第一章 微积分的理论基础
内容及基本要求：
1、理解函数的概念
2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念
3、掌握基本初等函数的性质及其图形
4、会建立简单实际问题中的函数关系式
5、理解极限的概念（对极限的ε–N 、ε–δ定义可在学习过程中逐步加深理解）
6、掌握极限的四则运算法则
7、会用两个重要极限求极限
8、 解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等阶无穷小求极限 9、 理解函数在一点连续的概念
10、了解间断点的概念，并会判断点的类型
11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）
学习重点：函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四则运算法则；两个重要
极限；函数连续概念。
学习难点：极限概念。
第一节 函数
一. 函数的概念及其表示法
1.函数的定义 设x 与y 是变量,D 是给定的一个数集.y D x ,∈?按照一定的法则总有
确定的数值与之对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.其中D 为函数的定义域, x 是自变量, y 是因变量. 0x 处的函数值记为)(0x f ,即)(00x f y =.
}),(|{D x x f y y W ∈==称为函数)(x f y =的值域.
单值函数与多值函数: 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数. 2.定义域的求法 (1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动2
02
1gt x x -
=,则其定义域为0≥t .
(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如21x y -=,其定义域为
]1,1[-=D .
3.函数的图形
建立直角坐标系后,点),(y x 的集合C :
}),(|),{(D x x f y y x C ∈==
称为函数)(x f y =的图形. 4.特殊函数 (1)绝对值函数:
x x x x x x x y sgn .0,,
0,=?
??<-≥==.
(2)符号函数:
??
?
??<-=>==.0,1,0,0,0,1sgn x x x x y
(3)取整函数:
][x y =
表示不超过x 的最大整数.如2]5[,2]2[,1]1[=-=-=.
(4)分段函数:在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点.
二. 线性函数的基本属性
1.改变量 对于函数)(x f y =，当自变量在其定义域内从一点0x 变为异于0x 的点x 时，
相应地，函数值从0y 变为y ，我们称0x x -为自变量x 在0x 处的改变量，简称为自变量的改变量，记作0x x x -=?，称0y y -为函数)(x f y =在0y 处相应的改变量，简称为函数的改变量，记作
)()(00x f x f y y y -=-=?.
2.均匀变化与非均匀变化 对线性函数，无论自变量x 从哪里开始变化，只要它的改变量一样大，则函数的改变量也一样大。换句话说，线性函数随自变量的变化是均匀的，即
α=??x
y
.
三. 复合函数与反函数
1.复合函数 设函数)(u f y =的定义域为1D ,函数)(x u ?=在2D 上有定义,而
}),(|{22D x x u u W ∈==?,且12D W ?,那末,对2D x ∈?通过函数)(x u ?=有确定的u 与
之对应,对于这个u 通过)(u f y =有确定的y 与之对应,从而得由)(),(x u u f y ?==复合而成的复合函数,记作)]([x f y ?=,而u 为中间变量.
注意 (1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如u y arcsin =,
22+=x u 就不能复合成一个复合函数.
(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.
如函数2tan ln x y =可分解成:.2
,tan ,ln x v v u u y ===
2.反函数 设函数)(x f y =定义域为D ,值域为W .对W y ∈?,总..,t s D x ∈?x 与y 对
应,这样就确定了一个以y 为自变量的函数x ,称为)(x f y =的反函数,记作)(y x ?=,也记作 )(1
x f y -=.相对于反函数)(1
x f
y -=,原来函数)(x f y =称为直接函数.
注意(1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数)(x f y =不仅单值且单调
时,其反函数)(1
x f y -=必为单值函数.
(2) )(x f y =和)(1
x f y -=的图形关于直线x y =对称.
四. 初等函数与双曲函数 1.基本初等函数
○
1.幂函数:μ
x y =,(μ是常数). ○
2.指数函数:)1,0(,≠>=a a a y x
,特别地:x
e y =. ○3.对数函数:)1,0(,log ≠>=a a x y a
,特别地:x y ln =. 注意:指数函数与对数函数互为反函数.
