南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届）
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南京师范大学泰州学院教务处制
目录
1.引言 (5)
2、测不准关系的理论背景 (5)
2.1 粒子的波动性 (5)
2.2波的粒子性 (6)
3．测不准关系式的简要导出 (7)
3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7)
3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7)
3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7)
3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。 (7)
4 对测不准关系的认同与争议 (9)
4．1对测不准关系的争议 (9)
4.1.1统计解释与非统计解释 (9)
4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9)
4.1.3关于名称和译名的争议 (10)
4．2对有争议问题的讨论 (10)
4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10)
4.2.2某些力学量测不准的原因 (11)
4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11)
5 测不准关系的应用 (11)
5.1无限深势阱问题 (12)
5.2 线性谐振子问题 (13)
5.3 氢原子问题 (15)
结语 (16)
谢辞 (17)
参考文献 (17)
摘要
测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。
本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.
关键词：测不准关系；量子力学；估算
Abstract
The uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It showed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.
This paper focuses on the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential well, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.
Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics；estimation
1.引 言
测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。
这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2
（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥??x p x ，2 ≥??y p y ，2 ≥??z p z ，2 ≥??t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。
在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。
2、测不准关系的理论背景
微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。我们可以以两个不同方面的例子来说明。一是从粒子(电子)的波动性，二是从波(光)的粒子性。
2.1 粒子的波动性
一束动量为p 的电子通过宽为x ?的单缝后发生衍射，而在屏上形成衍射条纹。对一个电子来说，它是从宽为x ?的缝中通过的，因此它在x 方向
上的位置不确定量为x ?;忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，在x 方向有θ角偏转，表明电子通过缝时在x 方向的动量不确定量为2
1?=x p θs i n p ，第一级暗纹中心的角位置由下式决定:λθ=?sin x ，根据德布罗意公式p h =λ，得x p h ?=θsin ，则动量不确定量为21?x p =x
h ?，考虑到衍射条纹的次级极大，可得h p x x ≥??，这就是不确定关系[。
2.2 波的粒子性
1923年康普顿及后来的吴有训进行的X 射线通过物质时的散射实验，不仅有力地证明了波(光)具有粒子性，而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格地遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。
根据光子理论，X 射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。由于光子在空间至少要展开德布罗意波长λ的范围，在测定它与电子碰撞位置时的不准确度也就至少在λ的范围内。这就是说，如果用x ?来表示电子位置的不准确度，那么，x ?总是要不小于光子的波长λ，即x ?λ≥。在碰撞时，光子将动量传给电子，所传递动量的大小取决于碰撞是正碰还是斜碰。
一般来说，传给电子的动量不可能大于光子原有的动量，电子在碰撞后动量的不准确度?x p 约x p ，则有h p x x ≥??。海森伯对这一近似关系式进行了更仔细地数学分析后，发现2 ≥??x p x ，π
2h = =1.0545887x 3410-J ·S 。海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”
以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。
3．测不准关系式的简要导出
测不准关系的常见模式通常由以下四种类型导出
3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系。
如果单缝的宽度为a ，那么电子坐标不确定度x a ?=,根据衍射实验我们知道动量不确定度θsin Px Px =?,根据衍射理论有θλsin a =,因此有λθPx aPx Px x ==??sin ,得ho P x =??又因为次级衍射的存在，所以有ho P x ≥??.
3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式。
如：用一维无限深势阱中基态粒子的坐标与动量的关系可以导出测不准关系式。设势阱宽度为 a ,坐标不确定度π2/a x >?,动量不确定度a h Px 2/=?,得π4/h Px x >??
3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式。 如果算符F 和G 的对易关系为FG-GF=iK ，那么有2
^)(F ?2^)(G ?≥2^K /4而坐标和动量的对易关系为^x Px ?-^Px X=ih/2π，因此有
π2
22216/)()(h Px x ≥???，得π4/h Px x ≥??. 3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。 普朗克在解释黑体辐射的能量分布规律时提出的能量量子化：
nhv E = n=1,2,3 (2)
玻尔在氢原子理论中提出轨道量子化条件：nh P =Φπ2 n=1,2,3....
