2的最大值为210＋22.

无锡市第一中学高二(上)数学 习题课2

点、线、圆习题课2 【最值问题】 例1 已知点(,)P a b 在圆22:(3)(4)4C x y -+-=上． （1）求2a b +的取值范围；（2）求 12 b a ++的取值范围；（3）求2222a b a b ++-的取值范围； （4）若当P 在圆C 上运动时，不等式20a b t -+≥始终成立，求实数t 的取值范围． 小结： 1.圆参数方程的运用a =2cos θ+3,b =2sin θ+4 2.数形结合（几何意义：1、斜率；2、两点距离公式等） 例2 1.若直线b x y +=与曲线22y x -=恰有一个公共点，求实数b 的取值范围. 变：若直线k kx y 9-=与曲线22y x -= 恰有一个公共点，求实数k 的取值范围. 变：直线k kx y 9-=与圆7)3()1(:22=-++y x C 交于AB 两点，求△ABC 面积的最大值. 2.已知圆22:(2)(2)1C x y -+-=，过点(1,0)P 作圆C 的切线，记切点为,M N ． （1）求切线方程；（2）求直线MN 的方程；（3）求CM CN ?的值． 3.已知圆22:(2)(2)1C x y -+-=，过点Q 作圆C 的两条切线，记切点为,M N ． （1）若点Q 在直线20x y +-=上运动，求CM CN ?的最大值； （2）若点Q 在直线40x y +-=上运动，且点Q 在圆C 外，求QM QN ?的最小值． 小结： 1.点到直线的距离是常用的切入手段. 2.方程联立结合向量、韦达定理. 【轨迹问题】 例3 1. 设A(x ，y )到B(-1，0)的距离是到C(1，0)的距离的2倍，求点A 的轨迹方程. 变 在△ABC 中，BC=2，边AB 是边AC 的2倍，求△ABC 面积的最大值. 2. 已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________． 3. 自点A(6，0)引圆224x y +=的割线，交圆得弦BC ，则弦BC 中点P 的轨迹方程为__________________． 4. 与y 轴相切，并且和圆122=+y x 外切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 【圆系的应用】 1.求经过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=的交点，且圆心在直线04=--y x 上圆的方程. 2.求经过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=的交点,且面积最小的圆的方程. 3.过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且面积最小的圆的方程为_____________. 小结： 1.数形结合的重要性 2.得出的结果要和图形结合，即去除一些不符合条件的点(去杂) 反思：充分利用几何图形，才能正确解决解析几何中所遇到的问题.

与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

圆专题：与圆有关的最值问题 一、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 二、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 三、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM l C P M

四、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如a x b y y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题； 2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题； 3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 题型一 圆上的点到定点的距离最值 【例1】若点M 在曲线22 64120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值 范围是______． 【答案】13131⎡⎤⎣⎦ 【解析】曲线22 64120x y x y +--+=，即()()22 321x y -+-=， C P P MN

第二章 习题课 与圆有关的最值问题

习题课 与圆有关的最值问题 学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语 2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r . 4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2. 例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －3 4 解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点

⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2x ＋y －7＝0， x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－3 4. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B 解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2. 因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称， 所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4| 5 ＝3，切线长的最小值为 d 2－R 2＝ 9－4＝ 5. 反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 B 解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝ (m －1)2＋9， 即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短． (2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2 解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.

与圆有关的最值问题,附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案 姓名 1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一 点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____． 2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆 O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值； （3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围． 3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切， P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE， D． 则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C． 2

4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ． （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长． （4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

与圆有关的最值(范围)问题

x x 与圆有关的最值（范围）问题 圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22 (3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小 值为 . 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用． 解：如图1，圆心C 到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =， 故1PQ PC r ≥-= 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 【分析】本题要求QAB S V 的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解：如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离， 则1 1)42 QAB Q Q S AB h = ?===+V 图1 图2 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：2 2 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解．因为 222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1． 解：如图3，22221PA PC r PC =- =-，∵min PC =min PA =变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2 2 (3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．

《圆》中有关取值范围(最值)问题专题

《圆》中有关取值范围（最值）问题专题 1.圆外定点＋圆上动点： Eg ：如图，在Rt ABC ∆中，4,390==︒=∠BC AC ACB ，，以BC 为直径的半圆交AB 于,D P 是CD 上的一个 动点，连接AP ，则AP 的最小值是 . 2.圆外定点＋隐圆上动点： Eg ：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，AB=4，D 是AC 上一个动点，以AD 为直径的⊙O 交BD 于E ， 则线段CE 的最小值是 3.圆内定点＋圆上动点： Eg ：如图，点P 在半径为3的⊙O 内，OP ＝3，点A 为⊙O 上一动点，当⊿OAP 的面积取得最大值时， AP 的长度为_______． 4.直线上动点＋圆上动点： Eg1：如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是 Eg2：如图，已知直线334 y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是

