目录
将军饮马模型 (3)
模型1：直线与两定点 (3)
模型2/角与定点 (10)
模型3两定点一定长 (15)
第十二章辅助圆 (20)
模型1 共端点，等线段模型 (20)
模型2 直角三角形共斜边模型 (23)
半角模型 (32)
模型实例 (33)
8字模型与飞镖模型 (50)
模型1：角的8字模型 (50)
模型2：角的飞镖模型 (54)
模型3 边的“8”字模型 (57)
模型4 边的飞镖模型 (58)
中点四大模型 (63)
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (63)
模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (66)
模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (71)
模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (78)
二次函数 (85)
圆中的辅助线 (91)
模型1 连半径构造等腰三角形 (91)
模型2 构造直角三角形 (94)
模型3 与圆的切线有关的辅助线 (100)
相似模型 (111)
模型1：A、8模型 (111)
模型2 共边共角型 (116)
模型3 一线三等角型 (121)
模型4 倒数型 (127)
模型5 与圆有关的简单相似 (132)
模型6 相似和旋转 (136)
1.2空间几何体的三视图和直观图 (145)
1.3 空间几何体的表面积与体积 (145)
手拉手模型 (147)
模型手拉手 (147)
三垂直全等模型 (158)
模型三垂直全等模型 (158)
蚂蚁行程 (170)
模型立体图形展开的最短路径 (170)
截长补短辅助线模型 (180)
模型：截长补短 (180)
角平分线四大模型 (192)
模型1 角平分线的点向两边作垂线 (192)
模型2 截取构造对称全等 (194)
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 (198)
模型4 角平分线+平行线 (200)
将军饮马模型
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点
模型 作法 结论
l
B
A
当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA ＋PB 最小．
l
P
A
B
连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．
PA ＋PB 的最小值为AB
l A
B
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA ＋PB 最小．
l
P
B'
A
B
作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．
PA ＋PB 的最小值为AB '
l A
B
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直
线l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l
P
A
B
连接AB 并延长交直线l 于点
P ，点P 即为所求作的点．
PA PB -的最大值为
AB
l
A
B
当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线
l 上找一点P ，使得PA PB -最大．
l
B'
A
B
P
作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点
P ，点P 即为所求作的点．
PA PB -的最大值为
AB '
l A
B
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直
线l 上找一点P ，使得PA PB -最小． l
P
A
B
连接AB ，作AB 的垂直平分线
交直线l 于点P ，点P 即为所
求作的点．
PA PB -的最小值为0
模型实例
例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．
E
B
C A
D
P
解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，
∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为3∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23．∴PD ＋PE 的最小值为3
例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动
点，则PA PB
的最大值是多少？
D
P
P
A'
B
解答：
如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．
∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．
∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习
1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．
D
A
C
B E
解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，
此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．
连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '5EC+ED 5 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．
x
y
B (2,0)A (0,3)
O
解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．
当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．
设直线BA ′的解析式y=kx+b ，将点B 和点A ′的坐标代入得：k ＝
34，b ＝?3
2
． ∴y=
34x-3
2
． 将x=3代入函数的解析式，∴y 的值为
34
3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝7，M 是DC 上的一点，且DM ＝3，N 是AC 上的一动点，求|DN －MN |的最小值与最大值．
C A N
解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3
P
B O
A
Q
点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形
PQDC 周长最小．
分别作点P 、Q 关于OA 、
OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于
点C 、D ，点C 、D 即为所求．
PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′
Q ′，所以四边形PQDC 周长
的最小值为PQ ＋P ′Q ′
模型实例
如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
解答
如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、
O
B
A
P
OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .
EQ OP =，FR RP =．
△PQR 的周长的最小值为EF 的长.
由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．
10EF OE OP ===．
即△PQR 周长最小值为10.
模型2/角与定点 1．已知，40MON
°?，P 为MON D内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，
当△PAB 的周长取最小值时： (1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；
(2)求此时APB D等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？
O
N
M
P
1.解答
（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点
A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．
（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，
∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．
O
N
E
2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．
A D B
M
N
2．解答
如图，作点A 关于BC 的对称点A '，关于CD 的对称点A ''，
连接A A '''与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ．此时△AMN 周长最小． ∵∠BAD =110°，∴∠A '+∠A ''=180°-110°=70°． 由轴对称的性质得：∠A '=∠A AM '，∠A ''=∠A AN ''， ∴∠AMN +∠ANM =2(∠A '+∠A '')=2×70°=140°．
3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD CD BC ++最小，并求直 线CD 的解析式及点C 、D 的坐标．
3．解答
作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC
++最小．
由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．
易求得直线A B''的解析式为2
=-+．
y x
y x
=-+，即直线CD的解析式2当0
x=，∴点C坐标为（2,0）．
y=时，2
当0
x=时，2
y=，∴点D坐标为（0,2）．
4．如图，20
MON°
?，A、B占分别为射线OM、ON上两定点，且2
OB=，
OA=，4点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ PQ PB
++
的最小值是多少？
O
N
B
4．解答
作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．
则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，
4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=?． 60A OB ''∠=?．
作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中， ∴1OD =
，A D '=∴413B D '=-=
，A B ''=∴AQ PQ PB ++
的最小值是
模型3两定点一定长
模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点
(M在左)，使得AM＋MN＋NB 最
小，且MN＝d. 将A向右平移d个单位到A′，作A′
关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交
于点N，将点N向左平移d个单位即为
M，点M，N即为所求.
AM＋MN＋
NB的最小
值为A"B
＋d
B
A
l
M N
A′
A"
B
A
l
d
如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，
在l1、l2分别找M、N两点，使
得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最
小．
将A向下平移d个单位到A，连接A′B交
直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接
AM.点M、N即为所求．
AM＋MN＋
NB的最小
值为A'B
＋d.
例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正
半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．
解答：
如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连
接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.
理由：
A
B
l2
l1
A′
N
M
A
B
l2
l1
∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "
设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，
得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝3
2x －5．
令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(4
3，0)．
练习
1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标．
解答：
(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．
∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).
设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2. 利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，
∴△CDE 周长的最小值为
13＋3
5．
(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．
理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，
∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，
得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(2
3
，0)．
2．村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？
解答：
设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，
则A→C1→C2→B为最短路线，即A与B之间的距离最短
.
A
B l2 l1
第十二章 辅助圆
模型1 共端点，等线段模型
图①
O A
C B
图②
B
O
C A
图③
O
A
B
C
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝1
2∠BOC .
模型分析
∵OA ＝OB ＝OC .
∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．
∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． ∵∠ACB 是?AB 的圆周角，∠AOB 是?AB 的圆心角，
∴∠ACB ＝1
2∠AOB .
同理可证∠BAC ＝1
2
∠BOC .
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆． （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例
几何综合题 一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
2、正方形中的基本图形 3、基本辅助线 （1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】* （2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】* （3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移 ．．．． ——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见(一)7】 作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数
中考直通车·数学广州分册 第八章专题拓展 第24讲常见几何模型
【考点解读】 常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。 【考点分析】 2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。 2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。 【模型介绍】 手拉手模型： 1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ， 【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠
C D A B F E C D 2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。 【结论】 （1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？ 旋转模型： 一、邻角相等对角互补模型 【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】45ACB ACD BC CD ? ∠=∠=+= ① ② 二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等 F E D C B A G F E D C B A A C D E A C D E F
初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
中考数学几何模型2：共顶点模型 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ?△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分 例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ． （1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
变式练习>>> 1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°． （1）求证：BD=AE． （2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积． 例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.
变式练习>>> 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点． 例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF. (1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈
中考必考几何模型（猿辅导） 最 新 讲 义
相似模型 模型1：A、8模型 已知∠1＝∠2 结论：△ADE∽△ABC 模型分析 如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形． 模型实例 【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证： 1 2 OF OE OD OA OC OB ===． 解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴ 1 2 DE BC =．，DE//BC ∴△EOD∽△COB（8模型）∴ 1 2 OE DE OC BC ==．同理： 1 2 OF OA =， 1 2 OD OB =． ∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===．