（3）
德布罗意在总结了数百年来对光和实物粒子的研究情况后提出了实物粒子的波粒二象性
hv E =
（4） λ/h p = （5）
由（2）（4）整理可得h ET =(取n=1) （6） 由（3）式整理可得h P =Φπ2(取n=1) （7） 由（5）式整理可得h P =λ （8） 在（6）（7）（8）这三式中，每一式都含有一个守恒量，即E ，P Ф，P,它们各自与对应的周期的乘积均为一个共同的常数ho,这是几个基本假定的一个共同特性。再将（6）（7）（8）与（1）进行比较得另一个共有特性，即每一个测不准关系式都有一个基本假定与之对应，即h P h q Pi =→≥??λ1
h ET h T E =→≥??
h P h L =→≥??πφφ2
并且都可以由假定的基本是简洁的得出相应的测不准关系式，下面说明一个，其他的可以类推。由：P λ=h,取其增量：
0=??+?+λλP P
λλ?=?)/(P P
式中的负号表示P 和λ这一对共轭力学量中一个增加，而另一个就必然减少。在此处我们只考虑偏差，可以不计负号，因此上式变为
λλ?=?)/(P P （9）
由量子论我们知道，与一个实际的微观物质粒子的某一力学量的增量相缔合的是一个“波包”。而实际的“波包”都可以看场是由ΔP(或Δλ)内许多个单色平面正弦波的叠加而成。
因此有：ψ（xt ）=λψλλψλ
d xt C dp xt p Cp P )()(????=
ψP λ=h 中的P.λ都为统计平均值，而任一时刻沿X 方向传播的平面波的传播增量Δx 必定为λ的整数倍。即：
λn x =? (10)
由（9）·（10）得)(λ?=???n P x p .式中的（n Δλ）代表物质波的伸长或缩短，根据量子化的特性有λλN n =?,式中的N 为整数，因此有λN P x P ?=???,而h P =λ,因此Nh x P =???.即：h x P ≥???.其余两式不再叙述。
4 对测不准关系的认同与争议
测不准关系的每一种证明方法实际上代表着一种理解。从这些不同的理解中大体可以归纳出以下几方面的问题。
4．1对测不准关系的争议
4.1.1统计解释与非统计解释
测不准关系中所说的测得精确和不精确是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系统各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？
首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布，并认为测不准关系给出了单次测量中对两个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的同时测量的解释称为非统计解释。
罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同。这种证明实际上可以说明：测不准关系对于电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。
4.1.2某些力学量测不准的原因是什么
从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把测不准的原因归结为在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动。这样的看法实际上认定，在系统被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使他们变得不确定了。
4.1.3关于名称和译名的争议
在关于量子理论基本解释的长期争论中，名词的使用也相应的出现了分歧。我国关于名词的使用方面与国外并不一致，可能是由于在我国关于量子理论解释的争论尚未普遍展开。1975年科学出版社出版的《英汉物理学名词》中，将indetem inacy 和uncertainty两个词都译成测不准。1997年科学出版社出版的《物理学名词》中，将uncertainty一词改为不确定性，并将indetem inacy 删去，此后有些国内的文献已将测不准改为不确定性。但也有一些文献或著作中仍然沿用测不准一词，表明我国有些物理学家对这一名词译法的改动保留意见，也有人提议测不准与不确定二词并用。
4．2对有争议问题的讨论
4.2.1关于统计解释和非统计解释
这一争论的焦点之一就是单个粒子是否有波动性的问题。微观粒子具有波动性，早在1927年已被戴维孙与革末的著名实验所证实。遗憾的是，这类实验结果一般都只能说明大量粒子的统计行为呈现波动性，而不能直接说明单个粒子的行为也呈现波动性。但是我们如果能从一些已有的实验结果或经过大量事实证明的量子力学公式，通过间接的方法，还是可以说明单个粒子的行为也是呈现波动性的。例如：（1）.在电子衍射实验中，如果使电子流极其微弱，电子几乎是一个一个的通过仪器，只要时间足够长，则底板上仍将出现衍射图样，在电子或中子的双缝衍射中，只要创造条件，使得在任何时刻最多只能有一个粒子处于狭缝与屏幕之间，经过一定的时间后也能在屏幕上清楚地显示出干涉的条纹，从而说明单个粒子可以自己和自己干涉，也有波动性，这也是关于量子力学基本解释问题研究的一个重要的新进展。(2)如果测不准关系对于单个粒子不适用，就可以认为单个电子能够同时具有完全确定的位置与动量值，这就会导出一些与实验事实相悖的结果。
4.2.2某些力学量测不准的原因
这方面争论的焦点是某些力学量测不准的原因是由于微观粒子本身的特性还是由于测量中的干扰，在量子力学中所说的测不准应当是指在某一状态中一个力学量F没有确定值的意思。一个力学量F是否有确定值完全取决于体系所处的状态，是否F的本征态，而不是由于测量中的干扰。可见，测不准关系成立，完全是由微观粒子本身固有的特性所决定的，并不是由于人为的测量造成的。为了证明其完全不必借助于测量时体系受到的干扰来说明。
4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题
这两个英文词的原意可能并没有原则的差别。在我国早期的书刊中，绝大多数都采用测不准一词，这可能是出于对海森堡的尊重。在1996年我国公布的《物理学名词》，将测不准改为不确定性。这是因为测不准一词并不是最恰当的选择。用测不准来表述力学量在某一状态中没有确定值这一事实，很容易产生误解。因为测不准似乎更强调测量的作用，因为测而不准，如果我们不去测，他就准了。这样的理解显然不符合测不准关系的正确含义。
此外，在其他的几种译名中，不确定度是较恰当的，由于uncertainty是个名词。不确定通常用作形容词，有事也可作为名词，但其意义不是很明确。而不确定性和不确定度两者都是名词，他们都可以表示力学量的性质。而前者更适合于用来表示不易直接用数字表示的性质，后者则更适合于用来表示可以用数字来度量的性质。因此不确定度关系是一种最恰当的选择。但当前“测不准”仍是大家最熟悉的译名.
。
5 测不准关系的应用
利用测不准关系，我们可以估算物质结构的不同层次的特征能量。
由测不准关系
?2
p?
x
=
在非相对论情况（对原子，分子，原子核适用）， μμ2/)(22p p E ?≈≈ （11）
对于原子，cm x 810-≈?m 1010-=，
用电子质量e m 代入，则有kg m e 311010908.9-?==μ，
得到 210312
3422)
102(1010908.92).100545887.1()2(2m kg s J x m E e ---?????≈?≈ eV J 41002465.619≈?≈- （12）
对于中等原子核，cm x 13106-?≈?m 15106-?=，
用中子或质子质量代入，即取kg m n 271067482.1-?==μ，
同理有 215272
3422)
1062(1067482.12).100545887.1()2(2m kg s J x m E n ---??????≈?≈ MeV J 1875.210305715.214≈?≈- (13)
在分子或原子物理中常选用eV 为能量单位，而在核物理中则用MeV 或
keV 比较方便。
对于相对论情况， x
c p c pc E ?≈?≈≈ 下面我们就通过一些基本问题来讨论测不准关系对能量的估算。
5.1无限深势阱问题 粒子在宽为2
a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。 解：2a x =? 由测不准关系2
≥??x p x ，知： ?x p a ≥
由于在束缚态中，波函数为 x a
n a x n π?sin 2)(= 粒子处于基态时，1=n ，即x a a x π?s in 2)(1= xdx a
a x a a i dx x p a a a
a x ππ??sin 2dx d sin 2)(p (x)22122x 1??--∧*== ai 2=x a xd a os x a a
a πππ?-22c sin x a d ai a
a π2cos 222?--= 0=
故得能量：
=E 221x p μ=)0(212-x p μ=)(2122x x p p -μ=2)(21x p ?μ
222a μ ≥ 即基态能量估计有下限：22
2a
μ 此即为估算结果。
5.2 线性谐振子问题
估算一维简谐振子的基态能量。
解：一维谐振子，
=∧H 2222121∧∧+x p μωμ 波函数为)(x n ψ，由于∧H 对称，有只存在束缚态，故知：
dx x dx
d x i dx x p x p n n n n )()()()(ψψψψ*∧*??== dx x n x n x i n n n )](1)([2
)(11+-*+-=?ψψαψ 由正交归一性可得
0=p
同理
=x dx x x x n n )()(ψψ∧
*?