Eg1：如图，⊙O的直径为6，点O到直线l距离为5，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ 的最小值为 Eg2：如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-2，0），半径为1，点P为直线6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________ Eg3：如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线长的最小值为_______________． 6.弦上动点＋圆上动点： Eg：如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D． 则CD的最大值为． 7.弦心距最值问题： Eg：如图，AB是⊙O的弦，AB=18，⊙O的半径为15，点P是弦AB上任意一点，则OP的长度不可能是（） A.11 B. 12 C.13 D.14 3 4 3 + - =x y Rt AOB △32 OA OB ==O ⊙P AB P O ⊙PQ Q PQ

圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题

圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题 在高中数学中，圆是我们研究最多的一种曲线。在研究与圆相关的问题时，最值问题是一个重点和热点。下面总结了常见的与圆相关的最值问题，希望对读者有所启发。 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题 分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是可以转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。 1.求圆C：(x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线l：x-y+2=0的最大、最小距离。解析：作CH⊥l交于H，与圆C交于A，反 向延长与圆交于点B。则dmax=dBH=2+√2，dmin=dAH=2-√2，因此dCH=2.

2.求圆C：(x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线l：x-y+4=0距离的最大值和最小值。解析：方法同第一题，dmax=dBH=4√2，dmin=dAH=2√2. 3.圆x²+y²=2上的点到直线l：3x+4y+25=0的距离的最小值为______。解析：方法同第一题，dmin=5-2=3. 类型二：圆上一点到定点距离的最值问题 分析：本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是可以转化为圆心与定点距离问题来解决。 1.已知点P（x,y）是圆C：x²+y²-2x-4y+4=0上一点，求P 到原点的最大最小距离。解析：连接OC与圆交于A，延长OC交于B。则dmax=dOC+r=5+1=6，dmin=dOC-r=5-1=4. 2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q(-2,3)，若M是圆C上任一点，求MQ最大值和最小值。解析：方法同第一题，dmax=dCQ+r=6√2，dmin=dCQ-r=2√2.

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 ∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。 变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。 变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况： 设圆心到点A的距离为d， 当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。 当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。 二、圆上点与圆的相离直线的最值问题 例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求 最短距离。 解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。直线OA的斜率为1，对应方程为： y=x。 由得。 ∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。 变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。 小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。 三、过圆内点的最短弦问题 例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率 为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。 变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k 值。 变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线 L的方程。 小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所 在直线为所求直线。 四、利用圆的参数方程求最值 例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 最值问题是数学中经常遇到的一类问题，也是我们在生活和工作中 经常需要解决的问题。与圆有关的最值问题较为常见，下面我们就来 详细讲解一下与圆有关的最值问题。 1、圆的面积最大值问题 对于一个给定的周长，圆的面积大小是有限制的，那么圆的面积能达 到最大值吗？答案是肯定的。如何求得圆的面积最大值呢？可以利用 圆形是周长相等的图形之中，面积最大的形状，这一性质来进行求解。根据圆形的定义可知，圆形是以线段为半径作为圆心所在的圆周所包 括的区域，而圆弧是圆周上的一段线段，用圆弧代替直线段，使得圆 与圆弧缩短弧长，从而面积更大。所以，圆的面积最大时，其圆弧的 长度正好等于圆的周长的一半。 2、圆的周长最大值问题 圆的周长与圆的半径成正比，所以圆的周长最大时，其半径也最大。 因此，圆的周长最大值问题可转化为半径最大值问题。但是一般情况下，圆的半径是有限制条件的，比如半径必须小于一定数值，这时我 们需要用到极值的判定方法来求解。 3、圆内切正方形的最大面积

若题目给出一个圆，要在圆内切一个面积最大的正方形，该如何求解？首先可以画出该图形的示意图，现在有一个边长等于圆的直径的正方形，在其中画出一个圆，且与正方形的四个顶点相切，如图。将图形 旋转一定角度，使正方形的一条边与水平线重合，则圆的直径同样水平，则圆的直径就是正方形的边长，此时，圆内切正方形的面积为(半 径的平方)÷2。 4、圆外接正方形的最小边长 同样地，若题目给出一个圆，要在圆周上找到一个最小边长的正方形，该如何求解？先画出一个圆外接正方形的示意图，即在圆上取四个点，使得这四个点构成一个正方形(如图)。要求这个正方形的最小边长，就 是要求这个正方形的最小周长。由于正方形的边长相等，所以可以将 正方形的周长都化为边长l的形式来表示。根据边长l和圆的半径r的 关系，可以列出如下方程： 2l + 2√2l = 2πr 将方程进行化简，得： l = r(π - 2√2) 所以，圆外接正方形的最小边长为r(π - 2√2)。 以上就是与圆有关的最值问题的详细介绍，不同的问题需要采用不同

