(图16.6a )一束水珠穿过单缝
（图16.6b ）一束光子穿过单狭缝
§16.6 测不准原理
在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点．
（一）宏观质点的位置坐标与动量的关系
在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用
位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述．已知
一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性
质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和
动量，以及任一段时间内的运动轨道．
看一个简单的例子，如（图16.6a ），设有一高压
水枪，射出一束水注，沿着y 轴方向，垂直投射在一
个宽为b 的单缝中．这束水珠穿过单缝后，冲击在垂直于y 轴的屏上Q 0点附近．（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）．当缝
的宽度b 缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的．当缝的宽度b 增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的．但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响．这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致．
（二）光子的位置坐标与动量的关系
如（图16.6b ），设有一束光子穿过宽度为a 的单狭缝．在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹．这就是第三篇§12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果．
如（图16.6b ），设Q 1与Q －1为此单缝衍射条
纹的第一级极小位置，则Q 1至Q －1范围内便是中央
亮纹的位置．光波的大部分能量投射在中央亮纹，
也就是说，穿过狭缝的光子，大多数到达中央亮纹．
设Q 1所对应的偏角为1?，此束光子的波长为
λ，则按单缝衍射公式可得如下关系：
〔单缝衍射第一级极小位置的偏角1?〕 a sin 1?=
λ （16.6.1）
此式表明：a 值较小，则1?值较大．也就是说，当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较大．
从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况．在进入狭缝时，光子的动量都等于p ，方向都与y 轴一致，即y p p
=、0p x =．穿过狭缝射向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角－1?到1?范围内．也就是说，从狭缝穿出的光子，它们的动量的x 轴分量x p ，其数值的分布范围为0≤x p ≤p sin 1?．光子的x p 值之间的最大差值△x p =p sin 1?－0=p sin 1?．此△x p 称为x p 的测不准量．如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则x p 的测不准量△x p 的关系式应写成：△x p ≥p sin 1?．
光子在狭缝中的位置坐标x 之间的最大差值△x ，显然等于缝宽a ．也就是说，x 的测不准量△x=a ．
????????x p x 与测不准量 λ=?≥????≥?=?p s i n
p p x s i n p p ,x 1x 1x a a )3.6.16()2.6.16( 最后一式用到（16.6.1）式：a sin 1?=λ．
按德布罗意公式（16.1.5），p=h/λ，可将（16.6.3）式写成：
〔△x 与△x p 的测不准关系〕 △x ·△x p ≥p λ=h （16.6.4）
现在强调一下这个测不准关系式的重要意义．此式表明，△x 很小时，△x p 很大，△x 与△x p 的乘积必定大于常量h ．这就是说，如果缩小狭缝的宽度a ，使得穿过狭缝光子的位置测不准量△x 缩小，则必定使得这些光子的动量分量测不准量△x p 增大．简单地说，光子的坐标x 测得越准确．它的动量分量x p 就测得越不准确．
反过来，如果增大狭缝的宽度a ，按（16.6.1）式可知，a 增大，则1?、sin 1?、x p 和△x p 都会缩小．a 增大，△x=a 也增大．这表明，光子的动量分量x p 测得准确，它的坐标x 就测得不准确．
（三）海森伯的测不准关系（或称不确定关系）
如果用电子束代替上述的光子束，令电子束通过相应的单狭缝，也可测到电子波的单狭缝衍射条纹，也可从电子的波粒二象性关系式，导出测不准关系式（16.6.4）．
由于微观粒子都具有波粒二象性，因此，测不准关系式（16.6.4）对所有微观粒子都适用．
比较（图16.6a ）与（图16.6b ）可知，测不准关系式（16.6.4）不适用于宏观质点．对宏观质点，可同时准确测定它的位置坐标与动量，可应用轨道的概念描述它的运动．宏观质点不具有波粒二象性，它的运动可用经典力学描述．
测不准关系式（16.6.4）乃是只讲数量级的估算式子，式子中的普朗克常量可用h ，也可用 =h/2π表示．这个关系式不限于单狭缝衍射的简单例子，它可推广于微观粒子的一般运动情况：
???测不准关系微观粒子的16.6.5） 这就是1927年初，德国年青物理学家海森堡提出的测不准原理?．有的课本称上式为不确定度关系．
（四）微观粒子的能量与时间的测不准关系
设想有一束微观粒子，沿x 轴自由运动，其动量为p ．按测不准关系式（16.6.5）可知：
△x ·△x p ≥ , x p p = （16.6.6）
设此自由微粒的速度v < v < 此式代入（16.6.6）式得： △x ·△p=△x ·△E/v =△t ·△E ≥ 〔微观粒子的能量与时间的测不准关系〕△E ·△t ≥ （16.6.7） 这个结论表明，微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量．比方说，氢原子在激发态的时间为10－8秒，可认为它的时间测不准量△t=10－8秒．代入（16.6.7）式便可得到 ?《英汉物理学词汇》367页，科学出版社1975年版． 它的能量测不准量△E： △E≥ /△t=1.05×10－34/10－8=1.05×10－26焦耳． 这就是说，能量测不准量△E大于10－26焦．在（表15.3a）已列出，可见光光子的能量约为10－19焦．因此，氢原子发出的光谱线必定有一定的宽度．这结论已为实验所证实．（五）量子力学发展的艰辛历程?? 1900年，普朗克为了从理论上说明热辐射的实验结果，提出了能量子的假设．这是牛顿以后自然哲学所经受的最巨大、最深刻的变革．从此以后人们不断地、严谨地探索微观粒子的客观性质．微观粒子的波粒二象性，它的波函数可表达几率密度，它的波动方程可导出四个量子数，它的位置坐标与动量、它的能量与时间都具有测不准关系，这一些主要结论互相一致，并都能纳入系统严密的量子力学中去． 但是由于经典物理的辉煌成就，经典概念的深入人心，量子力学的发展过程是相当艰辛的．普朗克提出量子假设后，徘徊观望十几年，他企图把量子假设与经典理论调和起来，他首先起来反对爱因斯坦勇敢地推广量子理论． 爱因斯坦是20世纪物理学两大重要发现（量子论与相对论）的元勋，是最受人们尊重的天才之一．但他与玻尔对量子力学的争论，是物理学史上持续时间最长、争论最激烈和最富有哲学意义的争论之一．玻尔是哥本哈根（丹麦首都）学派的领导人，他身边集结了一批极有才华的年青人，例如对波函数提出统计解释的玻恩，对微粒运动提出测不准关系的海森伯等．玻尔曾经提醒爱因斯坦，位置与动量、能量与时间的测不准关系，与他的相对论所说的时间要随运动系统而确定一样，都是人们不熟悉的客观规律．然而，爱因斯坦仍然认为一种完备的理论应该是决定论的，不应该用几率和测不准关系来表达微粒的运动．他多次设计理想实验，想证明测不准原理有错误，可是这些实验却证明测不准原理并无错误．由于对大多数学者接受的、哥本哈根学派量子理论的解释深感不满，爱因斯坦晚年，将自己置身于物理学发展的主流之外，一个人孤独而又艰难的跋涉着． 哥本哈根学派的量子理论解释，也不是完美无缺的．物理学总要不断地向前发展，人类对自然规律的认识过程，总是不平坦的． 〔例题16.6A〕 试比较电子和质量为10g的子弹，在确定它们的位置时的不准量△x e和△x b．假定它们都沿x方向、以v=200m·s－1的速度运动，速度的测量误差在0.01%以内．〔解〕（1）由于v< 按题意，此电子的速度不准量 △v=0.01%×v =10－4×200=2×10－2m/s， 此电子的动量不准量△e p=m e△v=18.2×10－33kg·m/s． △v比v小得多，△e p也比e p=m e v小得多． 代入测不准关系式（16.6.5）可得： △x e≥ /△e p=1.05×10－34/18.2×10－33=5.77×10－3m． 已知原子的大小为10－10m数量级，上述电子的位置测不准量△x e比原子约大107倍．可知此电子的△e p较小，△x e就较大．此电子的动量测得准，位置就测不准．（2）按题意所述子弹的动量测不准量△b p可计算如下： ?杨建邺、止戈编著《杰出物理学家的失误》113—115，136—142页，1986年版． ?周世勋编《量子力学》399—405页，1961年版． △b p=m b△v=10×10－3×2×10－2=2.0×10－4kg·m/s． 按测不准关系式（16.6.5），可求得此子弹的位置测不准量△x b： p 1.05×10－34/2×10－4=5.25×10－31m． △x b≥ /△ b 可知此子弹的△x b与△b p都很小，子弹的x b与b p可同时准确地测量．子弹是宏观物体，不具有波粒二象性，不受微观粒子测不准关系式（16.6.5）的限制． 〔例题16.6B〕 已知原子核线度的数量级为10－14米．假设电子被束缚在原子核内，试应用测不准关系估算此电子的动能有多大? 〔解〕电子如果在原子核内，电子的位置不准量可认为是△x=10－14米．按照测不准关系式（16.6.5），此电子的动量不准量△p≥h/△x，即 △p≥h/△x=6.63×10－34/10－14=6.63×10－20千克·米/秒．此电子的动量p不应小于△p，即 p≥△p≥6.63×10－20千克·米/秒． 按狭义相对论公式（见第一编〔附录4F〕）有： 总能ε2=c2p2+20E，动能E k=ε－E0． 由于cp≥3×108×6.63×10－20=1.99×10－11焦． 此电子的静能 E0=m0c2=9.1×10－31×9×1016=8.22×10－14焦． 此静能E0远小于cp值，因此可略去E0，求得此电子的动能E k： E k=ε=cp≥1.99×10－11焦=124兆电子伏特． 已知氘核的结合能为△E D=2.23兆电子伏特?．上述电子的动能E k远大于△E D值，此电子会把氘核打碎．可知把电子关闭在一些原子核中是不可能的． ?程守洙、江之永主编《普通物理学》第三册（第三版）373—375页，1979年版． 南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届） 题目： 院（系、部）： 专业： 姓名： 学号 指导教师： 南京师范大学泰州学院教务处制 目录 1.引言 (5) 2、测不准关系的理论背景 (5) 2.1 粒子的波动性 (5) 2.2波的粒子性 (6) 3．测不准关系式的简要导出 (7) 3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7) 3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7) 3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7) 3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。 (7) 4 对测不准关系的认同与争议 (9) 4．1对测不准关系的争议 (9) 4.1.1统计解释与非统计解释 (9) 4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9) 4.1.3关于名称和译名的争议 (10) 4．2对有争议问题的讨论 (10) 4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10) 4.2.2某些力学量测不准的原因 (11) 4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11) 5 测不准关系的应用 (11) 5.1无限深势阱问题 (12) 5.2 线性谐振子问题 (13) 5.3 氢原子问题 (15) 结语 (16) 谢辞 (17) 参考文献 (17) 摘要 测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。 本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值. 关键词：测不准关系；量子力学；估算 学号：20125041015 课程论文 学院：物理电子工程学院 专业：物理学 年级：2012级物理学班 姓名：坤 论文题目：测不准关系的理论推导 成绩： 2016 年 1 月 2 日 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1.引言 (1) 2.历史发展 (1) 3.测不准关系实验验证 (3) 4.相关质疑 (3) 5.意义 (4) 5.1理论意义 (4) 5.2现实意义 (4) 6.总结 (4) 参考文献 (4) 测不准关系的理论推导 学生：坤学号： 学院：物理电子工程学院专业：物理学 摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。 关键词：波粒二象性，不确定原理 1引言 测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。 2历史发展 1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。海森堡抓住云室实验中观察电 平面转子的转动惯量为I ,求其能量本征值。 现在很多书上比如教材《量子力学导论》都给出如下的求解：平面转子的哈密顿量H 为 2 22 2 22?? ?? - ==I I l H z ，能量本征方程为ψψE ?=H ，最后求得本征态()? π ?ψim m e 21=， 能量本征值为I m 2E 2 2m = ，,...2,1,0m ±±= 这是我见到过的书上给出的求解。我觉得求它的m E 时要用到的H 应该是I l H 2?2 =，这样求 出来的能量本征值才是转子全部的能量本征值，因为这和不确定关系，或则测不准有关，两 个求法最后的能量是不同的。由于lm lm Y l l Y l 2 2 )1(? +=，那样就有lm lm Y I l l Y H 2)1(?2 +=， 也就是能量本征值为I l l E l 2)1(2 += ，....2,1,0=l 。 和原来的I m 2E 2 2 m = 比较，也就是2m 和()1+l l 比较而已，而l l l l l m -+---=,1,...,2,1,。 只有当m=ｌ＝０时l m E E =才会成立。 当l m ≠时，两个能量不等。这在经典力学里不绝不可能的，在经典力学里我们知道转子的Ｚ方向的角动量z l 就是它所有的角动量，所以不管你用z l 还是l 结果都是一样的。但是在这里原本因该相等的能量却有一个小小的E ?，这是测不准原理在其作用，也是他量子话后特有的情况，首先[]I m l l I m I l l E 2)1(22)1(2 2 2 22 -+= - += ?，先来看看即使是l m =，也就 是磁量子数取到最大，I l E 22 = ?，那么这相比经典多出来的部分能量来自哪里？我个人认 为这是y x l l ,这时不为０所产生的。因为不确定关系说到底就是对易关系，在[]k ijk j i l i l l ε=,当j i ≠，也就是说我们不能同时知道三个方向的角动量中的任意两个，但我们可以同时知道2 ,l l z 因为他们是对易的。既然这样，这部分的能量其实是来自于y x l l ,，因为他们都不等于０了，而有一个很小的l ?，正是有这个小的l ?，才会有和经典能量比较后那个小小的能量的差别。2 2 m l l y x ≥ ??，当ｍ＝ｌ时，，不妨取 2 l l x = ?， 2 l l y = ?，照这样由这 物本1201班第一小组 潘荣杰，聂姝，吕舒鹏，朱建宇，韩娟，王金凤，弥倩琴，王震，张毛毛，吴松伟 测不准原理 测不准原理是误译，更严格的叫法是不确定关系。只是在描述时用了波的描述而不是用的粒子描述，对其本身的解释并不需涉及观测。量子论就是采用波函数的观点，以薛定谔方程为假设（注意是假设，就像狭义相对论的两条基本假设一样）来构建的一个理论体系，然后它能解释实验。不确定关系简单点说是：由波函数确定的一个物理对象，对其某个力学量描述本身就会弥散（比如你要说一个波在空间什么位置，其他力学量同理，当然，不考虑处在力学量本征态的情况），两个力学量弥散的程度满足不确定关系。观测的问题是量子论年代久远而尚未得到解决的问题，一般常见的解释是波函数的塌缩。也就是在测量前，系统可能处在某个力学量的本征态或者几个本征态的叠加态上，当我们对这个力学量进行测量时，波函数将塌缩到测量值所对应的本征态上（但是，一般认为，任何一个（或者说绝大多数）力学量的本征态都是完备的，可以构成希尔伯特空间的一组基，对于测量所得到的力学量本征态而言，其对其他力学量来说可能是叠加态）这是观测对系统施加的影响。是观测将一个可能态变成另一个可能态。而不确定关系是，即使不施加观测，对于处在一个态中的粒子，它的力学量也将满足不确定性关系。不确定关系中的ΔAΔB(常见点用动量－位置就是ΔpΔx)不是指观测值与实际值的偏差，而是指力学量的统计方差平方根（如果您学过统计，波函数实际确定了力学量值的分布概率，就知道由此可以完全通过统计方法的求出方差而不用通过测量）量子力学如果根基有什么不稳定的话，在于波函数的塌缩解释而不在于不确定关系。测不准原理来源于物质的二象性。既是微粒，又是波，这是微观物体表现出来的性质，所以测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。 课程论文 学院：物理电子工程学院 专业：物理学 年级： 2012级物理学班 姓名：李赵坤 论文题目：测不准关系的理论推导成绩： 2016 年 1 月 2 日 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1.引言 (1) 2.历史发展 (1) 3.测不准关系实验验证 (3) 4.相关质疑 (3) 5.意义 (4) 5.1理论意义 (4) 5.2现实意义 (4) 6.总结 (4) 参考文献 (4) 测不准关系的理论推导 学生姓名：李赵坤学号：20125041015 学院：物理电子工程学院专业：物理学 摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。 关键词：波粒二象性，不确定原理 1引言 测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。 2历史发展 1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。海森堡抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，意识到关键在于电子轨道的本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。 (图16.6a )一束水珠穿过单缝 （图16.6b ）一束光子穿过单狭缝 §16.6 测不准原理 在本教程即将结束时，再次强调微观粒子与宏观质点的不同特点． （一）宏观质点的位置坐标与动量的关系 在经典力学中，一个宏观质点的运动状态，可用 位置坐标、动量，以及运动轨道等概念来描述．已知 一质点在某时刻的坐标和动量，以及它所在力场的性 质，则可按牛顿运动定律求得它在任一时刻的坐标和 动量，以及任一段时间内的运动轨道． 看一个简单的例子，如（图16.6a ），设有一高压 水枪，射出一束水注，沿着y 轴方向，垂直投射在一 个宽为b 的单缝中．这束水珠穿过单缝后，冲击在垂直于y 轴的屏上Q 0点附近．（假设不计水珠所受重力，以及被缝的边缘阻挡的水珠）．当缝 的宽度b 缩小一些时，通过缝的水珠的位置总的来说都是互相接近一些的．当缝的宽度b 增大一些时，穿过缝的水珠的位置却是互相离开一些的．但是，不论缝中水珠的位置互相接近或离开，对它们的动量的大小和方向不会有影响．这是我们的常识可以得出的结论，也与经典力学一致． （二）光子的位置坐标与动量的关系 如（图16.6b ），设有一束光子穿过宽度为a 的单狭缝．在屏上相当宽的范围，将出现衍射条纹．这就是第三篇§12.5所说的光的单缝衍射条纹，这是光的波粒二象性应有的结果． 如（图16.6b ），设Q 1与Q －1为此单缝衍射条 纹的第一级极小位置，则Q 1至Q －1范围内便是中央 亮纹的位置．光波的大部分能量投射在中央亮纹， 也就是说，穿过狭缝的光子，大多数到达中央亮纹． 设Q 1所对应的偏角为1?，此束光子的波长为 λ，则按单缝衍射公式可得如下关系： 〔单缝衍射第一级极小位置的偏角1?〕 a sin 1?= λ （16.6.1） 此式表明：a 值较小，则1?值较大．也就是说，当光子通过狭缝时，彼此的位置比较靠近，则它们射到屏上的分散范围就比较大． 从光子的动量变化，也可看出它们的衍射情况．在进入狭缝时，光子的动量都等于p ，方向都与y 轴一致，即y p p =、0p x =．穿过狭缝射向中央亮纹的光子，它们的方向分散在偏角－1?到1?范围内．也就是说，从狭缝穿出的光子，它们的动量的x 轴分量x p ，其数值的分布范围为0≤x p ≤p sin 1?．光子的x p 值之间的最大差值△x p =p sin 1?－0=p sin 1?．此△x p 称为x p 的测不准量．如果考虑到还有光子会射到中央亮纹以外，则x p 的测不准量△x p 的关系式应写成：△x p ≥p sin 1?． 光子在狭缝中的位置坐标x 之间的最大差值△x ，显然等于缝宽a ．也就是说，x 的测不准量△x=a ． 学生：李洋学号：2014524019 不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”、“不确定关系”。傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f（x）与F（k）构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。海森堡证明，对易关系可以推导出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性：不能同时观测任意两个不对易的变量；更准确地知道其中一个变量，则必定更不准确地知道另外一个变量。该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理： 一个长度为N 的离散信号中有a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么a+b ≥ 2√N。也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。但是借助不确定性原理，却正可以做到这一点！原因是我们关于原信号有一个「很多位置是零」的假设。那么，假如有两个不同的信号碰巧具有相同的K 个频率值，那么这两个信号的差的傅立叶变换在这K 个频率位置上就是零。另一方面，因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零，它们的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理（一个函数不能在频域和时空域都包含很多零）告诉我们，这是不可能的。 在传统的信号理论中，频域空间和原本的时空域相比，信息量是一样多的，所以要还原出全部信号，必须知道全部的频域信息，就象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。我的理解：测量物必然改变被测物，在微观世界的测量，改变值无法忽略，物质是否具有确定性是不可知的。不确定性原理是世界自身存在的原理，与测量与否没有关系。 王老师，我所研究的领域是微弱信号检测，研究传感器自身噪声，并且通过仿真模拟。 领域相关期刊：电子学报 不确定性原理的理解及应用 姓名： 班级： 学号： 摘要：不确定性原理作为量子力学中的一个重要组成部分，从海森堡提出至今一直受到各方争论和质疑。本文主要介绍不确定性原理的简单理解以及应用，对初学者理解不确定性原理是很有帮助的。 关键词：测量，准确性， 正文： 1.引言： 唯物主义告诉我们：物质是不依赖于人的意识的客观存在；时间的本质是物质而不是意识；先有物质后有意识；意识只不过是物质在人脑中的客观反映而已。这些都是正确的观念。然而随着二十世纪自然科学的发展，尤其是人们在探索微观世界发现了新的规律，被某些唯心主义者引用来向唯物主义的基本观点发难。其中倍受争议的是著名物理学家海森堡的“不确定性原理”。 2. 不确定性原理的介绍： 不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”、“不确定关系”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π（h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。【1】 3：不确定性原理的发现： 1927年，海森堡在经过长期的探索后提出了不确定性原理。他对此原理的解释是：设想一个电子，要观测到它在某个时刻的位置，则须用波长较短、分辨性好的光子照射它，但光子有动量，它与波长成正比，故光子波长越短，光子动量越大，对电子动量的影响也越大；反之若提高对动量的测量精度，则须用波长较长的光子，而这又会引起位置不确定度的增加。因而不可能同时准确地测量一个微观粒子的动量和位置，原因是被测物体与测量仪器之间不可避免的发生了相互作用。 人们习惯于对物体运动轨迹的准确描述，大到天体如何运行，小到微尘如何飞扬。这种认识必须基于对物体能够准确定位。为了预测一个物体的运动状态，必须准确测量它的位置和速度。测定必须施加一个物理作用于作为被测对象的物体之上，这在任何一种测量中都无法幸免。显然，对在微观粒子尺度空间的测量方法用光照最合适。然而，光照是无法把粒子的位置确定到比光的波长更小的程度的。为了测定的准确，必须用更短波长的光，这意味着光子的能量更高，这样测定对粒子速度的扰动将很厉害。因此，不能同时准确的测定粒子的位置和速度。事实上，宏观世界和微观世界都受到不确定性原理的制约，只不过对宏观物体的测量，一定波长的光已经足够精确，且扰动对其速度的影响小到远远无法计较。 从测不准原理到测量不确定度 为了评定测量结果的质量如何，要用测量不确定度来描述。ISO/IEC导则25指明实验室的每个证书或报告，必须包含有关评定校准或测试结果不确定度的说明，当我们给出测量结果时，应根据需要给出测量不确定度。本文从历史的角度简单介绍从测不准原理到测量不确定度的使用过程。 1927年，德国物理学家海森堡(Heisenberg·Werner，1901—1976)提出了测不准关系，即测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是ΔX，同时得出其动量也有一个不确定范围ΔP，那么ΔP和ΔX的乘积总是大于一定的数值，表示为ΔP·ΔX≥h/2。 这里h=h/2π，h为普朗克常数，等于6.626×10-34焦耳·秒。 这个测不准关系表明，如果要对物体的动量进行非常精密地测定，即ΔP→0，那么位置就非常不确定，即ΔX→∞。反之，要位置精密测定，动量就非常不确定。 测不准关系同样存在于能量与时间、角动量与角位移之间。测不准关系是一个普遍原理，凡是经典力学中共轭的动力变量之间都有个关系式。测不准原理是物质的客观规律。对微观粒子不可能如经典力学的要求，既可以知道它的准确位置，又同时知道它的动量确定值。对微观物体位置的描述是说它处于某一位置的几率，在它可能出现的空间中，有一个位置几率的分布，符合统计物理规律。 在海森堡提出了测不准关系(又称不确定度关系)之后，许多学者相继使用不确定度一词，但其概念不明，含义不清。1970年以来，各国计量部门也逐渐使用不确定度来评定测量结 果，由于对不确定度的分类、处理和表述有许多争论，使用方法也多种多样、比较混乱，使得各国在相互利用成果时极为困难，并给各国测量结果的比较带来不便。 1980年，国际计量局在征求各国意见的基础上，提出了不确定度建议书INC-1(1980)，基本上对其作了完整的描述。1993年，国际标准化组织等7个国际组织共同发表了《测量不确定度表达指南》(简称《ISO指南》)，对不确定度的评定与表示有了统一的国际标准，并使不确定度的研究和应用进入了一个新阶段。 测量不确定度的定义为:测量结果带有的参数，用以表征合理赋予被测量的值的分散性。表征分散性的参数可以是标准差或标准差的给定倍数，或者置信水准的区间半宽度。这是一个完全可以操作的最新定义，将测量结果的分量标准不确定度分为A类或B类进行评定，它们合成后即可得合成标准不确定度，于是表征测量结果的参数——不确定度即可求出。 10.6测不准原理和互补原理的提出 测不准原理也叫不确定原理，是海森伯在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。 海森伯在创立矩阵力学时，对形象化的图象采取否定态度。但他在表述中仍然需要“坐标”、“速度”之类的词汇，当然这些词汇已经不再等同于经典理论中的那些词汇。可是，究竟应该怎样理解这些词汇新的物理意义呢？海森伯抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，可是没有成功。这使海森伯陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，水滴远比电子大，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。这就是海森伯对不确定性最初的思考。据海森伯晚年回忆，爱因斯坦1926年的一次谈话启发了他。爱因斯坦和海森伯讨论可不可以考虑电子轨道时，曾质问过海森伯：“难道说你是认真相信只有可观察量才应当进入物理理论吗？”对此海森伯答复说：“你处理相对论不正是这样的吗？你曾强调过绝对时间是不许可的，仅仅是因为绝对时间是不能被观察的。”爱因斯坦承认这一点，但是又说：“一个人把实际观察到的东西记在心里，会有启发性帮助的……在原则上试图单靠可观察量来建立理论，那是完全错误的。实际上恰恰相反，是理论决定我们能够观察到的东西……只有理论，即只有关于自然规律的知识，才能使我们从感觉印象推论出基本现象。”① 海森伯在1927年的论文一开头就说：“如果谁想要阐明‘一个物体的位置’（例如一个电子的位置）这个短语的意义，那么他就要描述一个能够测量‘电子位置’的实验，否则这个短语就根本没有意义。”海森伯在谈到诸如位置与动量，或能量与时间这样一些正则共轭量的不确定关系时，说：“这种不确定性正是量子力学中出现统计关系的根本原因。” 海森伯测不准原理是通过一些实验来论证的。设想用一个γ射线显微镜来观察一个电子的坐标，因为γ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，所用光的波长λ越短，显微镜的分辨率越高，从而测定电子坐标不确定的程度△q就越小，所以△q∝λ。但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长λ越短，光量子的动量就越大，所以有△p∝1/λ。经过一番推理计算，海森伯得出：△q△p＝h/4π。海森伯写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。” 海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E就越小。再加上德布罗意 海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。 不确定原理 海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动．1926年薛定谔（Schrodinger ）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价．实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象．电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系．紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布．认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础．使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道的概念，那又怎么解释威尔逊 （C.Wilson ）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein ）表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的．实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”[7]．在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写．在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下．对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：[8] ?? ????-?=22)(2exp )(q q q δψ常数 （11） 其中δq 是高斯凸包的半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围．粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（δq ＝q q ??,2为标准偏差）。按照交换理论，动量分布应为2)(p ?，其中)(p ?通过傅里叶变换得出： dq q h ipq p )(2exp )(ψπ??∞ ∞??? ??-= （12） 或 ()()dq h q p h q ip q q p ???? ??-???????????? ??+-=?∞ ∞-222222ex p 221ex p δπδπδ? （13） 令 y h q ip q q =+δπδ2 积分．海森堡得到 近代量子物理中提出一条测不准原理。 电子书阅读器之家转载 量子力学关于物理量测量的原理。它反映了微观客体的特征。该原理是德国物理学家W.K.海森伯于1927年通过对理想实验的分析提出来的，不久就被证明可以从量子力学的基本原理及其相应的数学形式中把它推导出来。根据这个原理，微观客体的任何一对互为共轭的物理量，如坐标和动量，都不可能同时具有确定值，即不可能对它们的测量结果同时作出准确预言。对于两个正则共轭的物理量P和Q，一个量愈确定，则另一个量的不确定性程度就愈大。时间和能量之间，也存在类似的关系。 测不准原理突破了经典物理学关于所有物理量原则上可以同时确定的观念。但在对它的进一步理解上，在物理学家和哲学家中存在着不同的看法。其中，在对其物理根源的理解方面主要有两类看法：一类认为，该原理所反映的是单个微观粒子的特征，是对于它的一对正则共轭变数共同取值的限制，其不确定性的来源可以理解为微观体系同观察仪器相互作用的结果；另一类看法认为，它是量子系统的特征，是同时制备的大量微观体系的统计散差原则。已有的实验证据还不足以对这两种看法作出决定性的判断。在哲学的理解方面主要有3类看法:①强调微观客体所有的物理量都应具有确定值，测不准性只是人的认识不完备的表现，随着科学和技术的发展，测量所引起的干扰可以描述并从理论中排除；②测不准原理是用宏观语言描述微观实验的必然结果，由于宏观仪器对微观客体的作用不可逆地改变了微观客体的状态，因此测量的不确定性原则上不能排除；③测不准关系是微观属性的宏观度量表现，这种表现不等同于微观客体本身的属性。还有人认为，微观属性乃是某种潜在可能性的总和，测量过程使其种潜在可能性得以显示。 测不准原理说的是在实际测量中，如果用光子去探测粒子，由于光子本身的动量，势必会在“位置粗略”和“受到干扰”中选择一个，也就是当你观察到事物的时候，你已经在不可避免的改变着你的观察对象了。 