0)]()(1)[(2111=++=-+*?dx x n x n x n n n ψψψα 于是利用测不准关系：2 ≥
??p x 得 2222121∧∧∧+==x p H E μωμ=222)(2
1)(21x p ?+?μωμ ωωωμωμ 21)()()(21)(21222222≥???=???=???≥x p x p x p 于是估计谐振子的基态能量为ω 2
1。 对于一维谐振子的基态能量也可以有另外一种解法，如下所示。
由递推公式：
]111[21
+++-=n n n n n x α
]2)2)(1()12(2)1([21
22++++++--=n n n n n n n n n x α
可得
121
0α=x ，)220(21
022+=αx 由n 的正交归一性可知，对基态，
0=x ，2221
α=x
又由导数的递推公式关系： ]111[2
++--=n n n n n dx d α ])2)(1()12(2)1([22
22n n n n n n n n n dx
d ++++---=α
12
0α i dx d i =- ， )220(202
2222-=- αdx d 所以 0=p ，2222 α=
p
所以 2)()(22 =???=??p x p x ，ωμωμ 21212~222=+x p E 这一方法与第一种方法比较，我们不难看出法一的简便易懂，而方法二虽然思路清晰，但公式记忆较繁，若有记忆不牢不清现象很易算错。所以通常采用测不准关系对其类似问题进行求解。
5.3 氢原子问题
估计氢原子的基态能量[3]。
解：氢原子 ∧∧∧
-=r e p H 2
221μ 如果只考虑基态，它可写为 ∧∧∧
-=r e p H r 2221μ ，)1(r dr d i p r +-=∧ ∧r p 与∧
r 共轭，于是 ~r p r ?? r r ~?，所以r
p r ~? r e r
r e p E r 2
22222~21--=μμ （1） 求极值则有 0=??r
E
02232=+-
r e r μ
由此得 022
a e r ==μ （玻尔半径） （2） 将（2）式代入（1）式得基态能量 24022222~
e a e a E μμ-=-02
2a e -= （3） 这里用数学分析的方法求极值，运算中作了一些不严格的代换如：r
r r 11~1=等，这在估计中是允许的。 通过
是很方便，通过理论比较，其估计值与理论值是非常接近的。
结 语
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用。测不准关系是由量子力学基本原理导出的一个重要推论，他在量子力学中占有重要的地位。
测不准关系告诉我们: 一对共轭力学量之间要同时确定其值的精确度受到一定的限制, 这种与精确值之间的差值不是误差, 而是偏差, 这不是由于实验设备的精度和实验操作人员的技术能力的高低所引起的。而是由量子理论本身所决定的, 或者说是由客观世界的物质粒子的波粒二象性这种内禀属性所决定的。因此, 所有有关量子力学的书籍或多或少都要讨论测不准原理,
测不准关系可以对量子力学中的物理量进行估算，主要可以估算各种条件下的基态能量，体现出了很强的应用意义和价值。通过测不准关系, 我们还可以估算微观世界物质结构不同层次的能量标尺, 可以鉴定原子核内无电子等等。
谢辞
本论文的完成，得益于南京师范大学泰州学院老师传授的知识，
参考文献：
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南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届） 题目： 院（系、部）： 专业： 姓名： 学号 指导教师： 南京师范大学泰州学院教务处制
目录 1.引言 (5) 2、测不准关系的理论背景 (5) 2.1 粒子的波动性 (5) 2.2波的粒子性 (6) 3．测不准关系式的简要导出 (7) 3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7) 3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7) 3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7) 3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。 (7) 4 对测不准关系的认同与争议 (9) 4．1对测不准关系的争议 (9) 4.1.1统计解释与非统计解释 (9) 4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9) 4.1.3关于名称和译名的争议 (10) 4．2对有争议问题的讨论 (10) 4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10) 4.2.2某些力学量测不准的原因 (11) 4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11) 5 测不准关系的应用 (11) 5.1无限深势阱问题 (12) 5.2 线性谐振子问题 (13) 5.3 氢原子问题 (15) 结语 (16) 谢辞 (17) 参考文献 (17)
摘要 测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。 本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值. 关键词：测不准关系；量子力学；估算
学号：20125041015 课程论文 学院：物理电子工程学院 专业：物理学 年级：2012级物理学班 姓名：坤 论文题目：测不准关系的理论推导 成绩：
2016 年 1 月 2 日 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1.引言 (1) 2.历史发展 (1) 3.测不准关系实验验证 (3) 4.相关质疑 (3) 5.意义 (4) 5.1理论意义 (4) 5.2现实意义 (4) 6.总结 (4) 参考文献 (4)
测不准关系的理论推导 学生：坤学号： 学院：物理电子工程学院专业：物理学 摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。 关键词：波粒二象性，不确定原理 1引言 测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。 2历史发展 1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。海森堡抓住云室实验中观察电
从认识论角度理解量子力学中测不准关系 测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。 这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2 （π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥??x p x ，2 ≥??y p y ，2 ≥??z p z ，2 ≥??t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。 测不准关系中所说的测得精确和不精确是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系统各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？ 首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布，并认为测不准关系给出了单次测量中对两个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。
雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的同时测量的解释称为非统计解释。 罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同。这种证明实际上可以说明：测不准关系对于电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。 从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把测不准的原因归结为在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动。这样的看法实际上认定，在系统被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使他们变得不确定了。 量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用。测不准关系是由量子力学基本原理导出的一个重要推论，他在量子力学中占有重要的地位。 测不准关系告诉我们: 一对共轭力学量之间要同时确定其值的精确度受到一定的限制, 这种与精确值之间的差值不是误差, 而是偏差, 这不是由于实验设备的精度和实验操作人员的技术能力的高低所引起的。而是由量子理论本身所决定的, 或者说是由客观世界的物质粒子的波粒二象性这种内禀属性所决定的。因此, 所有有关量子力学的书籍或多或少都要讨论测不准原理, 测不准关系可以对量子力学中的物理量进行估算，主要可以估算各种条件下的基态能量，体现出了很强的应用意义和价值。通过测不
物本1201班第一小组 潘荣杰，聂姝，吕舒鹏，朱建宇，韩娟，王金凤，弥倩琴，王震，张毛毛，吴松伟 测不准原理 测不准原理是误译，更严格的叫法是不确定关系。只是在描述时用了波的描述而不是用的粒子描述，对其本身的解释并不需涉及观测。量子论就是采用波函数的观点，以薛定谔方程为假设（注意是假设，就像狭义相对论的两条基本假设一样）来构建的一个理论体系，然后它能解释实验。不确定关系简单点说是：由波函数确定的一个物理对象，对其某个力学量描述本身就会弥散（比如你要说一个波在空间什么位置，其他力学量同理，当然，不考虑处在力学量本征态的情况），两个力学量弥散的程度满足不确定关系。观测的问题是量子论年代久远而尚未得到解决的问题，一般常见的解释是波函数的塌缩。也就是在测量前，系统可能处在某个力学量的本征态或者几个本征态的叠加态上，当我们对这个力学量进行测量时，波函数将塌缩到测量值所对应的本征态上（但是，一般认为，任何一个（或者说绝大多数）力学量的本征态都是完备的，可以构成希尔伯特空间的一组基，对于测量所得到的力学量本征态而言，其对其他力学量来说可能是叠加态）这是观测对系统施加的影响。是观测将一个可能态变成另一个可能态。而不确定关系是，即使不施加观测，对于处在一个态中的粒子，它的力学量也将满足不确定性关系。不确定关系中的ΔAΔB(常见点用动量－位置就是ΔpΔx)不是指观测值与实际值的偏差，而是指力学量的统计方差平方根（如果您学过统计，波函数实际确定了力学量值的分布概率，就知道由此可以完全通过统计方法的求出方差而不用通过测量）量子力学如果根基有什么不稳定的话，在于波函数的塌缩解释而不在于不确定关系。测不准原理来源于物质的二象性。既是微粒，又是波，这是微观物体表现出来的性质，所以测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。
课程论文 学院：物理电子工程学院 专业：物理学 年级： 2012级物理学班 姓名：李赵坤 论文题目：测不准关系的理论推导成绩：
2016 年 1 月 2 日 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1.引言 (1) 2.历史发展 (1) 3.测不准关系实验验证 (3) 4.相关质疑 (3) 5.意义 (4) 5.1理论意义 (4) 5.2现实意义 (4) 6.总结 (4) 参考文献 (4)
测不准关系的理论推导 学生姓名：李赵坤学号：20125041015 学院：物理电子工程学院专业：物理学 摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。 关键词：波粒二象性，不确定原理 1引言 测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。 2历史发展 1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。海森堡抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，意识到关键在于电子轨道的本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。
