圆到直线的最大值和最小值的距离
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最
大值为d+r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r
4.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值
为(d为圆心到直线的距离)
(1)证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最大为d+r
画一图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆于Po
和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d+r（d为圆心O到
直线l距离即OM2长）
再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直
线l距离为PM1长
连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠
PoPM1为钝角；
过P做PoM2的垂线垂足为M，（由于∠PPoM2为锐角所以点M在
线段PM2上）可知PMM2M1为矩形，PM1=MM2 即PoM2=d+r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值 (2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最小=d-r 我们同样画一张图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆与Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d-r即 PoM2长（d为圆心O到直线l距离即OM2长） 再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直 线l距离为PM1长 连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠NPM1 为钝角 过Po做PM1的垂线垂足为M，（由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上）可知PoMM1M2为矩形，PM1>MM2=PoM2 即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值 圆到直线的最大值和最小值的距离 1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r 2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最 大值为d+r 3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r 4.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值 为(d为圆心到直线的距离) (1)证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最大为d+r 画一图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆于Po 和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d+r（d为圆心O到 直线l距离即OM2长） 再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直 线l距离为PM1长 连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠ PoPM1为钝角； 过P做PoM2的垂线垂足为M，（由于∠PPoM2为锐角所以点M在 线段PM2上）可知PMM2M1为矩形，PM1=MM2 过Po做PM1的垂线垂足为M，（由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上）可知PoMM1M2为矩形，PM1>MM2=PoM2 即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值 圆上一点到直线距离的最大值 以圆上一点到直线距离的最大值为题，我们来探讨一下这个问题。 我们先来了解一下题目中所涉及的概念。圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合，而直线是一个无限延伸的线段。圆上的一点到直线的距离，指的是从这个点到直线上最近的点之间的距离。那么题目所问的圆上一点到直线距离的最大值，就是从圆上任意一点到直线的最远距离。 接下来，我们来推导一下如何求解这个最大值。假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为Ax + By + C = 0。我们需要找到圆上的一点(x1, y1)，使得它到直线的距离最大。 我们可以假设直线过圆心，即直线的法向量N = (A, B)与圆心的连线重合。这样做的原因是，如果直线不过圆心，那么直线与圆的交点一定是圆上到直线距离最大的点之一，而我们只需求解距离的最大值，而不需要具体的交点坐标。 根据直线的方程，我们可以得到直线的斜率k = -A/B。而圆心到直线的距离为 d = |A*a + B*b + C| / sqrt(A^2 + B^2)。我们可以将圆心到直线的距离表达式中的a和b分别用x1和y1来表示，即d = |A*x1 + B*y1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。 接下来，我们需要找到使得d最大的点(x1, y1)。根据数学的知识，我们可以知道，当直线的斜率k与圆的切线的斜率相等时，圆上的 点到直线的距离最大。因此，我们需要求解直线与圆的切线的斜率。设切线的斜率为k1，圆的半径为r，圆心的坐标为(a, b)，切点的坐标为(x2, y2)。切线的方程可以表示为y - y2 = k1(x - x2)。将圆的方程代入切线的方程，我们可以得到一个关于x的二次方程，解这个方程可以得到切点的横坐标x2。 将x2代入切线的方程，我们可以得到切点的纵坐标y2。由此，我们就得到了切点的坐标(x2, y2)。 接下来，我们将切点的坐标代入直线的方程，我们可以得到切线的斜率k1。将k1代入圆心到直线的距离表达式中，我们可以得到圆心到切线的距离d1。 由于圆心到切线的距离d1等于圆心到直线的距离d，我们可以得到一个方程，即|A*x1 + B*y1 + C| / sqrt(A^2 + B^2) = d1。由此，我们可以解这个方程，求得(x1, y1)的值。 我们将求得的(x1, y1)代入直线到圆心的距离表达式中，即可得到圆上一点到直线的距离的最大值。 通过求解直线与圆的切线的斜率，再解方程求得圆上一点到直线的距离的最大值。这个问题可以通过数学的方法来解决，具体的计算过程可以通过代入相关公式来求解。 直线与圆相关的最值问题常用的处理方法 圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。 【母题】 （2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:2 2 =+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 . 一、与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有： （1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦； （3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离； （6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. 【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(2 2 2 >=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆 C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围 为 . 