最小二乘自适应滤波器
前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。自适应算法的目标
在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。这个准则根据输入数据的
长期统计特性寻求最佳滤波。然而，我们通常已知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特
性进行估计或近似。LMS算法、格形梯度算法都是这样。能否直接根据一组数据寻求最佳
呢？最小二乘算法就可解决这个问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数
据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。对同一类数据
来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器；而最小二乘法对不同
的数据组导出不同的“最佳”滤波器。因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。
本章首先叙述最小二乘法的基础，并推导递推最小二乘(RLS)算法；然后介绍线性空间
的概念，并在此基础上讨论两种重要的最小二乘自适应算法——最小二乘格形(LSL)算法和快速横式滤波器(FTT)算法。
4.1
4.1.1
设已知n个数据x (1), …, x (i), …, x (n)，我们要根据这些数据，利用图4.1的m阶线性滤波器来估计需要信号d(1) , …, d (i), …, d (n)。对d (i)的估计式可表为
m ?d(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.1) ,mk,1k
估计误差
m? e(i),d(i),d(i),d(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.2) ,mk,1k
若假设i<1及i 1 e(1),d(1),w(n)x(1),1m,e(2),d(2),w(n)x(2),w(n)x(1)12mm, ,？？ ,e(m),d(m),w(n)x(m),？？,w(n)x(1),1mmm (4.1.3) ,？？, ,e(n),d(n),w(n)x(n),？？,w(n)x(n,m，1)1mmm,？？, ,e(n，m,),,w(n)x(n)mm,其余的e (i)均为零。 根据最小二乘法，w(n)的最佳值应使下列累计平方误差性能函数为最小 mk ,2ni ,(n),,e(i) (4.1.4) ,i 其中 (4.1.5) 0,,,1 为加重新数据影响的加权因子。式(4.1.4)中的i的变化范围有下列四种取法： (a) 1,i,n，m,1 (相关法) (b) 1,i,n(前加窗法) (c) m,i,n，m,1 (后加窗法) (d) m,i,n (方差法) 之所以上列方法获得相应的名称，是因为方差法对已知数据x (1), …, x (n)之外的数据未作任何假定，它的处理仅利用已知数据。前加窗法假定当i<1时，x (i)=0；后加窗法假定当i>n时，x (i)=0；而相关法即前后窗法则假定i<1及i>n 时，x (i)=0。相关法的相关矩阵是对称的和Toeplitz的，其余三个取法的相关矩阵是对称的但非Toeplitz。但是后三种方法的起动特性比相关法好，因而受到相当的重视。本书将以前加窗法为例来讨论最小二乘自适应 滤波器。而且，我们仅限于讨论信号的情况，然而不难将结果推广到复信号情况。 对于前加窗法，我们只利用式(4.1.3)的前n个误差。令m维矢量 T (4.1.6) ,,,(n),w(n),？ , w(n)mmmm1 T (4.1.7) ,,x(i),x(i), ？, x(i,m，1)m 且有 x(i),0 i,1 (4.1.8) 这样，前加窗法的n个误差(即式(4.1.3)的前n项)可写成 T,e(1),d(1),x,(1)(n)mm,Te(2),d(2),x(,2)(n),mm (4.1.9) ,？, T,e(n),d(n),x(n),(n)mm, 引入n维矢量 T ,,e(n),e(1), ？, e(n) (4.1.10) T ,,d(n),d(1), ？, d(n) (4.1.11) 2 m，n及维矩阵 X(n),,,x(1), ？, x(n) (4.1.12) mmm 则式(4.1.9)可写成 T e(n),d(n),X(n),(n) (4.1.13) mm 前加窗法最小二乘性能函数为 nnT,12 ,(n),,e(i),e(n),(n)e(n) (4.1.14) ,i,1 n,1其中 ,(n),Diag(,, ？, ,， 1) (4.1.15) 而求,(n)的最佳值问题归结为 m T ,,Min,(n),e(n),(n)e(n) (4.1.16) ,m 为求解此问题，将式(4.1.13)代入式(4.1.14)得 TT ,,,(n),d(n),(n)d(n),2,(n)X(n),(n)d(n) mm TT ,,，,(n)X(n),(n)X(n),(n) (4.1.17) mmmm引入m维矢量 n,ni r(n),X(n),(n)d(n),,d(i)x(i) (4.1.18) ,mmm,1i 及m，m维矩阵 n,TniT R(n),X(n),(n)X(n),,x(i)x(i) (4.1.19) ,mmmmm,1i式(4.1.17)可表 为 TTT ,(n),d(n),(n)d(n),2,(n)r(n)，,(n)R(n),(n) (4.1.20) mmmmm ,(n)的最佳值满足方程 m ,,(n),0 (4.1.21) ,(n)m 从而有 ,2r(n)，2R(n),(n),0 (4.1.22) mmm 这就得到 R(n),(n),r(n) (4.1.23) mmm 1,即 ,(n),R(n)r(n) (4-.1.24a) mmm 或写成 ,1T ,,,(n),X(n),(n)X(n),,X(n),(n)d(n) (4.1.24b) mmmm式(4.1.23)和式(4.1.24)就是最小二乘算法的正规方程。式(4.1.24)要求R(n)为满秩。这对大多m 数应用来说的成立的。若对某应用的R(n)为降秩，则式(4.1.24)可理解为采用了伪可逆矩阵。 m 根据已知x (i)和d (i)，1?i?n，利用式(4.1.24)即可求出,(n)的最佳值。这就是最m3小二乘批处理算法。这种算法需要进行矩阵求逆，其运算量为O(m)，因而一般不适于实时 3 滤波。采用递推算法可以减少运算量。下面就对递推算法进行讨论。 4.1.2 (RLS) 由式(4.1.24a)有 ,1 ,(n,1),R(n,1)r(n,1) (4.1.25) mmm 而根据式(4.1.19)可得 T R(n),,R(n,1)，x(n)x(n) (4.1.26) mmmm 利用矩阵求逆引理(附录(A.1.38))对式(4.1.26)求逆可得 ,1,1T，，R(n,1)x(n)x(n)R(n,1)1,1,1mmmm (4.1.27) R(n),R(n,1),,,mm,,，,(n)，， T,1其中 ,(n),x(n)R(n,1)x(n) (4.1.28) mmm 为一纯量。引m，m矩阵 1, C(n),R(n) (4.1.29) mm 和n维矢量 C(n,1)x(n)mm g(n), (4.1.30) m,，,(n) g(n)称为增益系数(理由见后)。利用式(4.1.29)和式(4.1.30)，逆推式 (4.1.27)成为 m T,1 ,,C(n),,C(n,1),g(n)x(n)C(n,1) (4.1.31) mmmmm 利用上式，我们就可以用递推方式求m，m维矩阵R(n)的逆，使运算量降低。m 式(4.1.31)两端后乘入x(n)，利用式(4.1.28)及式(4.1.30)可得 m ,1 g(n),R(n)x(n),C(n)x(n) (4.1.32) mmmmm 另外，根据式(4.1.18)可得 r(n),,r(n,1)，d(n)x(n) (4.1.33) mmm 将式(4.1.29)式、式(4.1.31)、式(4.1.33)代入式(4.1.24a)就有 ,1 ,(n),R(n)r(n),C(n)r(n) mmmmm T,1 ,,,,,,C(n,1),g(n)x(n)C(n,1) ,r(n,1)，d(n)x(n) mmmmmm T ,C(n,1)r(n,1),g(n)x(n)C(n,1)r(n,1) mmmmmm T,1,1 ，,C(n,1)x(n)d(n),,g(n)x(n)C(n,1)x(n)d(n) (4.1.34) mmmmmm利用式(4.1.28)和式(4.1.30)，式(4.1.34)的最后两项可简化为g(n)d (n)，而式(4.1.34)的前两项m中的C,(n,1)(n-1)r(n-1)即为。