第六章：智力知识考点 P128 一、单项选择题： 1．智力是一种( A )。 A.综合认知能力 B.适应能力 C.学习能力 D.思维能力2．下面哪些是属于一般能力( ABC ) A.记忆力 B.注意力 C.观察力 D.色彩鉴别力 E.节奏 感知力 3．一般说来，以下哪一类能力被认为不属智力范畴？（ A ） A.人际交往能力 B.学习能力 C.言语能力 D.运算能力 4．世界上第一个正式的智力测验，是由法国心理学家比内和医生西蒙在( C )年编制的。 A.1895 B.1907 C.1905 D.1915 5．人类的智力分布基本上呈（ D ） A．倒U型曲线 B.偏态分布形式 C.U型曲线D.正态分布形式6．一般人的智商在________之间。( D ) A.120～139 B.140～159 C.70～79 D.90～109 7．一般来说，当一个人的智商为115时，这个人在人口分布中应该处于什么位臵？( C ) A.中下 B.中等 C.中上 D.优异 8．一般来说，个体的智力发展达到高峰期是在什么时候？( C ) A.11—13岁 B.13—18岁 C.18—25岁 D.30—40岁 9．一学生的智商是115，表示其智力( B ) A.优异 B.中上 C.中下 D.较低 10．.某学生智商为100表示( B ) A.较低智力 B.中等智力 C.较高智力 D.非凡智力11．.某学生的智商是130，表示( C )。 A.较低智力 B.中等智力 C.较高智力 D.天才智力12．智商的计算公式是（ B ）。 A. 100 CA MA (IQ)＋ ） 实足年龄（ ） 心理年龄（ 智商= B. 100 CA MA (IQ)? = ） 实足年龄（ ） 心理年龄（ 智商 C. ％ ） 实足年龄（ ） 心理年龄（ 智商100 CA MA (IQ)? = D. 100 MA CA (IQ)－ ） 心理年龄（ ） 实足年龄（ 智商= 13．一个10岁的儿童能够通过9岁组的全部项目和10岁组的一半项目，按照比率智商计算，他的智商是（ B ） A．90 B.95 C.100 D.105 14．（ C ）是将个体的智力测验成绩和同年龄组被试的平均成绩比较而得出的相对分数。 A.心理年龄 B.比率智商 C.离差智商 D.智力年龄 15．一般说来，如果一个人的智商是100，说明这个人的智力处于（ D ）水平。 A.超常 B.弱智 C.中下 D.中等 16．流体智力和晶体智力说是由美国心理学家( B )提出来的。
不确定关系（测不准关系）的表述和含义 摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。 关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释 引言 测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。 1 几种主要的表述和证明方法 测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定…电子?位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。在这种情况下，我们看到方程 pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。 1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。证明如下：设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一，B1=B 一，A和B的标准偏差分别为△A=
不确定关系测不准关系的表述和含义 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
不确定关系（测不准关系）的表述和含义 摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。 关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释 引言 测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。 1 几种主要的表述和证明方法 测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。在这种情况下，我们看到方程
1、粒子做一维运动，其哈密顿量为 )(2?2x V m p H x += 且假设具有断续谱 n n n E H ψψ=?证明：dx x dx p m n m x n ψψαψψ∫∫=**?，其中α为依赖于的常数，并求出该常数。 m n E E ?2、 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能。 3、 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数 a x a x a x ππψ2cos sin 4 )(= 描述，求粒子能量的可能取值与相应的几率。 4、在由正交规一基矢{}32u u 所张成的三维空间中考虑一物理体系， 算符1,u H ?和B ?定义如下： ， ????????????=1000100010ω=H ????????? ?=010100001b B 其中0ω和b 是实常数。 （1）H ?和B ?是否是厄米算符； （2）证明H ?和B ?可对易； （3）求H ?和B ?的共同本征矢。 5、 在由正交规一基矢{32,u u 所张成的三维空间中，物理体系的能量 算符1,u H ?和另外两个物理量A ?与B ?的矩阵形式如下： ， ， ??????????=2000200010ω=H ??????????=010100002a A ????????? ?=100001010b B 其中0ω，a，b 均为正的实常数。0=t 时体系处于 3212 12121)0(u u u t ++= =ψ 所描述的状态。 （1）对)0(=t ψ所描述的状态，指出能量的取值及相应的取值几率，并计算出差方平均值2H Δ；