【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______. 【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()22 3425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ． 【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线 )(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 1.2 与面积相关的最值问题 与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 【例2】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 ． 【变式1】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 二、与圆相关的最值问题常用的处理方法 x y O 1C :()()2 2 1625x y ++-=2C :()()2 2 21730x y r -+-=2C P P 1C A B 2PA =AB r ,m n R ∈10mx ny +-=x A y B l 224x y +=2O ABO ∆ 圆专题：与圆有关的最值问题 一、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 二、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 三、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM l C P M 四、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如a x b y y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题； 2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题； 3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 题型一 圆上的点到定点的距离最值 【例1】若点M 在曲线22 64120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值 范围是______． 【答案】13131⎡⎤⎣⎦ 【解析】曲线22 64120x y x y +--+=，即()()22 321x y -+-=， C P P MN 资料范本 本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载 直线与圆知识点及经典例题(含答案) 地点：__________________ 时间：__________________ 说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容 圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程 这个方程叫做圆的标准方程。 说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 （二）圆的一般方程 将圆的标准方程,展开可得。可见，任何一个圆的方程都可以写成 : 问题：形如的方程的曲线是不是圆？ 将方程左边配方得： （1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆 心，以为半径的圆。, （3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当＞0时，方程称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： （1）和的系数相同，不等于零； （2）没有xy这样的二次项。 （三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 （1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： （1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 （3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d 习题课 与圆有关的最值问题 学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语 2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r . 3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r . 4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2. 例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －3 4 解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2x ＋y －7＝0， x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－3 4. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B 解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2. 因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称， 所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4| 5 ＝3，切线长的最小值为 d 2－R 2＝ 9－4＝ 5. 反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 B 解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝ (m －1)2＋9， 即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短． (2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2 解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 六：直线圆中的最值问题 一：知识回顾 1：最值问题的处理方法①直接分析何处最值求出即可 ②把所求表示为函数，利用单调性求最值2：圆中常见4中最值 二：基础练习 1．过圆()2 234 x y +-=内一点() 1,2作此圆的弦，则弦长的最小值与最大值分别为（）A．8 B，4 C． 4 D．，8 【答案】C 2．点P 在圆()()221:429C x y -+-=上，点Q 在圆()()22 2:214C x y +++=上，则PQ 的最小值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．5+ 【答案】A 3．已知两点(1,0),(0,2)A B -，点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PAB △的面积的最大值与最小值分别是（ ） A ．(1 2, 42 B ． ((1 1 4, 422+ C - D ．)) 1 12,22 2 【答案】B 4．已知实数,x y 满足2240x y x +-= ，则222817x y x y ++++的最大值为（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．49 【答案】D 5．已知(),x y P 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，PA 是圆C:2 2 20x y y +-=的 一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ） A.3 B.2 C. D.2 【答案】D 6．