13．3 等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
基础题
知识点1等边对等角
1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )
A．30°B．75°C．150°D．125°
2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( )
A．30°B．40°C．75°D．120°
3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．
#
4．等腰直角三角形的底角的度数为________．
5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.
知识点2三线合一
7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()
A．过顶点的直线
B．底边的垂线
:
C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线
8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35°B．45°C．55°D．60°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．
：
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
中档题
13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()
\
A．100°B．80°C．70°D．50°
14．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．
15．(云南中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．
16．(贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．
17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．
]
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE＝PF.
19．(十堰中考)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
…
20．已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．
综合题
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.
(1)试求∠DAE的度数；
{
(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗为什么
参考答案
1．B ° °，20°或50°，50° 6.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ＝CD.∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ，即∠ABD ＝∠ACD. ° cm ° 12.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC.∵∠BAC ＝50°，∴∠DAE ＝1
2∠BAC ＝25°.又∵DE ⊥AC ，∴∠AED ＝90°.∴∠ADE ＝90°－∠DAE ＝90°－25°＝65°. ° ° ° 17.∠A ＝∠E.理由如下：∵CB ＝CE ，∴∠E ＝∠CBE.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠CBE.∴∠A ＝∠E. 18.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF. 19.证明：过点A 作AF ⊥BC 于点F.又∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵BD ＝CE ，∴DF ＝EF.∴AD ＝AE. 20.①当(2x －2)°作为顶角时，即(2x －2)＋2×(3x －5)＝180，解得x ＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当(3x －5)°为顶角时，即(3x －5)＋2×(2x －2)＝180，解得x ＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x －2＝3x －5，解得x ＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°. 21.(1)∵△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵BD ＝BA ，CE ＝CA ，∴∠BAD ＝(180°－45°)÷2，∠CAE ＝45°÷2.∴∠DAE ＝90°－∠BAD ＋∠CAE ＝45°.(2)不变．∠DAE ＝90°－
180°－∠B 2＋12∠ACB ＝1
2(∠B ＋∠ACB)＝45°，从上式可看出当
AB 和AC 不相等时，∠B ＋∠ACB 也是90°.所以∠DAE 的度数不变．
）
第2课时 等腰三角形的判定
基础题
】
知识点1等腰三角形的判定
1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形
2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于()
A．3 cm B．4 cm C．cm D．2 cm
3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( )
（
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( )
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．
6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．
&
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗为什么
10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．
知识点2用尺规作等腰三角形
11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．
&
中档题
12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，
且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有( )
A．6个B．7个C．8个D．9个
13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()
：
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)
C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．
15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C ＝________．
16．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.
17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．
!
(1)求∠ACB的度数；
(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少
18．(襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)
'
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
综合题
19．已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. (1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．
参考答案
1．B 5.等腰 6.等腰 ＝CD 或∠BAD ＝∠CAD cm 9.△ADE 是等腰三角形．理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C.∴∠ADE ＝∠AED.∴AD ＝AE.∴△ADE 是等腰三角形． 10.证明：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 11.(1)作线段AB ＝a ；
(2)作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ；(3)在MN 上取一点C ，使CD ＝b ；(4)连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．
14．30 °或45° 16.证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC.又∵ED ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADC.∴∠E ＝∠C.又∵∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC. 17.(1)∵∠NAC ＝38°，∠NBC ＝76°，∠NBC ＝∠ACB ＋∠NAC ，∴∠ACB ＝∠NBC －∠NAC ＝76°－38°＝38°.(2)∵∠ACB ＝∠NAC ＝38°，∴AB ＝BC.∵AB ＝30海里，∴BC ＝30海里．即轮船在B 处时，到灯塔C 的距离是30海里． 18.(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵∠EBO ＝∠DCO ，且∠ABC ＝∠EBO ＋∠OBC ，∠ACB ＝∠DCO ＋∠OCB ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴△ABC 是等腰三角形． 19.(1)△ABC 是等腰三角形．(2)如图，当点D 在△ABC 内部时，△ABC 是等腰三角形成立．
理由：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD 与Rt △FCD 中，?