所以由式(4.1.34)可得 mmm T ,,,(n),,(n,1)，g(n)d(n),x(n),(n,1) （4.1.35） mmmmm这就是递推最小二乘(RLS)算法的递推公式。 上式的意思是，n时刻的最佳,(n),(n,1)可由(n-1)时刻的最佳值加一修正量得到。mm 4 TT,,g(n)d(n),x(n,)(n,1)x(n,)(n,1)修正量等于。其中为根据(n-1)时刻的最佳加mmmmm 仅和n时刻数据对d (n)之预测值。因而 T d(n),x(n,)(n,1) mm 为预测误差。g(n)确定了根据预测误差进行修正时的比例系数，因而称为增益系数。 m 比较式(4.1.35)和LMS算法的递推公式(2.4.6) T ,,,(n),,(n,1)，2,x(n)d(n),x(n),(n,1) 可看出两者之差别仅在于增益系数。LMS算法简单利用输入矢量乘上常数作增益系数。,而RLS算法则利用复杂的增益系数g(n)。 m 4.1 (RLS) 初始条件：,(0),x(0),0, C(0),,1(,,1) mmm 运算：对n=1, 2, … (1) 取得d (n)，x(n) m (2) 更新增益矢量 T ,(n),x(n)C(n,1)x(n) mmm C(n,1)x(n)mm g(n), m,，,(n) (3) 更新滤波器参量 T ,,,(n),,(n,1)，g(n)d(n),x(n),(n,1) mmmmm (4) 更新逆矩阵 T,1 ,,C(n),,C(n,1),g(n)x(n)C(n,1) mmmmm 递推方程(4.1.35)的初始条件可用几种方法产生。一种方法是令,(0),0以及m C(0),,1，其中为非常大的纯量。整个RLS算法列于表4.1。 ,m 4.2 上节讨论了最小二乘的批处理算法和递推最小二乘算法。后者可降低运算量。人们还研 究了比递推最小二乘算法更快的算法，其中包括最小二乘格形(LSL)算法及快速横向滤波器(FTF)算法。这两种算法均可用矢量空间法进行推导和分析。矢量空间的概念不仅简单明了， 而且有直观的几何意义，是一种有力的分析方法。本节对本章所涉及的矢量空间概念作简单 [34][35]介绍。有兴趣的读者可参看有关文献。 4.2.1 n 欧几里得空间是我们熟悉的线性空间或矢量空间的例子。在n维欧几里得空间R中， 一个矢量即空间中的一点并由其坐标确定，可以表为 T x=[x, …, x] （4.2.1） 1n 欧几里得空间中有两矢量之和，及纯量乘以矢量的运算。一般的线性空间是欧几里得空间的 推广。 定义：一个集合V，如果它的任意元素x，y，z满足下列条件，那末V叫做线性空间或矢量空间： (a) V中有加法及数积两种运算，并且还有加法的逆运算减法。即如果x,y,V,那末 x，,,y的元素,x，y,V, kx,V。这里k是任意数；并且V中还有使。 (b) V中加法满足交换律、结合律： 5 x，y,y，x, (x，y)，z,x，(y，z) 数积满足分配律、结合律 k(x，y),kx，ky, (k，l)x,kx，lx, k(lx),(kl)x其中k、l都是数。如果这些数只能是实数，就称V为实空间。如果不只是实数，一般是复数，V就称复空间。本章我们只讨论实空间。此外，由定义不难看出，线性空间一定包含零元素x+0=x；其任一元素x必有对应的负元素-x，使得x+(-x)=0。 不难看出欧几里得空间满足上述定义中的各条件，因而欧几里得空间为线性空间。然而， 欧几里得空间的重要性质——几何结构(矢量长度、矢量间的夹角)尚未包含在线性空间的定义之中。欧几里得空间的几何性质均由矢量内积导出。在n维欧几里得空间Rn中，两矢量 TTx,[x, ？, x], y,[y, ？, y]之内积定义为 11nn nT ,xy,xy,xy (4.2.2) ii,i,1 矢量x的长度||x||定义为 11T 22x,x,y,，，xx (4.2.3) 两矢量x和y之夹角取决于 , (4.2.4) x,y,x,y,cos, 两矢量x和y相互正交是指 TT (4.2.5) x,y,xy,yx,0 将上述性质推广到一般的线性空间就导出了内积空间的概念。定义了内积的线性空间称为内积空间。设V为内积空间，且x,、y、z为V中的任意元素且为任一数， 是x、y之内数 当且仅当时,x,x,0,x,0x,x,0 ,x,y,y,x, (4.2.6) ,,,x,y,x,y, ,x，y,z,x,z，y,z, 定义：若内积空间具有完备性，则称之为希尔伯特空间。所谓完备性是指 不存在这样的矢量，它可任意接近该空间但不属于该空间。自适应滤波所涉及的空间都是希 尔伯特空间。欧几里得空间是希尔伯特空间。 若希尔伯特空间中的两矢量x、y满足条件 (4.2.7) x,y,0 则称它们相互正交。 定义：线性空间的子空间是该线性空间的一个子集，它本身亦是线 性空间。在欧几里得空间中，一条直线和一个平面都是子空间。此外，由m个n维矢量 x,？,xx,？,x的所有可能线性组合也是n维欧几里得空间的子空间，并称为由张成的1m1m 子空间，记为,,x,？,x。图4.2(a)示出由矢量x张成的子空间(为一条直线)。图4.2(b)示1m 出由矢量x和y张成的子空间(为一个平面)。 6 定义：若分别从两子空间U、U各任取一矢量均相互正交，则称该12 两子空间是相互正交的。 由子空间U的知量和子空间U的矢量的所有线性组合所组成的子空12 间，称为该两子空间之和，记为U,U。在本章中为简便起见为UU。图4.2(b)的平面1212 即为由x张成的子空间与由y张成的子空间之和。 <定理4.1> 投影定理。给定希尔伯特空间H中的子空间U和矢量x，在U中必有唯一 矢量Px，使得对U中的任何矢量y均有 U (4.2.8) x,Px,y,0U Px称为x在U中的投影矢量。换句话说，由x-Px张成的一维子空间与子空间U正交。 UU <定理4.2> 对矢量x来说，U中矩x最近的矢量为x在U中的投影Px。即对U 中不U 等于Px的任何矢量y均有 U (4.2.9) x,Px,x,yU <定理4.3> 若U、U为希尔伯特空间H中的两相互正交的子空间，则对H中的任一12 矢量x有 Px,Px，Px (4.2.10) UUUU1212 根据投影定理(定理4.1)，不难证明定理4.2和定理4.3。 本章所讨论的最小二乘自适应算法涉及的矢量空间为n维欧几里得空间。它是一种希尔伯特空间，所以具有希尔伯特空间的一切性质。 还需要说明的是，在最小二乘自适应算法中，常要求相应的欧几里得空间之内积按下式 定义。 T （4.2.11） x,y,x,y n,1 其中，，,,Diag,,？,,,1 (4.2.12) 且的引入是为了对新数据给予较重的权。我们在?4.1已经对此作了说明。通0,,,1。 , 常取为0.90～1.00。因为的选择不是临界的，所以我们在以下的讨论中取=1。这样，,,, T内积的定义为，即式(4.2.2)。在需要时，读者将不难把我们的讨论推广到x,y,xy,,1 的情况。 4.2.2 我们先来看在n维欧几里得空间中矢量x在矢量u上的投影Px的表达式。因为PxUU 在子空间{u}中(图4.3)，所以可写成 Px,,u (4.2.13) u 其中,是待定系数。根据投影定理(4.2.8)有 7 0,,x,Px,u,,,x,,u,u,,,x,u,,,,u,u, u ,1T,1T从而有 ,,,u,u,,x,u,,(uu)ux 代入式(4.2.13)得 T,1T Px,u(uu)ux (4.2.14) u 这就是说，投影矢量Px的符号P可看成一个矩阵，并称为投影矩阵，且有 uu ,1TT,1T P,u,u,u,u,u(uu)u (4.2.15) u 定义 (4.2.16) P,1,P1u u 为正交投影矩阵，且 (4.2.17) Px,x,Px1u u 称为正交投影矢量。 上述讨论不难推广到一般情况。根据投影定理，矢量x到由u,…,u所张成的子空间U1m 的投影Px应满足 U (4.2.18) u,x,Px,0, 1,i,miU 因Px在U中，所以可表示u,…,u的线性组合： U1m Px,,u，？，,u,U, （4.2.19） U11mm 其中 U,[u,？,u] (4.2.20) 1m T (4.2.21) ,,,,,,？,,m1 将式(4.2.19)代入式(4.2.18)得 TT (4.2.22) u,x,U,,u,x,u,U,,ux,uU,,0, 1,i,miiiii TT即，，Ux,UU, (4.2.23) T设UU为满秩，则由式(4.2.23)和式(4.2.19)可得 ,1TT ，，Px,UUUUx (4.2.24) U 因为可认为P为一矩阵，并称之为将矢量投影到U的投影矩阵： U T,1T P,U(UU)U (4.2.25) U 8 T,1T而 (4.2.26) P,I,P,I,U(UU)U1U U 为将矢量投影到与U正交的子空间的正交投影矩阵。