已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2 π 时,则r 的值为( ) A B C ．D ．1 【答案】A 7．在平面直角坐标系xOy 中，过点(,0)P t 向圆22:(1)(4)7C x y -+-=引切线，切线长为 1d .设点P 到直线23120x y --=的距离为2d ，当12d d +取最小值时，t 的值为（ ） A ． 52 B ．3 C ． 72 D ．4 【答案】B 圆上的点到直线的最大值证明 引言 在几何学中，我们经常需要研究圆与直线之间的关系。一个经典的问题是，如何确定一个圆上的点到一条直线的距离的最大值。这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其在优化理论和最大值问题中更是被广泛讨论和研究。本文将从几何和代数两个角度对这个问题进行深入探讨和证明。 几何证明 基本概念 在开始证明之前，我们先来明确一些基本概念。设圆的方程为(x−a)2+ (y−b)2=r2，直线的方程为Ax+By+C=0。我们需要确定圆上的点到直线的 最大值。 最大值点的性质 为了证明最大值点的存在性和确定性，我们首先来探讨最大值点的一些性质。 1. 最大值点一定在圆与直线的切点处。证明：假设最大值点不在切点处，我们可以 构造一条过最大值点的切线，并将这条切线延长与直线相交于点P，如下图所示。1. [图示]( 由于切线与圆相切，所以点P到圆的距离大于最大值点到圆的距离，这与假设矛盾。因此，最大值点一定在圆与直线的切点处。 2.最大值点到圆心的连线与直线垂直。证明：假设最大值点到圆心的连线与 直线不垂直，我们可以在最大值点作一个平行于直线的切线，这条切线与圆 的切点与最大值点的连线构成的夹角不为90∘，如下图所示。 2. [图示]( 根据正余弦定理，我们可以得到点A与点C之间的距离大于点B与点C之间的距离。 这与最大值点的定义相矛盾，所以最大值点到圆心的连线与直线垂直。这也说明最大值点一定在圆的直径上。 最大值的计算 根据上述性质，我们只需要确定圆与直线的切点即可找到最大值点。设切点为(x0,y0)，则有以下等式成立： [ ] 通过联立以上方程，我们可以解得切点的坐标，进而求得最大值。 代数证明 我们还可以从代数的角度对圆上的点到直线的最大值进行证明。具体步骤如下： 最大值的表达式 假设圆心坐标为(a,b)，圆的半径为r，直线方程为Ax+By+C=0。我们需要求解最大值点到直线的距离的最大值。设最大值点的坐标为(x0,y0)，则有以下等式成立： [ = ] 其中，|⋅|表示绝对值运算。 最大值的计算 为了确定最大值点，我们可以以圆心为原点建立坐标系。令P点到直线的距离为f(x0,y0)，则有： [ f(x_0, y_0) = ] 可以发现，点P到直线的距离f(x0,y0)是一个关于x0和y0的二次函数。我们可以通过二次函数的性质来确定最大值。 首先，我们将Ax0+By0+C表示为一个二次函数的形式。令： [ d(x_0, y_0) = Ax_0 + By_0 + C ] 则有： [ f(x_0, y_0) = ] 圆的问题探究 类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题 分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。 1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。 所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====- 2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题 , max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________. 解析:方法同第一题 , min 5d = 类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题 分析：本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。 1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离. 解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B . max min 1;1. OC OC d d r d d r =+==-= 2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求 MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max Q min Q C C d d r d d r =+===-== 3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围. 解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求 max min ,d d 即可,与第一题答案相同. 4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方. max min 22max min 5,6, 4. 36,16.[16,36]. CP d d d d =====所以范围是 5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围. 解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去 2. max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:2 2 =-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点， 求2 2PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析: 2 2 2222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74]. d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5, 所以答案 类型三、“过定点的弦长”问题 1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=； （1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。 （2）m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长。 解析: 直线与圆的最值问题 1 最值模型 (1)三点共线模型(三角形三边的关系) (i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点. (ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到). (iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点. (2)某点M到圆⊙O上点N的距离 (i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM； (ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM； (3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r 为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r. 2 圆的参数方程 圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ， 它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b (θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ， rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b . Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2 . 【题型一】几何法处理最值问题 情况1 三点共线模型 【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求 (1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值； (2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值． 情况2 斜率型最值 【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 . 情况3 两点距离型最值 【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ． 圆上的点到直线的最大值证明 圆上的点到直线的最大值证明 介绍： 在数学中，我们经常会遇到求解点到直线的距离问题。而当点位于圆上时，我们需要求解的是圆上的点到直线的最大距离。这个问题在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。 本文将从以下几个方面来探讨圆上的点到直线的最大值证明： 1. 圆与直线之间的关系 2. 圆上任意两点连线与切线垂直 3. 圆上某一点到直线距离公式 4. 圆上的点到直线的最大值证明 一、圆与直线之间的关系 在研究圆上的点到直线距离时，首先需要了解圆与直线之间的关系。我们知道，一个平面内只有三种可能存在位置关系：相离、相交和相切。 当圆与直线没有交点时，它们是相离关系；当它们有一个交点时，它们是相交关系；当它们有且仅有一个公共切点时，它们是相切关系。 二、圆上任意两点连线与切线垂直 接下来，我们需要了解一个重要的几何定理：圆上任意两点连线与切线垂直。 证明如下： 假设圆上有两点A、B，以及一条切线CD。连接AB，交CD于E。则由切线定理可知，AE=EB。 又因为AE=EB，所以△AEB是一个等腰三角形。根据等腰三角形的性质可知，AE与BE的中垂线FE必定与AB垂直。 而FE就是切线CD所在直线的中垂线，因此CD与AB垂直。 三、圆上某一点到直线距离公式 在证明圆上的点到直线的最大值时，我们需要用到圆上某一点到直线距离公式。 假设有一个圆C(x0,y0)和一条直线L(ax+by+c=0)，其中P(x1,y1)是圆C上任意一点，则P到L的距离为： d = |ax1 + by1 + c| / √(a² + b²) 四、圆上的点到直线的最大值证明 现在我们来证明一个重要定理：对于给定圆C(x0,y0)和一条过该圆心O(x0,y0)的直线L(ax+by+c=0)，该圆上距离该直线最远的点为 A(x1,y1)，其中OA垂直于直线L。 证明如下： 假设圆C(x0,y0)与直线L(ax+by+c=0)相交于点B(x2,y2)，且AB为圆上最长的弦。则由圆上任意两点连线与切线垂直可知，AB的中垂线CD必定垂直于L。 又因为CD是AB的中垂线，所以CD也就是弦AB的垂线。而根据圆的性质可知，弦AB的中点E一定在圆心O上。 因此，OE与CD重合，即OE也是L的垂线。又因为A位于圆上，所以OA=OB=OC。因此，OA就是距离直线L最远的点。 3直线和圆中的最值问题 3直线和圆中的最值问题 直线和圆中的最值问题 1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题； 2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离； 3、有些最值问题要注意向函数问题转化； 4、抓住式子的几何意义。一、到圆心距离的最值问题 例1：已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。 二、到圆上一点距离的最值问题 例2：已知P 是圆x 2+y 2=1上一点，Q 是直线l :x +2y -5=0上一点，求 PQ 的最小值。 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题 例3：已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ，求使PA +PB 最值时点P 的坐标。 P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎪55⎪ 练习1：求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值： （）13x +4y （2）x +y （3x +1 (1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，无最大值 四、与圆半径有关的最值问题 例4：设x ，y 满足⎪y ≥x 求(x -1)+(y -3) 25⎪4x +3y ≤12 练习2：已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0 (1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程； (2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PM 求使PM 最小的点P 的坐标。 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 2122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式： ),(21211 21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得(de)弦长 1直线具有斜率k ,直线与二次曲线(de)两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它(de)弦长 2 2 2 1212121(1)()4AB x x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦k k 12 11y y =+-2 k 注:实质上是由两点间距离公式推导出来(de),只是用了交点坐标设而不求(de)技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ,运用韦达定理来进行计算. 2当直线斜率不存在是,则 12 AB y y =-. 三、过两圆C 1: 2 + y 2 +D 1 +E 1y +F 1 = 0和C 2: 2 + y 2 +D 2 +E 2y +F 2 = 0(de)交点(de)圆系方程,一般设为 2+y 2 +D 1 +E 1y +F 1+λ(2 + y 2 +D 2 +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2. 四、对称问题1和最小,化异侧（两边之和大于第三边,三点共线时取等号即最小值） 2差最大,化同侧（两边之差小于第三边,三点共线时取等号即最大值） 例题分析 1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=, 直线与圆 （1）求y x (de)最大值和最小值;（2）求y x -(de)最大值与最小值；（3）求22x y +(de)最大值与最小值. 2、已知两定点(3,5)A -,(2,15)B ,动点P 在直线3440x y -+=上,当 PA ＋ PB 取最小值时,这个 最小值为（ ）.A ．513 B ．362 C ．155 D ．5102+ 3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ,点P 是x 轴上(de)点,求当 PB AP +最小时(de)点P (de)坐标． 解答如图示：,考虑代数式(de)几何意义: ⑴y x 即圆上(de)点与原点所在直线(de)斜率.当直线与圆相切时,斜率取得最大值和最小值, 即y x 取得最大值与最小值； ⑵y x -即过圆上点,且斜率为1(de)直线在y 轴上截距； ⑶22x y +即圆上(de)点到原点距离(de)平方. 当点位于圆与x 轴(de)左交点时,点到原点(de)距离最小；当点位于圆与x 轴(de)右交点时,点到原点(de)距离最大. 