（2）对)0(=t ψ所描述的状态，计算可观测量的取值及相应的取值几率； A ?（3）计算的任意时刻体系的态矢0>t )(t ψ； （4）对)(t ψ所描述的状态，计算B ?的平均值，并解释其依赖时间的原因； （5）如果在t 时刻测量A ?，说明其结果与（2）中的结果相同的理由。 6、在的表象中， 1=l )?,?(2z L L ??????????=010*******=x L ， ????????? ??=100000001?=z L （1） 给出它们的本征值和本征态矢； （2） 给出)?,?(2z L L 表象到)?,?(2x L L 表象变换的S 矩阵； （3） 通过S 矩阵，求出在)?,?(2x L L 表象中x L ?和z L ?的矩阵表示。
不确定性原理的理解及应用 姓名： 班级： 学号：
摘要：不确定性原理作为量子力学中的一个重要组成部分，从海森堡提出至今一直受到各方争论和质疑。本文主要介绍不确定性原理的简单理解以及应用，对初学者理解不确定性原理是很有帮助的。 关键词：测量，准确性， 正文： 1.引言： 唯物主义告诉我们：物质是不依赖于人的意识的客观存在；时间的本质是物质而不是意识；先有物质后有意识；意识只不过是物质在人脑中的客观反映而已。这些都是正确的观念。然而随着二十世纪自然科学的发展，尤其是人们在探索微观世界发现了新的规律，被某些唯心主义者引用来向唯物主义的基本观点发难。其中倍受争议的是著名物理学家海森堡的“不确定性原理”。 2. 不确定性原理的介绍： 不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”、“不确定关系”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π（h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。【1】 3：不确定性原理的发现： 1927年，海森堡在经过长期的探索后提出了不确定性原理。他对此原理的解释是：设想一个电子，要观测到它在某个时刻的位置，则须用波长较短、分辨性好的光子照射它，但光子有动量，它与波长成正比，故光子波长越短，光子动量越大，对电子动量的影响也越大；反之若提高对动量的测量精度，则须用波长较长的光子，而这又会引起位置不确定度的增加。因而不可能同时准确地测量一个微观粒子的动量和位置，原因是被测物体与测量仪器之间不可避免的发生了相互作用。 人们习惯于对物体运动轨迹的准确描述，大到天体如何运行，小到微尘如何飞扬。这种认识必须基于对物体能够准确定位。为了预测一个物体的运动状态，必须准确测量它的位置和速度。测定必须施加一个物理作用于作为被测对象的物体之上，这在任何一种测量中都无法幸免。显然，对在微观粒子尺度空间的测量方法用光照最合适。然而，光照是无法把粒子的位置确定到比光的波长更小的程度的。为了测定的准确，必须用更短波长的光，这意味着光子的能量更高，这样测定对粒子速度的扰动将很厉害。因此，不能同时准确的测定粒子的位置和速度。事实上，宏观世界和微观世界都受到不确定性原理的制约，只不过对宏观物体的测量，一定波长的光已经足够精确，且扰动对其速度的影响小到远远无法计较。
不确定关系测不准关系 的表述和含义 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
不确定关系（测不准关系）的表述和含义 摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。 关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释 引言 测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。 1 几种主要的表述和证明方法 测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。 1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。证明如下： 设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一，B1=B一 ，A和B的标准偏差分别为△A=
海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。 不确定原理 海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动．1926年薛定谔（Schrodinger ）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价．实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象．电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系．紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布．认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础．使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道的概念，那又怎么解释威尔逊 （C.Wilson ）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein ）表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的．实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”[7]．在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写．在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下．对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：[8] ?? ????-?=22)(2exp )(q q q δψ常数 （11） 其中δq 是高斯凸包的半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围．粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（δq ＝q q ??,2为标准偏差）。按照交换理论，动量分布应为2)(p ?，其中)(p ?通过傅里叶变换得出： dq q h ipq p )(2exp )(ψπ??∞ ∞??? ??-= （12） 或 ()()dq h q p h q ip q q p ???? ??-???????????? ??+-=?∞ ∞-222222ex p 221ex p δπδπδ? （13） 令 y h q ip q q =+δπδ2 积分．海森堡得到