所以，x对U的正交投影矢量为 (4.2.27) Px,x,Px1U U 定义：矩阵A与矢量x的内积及两矩阵A与B之内积定义为 TT,A,x,Ax, x,A, xA, (4.2.28) ,T, AB,AB,, 根据上述定义，投影矩阵及正交投影矩阵可写成 ,1T P,U,U,U,U (4.2.29) U ,1T (4.2.30) P,I,U(U,U)U1 U 投影矩阵和正交投影矩阵具有一系列重要性质。比如说，由式(4.2.25)和式(4.2.26)不难证明 T,, T,,P,P, P,P (4.2.31) 11UU,,,,UU (4.2.32) PP,P,PP,P111UUU UUU 由此立即可得 (4.2.33) Px, Py,Px,y,x,PyUUUU PxPy,Px,y,x,Py (4.2.34) 1111 UUUU再有，由于对于任意矢量正交，所以 ,, P,和P,1U U T P,,P,,,P,,P,,0 1111 UUUU 由于,的任意性可得 (4.2.35) PP,01U U 设对子空间U和U正交的矢量,,P,,U,,组成的子空间的投影矩阵为，则根据定理U 4.3有P,P，P,。在一般情况下，不一定和U正交，但我们可构成一个与U正交的矢UU 量,,,,,,,U,,U,,U,,，且U和构成的子空间将与一样(图4.4)。令对的投影矩,,P,1 U 阵为P，则应用定理4.3可得 U, 9 P,P,P，P (4.2.36a) UU,U, (4.2.36b) P,I,P,P,P1,1,U UU 根据投影矩阵表达式(4.2.29)，上式可表为 1, T P,P，P,P,,P,,P （4.2.37a） U,U1111 UUUU 1, T P,P,P,P,,P,,P （4.2.37b） 111111,UUUUUU 对任一矢量y, z有 1, Py,Py，P,P,,P,P,,y (4.2.38a) U,U1111 UUUU 1, Py,Py,P,P,,P,P,,y (4.2.38b) 111111,UUUUUU 以及 1, ,z,Py,,,z,Py,，z,P,P,,P,P,y (4.2.39a) U,U1111,UUUU 1, z,Py,z,Py,z,P,P,,P,P,y (4.2.39b) 111111,,UUUUUU公式(4.2.37~39)很有用。灵活运用这些公式，即可导出最小二乘格形算法和快速横式滤波器算法的主要递推公式。 4.2.3 一、单位现时矢量,(n) 最小二乘滤波器算法根据到时刻n为止的所有输入数据，基于n个累计平方误差最小，以寻求滤波器的最佳参量。当有新数据输入时，即对于新的n时刻，最佳参量应进行更新。 10 这叫做时间更新。对于n维数据矢量 T ,,x(n),x(1),？,x(n) (4.2.40) 其最新时刻分量即现时分量为x(n)。为了分出矢量的现时部分和过去部分，我们引入n维单位现时矢量 T ,,,(n),0,？,0,1 (4.2.41) 这样，投影到之投影矩阵为 ,(n) ,1T (4.2.42) P(n),,(n),(n),,(n),(n),Diag(0,？,0,1), 对的正交投影矩阵为 ,(n) (4.2.43) P(n),Diag(1,？,1,0)1 , 因此，x(n)之现时部分为 T (4.2.44) ,,P(n)x(n),0,？,0,x(n), 过去部分为 T (4.2.45) ,,P(n)x(n),x(1),？,x(n,1),01 , 而现时分量为 (4.2.46) x(n),,(n),x(n) 对于最小二乘法的其它矢量，,(n)亦有同样作用。 现在我们来讨论当n变化时，数据空间及投影矩阵的变化。仍然先看简单的情况，即用 一个矢量x(n)对d(n)进行最小二乘估计的问题。假定,,,,,,,,d(n),3,1,4,？x(n),4,3,2,？，。 图4.5示出了矢量x(2)和d (2)，x(3)和d (3)，以及n=3时的单位现时矢量T?,,,(3,)0,0,1。x(3)和,(3)d(3),,x(3),,(3)构成子空间。不难看出现时最佳估计及前次 ?估计矢量d(2)均在此空间内。 图4.6示出了图4.5各矢量在子空间 ,,x(3),,(3)上的投影。不难看出，前次最佳预测 11 ?d(2)P(3)d(3)、d(3)在P(3)d(3),,，d (3)在上的投影上的投影组成直x(3),,(3),(3)nx,角三角形。即 ? (4.2.47) P(3)d(3),d(2)，P(3)d(3)x,, ?又因 (4.2.48) d(2),P(2)d(2)x 所以我们有 (2) 00 0P，，，，(2)d，，d(2)，，,x22 （4.2.49） P(3)d(3),，,,,,,,,x,,TT(3)d(3)d0 00 1，，，，22，，，，其中0为2维零矢量，0为维零矩阵。由上式立即可得 2，2222 P(2) 0，，x (4.2.50) P(3),x,,,0 1，， 将上式推广到由m个矢量所组成的空间,,U(n)估计d(n)的情况，可得到 P(n,1) 0，，U (4.2.51a) P(n),U,,,0 1，， Pn(,1) 0，，U (4.2.51b) Pn(),1,,,0 1，，U 二、角参量 将矢量投影到包括,(n)的子空间还可得到最小二乘算法的另一重要参量——角参量。 实际上，在式(4.2.37b)中，令U,U(n), ,,,(n)得 1, T P(n),P(n),P(n),(n)P(n),(n), P(n),(n),(n)P(n) (4.2.52) 111111,UUUUUU定义下列纯量为角参量(名称由来见后) r(N),P(n),(n), P(n),(n),,(n), P(n),(n) (4.2.53) 111U UUU再根据式(4.2.51)及式(4.2.52)，式(4.2.52)可写成 ,(1)()() PnPnPn1,1,(1) 0Pn，，1UU ,,U (4.2.54) ,,() Pn1() rn,,UU0 0，， 为了理解解参量r(n)的几何意义，我们再回到图4.5的情况，其中 U(n)=x(n)。这时式U (4.2.53)成为 r(3),,(3), P(3),(3) (4.2.55) 1x x 并于图4.7重新示出了子空间,,x(3), ,(3)。图中i，j为该子空间的正交单位矢量。因为 12 为对x(3)的正交投影，所以 ,(3)P(3),(3)1 x ,sin, i，， (4.2.56) P,(3),(3)cos,1,,cos, j，，x 其中为矢量x(3)和x(2)之间的夹角。再根据 , 0，， (4.2.57) ,(3),,,j，， 就由式(4.2.55)得到 2 r(3),cos, (4.2.58) x 这就是说r(3)表征了现时刻n=3的数据矢量x(3)与前次时刻n=2的数据矢量x(2)之间的夹x 角。这对于用m个矢量进行估计的一般情况也成立：当子空间,,,,U(n,1)变成子空间U(n) ,,r(n)时，等效于子空间转了一个角度即为这个转角的度量。 ,U 4.3 学号: 课程设计 学院 专业 年级 姓名 论文题目 指导教师职称 成绩 2013年 1 月 10 日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 自适应滤波器原理 (2) 2 自适应滤波器算法 (3) 3 自适应滤波算法的理论仿真与DSP实现 (5) 3.1 MATLAB仿真 (5) 3.2 DSP的理论基础 (7) 3.3 自适应滤波算法的DSP实现 (9) 4 结论 ............................................... 错误！未定义书签。致谢 ................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ............................................. 错误！未定义书签。 自适应滤波器算法的DSP实现 学生姓名：学号： 学院：专业： 指导教师：职称： 摘要：本文从自适应滤波器的基本原理、算法及设计方法入手。本设计最终采用改进的LMS算法设计FIR结构自适应滤波器，并采用MATLAB进行仿真，最后用DSP 实现了自适应滤波器。 关键词：DSP（数字信号处理器）；自适应滤波器；LMS算法；FIR结构滤波器 DSP implementation of the adaptive filter algorithm Abstract：In this article, starting from the basic principles of adaptive filter and algorithms and design methods. Eventually the design use improved the LMS algorithm for FIR adaptive filter,and use MATLAB simulation, adaptive filter using DSP. Key words：DSP；adaptive filter algorithm；LMS algorithm；FIR structure adaptive filter 引言 滤波是电子信息处理领域的一种最基本而又极其重要的技术。