专题03圆的取值范围与最值问题题型全归纳(解析版)

专题03 圆的取值范围与最值问题题型全归纳 【考点预测】 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如a x b y --= μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如2 2)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题 【方法技巧与总结】 解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程 （4）代数角度转化成函数值域问题 【题型归纳目录】 题型一：斜率型 题型二：直线型 题型三：距离型 题型四：长度、周长、面积型 题型五：数量积型 【典例例题】 题型一：斜率型 例1．（2022·上海市控江中学高二期末）已知点(),P x y 在圆()()2 2 113x y -+-=上运动，则 43 y x --的最大值为（） A ．6- B ．6 C ．6- D ．6【答案】C 【解析】 43 y x --看作圆上的点(),P x y 到点()3,4A 的直线的斜率的相反数. 当经过点()3,4A 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，

设切线方程为()34y k x =-+，所以圆心到切线的距离等于半径，故2 23 1k k -+=+，解得6k =故当 6k =43 y x --最大，最大值为6-+， 故选：C 例2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则y x 的最大值和最小值的和是（） A ．1 B ．0 C D ．【答案】B 【解析】由题意，()2 22241023x y x x y +-+=⇒-+=，表示以（2,0 00 y y x x -=-表示圆上的点P （x ,y ）与原点连线的斜率，如图： 易知，当直线OP 与圆相切时 y x 分别取得最大值和最小值 设切线为：0y kx kx y =⇒-=， 于是圆心到切线的距离 d k === 故 y x 的最大值和最小值的和是0 故选：B 例3．（2022·全国·高二专题练习）若实数x ，y 满足22414450x y x y ＋－－＋＝，则下列关于3 2 y x -+的最值的判断正确的是（） A ．最大值为2 —2B ．最大值为2 2C ．最大值为－2 2D ．最大值为—2 2【答案】B 【解析】22414450x y x y ＋－－＋＝可化为()()2 2 278x y --＋＝. 3 2 y x -+可看作圆上任意一点(),P x y 与定点()2,3Q -连线的斜率. 记3 2 y k x -= +，则23y kx k =++，记为直线l . 当直线与圆()()2 2 278x y --＋＝相切时，k 可以取得最值.

直线与圆的最值问题

题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值． 例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27. 变式训练1：1y kx =+与圆C ()2 214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线 1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB 取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l 变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. (1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1). 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内， 从而直线l 与圆C 恒交于两点. (2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12 ，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦. 题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值

“与圆有关的最值问题”教案(最新)

“与圆相关的最值问题”教学案例 教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。 教学目标： 从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。 重点与难点： 学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。 教学过程： 一、引入新课 方法总结1.形如μ=(y-b)/(x- a)形式的最值问题,可转化为过点P(a,b)动直线斜率的最值问题. 2.形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. 3.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题. 4.有时与圆有关的最值问题需要结合已知条件,列出代数关系式,然后根据关系式的特征选择参数法、配方法、判别式法、基本不等式等方法进行最值的求解. 二、典型例题 考向1斜率型最值问题 例1若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为() A.B.C.D. 变式训练 1.设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()

A. B.∪ C. D.(-∞,-]∪[,+∞) 考向2截距型最值问题 例2已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是. 变式训练 2 已知P(x,y)在圆(x-1)2 +(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最 小值为. 考向3 距离型最值问题 例3[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是. 变式训练 3.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( ) A.√5 B.5 C.2√5 D.10 考向4利用对称性求最值 例 4 [2017·赤峰期末] 一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是( ) A.4 B.5 C.3√2-1 D.2√6 变式训练 4.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 √2-4 B.√17-1 C.6-2 √2 D.√17 四、小结 最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,

圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，要紧缘故确实是对求最值的方式了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方式，归纳如下： 一、利用对称求最值 1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值. [分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即现在PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长. 解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P 连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E 在△OCD中，因为∠AOC=60°因此∠D=∠C=30° 在Rt△ODE中cos30°= 即DE=2×cos30°= 因此CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2. 二、利用垂线段最短求最值 2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点 Q，那么PQ长度的最小值为. [分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，依照垂线段最短易求PA的最小值为2. 解：连接PA、QA 因为PQ切⊙A于点Q 因此PQ⊥AQ 在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2 即PQ= 又因为A(－3,－2) ，依照垂线段最短。 因此PA的最小值为2 因此PQ的最小值= 三、利用两点之间线段最短求最值 3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A动身，沿着圆锥的侧面爬行到点D，那么蚂蚁爬行的最短路程为( )