证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴ 1 2 GF BF AD BC ==． ∵AD＝CD， ∴ 1 2 GF AD =．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型） ∴ 1 2 OF GF OA AD ==．同理 1 2 OE OC =， 1 2 OD OB =．∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===． 【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G， 延长BF交CD的延长线于H，若AF DF ＝2，求 HF BG 的值． 解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD． 设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A ∴ 1 2 HD DF HF AB AF FB ===，∴HD＝1．5a， 1 3 FH BH =，∴FH＝ 1 3 BH ∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴ 1.53 24 HG HD a GB EB a ===，∴ 4 7 BG HB = ∴BG＝4 7 HB，∴ 1 7 3 412 7 BH HF BG BH == 跟踪练习： 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
一轮复习—中考几何解决方案 1.三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+262 D 、b a L b a 23+>>- 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ） A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24 C 、5＜AB ＜19 D 、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。 略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE ∴∠D ＝ 21∠ABC ，∠E ＝2 1 ∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝2 1 （∠ABC ＋∠ACB ）＝530 ∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。 （1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠BPC ＞∠A ； （2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。 n m ? l l 问题一图 C B A C A 分析与结论： （1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ； （2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点Q 应在弓形A m B 和A n C 内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。 【问题二】如图，已知P 是等边△ABC 的BC 边上任意一点，过P 点分别作AB 、AC 的垂线PE 、PD ，垂足为E 、D 。问：△AED 的周长与四边形EBCD 的周长之间的关系？ 分析与结论： （1）DE 是△AED 与四边形EBCD 的公共边，只须证明AD ＋AE ＝BE ＋BC ＋CD （2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝600 例2图 E D C B A A
半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．
中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行线延长相交 A B C D E A B C D E F E D C B A 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 G A B C D E F A B C D E 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明． 图3 图2图1 A C D E F G D E F G C D E G A B B F C B A 【解答】 （1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝ 注意G 的两端点D 、E 所在的直线DC ∥FE
F A （2）延长CG 交AB 于点I ， 易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC ，且GE ⊥GC A F （3） E J 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF . （1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG . G F E D C B A 【解答】 （1）证明△ABE ≌△ADF 即可； （2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可 为什么是证明△BCE ≌△FIE 你理解吗？ 你能写出解题思路和过程吗？ 类似的为什么要延长CG 呢，可以延长EG 吗？
几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图
A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C
G F E D C B A M 证明题 1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD⊥BC，垂足是D ，AE 平分∠BAD，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF ； （2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。 求证：（1）AF ＝CG ； （2）CF ＝2DE 3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC。 （1）求证：OE=OF ； （2）若BC=23，求AB 的长。 4.已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．
5.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。 （1）如图1，若点H是AC的中点，AC= 23 ，求AB，BD的长。 （2）如图1，求证：HF=EF。 （3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。 6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE． （1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长； （2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G． ①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE； ②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变， 如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由． 7.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点F. （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证： 1 CF 2 BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：3() BE CF BE CF +=-. 8.已知在四边形ABCD中，180 ABC ADC ∠+∠=?，AB=BC. A B F D C E 25 B A F D C E G 25 A F D C E G 25
2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是()
A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是
（ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ····
一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上， 五大模型
E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。 四、相似模型 相似三角形性质： 金字塔模型 沙漏模型
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②
地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难 如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3） 点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.
1.三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+262 D 、b a L b a 23+>>- 变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ） A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24 C 、5＜AB ＜19 D 、9＜AB ＜19 【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 一、填空题： 1、三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 。 2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝ 度。 4、如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝ 。 5、如果△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则与∠A 相等的角是 。 6、如图，在△ABC 中，∠A ＝800，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC ＝ 。 7、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝ 。 8、纸片△ABC 中，∠A ＝650，∠B ＝750，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。 第6题图 F E D C B A 第7题图 E D C B A 第8题图 A 二、选择题： 1、若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ） A 、7 B 、11 C 、7或11 D 、不能确定 2.全等三角形 知识考点： 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。 例2图 E D C B A
目录 将军饮马模型 (3) 模型1：直线与两定点 (3) 模型2/角与定点 (10) 模型3两定点一定长 (15) 第十二章辅助圆 (20) 模型1 共端点，等线段模型 (20) 模型2 直角三角形共斜边模型 (23) 半角模型 (32) 模型实例 (33) 8字模型与飞镖模型 (50) 模型1：角的8字模型 (50) 模型2：角的飞镖模型 (54) 模型3 边的“8”字模型 (57) 模型4 边的飞镖模型 (58) 中点四大模型 (63) 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (63) 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (66) 模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (71) 模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (78) 二次函数 (85) 圆中的辅助线 (91) 模型1 连半径构造等腰三角形 (91) 模型2 构造直角三角形 (94) 模型3 与圆的切线有关的辅助线 (100) 相似模型 (111) 模型1：A、8模型 (111) 模型2 共边共角型 (116) 模型3 一线三等角型 (121) 模型4 倒数型 (127) 模型5 与圆有关的简单相似 (132) 模型6 相似和旋转 (136) 1.2空间几何体的三视图和直观图 (145)
1.3 空间几何体的表面积与体积 (145) 手拉手模型 (147) 模型手拉手 (147) 三垂直全等模型 (158) 模型三垂直全等模型 (158) 蚂蚁行程 (170) 模型立体图形展开的最短路径 (170) 截长补短辅助线模型 (180) 模型：截长补短 (180) 角平分线四大模型 (192) 模型1 角平分线的点向两边作垂线 (192) 模型2 截取构造对称全等 (194) 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 (198) 模型4 角平分线+平行线 (200)
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4