????DE ＝DF ，
DB ＝DC ，∴Rt △EBD ≌Rt
△FCD(HL)．∴∠EBD ＝∠FCD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠EBD ＋∠DBC ＝∠FCD ＋∠DCB ，即∠EBC ＝∠FCB.∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．
全等三角形、等腰三角形 1、已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．，求证：BD ＝CE ． 2、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点， BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 4、如图：AE=BD ，AB=DE ，求证：∠A=∠D 5、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？并加以证明． 6、已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作等边三角形 △ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：CP=CQ ． 7、已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。求证：∠C=∠F 。 A B C D E F A B C D E F
9、如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB ，求∠A 的度数。 10、如图，在Rt △ABC 中，在斜边AB 上截取AE=AC ，BD=BC ，求∠DCE 的度数。 11、在△ABC 中，∠A =90°，AB=AC ，D 为BC 的中点． （1）如图1，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE=AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）如图2，若E ，F 分别是AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，?那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 12、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE⊥DF，交AB 于点E ，连结EG 、EF.（1）求证：BG ＝CF. （2）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由. 13、如图，已知∠BAC=90o,AD ⊥BC, ∠1=∠2,EF ⊥BC, FM ⊥AC,求证：FM=FD 。 图1 图2 F E D C B A G C B
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
《15.3 等腰三角形第一课时》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容 上海科学技术出版社八年级上册第十五章第三节等腰三角形第一课时．内容为等腰三角形的轴对称性，等腰三角形角的性质，三条重要线段的性质．2．内容解析 等腰三角形是一种特殊的三角形形，是“图形与几何”部分最基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用．按照图形概念的从属关系，等腰三角形首先是三角形，是三角形中的一类特殊图形，两条边相等是等腰三角形的本质属性． 学生在小学就已经认识了等腰三角形并了解了它的相关性质，初中阶段研究等腰三角形与小学最大的不同是构建等腰三角形相关知识的逻辑结构体系，利用轴对称和全等三角形的相关知识用逻辑推理的方法研究等腰三角形的性质，在研究与应用中进一步发展学生的数学抽象、几何直观和推理能力．等腰三角形是三角形和轴对称知识的延续和发展，也是后续学习四边形的基础，在教材中起到承上启下的作用．作为特殊的三角形，承载着单元知识以及学习方法、研究方向的引领作用．基于之前等腰三角形的学习经验，明确研究几何图形的一般思路：定义——性质——判定——应用，主要从几何图形的构成要素（边、角）和相关要素（三条重要线段）入手，经历观察、猜想、验证等过程来探究等腰三角形的性质．学生掌握了等腰三角形的研究思路和研究方法，才能运用类比的方法，进一步自主学习特殊的四边形如等腰三角形、菱形、正方形相关知识，真正实现由学会到会学的目的．等腰三角形的性质还为证明线段相等、角相等提供新的方法和依据． 教材中等腰三角形这一内容安排了三课时，第一课时研究等腰三角形的定义及性质；第二课时应用性质解决简单问题；第三课时等腰三角形的判定．本节课是第一课时，主要从角，三条重要线段两方面探究等腰三角形的性质，进一步积累几何图形的研究思路和研究方法，在探究中将特殊三角形问题转化为全等三角形和轴对称问题，对于培养演绎推理、训练数学思维、积累活动经验等方面起
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题
M E D C B A 等腰三角形 一、选择题 1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）36 2. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CD BC ;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形 的周长是 A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm 二、填空题 1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________. 2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ． 4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为 5. 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6， 则AD=_______. 6．如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加 辅助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等） 由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是 等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的 定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重 合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
第11讲等腰三角形 知识点梳理： （一）等腰三角形的性质 等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （二）等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 经典例题： 例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是 3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为： *4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
.《等腰三角形》教案(沪科版八年级上)doc
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16.3等腰三角形教案 教材分析： 本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。教材通过学生对等腰三角形的叠合操作，得出等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1，并对性质1进行了证明，从性质1的证明过程中，得出等边三角形性质及等腰三角形性质2，这里“等边对等角是今后证明两角相等常用方法之一，而等腰三角形的“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。 教学目的： 1、经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力； 2、掌握等腰三角形的性质及其两个推论； 3、运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算 教学重难点： 重点是等腰三角形的性质定理及其证明；难点是“三线合一”的理解及例1的讲 解 关键：运用观察、操作来领悟规律，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点 教学方法：直观教学发现法和启发诱导教学法，与学生实践操作、合作探究 教具：长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片 教学过程 一、创设情景，引入新知 活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形? 教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形 师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一
等腰三角形 考点一、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） 特别的：（1）等腰三角形是___________图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 特别的： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形． 典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。 2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o ,则∠FEB=____度． 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________ 5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 ° N M F E C D B A F E D A B C
等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3．理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 １.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB＝AＣ,△AＢＣ是等腰三角形，其中AB、ＡC为腰,BＣ为底边,∠Ａ是顶角，∠B、∠Ｃ是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a，b(如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使ＡB=AＣ=ｂ,BC=ａ． 作法：１．作线段BＣ=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC． △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (１)等腰三角形是轴对称图形； （2）∠B＝∠C； （3)BD=ＣD，AD为底边上的中线.
（4)∠ＡDB＝∠ADＣ=90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴． 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角），但顶角可为钝 角(或直角)．∠Ａ=180°-2∠B,∠B=∠Ｃ=180 2 A ?-∠ . (2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中，等边对等角”. 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质２:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论： (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等． (3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 １.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. (２)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形. ２.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有3０°角的直角三角形
1、（1）如图表示长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如图，请作出对称轴；图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角； （2）在（1）中，连接AC，那么AC与BD平行吗？为什么？ 2、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF。证明： （1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB. 3、在Rt三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直于线段AB。 （1）试找出图中相等的线段，并加以证明； （2）若DE=1cm，BD=2cm.
4、如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，且DE=DC.试比较BE 和FC的大小关系并说明理由。 5、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求这个等腰三角形顶角的度数。 6、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。 （1)DE平分∠BDC吗？为什么？ （2）若点M在DE上，且DC=DM，那么ME与BD相等吗？请证明你的结论. 7、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是。
8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE=EF； （2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC． 9、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C. 求证：AC-AB=2BE. 10、如图，D为等边△ABC内一点，且DB=DA，BP=BA，∠DBP=∠DBC，求∠BPD的大小.