○
4.三角函数:.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin x y x y x y x y x y x y ======
○
5.反三角函数:x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====. 2.初等函数 由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.如
2
tan
ln x
y =).1ln(,2x x y ++= 都是初等函数. 3.双曲函数与反双曲函数
○1.双曲函数
双曲正弦:),(,2
+∞-∞=-=
-D e e shx x
x ,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在
),(+∞-∞内↑,当+∞→x 时,,21x e y shx =
→当-∞→x 时, x e y shx --=→2
1.
双曲余弦:),(,2
+∞-∞=+=
-D e e chx x
x ,偶函数,图形关于y 轴对称.在)0,(-∞内↓,在),0(+∞内↑.+∞→x 时,,21x e y chx =
→当-∞→x 时, x e y chx -=→2
1.
双曲正切:),(,+∞-∞=+-==
--D e e e e chx shx thx x
x x
x .奇函数,图形过原点且关于原点对称.在),(+∞-∞内↑,且1 thx 的两条水平渐进线. 性质: ,)(,)(shxshy chxchy y x ch chxshy shxchy y x sh ±=±±=± x sh x ch x ch shxchx x sh x sh x ch 22222,22,1+===-. ○ 2.反双曲函数 反双曲正弦:)1ln(2x x arshx y ++==,(单值). 反双曲余弦:)1ln(2-+==x x archx y ,(主值)0,1>>y x . 反双曲正切:x x arthx y -+= =11ln 21. 函数举例: 例1 设2 1)(x x x f += ,求]])]([[[)( x f f f x f n =. 解 2 2 2 2 2 221)1( 11) (1)()]([)(x x x x x x x f x f x f f x f +=+++=+= =; 2 2 231)(,,31)]([)(nx x x f x x x f f x f n += += = . 例2 设22 1 )1(x x x x f +=+,求)(x f . 解 2)(,2)1()1(22 -=?-+ =+t t f x x x x f ,即2)(2-=x x f . 例3 设2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(>x ?,求)(x ?及其定义域. 解 2)(x e x f =,所以) (2 )]([x e x f ??=.又0)(>x ?,所以 ?????>-=-=)2(,11)1(,1) ()(22 x e x e x x ?? 由(1)得)1ln()(x x -=?;由(2)得0 例4 设),(),(+∞-∞∈=x x f y 的图形关于直线a x =与b x =对称)(b a <,则) (x f 为周期函数. 证明 )2()(x a f x f -= ()(x f 关于a x =对称) )]2(2[x a b f --= ()(x f 关于b x =对称) )](2[a b x f -+=, 即)(x f 为周期函数. 五.函数的参数表示与极坐标表示 1.函数的参数表示 把y 与x 的函数关系通过变量t 间接地表示为 ?? ?∈==D t t y y t x x ), (), ( 上式称为y 与x 函数关系的参数表示式，也称为此曲线的参数方程，t 称为参变量，也称为参数。 2.函数的极坐标表示 在平面上选取一条具有起始点O （称为极点）和长度单位的半直线Ox ，称为极轴，这样在此平面上就建立了极坐标系。对平面上任一点P ，将线段OP 的长度记为ρ，成为极径，极轴Ox 到射线OP 的转角记作?，称为极角。如果限制)2,0[π?∈， 0≥ρ，那么平面上除极点O 外任一点P 便有唯一的有序数组),(?ρ与其对应；反之，任给 一数组),(?ρ，以?为极角，?为极角，必有唯一的点与之对应。因此，我们把),(?ρ称为点P 的极坐标。 点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(?ρ之间有如下关系 ?? ? ??=+=???==x y y x y x ?ρ?ρ?ρtan ,sin cos 2 2 第二节 数列的极限 一. 数列 1.数列 无限多个数有次序地排成一列 ,,,,21n x x x 称为数列,记为}{n x .数列中的每一个数称为数列的项,第n 项n x 称为数列的一般项.数列 }{n x 也可看作自然数n 的函数: N n n f x n ∈=),(. 在几何上,数列}{n x 也可看作数轴x 上的一系列点. 2.子数列 设数列}{n x .在}{n x 中第一次抽取1n x ,第二次抽取,),(,122 n n x n >第k 次抽取 ,k n x 得新数列 1n x ,,,2 n x ,k n x 称为数列}{n x 的子(数)列}{k n x . 二. 数列的极限:.lim A x n n =∞ → 1.引例:刘徽的割圆术. 2.数列极限的定义 设数列n x n 1 = .观察当n 无限增大时,数列的项的变化趋势.具体写出来是: ,1 ,,51,41,31,21,1n 当n 无限增大(即要多大就有多大)时,一般项n 1 无限接近(要多近就有多近)于常数0=A ,此 时称数列}1{n 的极限为零,或数列}1 {n 收敛于零.由此有 定义(描述性定义) 当n 无限增大时, 数列}{n x 与常数A 无限接近,称数A 为数列}{n x 的极限,或称数列 }{n x 收敛于A .记作.lim A x n n =∞ →,或)(,∞→→n A x n . 下面我们对数列}1 {n 来具体分析: 要使 n 1与0=A 的距离小于10 1=ε,即 10 11011=<=-=-εn n A n . 则101 => ε n ,取10=N ,当10>n 时, 10 1 01=<-εn ,即从第11项开始,所有项与0=A 的距离小于 10 1 . 取100 1 = ε,要使10011011=<=-=-εn n A n ,则100>n .取100=N ,则当100=>N n 时, 100101=<-εn ,即从第101项开始,所有项与0=A 的距离小于100 1. ………………………………………… 0>?ε,要使 εε11>?<-n A n .取],1[ε=N 则当]1 [ε =>N n 时, ε<-01n .即从1+N 项开始, 所有项与0=A 的距离小于ε. 用精确的数学语言,有 定义 给定数列}{n x 和常数A :0)(,0>=?>?εεN N ,当N n >时,有 ε<-A x n 成立,则称常数A 为数列}{n x 的极限,或称数列}{n x 收敛于常数A ,记为 .lim A x n n =∞ →,或)(,∞→→n A x n . 如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注意 (1)ε反映了数列}{n x 中项n x 与常数A 的接近程度.由于ε可以任意小,此时 ε<-A x n 反映了n x 与常数A 无限接近(要多近就有多近),不是越来越近. (2))(εN N =反映了数列}{n x 中与常数A 接近的项的范围,即从1+N 项1+N x 开始,所 有项与A 的距离小于ε.因此N 是ε的函数.一般地, ε越小,则N 越大. (3) .lim A x n n =∞ →主要是对于给定的ε,能够找到一个N ,使得 ,,,,21n N N x x x ++与A 的距离小于ε,而前N 项N x x x ,,,21 是否与A 的距离小于ε没有任何影响. (4) N 是否存在才是关键,不必找最小的N . (5) .lim A x n n =∞ →的几何意义: 由定义: 0)(,0>=?>?εεN N ,当N n >时,有 ε<-A x n ),(),(εεεA U A A x n =+-∈?, 即 ,,,,21n N N x x x ++全部落在A 的ε邻域内. 例1 证明1)1(lim 1 =-+-∞→n n n n . 分析:由注(3)的思路:0>?ε从不等式ε<-A x n 解出n ,从而确定N . 证明 0>?ε,要使 ε<=--+=--n n n A x n n 11)1(1 则ε 1 >n .取]1 [ε =N ,则当N n >时,有 ε<-A x n 所以1)1(lim 1 =-+-∞→n n n n . 有时,由ε<-A x n 解出n 是非常麻烦.由注(4)可知,此时可将不等式ε<-A x n 适当 放大(不能太大),即 )()(n g n f A x n <=- 由ε<)(n g 解出n ,从而确定N .则当N n >时,有 ε<<=-)()(n g n f A x n 故.lim A x n n =∞ → 注:这里的适当放大意思是)()(n g n f A x n <=-放大后)(n g 还可小于ε. 例2 证明1lim 2 2=+∞ →n a n n . 证明 0>?ε,要使 ε<-+=-+= -n n a n n a n A x n 222 21 此时直接解出n 很难.将A x n -适当放大, ε<<++=-n a n a n n a A x n 2 222 ) ( 所以ε 2 a n > ,取][ 2 ε a N =即可. 或如下放大: ε<=-+< -n a n n a n A x n 则ε | |a n > .取]| |[ ε a N =即可. 三. 收敛数列的性质 定理1(极限唯一性定理) 如果数列}{n x ,则其极限必唯一. 证明 设.lim A x n n =∞ →B x n n =∞ →lim .B A <.取2 A B -= ε. 由.lim A x n n =∞→则01>?N ,当1N n >时,有2 A B A x n -= <-ε. 由B x n n =∞→lim ,则02>?N ,当2N n >时,有2 A B B x n -=<-ε. 