在有用信号的传输过程中，通常会受到噪声或干扰的污染。利用滤波技术可以从复杂的信号中提取所需要的信号，同时抑制噪声或干扰信号，以便更有效地利用原始信号。滤波器实际上是一种选频系统，它对某些频率的信号予以很小的衰减，让该部分信号顺利通过；而对其他不需要的频率信号则予以很大的衰减，尽可能阻止这些信号通过。在电子系统中滤波器是一种基本的单元电路，使用很多，技术也较为复杂，有时滤波器的优劣直接决定产品的性能，所以很多国家非常重视滤波器的理论研究和产品开发[1]。近年来，尤其数字滤波技术使用广泛，数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。从总的来说滤波可分为经典滤波和现代滤波。经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波。现代滤波则不要求己知信号和噪声的统计特性，如自适应滤波。 自适应滤波器是统计信号处理的一个重要组成部分。在实际应用中，由于没有充足的信息来设计固定系数的数字滤波器，或者设计规则会在滤波器正常运行时改变，因此我们需要研究自适应滤波器。凡是需要处理未知统计环境下运算结果所产生的信 FIR 数字滤波器设计函数 1． fir1 功能：基于窗函数的FIR 数字滤波器设计——标准频率响应。 格式：b=fir1(n,Wn) b=fir1(n,Wn,'ftype') b=fir1(n,Wn,Window) b=fir1(n,Wn,'ftype',Window) 说明：fir1函数以经典方法实现加窗线性相位FIR 滤波器设计，它可设计出标准的低通、带通、高通和带阻滤波器。 b=fir1(n,Wn)可得到n 阶低通FIR 滤波器，滤波器系数包含在b 中，这可表示成： n z n b z b b z b --++???++=)1()2()1()(1 这是一个截止频率为Wn 的Hamming(汉明)加窗线性相位滤波器，0≤Wn ≤1，Wn=1相应于0.5fs 。 当Wn=[W1 W2]时，fir1函数可得到带通滤波器，其通带为W1<ω< W2。 b=fir1(n,Wn,'ftype')可设计高通和带阻滤波器，由ftype 决定： ·当ftype=high 时，设计高通FIR 滤波器； ·当ftype=stop 时，设计带阻FIR 滤波器。 在设计高通和带阻滤波器时，fir1函数总是使用阶为偶数的结构，因此当输入的阶次为奇数时，fir1函数会自动加1。这是因为对奇数阶的滤波器，其在Nyquist 频率处的频率响应为零，因此不适合于构成高通和带阻滤波器。 b=fir1(n,Wn,Window)则利用列矢量Window 中指定的窗函数进行滤波器设计，Window 长度为n+1。如果不指定Window 参数，则fir1函数采用Hamming 窗。 Blackman 布莱克曼窗 Boxcar 矩形窗 Hamming 海明窗 Hann 汉宁窗 Kaiser 凯瑟窗 Triang 三角窗 b=fir1(n,Wn,'ftype',Window)可利用ftype 和Window 参数，设计各种加窗的滤波器。 由fir1函数设计的FIR 滤波器的群延迟为n/2。 例如： n=32;wn=1/4;window=boxcar(n+1) b=fir1(n,wn,window) 第二章 参数估计的最小二乘方法Least Squares §2—１静态线性模型参数的最小二乘估计（多元线性回归） 一、 什么是最小二乘估计 系统辨识三要素：模型，数据，准则。 例： y = ax + ε 其中：y 、x 可测；ε — 不可测的干扰项； a —未知参数。通过 N 次实验，得到测量数据 y k 和 x k k = 1、2、3 …，确定未知参数 a 称“参数估计”。 使准则 J 为 最小 ： 令：? J / ? a = 0 , 导出 a = ? 称为“最小二乘估计”，即残差平方总和为最小的估计，Gauss 于 1792 年提出。 min )(2 1 =-=∑=k N k k ax y J 0)(21 =--=??∑=k k N k k ax y x a J 二、多元线性回归 线性模型 y = a 0+ a 1x 1+ + a n x n + ε 式(2 - 1- 1) 引入参数向量: θ = [ a 0,a 1, a n ]T (n+1)*1 进行 N 次试验，得出N 个方程： y k = ?k T θ + εk ; k=1、2…、N 式(2 -1- 2) 其中：?k = [ 1,x 1,x 2, ,x N ] T (n+1) *1 方程组可用矩阵表示为 y = Φ θ + ε 式（2 -1- 3） 其中：y = [ y 1,y 2, 。。。,y N ] T (N *1) ε = [ ε1, ε2, 。。。,ε N ] T (N *1) N *(n+1) 估计准则有： = （y — Φ θ）T ( y — Φ θ) (1*N) ( N *1) ?????? ? ???????=??????? ?? ???=T N T T nN N n n x x x x x x ???φ.... 1...........1 (1211212) 111 21)(θ?T k N k k y J -=∑=[] ? ? ?? ? ?????----=)(..)(*)(...)(1 111θ?θ?θ?θ?T N N T T N N T y y y y J 实验报告 课程名称：数字信号处理指导老师：刘英成绩：_________________实验名称： FIR数字滤波器设计与使用同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 设计和应用FIR低通滤波器。掌握FIR数字滤波器的窗函数设计法，了解设计参数（窗型、窗长）的影响。 二、实验内容和步骤 编写MATLAB程序，完成以下工作。 2-1 设计两个FIR低通滤波器，截止频率 C =0.5。 （1）用矩形窗，窗长N=41。得出第一个滤波器的单位抽样响应序列h 1(n)。记下h 1 (n) 的各个抽样值，显示h 1 (n)的图形（用stem(.)）。求出该滤波器的频率响应（的N 个抽样）H 1(k)，显示|H 1 (k)|的图形（用plot(.)）。 （2）用汉明窗，窗长N=41。得出第二个滤波器的单位抽样响应序列h 2(n)。记下h 2 (n) 的各个抽样值，显示h 2(n)的图形。求出滤波器的频率响应H 2 (k)，显示|H 2 (k)|的 图形。 （3）由图形，比较h 1(n)与h 2 (n)的差异，|H 1 (k)|与|H 2 (k)|的差异。 2-2 产生长度为200点、均值为零的随机信号序列x(n)（用rand(1,200)0.5）。显示x(n)。 求出并显示其幅度谱|X(k)|，观察特征。 2-3 滤波 （1）将x(n)作为输入，经过第一个滤波器后的输出序列记为y 1(n)，其幅度谱记为|Y 1 (k)|。 显示|X(k)|与|Y 1 (k)|，讨论滤波前后信号的频谱特征。 （2）将x(n)作为输入，经过第二个滤波器后的输出序列记为y 2(n)，其幅度谱记为|Y 2 (k)|。 比较|Y 1(k)|与|Y 2 (k)|的图形，讨论不同的窗函数设计出的滤波器的滤波效果。 2-4 设计第三个FIR低通滤波器，截止频率 C =0.5。用矩形窗，窗长N=127。用它对x(n)进行滤波。显示输出信号y 自适应滤波 第1章绪论 (1) 1．1自适应滤波理论发展过程 (1) 1．2自适应滤波发展前景 (2) 1．2．1小波变换与自适应滤波 (2) 1．2．2模糊神经网络与自适应滤波 (3) 第2章线性自适应滤波理论 (4) 2．1最小均方自适应滤波器 (4) 2．1．1最速下降算法 (4) 2．1．2最小均方算法 (6) 2．2递归最小二乘自适应滤波器 (7) 第3章仿真 (12) 3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (12) 3.2基于RLS算法的MATLAB仿真 (15) 组别：第二小组 组员：黄亚明李存龙杨振 第1章绪论 从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过 程称为滤波。相应的装置称为滤波器。实际上，一个滤波器可以看成是 一个系统，这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、 或者希望得到的有用信号，即期望信号。滤波器可分为线性滤波器和非 线性滤波器两种。当滤波器的输出为输入的线性函数时，该滤波器称为线 性滤波器，当滤波器的输出为输入的非线性函数时，该滤波器就称为非线 性滤波器。 自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时，或是输入过程的统计特性发生变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则要求的滤波器。 