等腰三角形新题类析 等腰三角形作为特殊的三角形，它广泛的存在于我们的生活中，与我们密切相拌。它有着众多的美妙的性质，是近年来各地的中考题的热点之一，下面就有关等腰三角形的新题型作一些介绍，供同学们参考。 一、修改条件题 例1、如图1，在Rt ABC △中，90C M ∠=，是AB 的中点，AM AN MN AC =，∥． （1）说明：MN AC =； （2）如果把条件“AM AN =”改为“AM AN ⊥”，其它条件 不变，那么MN AC =不一定成立．如果再改变一个条件，就能使 MN AC =成立．请你写出改变的条件并说明理由． 分析：（1）连结CM ，说明△AMN ≌△MAC 即可；（2）要使MN=AC 成立，可使△AMN ≌△MAC ，只需∠AMC=90°即可。又M 是AB 的中点，所以只需将条件“∠C=90°”换成“AC=BC ”，根据等腰三 角形的“三线合一”的性质即可得到∠AMC=90°。 解：（1）连结CM ，因为∠C=90°，M 是AB 的中点，所以CM=AM ， 所以∠ACM=∠MAC ，因为AM=AN ，所以∠ANM=∠AMN ， CM=AM=AN ，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，所以∠ACM= ∠MAC=∠ANM=∠AMN ，所以△AMN ≌△MAC ； （2）将条件“∠C=90°” 改为“AC=BC ”。因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ，所以∠CMA=90°，因为AM ⊥AN ，所以∠MAN=90°，所以∠CMA=∠MAN =90°，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，又因为AM=MA ，所以△AMN ≌△MAC ，所以MN=AC 。 二、探索结论题 例2、如图2，已知ABC △的面积为3，且AB=AC ，现将ABC △沿CA 方向平移CA 的长度得到EFA △． （1）求ABC △所扫过的图形面积． （2）探究：AF 与BE 的位置关系，并说明理由． 分析：（1）△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE ，要求四边形CBFE 的面积，关键是求出△BAF 的面积，而根据条件易证△ABC ≌△BAF ；（2）通过观察可猜想AF 与BE 互相垂直平分， 利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可进行证明。 解：（1）根据平移的性质，可得BC ∥AF ，BC=AF ，△ABC ≌△AFE ，则∠CBA=∠FAC ，又因为AB=BA ，所以△ABC ≌△BAF ，所以△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE 的面积=3S △ABC =9； （2）因为△ABC ≌△BAF ，所以AC=BF ，又AB=AC ，所以AB=FB ，∠CBA=∠BCA ，根据平移的性质，可得AB=AC=EA=EF ，所以AB=FB=EA=EF ，又因为∠BCA=∠FAE ，所以∠BAF=∠FAC ，所以AF 垂直平分BE ，又因为EA=EF ，所以BE 垂直平分AF ，所以AF 与BE 互相垂直平分。 三、结论辨析题 例3、如图3，已知AB=AC,∠A=36o ，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下 面3个结论： ①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形； ③△AMD ≌△BCD ． B F E C A (C ) 图2
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
《等腰三角形》练习题 1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________ 2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________ 3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________ 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数． 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明． 6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．
7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数． 8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC． 9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF． 10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
《等边三角形》练习题 1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF为等边三角形的理由； 2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形． 3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q 是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．
15.3 《等腰三角形》专题例举 专题一 等腰三角形知识的应用 1.如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点. 2.如图,已知△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、 DE .求证:EC =ED . 专题二 等腰三角形操作题 3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点 为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等． 4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。 现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。 （1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明； （2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？ B H G C D A B H G C D A 图① 图② A D 1 B M C E
专题三等腰三角形探究题 5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题: 学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．” 同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．． (1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？ (2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示) 6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点． （1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？ （2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由． 【知识要点】 1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边. 3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【温馨提示】 1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论. 2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角. 3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质. 【方法技巧】 1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析. 2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题 学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形． 为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线。 求证：△ABC是等腰三角形。 方法一： 分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。 证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE
一对一辅导教案 学生姓名性别年级初二学科数学 授课教师上课时间年月日寒假一对一课程课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习 教学目标 1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。 2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。 3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。 教学重点 与难点 熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧 教学过程 知识点一：轴对称 （一）轴对称图形和轴对称 1、轴对称图形 （1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例 如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩 形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、轴对称 （1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两 个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。 （2）成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系 （1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。 （2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （二）线段的垂直平分线 1．线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2．线段的垂直平分线的作法： ①分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点； ②作直线CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点二：作轴对称图形 1．作轴对称图形： （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2．用坐标表示轴对称： 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. 知识点三：等腰三角形 （一）等腰三角形 1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。 2、等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； 注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。 （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。 3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。（二）等边三角形 1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°。 3、等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
等腰三角形计算和证明题集锦11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上 的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB， ∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180° AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点 E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH