专题5：角平分线性质的应用
【典例引领】
例：在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM=，CF=．
【强化训练】
1．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=√3，请直接写出线段AD和DF的长．
2．（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设AP
OQ
=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小
值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；
（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
4．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝√2OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
①②③
专题5：角平分线性质的应用
【典例引领】
例： 在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，请解答下列问题： （1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM ；
（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan ∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM= ，CF= ．
【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+√3
3或1﹣√33
【分析】(1)由等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，可得BM=MN ，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME ≌△NMF ，可得BE=NF ，NC=NM=BM 进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME ≌△NMF ，可得BE ﹣CF=BM ， ②如图③时，同（1）可证△BME ≌△NMF ，可得CF ﹣BE=BM ； (3) 在Rt △ABM 和Rt △ANM 中，
，
可得Rt △ABM ≌Rt △ANM ，后分别求出AB 、 AC 、 CN 、BM 、 BE 的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF 的长. 【解答】
（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM 是∠BAC 的平分线，MN ⊥AC ， ∴BM=MN ，
在四边形ABMN 中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF ， ∴△BME ≌△NMF ， ∴BE=NF ，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；
（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=+1，
在Rt△ABC中，AC=AB=+1，
∴AC=AB=2+，
∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，
在Rt△CMN中，CM=CN=，
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，
在Rt△BME中，tan∠BEM===，
∴BE=，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．
【强化训练】
1．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=√3，请直接写出线段AD和DF的长．
【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=√3BE；（2）AD=5√3，DF=31√3
7
．
【分析】（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC=√3BE．只要证明
AD+AC=2AG=2EG，再证明EB=√3
2
BE即可解决问题；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD
≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH，AD的长，由sin∠ACH=AK
AC =BH
BC
，推出AK的长，设FG=y，则AF=2√3
﹣y，BF=√4+y2，由△AFK∽△BFG，可得AF
BF =AK
BG
，可得关于y的方程，求出y即可解决问题．
【解答】（1）①结论：BC=BD，
理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，
∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；
②结论：AD+AC=√3BE，
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=√3
2
BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH ﹣CH=2AG=√3BE，∴AD+AC=√3BE；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，
由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2√3，BC=BD=√BH2+CH2=√31，CH=DG=3√3，
∴AD=5√3，∵sin∠ACH=AK
AC =BH
BC
，∴
√3
=
√31
，∴AK=√3
√31
，
设FG=y，则AF=2√3﹣y，BF=√4+y2，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，
∴△AFK∽△BFG，∴AF
BF =AK
BG
，∴√3−y
√4+y2
=
2√3
√31
2
，解得y=10√3
7
或3√10（舍弃），
∴DF=GF+DG=10√3
7+3√3，即DF=31√3
7
．
2．（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设AP
OQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？
若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．
【分析】试题分析：（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出AP
OQ=
AB
OB
，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，
AB
OB
的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．
（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．
（3）连接BQ．
易证△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=
∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴AP
OQ=
AB
OB
，∵∠AOB=30°，∴当BA⊥OM时，
AB
OB
的值最小，最小
值为0.5，∴k=0.5．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；
（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
【答案】（1）2-√2；（2）2-√2；（3）3√2-4.
【分析】
（1）求出BC=BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；
（2）求出△FEB≅△ECD，根据全等三角形的性质得出BF=DE即可；
（3）延长GE交AB于F，证△GDE∼△FBE，得出比例式，代入即可求出答案.
【解答】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，
∴BE=BC=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，∴DE=BD﹣BE=2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，
∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF=DE=2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE=BF=2﹣，
由（1）知：BE=BC=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△DGE∽△BFE，
∴=，
∴=，
解得：DG=3﹣4．
4．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝√2OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
①②③
【答案】图②中OD＋OE＝√2OC成立．证明见解析;图③不成立，有数量关系：OE－OD＝√2OC
【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．【解答】图②中OD＋OE＝√2OC成立．
证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q
.
有△CPD≌△CQE，
∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝√2OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝√2OC，
∴OD＋OE＝√2OC.
图③不成立，
有数量关系：OE－OD＝√2OC
过点C分别作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=√2OC，
∴OD，OE，OC满足OE-OD=√2OC．
专题5：角平分线性质的应用 【典例引领】 例：在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题： （1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM=，CF=． 【强化训练】 1．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论； ②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=√3，请直接写出线段AD和DF的长． 2．（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB． （1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系； （2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
角平分线的性质专项练习 一、单选题 知识点一：角平分线的有关证明 1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ） A ．3 B ．32 C ．2 D ．6 2．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 3．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结 论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠， ::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 知识点二：角平分线的性质定理
4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．52 5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中： ①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ； ④∠1＝∠2；其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 7．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）
12.3 角的平分线的性质同步练习 一．选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（） A．1 B．C．D．2 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5 3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（）
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（） A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m 6．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（） A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC 7．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（） A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm 8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）
A．110°B．115°C．125°D．130° 9．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点 A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结A B、 BC，则四边形OABC的面积为（） A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm2 10．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（） A．54°B．50°C．48°D．46° 二．填空题 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC ＝2，则△ABD的面积为．
角平分线专项练习30题（有答案） 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上． 2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC． 3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC． 4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC． 求证：AD平分∠BAC．
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC． 求证：BC=AB+AE． 6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠BAD； （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ （3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果． 7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE； （2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．
8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由； （2）若CD=3，AB=4，求BC的长． 9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°， （1）求证：AB∥CD； （2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数． 10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点， （1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）； （2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由． 11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， （1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF； （2）求证：∠A+∠C=180°．
角的平分线 第1课时角的平分线的性质 01基础题 知识点1角的平分线的作法 1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C) ①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大 于1 2DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③ C．②③①D．③②① 2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A) A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法． 解：作图略． 知识点2角的平分线的性质 4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)
A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B ) A ．PC ＝PD B ．∠CPD ＝∠DOP C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝OD 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC. 证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中， ???∠BEO ＝∠CDO ， OE ＝OD ， ∠EOB ＝∠DOC ， ∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC. 知识点3 文字命题的证明
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线 的性质作业复习题（含答案) 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题： （1）图中与∠DBE相等的角有：； （2）直接写出BE和CD的数量关系； （3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝1 ∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE 2 与FD的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠ACE和∠BCD； CD； （2）BE＝1 2 DF，证明见解析 （3）BE＝1 2 【解析】 【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案； （2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论； （3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别
证明△BGH ≌△DFH 、△BDE ≌△GDE ，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：（1）∵BE ⊥CD ， ∴∠E ＝90°， ∴∠E ＝∠BAC ，又∠EDB ＝∠ADC ， ∴∠DBE ＝∠ACE ， ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， ∴∠DBE ＝∠BCD ， 故答案为：∠ACE 和∠BCD ； （2）延长BE 交CA 延长线于F ， ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠FCE ＝∠BCE ， 在△CEF 和△CEB 中， FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ， ∴△CEF ≌△CEB （ASA ）， ∴FE ＝BE ，
• • 《角平分线的性质 》专题复习 本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。 一．角的平分线的性质 这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。 二．性质运用 在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。 三．易错点 本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。 【知识点击】 点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等． 如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。 点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上． 如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。 点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等． 如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A 分线，则有 IH=IG=IF 。 H G I E 【典例引路】 类型之一:求证角平分线的性质定理 B D F C 例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？ 【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． H I A G E 【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上． B D F C
13.3 角的平分线的性质 一、选择题 1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是 （ ）． A ． PD=PE B ．OD=OE C ．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=OD B E A C P D E F O D A B D C A E B （ 1） (2) (3) 2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别 是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到 C ，B 的距离相等；② A D 上任意一点到 AB ， AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4 个 3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB= 2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上， DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）． A ．2 B ．1+2 C ． 2 D ．无法计算 A A A E D C E F P O E B O FB B D C (4) (5) (6) 4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（ ）． （ 1）作射线 OC ； （ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ． 2 A ．（ 1）（ 2）（ 3） B ．（ 2）（ 1）（ 3） C ．（ 2）（ 3）（ 1） D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题 1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则 PE=________，根据是 ________________ ． （ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，
角的平分线的性质重难点题型 ①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E. ②分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC 即为所求. 【题型1 角平分线的作法及应用】 【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是 ．（将①②③重新排列） ①作射线OC ； ②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ； ③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． 12
【解题思路】根据角平分线的作法进行解答． 【解答过程】解：作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ； （2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ， （3）作射线OC ， 所以OC 就是所求作的∠AOB 的平分线． 故题中的作法应重新排列为：②③①． 故答案为：②③①． 【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON ，点B ，C 分别在射线OM ，ON 上，且OB ＝OC ． （1）用直尺和圆规作出∠MON 的角平分线OP ，在射线OP 上取一点A ，分别连接AB 、AC （只需保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下求证：AB ＝AC ． 【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可； （2）先判断出∠POB ＝∠POC ，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论． 【解答过程】解：（1）如图所示： 射线OP 即为所求； （2）由（1）知，OP 是∠MON 的角平分线， ∴∠POB ＝∠POC ， 在△ABO 与△ACO 中{OB =OC ∠AOB =∠AOC OA =OA ， ∴△ABO ≌△ACO （SAS ）， ∴AB ＝AC ．
三角形综合应用（角平分线、高线）（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( ) A.25° B.30° C.40° D.20° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠BCF的平分线CE的反向延长线相交于点D，若∠A=30°，则∠D的度数为( )
A.15° B.30° C.20° D.10° 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A= 40°，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 4.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，
则∠ABC的度数为( ) A.30° B.35° C.37.5° D.40° 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 5.如图，在△ABC中，，，∠A=30°，则∠BDC的度数为( )
A.110° B.130° C.80° D.100° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，则CD=( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等积公式 7.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )
11.3.1角的平分线的性质 ◆课堂测控 测试点一作角的平分线 1．如图,将已知∠AOB两等分． 2．如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线MN，使MN⊥AB． 测试点二角平分线的性质 3．如图，∠1=∠2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论错误的是（）A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD 4．如图，已知在△ABC中，BD为∠ABC的平分线， AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N．PM和PN相等吗？ 小华是这样解答的：PM=PN，理由如下： ∵BD平分∠ABC，P在BD上， PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN． 你认为小华的解答有错误吗？如果有，请指出来，并写出正确的解答．
◆课后测控 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，•垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长为（） A．10cm B．8cm C．12cm D．9cm (第5题) (第6题) (第7题) 6．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，∠1=∠2，图中全等三角形共有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．如图，∠A=∠C=90°，根据角平分线性质填空： （1）若∠1=∠2，则______=_______；（2）若∠3=∠4，则______=_______． 8．如图，已知AB∥CD，O为∠A，∠C的平分线的交点，OE⊥AC，交AC•于E，•且OE=2，则两平行线AB，CD之间的距离等于________． (第8题) (第9题) 9．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=•12cm，•则DE=_______． 10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，•ED的延长线交BC的延长线于F，求证：AE=CF．
全等三角形 知识点一：角平分线 三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线 段叫做三角形的角平分线 如下图，在 △ ABC 中，∠ABD =∠DBC , BD 是 △ ABC 的一条角平 分线． 一个三角形有3条内角平分线，有6条外角平分线， 在三角形内部到三边距离相等的点有1个，•而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有3个． 角平分线的性质:在角平分线上的点到角的两边的距离相等 （1）在所画的角平分线上任找一点，过这点分别向角的两边作垂线段. （2）你能得出什么猜想 判断： 1、OP 为∠AOB 的角平分线，则PE=PF. ( ) 2、、OP 是∠AOB 角平分线，在OP 上任取一点M 到OA 的距离等于3cm,则M 到OB 的距离为3cm.( ) 3、如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等. 4、如图，△ABC 的∠B 的平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P. 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 所在直线的距离相等. 如图，直线a 、b 、c 表示互相交叉的公路，现建一个货物中转站，要求它到公路的距离相等，则可供选择的地址有 N P A B C M C B A D E P
多少处？ 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF. 求证：CF=EB F E D C B A 练一练： 如图4，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，•垂足为E ，若AB=10cm ，求△ DBE 的周长． 已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B ，点E 是 BC 上一点，ED ⊥AB 于D ，并且ED=EC ，证：AE=BE ． 如图，BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD ．
《12.3 角的平分线的性质》 一、填空题 1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空： （1）若∠1=∠2，则______=______． （2）若∠3=∠4，则______=______． 2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S △ABD =36，则S △BCD =______． 3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角 形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于______． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S △ABD ：S △ACD =______． 二、选择题 5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理： ①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE； ②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE； 其中正确的个数有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（） A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm 7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（） A．10 B．20 C．15 D．25 8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（） A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定 三、解答题 9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；
作者: 日期: 2
3 ••• PA=PB ••• PA=PB 角平分线的性质 角平分线的判定 v 0P 平分Z A0B , 又 v PA 丄 0A , PB 丄 0B 又 v PA 丄 0A, PB 丄 0B 二 0P 平分 Z A0B 4 分层练习，评价自我 判断： (1) 0P 是/ A0B 的平分线，贝U PE=PF() 2) PE! 0A 于 E ，PF ! 0B 于 F 贝U PE=PF () (3)在/ A0B 的平分线上任取一点 Q,点Q 到0A 的距离等于3cm, 则点Q 到0B 距离等于3cm ( 活动四做一做 练习一: 判断:1、 2、 若PE=PF 贝U 0P 是/ AOB 的平分线。 () 若PE! 0A 于 E , PF 丄0B 于 F ,贝U 0P 是/ AOB 的平分线。 3、已知Q 到0A 的距离等于3cm,且Q 到0B 距离等于 / A0B 的平分线上() () 3cm ，贝U Q 在 练习三 如图，△ ABC 勺角平分线BM CN 相交于点P 。 ⑴求证：点P 到三边AB BC CA 的距离相等 (2) 点P 在角A 的平分线上吗？ (3) 三角形的三条角平分线有什么关系呢？ 5 课堂反思，强化思想 活动五想一想 (1) 这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的? (2) 你感悟到了什么？ 6 布置作业，指导学习 1、 必做题：教材： 2、 选做题：教材： 2题。 3题。 板书设计
4 DF 丄AC ,垂足分另U 为 E 、F ，贝U DE ⑵已知 DE 丄AB , DF 丄AC ,垂足分别 到角的两边距离相等的点在角的平分线上•角平分线上的点到角的两边距离 相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1. 如图，0P 平分/ AOB,PC 丄OA ,PD 丄OB ，垂足分别是 C 、D .下列结论中错误的是 （ A . PC = PD B . O C = OD C .Z CPO = / DPO D . OC = PC 2.如图，△ ABC 中，/ C = 90°, AC = AD 是/ BAC 的平分线，DE 丄AB 于E , 若 AC = 10cm ，则△ DBE 的周长等于（ A . 10cm B . 8cm C . 6cm D . 9cm 二、填空题 3•角平分线的性质定理: 角平分线上的点 4.⑴如图，已知/ 1 = / 2, DE 丄AB , 为 E 、F ,且 DE = DF ，则/ 1 ______ / 2 . 三、解答题 C 是/ A 内一点，AB = A D , BC = CD , C E 丄 AD 5.如图，点 D 、B 分别在/ A 的两边上, 于E , C F 丄AF 于F .
人教版七年级下第十二章 全等三角形角的平分线的性质练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、填空题 1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______． 2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______． 3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于 __________． 4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．
5．如图，BE 、CF 都是ABC 的角平分线，且110BDC ∠=︒，则A ∠=___________． 二、单选题 6．如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使DOE ≅ FOE ， 你认为要添加的那个条件是（ ） A ．OD =OE B ．OE =OF C ．∠ODE =∠OE D D ．∠OD E =∠OFE 7．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点 F ．下列结论：∠AFE DFC △△；∠DA 平分BDE ∠；∠CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ．∠∠ D ．∠∠∠ 8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC 中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC （ ）的交点． A ．三条角平分线 B ．三条中线 C ．三条高的交点 D ．三条垂直平分线 9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：角平分线性质的应用（附答案） 1．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若P A＝3，则PQ的最小值为（） A．B．2C．3D．2 2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（） A．8B．6C．4D．2 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（） A．3B．4C．5D．6 4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（） A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（） A．15B．30 C．45D．60 6．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（） A．6B．5C．4D．3 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11B．5.5C．7D．3.5 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED ＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（） A．①②④B．①②③C．②③④D．①③ 9．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