1．1自适应滤波理论发展过程 自适应技术与最优化理论有着密切的系。自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。 1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE)准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。并利用Wiener．Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论，在时间域上提出 了状态空间方法，提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法，并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波，克服了维纳(Wiener)滤波理论的局限性，并获得了广泛的应用。这种基于MMSE准则的对于动态系统的离散形式递推算法即卡尔曼滤波算法。这两种算法都为自适应算法奠定了基础。 从频域上的谱分析方法到时域上的状态空间分析方法的变革，也标志 着现代控制理论的诞生。最优滤波理论是现代控制论的重要组成部分。在控制论的文献中，最优滤波理论也叫做Kalman滤波理论或者状态估计理论。 从应用观点来看，Kalman滤波的缺点和局限性是应用Kalman滤波时要求知道系统的数学模型和噪声统计这两种先验知识。然而在绝大多数实际应用问题中，它们是不知道的，或者是近似知道的，也或者是部分知道的。应用不精确或者错误的模型和噪声统计设计Kalman滤波器将使滤波器性能变坏，导致大的状态估计误差，甚至使滤波发散。为了解决这个矛盾，产生了自适应滤波。 最早的自适应滤波算法是最小JY(LMS)算法。它成为横向滤波器的一种简单而有效的算法。实际上，LMS算法是一种随机梯度算法，它在相对于抽头权值的误差信号平方幅度的梯度方向上迭代调整每个抽头权 值。1996年Hassibi等人证明了LMS算法在H。准则下为最佳，从而在理论上证明了LMS算法具有孥实性。自Widrow等人1976年提出LMs自适应滤波算法以来，经过30多年的迅速发展，已经使这一理论成果成功的应用到通信、系统辨识、信号处理和自适应控制等领域，为自适应滤波开辟了新的发展方向。在各种自适应滤波算法中，LMS算法因为其简单、计算量小、稳定性好和易于实现而得到了广泛应用。这种算法中，固定步长因子μ对算法的性能有决定性的影响。若μ较小时，算法收敛速度慢，并且为得到满意的结果需要很多的采样数据，但稳态失调误差 目录 摘要…………………..………………………………………………………..….............I 第1章绪论....................................................................................................................错误!未定义书签。 1.1引言……………………………………………...…..…………...……………...错误!未定义书签。 1.2课题研究意义和目的 (1) 1.3国内外研究发展状况 (2) 1.4本文研究思路与主要工作 (4) 第2章自适应滤波器理论基础 (5) 2.1自适应滤波器简介 (5) 2.2自适应滤波器的原理 (5) 2.3自适应滤波算法 (7) 2.4TMS320VC5402的简介 (8) 第3章总体方案设计 (10) 3.1无限冲激响应（IIR）滤波器 (10) 3.2有限冲激响应（FIR）滤波器 (11) 3.3电路设计 (11) 4基于软件设计及仿真 (17) 4.3 DSP的理论基础 (17) 4.4自适应滤波算法的DSP实现 (18) 5总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附录自适应滤波源代码 (24) 第1章绪论 1.1引言 随着微电子技术和计算机技术的迅速发展，具备了实现自适应滤波器技术的各种软硬件条件，有关自适应滤波器的新算法、新理论和新的实施方法不断涌现，对自适应滤波的稳定性、收敛速度和跟踪特性的研究也不断深入，这一切使该技术越来越成熟，并且在系统辨识、通信均衡、回波抵消、谱线增强、噪声抑制、系统模拟语音信号处理、生物医学电子等方面都获得了广泛应用口。自适应滤波器实现的复杂性通常用它所需的乘法次数和阶数来衡量，而DSP强大的数据吞吐量和数据处理能力使得自适应滤波器的实现更容易。目前绝大多数的自适应滤波器应用是基于最新发展的DSP 来设计的． 滤波技术是信号处理中的一种基本方法和技术，尤其数字滤波技术使用广泛，数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。从总的来说滤波可分为经典滤波和现代滤波。经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波。现代滤波则不要求己知信号和噪声的统计特性，如自适应滤波。自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波参数，从而达到最优化滤波。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。其中，自适应滤波算法一直是人们的研究热点，包括线性自适应算法和非线性自适应算法，非线性自适应算法具有更强的信号处理能力，但计算比较复杂，实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。线性自适应滤波算法的种类很多，有LMS自适应滤波算法、R路自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等。 1.2课题研究意义和目的 自适应滤波理论与技术是现代信号处理技术的重要组成部分，对复杂信号的处理具有独特的功能，对自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤波的要求。自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参量信号按照一定准则修改滤波参量，以使它本身能有效的跟踪外部环境的变化。因此，自适应数字系 【2-1】 设某物理量Y 与X1、X2、X3的关系如下：Y=θ1X 1+θ2X 2+θ3X 3 由试验获得的数据如下表。试用最小二乘法确定模型参数θ1、θ2和θ3 X1: 0.62 0.4 0.42 0.82 0.66 0.72 0.38 0.52 0.45 0.69 0.55 0.36 X2: 12.0 14.2 14.6 12.1 10.8 8.20 13.0 10.5 8.80 17.0 14.2 12.8 X3: 5.20 6.10 0.32 8.30 5.10 7.90 4.20 8.00 3.90 5.50 3.80 6.20 Y: 51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3 解：MATLAB 程序为： Clear all; A= [0.6200 12.000 5.2000 0.4000 14.2000 6.1000 0.4200 14.6000 0.3200 0.8200 12.1000 8.3000 0.6600 10.8000 5.1000 0.7200 8.2000 7.9000 0.3800 13.0000 4.2000 0.5200 10.5000 8.0000 0.4500 8.8000 3.9000 0.6900 17.0000 5.5000 0.5500 14.2000 3.8000 0.3600 12.8000 6.2000 ]; B=[51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3]'; C=inv(A'*A)*A'*B =[0.62 12 5.2;0.4 14.2 6.1;0.42 14.6 0.32;0.82 12.1 8.3; 0.66 10.8 5.1;0.72 8.2 7.9;0.38 13 4.2;0.52 10.5 8; 0.45 8.8 3.9;0.69 17 5.5;0.55 14.2 3.8;0.36 12.8 6.2] 公式中的A 是ΦN, B 是YN ，运行M 文件可得结果： 在matlab 中的运行结果： C= 29.5903 2.4466 0.4597 【2-3】 考虑如下模型 )()(3.03.115.0)(2 12 1t w t u z z z z t y ++-+=---- 其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k),分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法（λ=0.95）和递推最小二乘法估计模型参数（限定数据长度N 为某一数值，如N=150或其它数 实验二:FIR 数字滤波器设计与软件实现 一、实验指导 1.