取},m ax {21N N N =,则当N n >时,有 ??? ??? ? -<--<-.2,2 A B B x A B A x n n 解得 ??? ??? ?+>+<.2,2 A B x A B x n n 矛盾. 定理2（有界性） 收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛. 证明 设.lim A x n n =∞ →则给定0,0>?N ε,当N n >时,有0ε<-A x n .则 0)(ε+<+-≤+-=A A A x A A x x n n n , 取},,,,max{021ε+=A x x x M N .则对任意的n ,有 M x n ≤ 即数列}{n x 必有界. 反之,数列}) 1{(1 --n 是有界的(因为1)1(1=≤--M n ),但1)1(lim -∞ →-n n 不存在(为什么?见 下面的解释). 定理3（保号性）,lim A a n n =∞ →设)0(0<>A A ，则+N ∈?N ，使得N n >?，恒有 )0(0<-≤>≥q a q a n n 其中q 为某一正常数。 例3.5 31 lim 2 32+--→x x x x 求 解)53(lim 2 2 +-→x x x 5lim 3lim lim 2 2 2 2 →→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2 2 22 →→→+-=x x x x x 52322+?-=,03≠= 531lim 23 2+--∴→x x x x ) 53(lim 1 lim lim 22 2 32+--=→→→x x x x x x 3123-=.37= 三. 数列极限的有理运算法则 定理4： .0,) 3(; ][)2(;][)1(,,lim lim lim lim lim ≠=?=?±=±==∞→∞ →∞ →∞→∞ →B B A b a B A b a B A b a B b A a n n n n n n n n n n n n n 其中则 设 推论1 .][,,lim lim lim n n n n n n a c ca c a ∞ →∞ →∞ →=则为常数而存在如果 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 .][][,,lim lim lim n n n n n n n n a a n a ∞ →∞ →∞ →=则是正整数而存在如果 四. 数列极限的判定法则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ → 那末数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 },,m ax {21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 恒有时当,N n > ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ → 例4：).12111( lim 2 2 2 n n n n n +++++ +∞ → 求 解：,1 11 12 2 2 2 +< ++ ++< +n n n n n n n n n n n n n n 111lim lim 2 +=+∞ →∞ →又 ,1= 2 2 111 lim 1 lim n n n n n + =+∞ →∞ →,1= 由夹逼定理得 .1)12 11 1( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n n 2.单调有界准则 满足条件如果数列n x ,121 ≤≤≤≤+n n x x x x 则称此数列单调增加；或者 ,121 ≥≥≥≥+n n x x x x 称此数列单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: 例5：.)(333的极限存在重根式证明数列n x n +++= 证：,1n n x x >+显然 {};是单调递增的n x ∴ ,331<=x 又 ,3 1 231 +n n A {};是有界的n x ∴ .lim 存在n n x ∞ →∴ ,31n n x x +=+ ,321n n x x +=+ ),3(lim lim 2 1n n n n x x +=∞ →+∞→ ,32A A += 2 13 1,2131-=+= A A 解得 (舍去) 五.子数列及其与数列的关系 定理5(数列与子数列关于收敛的关系) 如果.lim A x n n =∞ →则其任一子数列}{k n x 必收敛, 且 .lim A x k n k =∞ → 注(1)逆否命题:如果数列}{n x 的某一子数列发散或某两个(或两个以上)子数列收敛,但 极限不同,则数列}{n x 必发散. 例6 证明数列})1{(1 --n 是发散的. 证明 取两个子列: 奇子列:}) 1{(1 2+-k ,显然1)1(lim 12-=-+∞ →k k .