A．B．2 C．3 D．3 [分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不行求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题. 解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB 依照题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6 因为4π= 因此n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB 因此△PAB是等边三角形因为D为PB中点因此AD⊥PB PD=DB=3 在Rt△PAD中，AD=，应选C. 四、利用直径是圆中最长的弦求最值 4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的双侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q， （1）求∠P的正切值； （2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长； 当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出现在CQ的长. [分析]：易证明△ACB∽△PCQ，因此，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O的动弦，当PC是⊙O的直径时最大. 五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值 5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求

高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题

数形结合，巧解“与圆有关的最值问题” 例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值． 解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为 (,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+2 22002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ． 点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质． 例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴ AD

例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点． 求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程 （2）过P 的圆的最长弦所在直线方程 解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k ∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦． 例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=． （1） 求 y x 的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值． 分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0） 点．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方． 解：（1）设y k x =，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值， = k =．所以y x k = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值， = 解得2b =-所以y x - 的最大值为2-， 最小值2-． （3 表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原 点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2 与222x y + 的最大值和最小值分别为7+ 7-．

苏教版高中数学必修二高考一轮理与圆有关的定点、定值、最值与范围问题一轮复习基础到提升含精细解析含答案

与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题 分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪ ⎧ y ≥0，x －y ≥0， 2x －y －2≥0， 则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2 ＝1上点的距离 的最小值是________． 答案 42－1 2．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2 最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2 ＋(y －3)2 ＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2 ＋y 2 最小值为(13－1)2 ＝14－213. 法二 设圆的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2＋cos α， y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2 ＋y 2 的最小值为14－42 ＋62 ＝14－213. 答案 14－213 3．圆C 的方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2 ＋(y －5sin θ)2 ＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF → 的最小值是________． 解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2＋5cos θ， y ＝5sin θ， 则可得圆心M 的轨迹 方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF → 最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故 |PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2 ×cos 60°＝6. 答案 6 4．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2 ＋y 2 ＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________． 解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于 2 2 ，由点到

圆中的最值问题

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3 , 0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设tan / BOC=m贝U m的取值范围是 ____________ . 题2 （2013年武汉元调）如图，在边长为1的等边△ OAB中，以边AB为直径作O D,以O为圆心OA长为半径作O O, C为半圆弧A B上的一个动点（不与A B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a b 的最大值.（有修改） 题3 （2013年武汉四调）如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线ABAC于DE两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为 _________________ . 题4 （2013年武汉五模）在厶ABC中，A 120 , BC 6 .若△ ABC的内切圆半径为r，贝U r的最大值为_________ .（有修改） 题5 （2013年武汉中考）如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______________

题4图【典题讲练】

类型1 (相关题：题5) 1.1如图，边长为a的等边△ ABC的顶点A , B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点0 的距离的最大值是______________________ • 1.2在直角坐标系中，△ ABC满足，/ C=90 ° AC=8 , BC=6，点A , B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正 x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动(下图)，求原点0到点C的距离0C的最大值，并确定此时图形应满足什么条件. 1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC , / C=90 ° AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y 轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动. (1)当A在原点时，求点B的坐标； (2)当OA=OC时，求原点0到点B的距离0B; (3)在运动的过程中，求原点0到点B的距离0B的最大值，并说明理由. 1.4边长为2的等边△ ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线0D上移动，/ AOD=45 °贝U顶点C到原点0的最大距离为______________________ .

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程． 【与圆有关的最值类型】 ①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径. 例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ). A.6；3. B.6；4. C.5；3. D.5；4. (2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d= 25√32+42 =5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直 线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B. 法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′= |3cosθ+4sinθ−25| 5 =|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4. 故应选B. (2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距 离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5. 例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(8 5，6 5). B.( 8 5，−6 5). C.( −8 5，6 5) D.( −8 5，−6 5). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2 +y 2 =4, 3x −4y =0,⇒{x =8 5 y =65 或{x =−8 5 y =−65 . 结合图4.7—1知选A. x y O 4x+3y -12=0

2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练(含答案)

2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练 类型一点圆最值 1. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，P A⊙PB，且P A，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 第1题图 2. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝6，BC＝2 3 ，半径为1的⊙O在Rt⊙ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________． 第2题图 类型二线圆最值 3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan ⊙BOD的值是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第3题图 4. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，⊙ACB ＝60°，则⊙ABC面积的最大值为()

第4题图 A. 6 3 B. 12 3 C. 18 D. 20 5. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 第5题图 类型三定点定长作圆 6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C 重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为() A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 10 第6题图 7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足⊙MPN＝45°的⊙PMN中，边PM的长的最大值是() 第7题图