实验目的 (1掌握用窗函数法设计 FIR 数字滤波器的原理和方法。 (2掌握用等波纹最佳逼近法设计 FIR 数字滤波器的原理和方法。 (3掌握 FIR 滤波器的快速卷积实现原理。 (4学会调用 MA TLAB 函数设计与实现 FIR 滤波器。 2. 实验内容及步骤 (1认真复习第七章中用窗函数法和等波纹最佳逼近法设计 FIR 数字滤波器的原理; (2调用信号产生函数 xtg 产生具有加性噪声的信号 xt ,并自动显示 xt 及其频谱,如图 1所示; 图 1 具有加性噪声的信号 x(t及其频谱如图 (3请设计低通滤波器,从高频噪声中提取 xt 中的单频调幅信号,要求信号幅频失真小于 0.1dB ,将噪声频谱衰减 60dB 。先观察 xt 的频谱,确定滤波器指标参数。 (4根据滤波器指标选择合适的窗函数,计算窗函数的长度 N ,调用 MATLAB 函数 fir1设计一个 FIR 低通滤波器。并编写程序,调用 MATLAB 快速卷积函数 fftfilt 实现对 xt 的滤波。绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。 (5 重复 (3 , 滤波器指标不变, 但改用等波纹最佳逼近法, 调用MA TLAB 函数 remezord 和 remez 设计 FIR 数字滤波器。并比较两种设计方法设计的滤波器阶数。 提示:○ 1MA TLAB 函数 fir1的功能及其调用格式请查阅教材; ○ 2采样频率 Fs=1000Hz,采样周期 T=1/Fs; ○ 3根据图 1(b和实验要求,可选择滤波器指标参数:通带截止频率 fp=120Hz,阻带截 至频率 fs=150Hz, 换算成数字频率, 通带截止频率 p 20.24 p f ωπ =T=π, 通带最大衰为 0.1dB , 阻带截至频率 s 20.3 s f ωπ =T=π,阻带最小衰为 60dB 。 3、实验程序框图如图 2所示,供读者参考。 图 2 实验程序框图 4.信号产生函数 xtg 程序清单(见教材 二、滤波器参数及实验程序清单 1、滤波器参数选取 根据实验指导的提示③选择滤波器指标参数: 通带截止频率 fp=120Hz,阻带截至频率 fs=150Hz。代入采样频率 Fs=1000Hz,换算成 数字频率,通带截止频率 p 20.24 p f 最小二乘自适应滤波器 前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。自适应算法的目标 在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。这个准则根据输入数据的 长期统计特性寻求最佳滤波。然而，我们通常已知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特 性进行估计或近似。LMS算法、格形梯度算法都是这样。能否直接根据一组数据寻求最佳 呢？最小二乘算法就可解决这个问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数 据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。对同一类数据 来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器；而最小二乘法对不同 的数据组导出不同的“最佳”滤波器。因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。 本章首先叙述最小二乘法的基础，并推导递推最小二乘(RLS)算法；然后介绍线性空间 的概念，并在此基础上讨论两种重要的最小二乘自适应算法——最小二乘格形(LSL)算法和快速横式滤波器(FTT)算法。 4.1 4.1.1 设已知n个数据x (1), …, x (i), …, x (n)，我们要根据这些数据，利用图4.1的m阶线性滤波器来估计需要信号d(1) , …, d (i), …, d (n)。对d (i)的估计式可表为 m ?d(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.1) ,mk,1k 估计误差 m? e(i),d(i),d(i),d(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.2) ,mk,1k 若假设i<1及i 精心整理 第四章最小二乘法与组合测量 §1概述 最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。例如，取重复测量数据 其后在 x x, , 2 1 n 2 1 显然，最可信赖值应使出现的概率P为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即 权因子： 2 2 o i i w 即权因子 i w∝ 2 1 i ，则 再用微分法，得最可信赖值x 11 n i i i n i i w x x w 即加权算术平均值 这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。 特别是等权测量条件下，有： 以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法 1x +3x =0.5 2x +3x =-0.3 这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为4321,,,v v v v ，按最小二乘法原理 Min v i 2 分别对321,,x x x 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程组。 (1x -0.3)+(1x +3x -0.5)=0 (2x +0.4)+(2x +3x +0.3)=0 (1x +3x -0.5)+(2x +3x +0.3)=0 可求出唯一解1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150这组解称之为原超定方程组的最小二乘解。 以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。 即 x j ][][][][2211y a x a a x a a x a a t t t t t t 式中，j a ，y 分别为如下列向量 ][k l a a 和][y a j 分别为如下两列向量的内积： ][k l a a =nk nl k l k l a a a a a a 2211 ][y a j =n nj j j y a y a y a 2211 维纳自适应滤波器设计及Matlab实现 摘要 本文从随机噪声的特性出发，分析了传统滤波和自适应滤波基本工作原理和性能，以及滤波技术的现状和发展前景。然后系统阐述了基本维纳滤波原理和自适应滤波器的基本结构模型，接着在此基础上结合最陡下降法引出LMS算法。在MSE准则下，设计了一个定长的自适应最小均方横向滤波器，并通过MATLAB 编程实现。接着用图像复原来验证该滤波器的性能，结果表明图像的质量在MSE 准则下得到了明显的改善。最后分析比较了自适应LMS滤波和频域维纳递归滤波之间的性能。本文还对MATLAB里面的自适应维纳滤波函数wiener2进行了简单分析。 