又 偶子列: })1{(2k -,显然1)1(lim 2=-∞ →k k . 因为≠-=-+∞ →1) 1(lim 1 2k k 1)1(lim 2=-∞ →k k ,所以1)1(lim -∞ →-n n 不存在. (2)如果数列}{n x 的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列}{n x 必收敛. 第三节 函数的极限 主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即 (1)A x f x x =→)(lim 0 ; (2)A x f x =∞ →)(lim . 一.自变量趋于变大时函数极限的概念 A x f x =∞ →)(lim .即自变量x 无限接近∞时,)(x f 无限接近于A . ∞→x 包括+∞→x 和-∞→x . 定义 (1)设)(x f 当M x >时有定义.0,0>?>?X ε,当X x >时,有 ε<-A x f )( 成立,则A 称为)(x f 当∞→x 的极限,记为A x f x =∞ →)(lim 或)(,)(∞→→x A x f . (2)设)(x f 当M x >时有定义. 0,0>?>?X ε,当X x >时,有 ε<-A x f )( 成立, 则A 称为)(x f 当+∞→x 时的极限,记为A x f x =+∞ →)(lim 或)(,)(+∞→→x A x f . (3) 设)(x f 当M x -<时有定义. 0,0>?>?X ε,当X x -<时,有 ε<-A x f )( 成立, 则A 称为)(x f 当-∞→x 时的极限,记为A x f x =-∞ →)(lim 或)(,)(-∞→→x A x f . 注:(1) A x f x =∞ →)(lim 的几何意义: (2) A x f x =∞ →)(lim A x f x f x x ==?-∞ →+∞ →)(lim )(lim . (3) A x f x =∞ →)(lim ,则A y =为曲线)(x f y =的水平渐进线. 例1 证明0sin lim =∞→x x x . 证明 0>?ε,要使 ε<≤=-=-x x x x x A x f 1sin 0sin )( 则ε 1 > x .取ε 1 = X ,则当X x >时,有 ε<-0sin x x 即0sin lim =∞→x x x . 例2 求x x arctan lim ∞ →. 解 2 arctan lim π = +∞ →x x ,2 arctan lim π - =-∞ →x x ,所以x x arctan lim ∞ →不存在. 同理 π==-∞ →+∞ →x arc x arc x x cot lim ,0cot lim ,所以x arc x cot lim ∞ →不存在. 记住:x x x x cos lim ,sin lim ∞ →∞ →均不存在. 二. 自变量趋于有限值0x 时函数的极限 A x f x x =→)(lim 0 ,即自变量x 无限接近0x 时,)(x f 无限接近于A . 定义 定义 设)(x f 在)(00 x U 内有定义.0,0>?>?δε,当∈x ),(00 δx U 时,有 ε<-A x f )( 成立,则A 称为)(x f 当0x x →时的极限,记作 A x f x x =→)(lim 0 或 ,)(A x f →0x x →. 注(1)由极限的定义知,)(x f 当0x x →时是否有极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关. (2)ε反映了)(x f 与A 的接近程度.由于0>ε可以任意小,故)(x f 与A 可无限接近. (3)0)(>=εδδ反映了自变量x 与0x 的接近程度. (4)给定0>ε,问题是是否存在0)(>=εδδ.如果δ存在,则当0x x →时)(x f 以A 为 极限;否则, )(x f 的极限不存在.因此,只要确定一个δ,而不必找出最大的δ.一般地,如果ε越小,则δ也越小. (5) δ的求法是由不等式ε<-A x f )(接出)(0εg x x <-(不是解x ,取)(εδg =即 可.同数列极限,如果ε<-A x f )(解0x x -较困难,可将A x f -)(适当放大,即 ε<-<-)()(0x x h A x f 再解出0x x -. (6)几何意义:当δ<-<00x x ,即∈x ),(00 δx U 时, 有 εεε+<<-?<-A x f A A x f )()(. (7)显然有00 lim ,lim x x c c x x x x ==→→. 例3 证明21 1 lim 21=--→x x x . 证明 1 1 )(2--=x x x f 在1=x 处无意义,但极限存在. 0>?ε,要使 ε<-=-+=---=-12)1(21 1 )(2x x x x A x f 取εδ=,当δ<-<10x 时,有 ε<---21 1 2x x 即21 1 lim 21=--→x x x . 例4 证明04 lim 4 =-→x x x . 证明 0>?ε,要使 ε<-=--=-x x x x A x f 404 )( (解出4-x 几乎不可能) 将x