解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x (de)几何意义为直线OP (de)斜率,设y k x =,则直线OP (de)方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时,斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y kx =(de)距离2 2 2 2 1 1 d k k = = ++,∴当 2 2 31 k =+,即3k =时,直线OP 与圆相切.∴y x (de)最大值为3,最小值为3 （2）令y x b -=,即y x b =+,求y x -(de)最大值与最小值即过圆上点,且斜率为1(de)直线在y 题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值． 例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27. 变式训练1：1y kx =+与圆C ()2 214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线 1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB 取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l 变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. (1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1). 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内， 从而直线l 与圆C 恒交于两点. (2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12 ，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦. 题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值 第25练直线与圆 1．(2020·全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为() A．1 B. 2 C. 3 D．2 答案 B 解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)， 由l过定点B(－1,0)， 知当AB⊥l时，距离最大，最大值为 2. 2．(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于() A．±2 B．±2 C．±3 D．±5 答案 C 解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2， 则圆心到直线的距离d＝|m| k2＋1 ， 则弦长为24－m2 k2＋1 ， 则当k＝0时，弦长取得最小值为24－m2＝2，解得m＝±3. 3．(2018·全国Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是() A．[2,6] B．[4,8] C．[2，32] D．[22，32] 答案 A 解析设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得d max＝22＋r＝32， d min＝22－r＝ 2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为1 2|AB|·d max＝6， △ABP 面积的最小值为1 2|AB |·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 4．(2021·新高考全国Ⅱ改编)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( ) ①若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切； ②若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离； ③若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离； ④若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 B 解析 圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝ r 2a 2＋b 2 ， 若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝ r 2 a 2＋ b 2 ＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故① 正确； 若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2 拓展二：与圆有关的最值问题 知识点1 圆的最值问题 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为： 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 圆的最值类型： 一、圆上动点到定点距离的最值问题 圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于. 圆内一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于||PC r -. 二、圆上动点到定直线的距离的最值问题 圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 三、圆的切线长最值问题 四、由直线与圆的位置关系求距离的最值 五、过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题） 设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： （1）形如u ＝y －b x －a 的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解． （2）求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是： ①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值； ①把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值. （3）求形如u ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x －a )2＋(y －b )2看作是点(a ，b )与圆上的点(x ，y )连线的距离的平方，利用数形结合法求解. 七、利用对称性求最值 形如|PA |＋|P Q|形式的与圆有关的折线段问题(其中P ，Q 均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．①“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题 【例1-1】圆()()22 341x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 PC r -圆到直线的最大值和最小值的距离
圆上一点到直线距离的最大值
高中数学 直线与圆相关的最值问题
与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
第二章 习题课 与圆有关的最值问题
6.直线圆中的最值问题教师版
圆上的点到直线的最大值证明
圆的最值问题归纳
直线与圆的最值问题-讲义
圆上的点到直线的最大值证明
3直线和圆中的最值问题
高中数学直线与圆的方程知识点总结
直线与圆中的最值问题
直线与圆的最值问题
直线与圆直线与圆
2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：与圆有关的最值问题(详解版)
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