关键字：退化图像维纳滤波自适应滤波最陡下降法LMS Abstract This paper analyses the basic work theory, performance of traditional filter and adaptive filter based on the property of random noise, and introduce the status quo and the foreground of filter technology. Then we explain basic theory of wiener filter and basic structure model of adaptive filter, and combine the method of steepest descent to deduce the LMS. Afterward according to the MSE rule, we design a limited length transversal filter, and implement by MATLAB. And then we validate performance of adaptive LMS filter by restoring images, Test result show that the quality of the degrade images were improved under the rule of MSE. Finally, we compare the performance of adaptive LMS filter and iterative wiener filter. We also simply analyses the wiener2 () which is a adaptive filter in MATLAB. Keywords: degrade image；wiener filter；adaptive filter；ADF；LMS algorithm 数字信号处理课程设计 《数字信号处理》 课程设计报告 FIR数字滤波器设计及MATLAB实现 专业：通信工程 班级：通信1101班 组次：第9组 姓名及学号： 姓名及学号： 目录 一、设计目的 (3) 二、设计任务 (3) 三、设计原理 (3) 3.1窗函数法 (3) 3.2频率采样法 (4) 3.3最优化设计 (5) 3.3.1等波纹切比雪夫逼近准则 (5) 3.3.2仿真函数 (6) 四、设计过程 (7) 五、收获与体会 (13) 参考文献 (13) FIR数字滤波器设计及MATLAB实现 一、设计目的 FIR滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基 本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性， 同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR 滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。滤波器设 计是根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。 二、设计任务 FIR滤波器设计的任务是选择有限长度的() H e满足一定 h n，使传输函数()jw 的幅度特性和线性相位要求。由于FIR滤波器很容易实现严格的线性相位，所以FIR 数字滤波器设计的核心思想是求出有限的脉冲响应来逼近给定的频率响应。 设计过程一般包括以下三个基本问题： （1）根据实际要求确定数字滤波器性能指标； （2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标； （3）用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。 三、设计原理 FIR滤波器设计的任务是选择有限长度的() H e满足一定 h n，使传输函数()jw 的幅度特性和线性相位要求。由于FIR滤波器很容易实现严格的线性相位，所以FIR数字滤波器设计的核心思想是求出有限的脉冲响应来逼近给定的频率响应。 设计过程一般包括以下三个基本问题： （1）根据实际要求确定数字滤波器性能指标； （2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标； （3）用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。 3.1窗函数法 设计FIR数字滤波器的最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅立叶级数法。FIR数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应()jw H e,设计 d 第四章 最小二乘自适应滤波器 前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。然而，我们通常已知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。LMS 算法、格形梯度算法都是这样。能否直接根据一组数据寻求最佳呢？最小二乘算法就可解决这个问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器；而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。 本章首先叙述最小二乘法的基础，并推导递推最小二乘(RLS)算法；然后介绍线性空间的概念，并在此基础上讨论两种重要的最小二乘自适应算法——最小二乘格形(LSL)算法和快速横式滤波器(FTT)算法。 §4.1 最小二乘滤波器 4.1.1 最小二乘滤波方程 设已知n 个数据x (1), …, x (i ), …, x (n )，我们要根据这些数据，利用图4.1的m 阶线性滤波器来估计需要信号d (1) , …, d (i ), …, d (n )。对d (i )的估计式可表为 ∑=+-=m k mk k i x n w i d 1 )1()()(? (4.1.1) 估计误差 ∑=+--=-=m k mk k i x n w i d i d i d i e 1 )1()()()(?)()( (4.1.2) 若假设i <1及i 第四章最小二乘法与组合测量 §1概述 最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。 最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。 本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。 §2最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。测值落入),(dx x x i i +的概率。 根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即 权因子：2 2o i i w σσ=即权因子i w ∝21i σ，则 再用微分法，得最可信赖值x 1 1 n i i i n i i w x x w === ∑∑即加权算术平均值 这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。 特别是等权测量条件下，有： 以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。 为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。 例如 （1）最小绝对残差和法：Min v i =∑ （2）最小最大残差法：Min v i =max （3）最小广义权差法：Min v v i i =-m in m ax 以上方法随着电子计算机的应用才逐渐引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最广泛。 §3.线性参数最小二乘法 先举一个实际遇到的测量问题，为精密测定三个电容值:321,,x x x 采用的测量方案是，分别等权、独立测得323121,,,x x x x x x ++,列出待解的数学模型。 1x =0.3 2x =-0.4 1x +3x =0.5 FIR 数字滤波器设计与实现 一.摘要：数字滤波器是一种具有频率选择性的离散线性系统，在信号数字处理中有着广泛的应 用。其中FIR 滤波器是一种常用的滤波器，它在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性，在语音分析、图像处理、雷达监测等对信号相位要求高的领域有着广泛的应用，能实现IIR 滤波器不能实现的许多功能。 二.关键词：FIR 窗函数系统函数MATLAB 三.内容提要： 数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列，因此数字滤波器的结构系 统中就必须包括一定数量和性能的运算器件和运算单元，而运算器件和运算单元的配置必须由数字滤波器的结构特点和性能特点来决定，因此在进行FIR 数字滤波器的设计之前，有必要介绍和总结FIR 数字滤波器的基本结构和相关特性（包括频响曲线（幅度和相位），单位冲激响应等），在介绍完其基本结构和相关特性后，就进行FIR 数字滤波器的设计和实现。 （一）FIR 滤波器的基本结构 在讨论任何一种滤波器时，都要着重分析其系统函数，FIR 滤波器的系统函数为： n N n z n h z H ∑-==1 0)()(。