奇迹是不可预知的东西里最高级的形式。然而一个问题就摆在我面前：这个世界和它的历史，到底是可知的，还是不可知的？如果可知，为什么我们永远只能逼近真实，却无法达到真实？如果说事物是无限发展的，所以认识也永远无法达到认知一切；但即便真实是孤立静止地等着人去测量，人又能准确地量度它吗？ 测不准原理说，一个微观粒子，位置测量越准确动量测量就越不准确，反之亦然。因为测量手段必定会影响它的运动。推而广之，就是一个人所皆知的事实，一切测量都不可能避免误差。更进一步，我们永远无法真正 不确定性原理 示意图 又名“测不准原理”、“不确定关系”,英文"Uncertainty principle"，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度； F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 目录 意义 理论背景 霍金谈不确定性原理 赵宁谈不确定原理 意义 理论背景 霍金谈不确定性原理 赵宁谈不确定原理 展开 编辑本段意义 该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π （h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。 编辑本段理论背景 海森伯 海森伯在创立矩阵力学时，对形象化的图象采取否定态度。但他在表述中仍然需要使用“坐标”、“速 不确定性支持向量机原理及应用 度”之类的词汇，当然这些词汇已经不再等同于经典理论中的那些词汇。可是，究竟应该怎样理解这些词汇新的物理意义呢？海森伯抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，可是没有成功。这使海森伯陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，水滴远比电子大，所 测不准原理反应了微观粒子的基本规律，是量子力学中一个重要的关系式，应用于量子力学各个方面。这篇文章介绍测不准原理的理论背景、提出和证明过程,并以测不准原理为基础，分析它的波粒二象性的本质，在理解测不准原理上要摒弃“轨道”的概念，将测不准原理应用于坐标-动量、能量-时间。微观粒子物理量做量级估算、角动量算符。将其运用到具体的典型事例的总结归纳，阐述其应用及意义。The uncertainty principle reflects the basic law of microscopic particles, which is one of the most important relationship of quantum mechanics,applied to all aspects of quantum mechanics.This article introduces the theoretical background、the proposition and the proving procedures of quantum mechanics,and analyzing its nature of wave-particle duality，which is based on the uncertainty principle, at the same time, abandoning the notion of “trajectory”,then applied the uncertainty principle to coordinate-momentum and energy-time.The physical quantity of micro-particle, make it to be the order of magnitude estimates and the angular momentum operator. Sequently, through summarizing the concrete application of the principle of uncertainty, and expounds its application and significance. 帮你改了一下，你自己再看看，原文在这： 测不准原理反应了微观粒子的基本规律，是量子力学中一个重要的关系式，应用于量子力学各个方面。这篇文章介绍测不准原理的理论背景、提出和证明过程。以测不准原理为基础，分析它的波粒二象性的本质，在理解测不准原理上要摒弃“轨道”的概念，将测不准原理应用于坐标-动量、能量-时间，微观粒子物理量做量级估算，角动量算符之间的关系，将其运用到具体的典型事例的总结归纳，阐述其应用及意义。测不准关系
测不准关系理论推导
量子力学中对易关系以及测不准原理思考
测不准原理
测不准关系理论推导
§16.6 测不准原理
不确定性原理(非平稳作业)
测不准原理的理解及应用
从测不准原理到测量不确定度
物理学史10.6 测不准原理和互补原理的提出 史
不确定原理及其它的数学推导
测不准原理概括
不确定性原理共11页
测不准原理反应了微观粒子的基本规律(1)
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