从该系统函数可看出，FIR 滤波器有以下特点： 1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n 值处不为零； 2)系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(稳定系统)； 3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中(例如频率抽样结构)也包 含有反馈的递归部分。 1.FIR 滤波器实现的基本结构有： 1） 横截型（卷积型、直接型） a.一般FIR 滤波器的横截型(直接型、卷积型)结构： 若给定差分方程为： 。则可以直接由差分方程得出FIR 滤波器结构如 下图所示： 这就是FIR 滤波器的横截型结构，又称直接型或卷积型结构。 b .线性相位FIR 滤波器的横截型结构 实验二：FIR数字滤波器设计与软件实现 一、实验指导 1．实验目的 （1）掌握用窗函数法设计FIR数字滤波器的原理和方法。 （2）掌握用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理和方法。（3）掌握FIR滤波器的快速卷积实现原理。 （4）学会调用MATLAB函数设计与实现FIR滤波器。 2．实验内容及步骤 （1）认真复习第七章中用窗函数法和等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理； （2）调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt，并自动显示xt及其频谱，如图1所示； 图1 具有加性噪声的信号x(t)及其频谱如图 （3）请设计低通滤波器，从高频噪声中提取xt中的单频调幅信号，要求信号幅频失真小于0.1dB，将噪声频谱衰减60dB。先观察xt的频谱，确定滤波器指标参数。 （4）根据滤波器指标选择合适的窗函数，计算窗函数的长度N，调用MATLAB函数fir1设计一个FIR低通滤波器。并编写程序，调用MATLAB快速卷积函数fftfilt实现对xt的滤波。绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。（4）重复（3），滤波器指标不变，但改用等波纹最佳逼近法，调用MATLAB函数remezord和remez设计FIR数字滤波器。并比较两种设计方法设计的滤波器阶数。 提示：○1MATLAB函数fir1的功能及其调用格式请查阅教材； ○2采样频率Fs=1000Hz，采样周期T=1/Fs； ○3根据图1(b)和实验要求，可选择滤波器指标参数：通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz，换算成数字频率，通带截止 频率 p 20.24 p f ωπ =T=π，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率 s 20.3 s f ωπ =T=π，阻带最小衰为60dB。 ○4实验程序框图如图2所示，供读者参考。 吉林建筑大学 电气与电子信息工程学院 数字信号处理课程设计报告 设计题目：FIR数字滤波器的设计 专业班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 设计时间： 目录 一、设计目的 (3) 二、设计内容 (3) 三、设计原理 (3) 3.1 数字低通滤波器的设计原理 (3) 3.1.1 数字滤波器的定义和分类 (3) 3.1.2 数字滤波器的优点 (3) 3.1.3 FIR滤波器基本原理 (4) 3.2变换方法的原理 (7) 四、设计步骤 (8) 五、数字低通滤波器MATLAB编程及幅频特性曲线 (9) 5.1 MATLAB语言编程 (9) 5.2 幅频特性曲线 (10) 六、总结 (11) 七、参考文献 (13) 一、设计目的 课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高学习质量、塑造自身能力等于有特殊作用。本次课程设计一方面通过MATLAB 仿真设计内容，使我们加深对理论知识的理解，同时增强其逻辑思维能力，另一方面对课堂所学理论知识作一个总结和补充 二、设计内容 (1)设计一线性相位FIR 数字低通滤波器，截止频率 ，过渡带宽度 , 阻带衰减dB A s 30>。 (2)设计一线性相位FIR 数字低通滤波器，截止频率 ，过渡带宽度 ，阻带衰减dB A s 50>。 三、设计原理 3.1数字低通滤波器的设计原理 3.1.1 数字滤波器的定义和分类 数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。因此，数字滤波器本身既可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用的数字计算机，也可以将所需要的运算编成程序，让通用计算机来执行。 从数字滤波器的单位冲击响应来看，可以分为两大类:有限冲击响应(FIR)数字滤波器和无限冲击响应(IIR)数字滤波器。滤波器按功能上分可以分为低通滤波器(LPF)、高通滤波器(HPF)、带通滤波器(BPF)、带阻滤波器(BSF) [4]。 3.1.2 数字滤波器的优点 相对于模拟滤波器，数字滤波器没有漂移，能够处理低频信号，频率响应特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以达到很高，容易集成等，这些优势决定了数字滤波器的应用将会越来越广泛。同时DSP 处理器(Digital Signal Processor)的出现和FPGA(FieldProgrammable Gate Array)的迅速发展也促进了数字滤波器的发展，并为数字滤波器的硬件实现提供了更多的选择。 数字滤波器具有以下显著优点: 精度高:模拟电路中元件精度很难达到10-3，以上，而数字系统17位字长就可以达到10-5精度。因此在一些精度要求很高的滤波系统中，就必须采用数字滤0.2c ωπ=0.4ωπ?<0.2c ωπ=0.4ωπ?< RLS 自适应滤波 一、RLS 自适应算法 最小二乘(LS)法是一种典型的有效的数据处理方法，既可用于静态系统，又可用于动态系统：既可用于线性系统，又可用于非线性系统；既可用于离线估计，又可用于在线估计。递归最小二乘(Recursive Least Square ，RLS)是最小乘法的一种快速算法，它包含时间递归最小二乘(TRLS)算法和阶数递归最小二乘(ORES)算法两方面内容，一般前者适用于动态系统辨识和在线估计，后者适用于静态系统辨识和离线估计。与LMS 算法相比，RLS 算法有着非常快的收敛速度。 在快速收敛算法的推导中，我们采用最小二乘法。因此，将直接处理接收数据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。这意味着，用时间平均而不是统计平均来表示性能指数。 基于时间平均的最小平方误差被定义如下： ()2 1)(i e n J i n n i -=∑=λ （1） 式中，λ是接近1,但是小于1的加权因子，称作遗忘因子。其中估计误差定义为 ()()())(i x n w i d i e H -= n i ≤≤0 （2） 且 ()()()()[]T N i x i x i x i x 1,,1,+--= （3） 式中，x(i)是i 时刻的输入数据向量，w(n)是n 时刻的新的抽头增益向量。因而e(i)是用n 时刻的抽头增益向量测试i 时刻的旧数据所得的误差，J(n)是在所有旧数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。 要完成RLS 算法就要找到均衡器的抽头增益向量w(n)，使得累计平方误差J(n)最小。为了测试新的抽头增益向量，会用到那些先前的数据。而因子λ会在计算时更依赖于新近的数据，也就是说，J(n)会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。如果信道是稳定的，那么λ可以设为1。 为了获得J(n)的最小值，可使J(n)的梯度为0,即() ()0=?? n J n w ，通过运算可知： ()()()n r n w n R =∧ （4） 式中，()n w ∧ 是RLS 均衡其的最佳抽头增益向量。自适应滤波器的dsp实现
FIR数字滤波器设计函数
2动态过程数学模型参数估计的最小二乘方法
FIR数字滤波器设计与使用
自适应滤波LMS算法及RLS算法及其仿真.
自适应滤波器的设计(终极版)
最小二乘法参数估计
FIR数字滤波器设计与软件实现(精)讲解学习
最小二乘自适应滤波器
第四章参数的最小二乘法估计
维纳自适应滤波器设计及Matlab实现
FIR数字滤波器设计及MATLAB使用要点
最小二乘自适应滤波器
参数的最小二乘法估计
FIR数字滤波器设计与实现
FIR数字滤波器设计与软件实现
FIR数字滤波器课程设计报告
RLS自适应滤波
相关主题
文本预览