海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。 不确定原理 海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动．1926年薛定谔（Schrodinger ）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价．实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象．电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系．紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布．认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础．使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道的概念，那又怎么解释威尔逊（C.Wilson ）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein ）表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的．实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”[7]．在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写．在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下．对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：[8] ?? ????-?=22)(2exp )(q q q δψ常数 （11） 其中δq 是高斯凸包的半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围．粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（δq ＝q q ??,2为标准偏差）。按照交换理论，动量分布应为2)(p ?，其中)(p ?通过傅里叶变换得出： dq q h ipq p )(2exp )(ψπ??∞ ∞??? ??-= （12） 或 ()()dq h q p h q ip q q p ???? ??-???????????? ??+-=?∞ ∞-222222ex p 221ex p δπδπδ? （13）
测不准关系与物理量大小的估算 曹雪利 摘 要 测不准关系是量子力学的一个基本原理，这一原理建立的实验基础是微观粒子波粒二象性。对于坐标与动量这对共轭量满足2 ≥ ??p q ，其中q 为广义坐标，p 为广义动量。通篇的核心是利用这一关系式对量子力学中的物理量进行估算，主要估算各种条件下的基态能量。如：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题、氦原子与锂原子这些多电子问题。本文重点放在氦原子与锂原子基态能量的估算上，最终证明测不准关系在物理量大小的估算问题上具有很强的应用意义和价值。 关键词 测不准关系 物理量大小 估算 1、 引言 测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”,英文“Uncertainty principle ”，它是量子力学的一个基本原理。这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2 （π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥??x p x ，2 ≥??y p y ， 2 ≥??z p z ，2 ≥??t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又 一条重要原理。在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。 2、测不准关系的理论背景 微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。我们可以以两个不同方面的例子来说明。一是从粒子(电子)的波动性，二是从波(光)的粒子性。
第五章 测不准关系 第一部分 内容提要 一 体系处于力学量的本征态吓测量力学量时，测量值就是态的本征值，有唯一确定值，几率是1。 二 如果两个力学量相互对易，则它们有共同本征态.在它们共同本征态中测量两个力学量分别有确定值。 三 如果两个力学量算符F ?和G ?不对易： 0?]?,?[≠=K i G F 则在体系的任意状态),(t r ψ 下测量F 和G 不能同时测准。 记 τψ-ψ=-=??d F F F F F )?()?()(* τψ-ψ=-=??d G G G G G )?()?()(* 可以证明：2 )()(2 2 K G F ≥??? 特别地有：2 ) ()(2 2 ≥???p x 四 利用经典力学和测不准关系修正可以估算量子体系地能级，尤其是基态能级。 第二部分 例题讲解 例题1 试证明测不准关系式。 已知 0?]?,?[≠=K i G F 则 2 ) ()(2 2 K G F ≥ ?? ? 证明：考虑下列积分0??)(2≥τψ+ψξ= ξ? d G i F I ψ为体系任一波函数，ξ为任一实参数。利用算符F ?和G ?的厄米性以及ξ为实数，上面不等式左边可写为： τψ+ξ+ξψ=τψ+ψξψ+ψξ= ξ?? d G i F G i F d G i F G i F I ]??[]??[]??[]??[)(*** τψ-ξ++ξψ =τψ+ξ-ξψ = ??d G F G F i G F d G i F G i F ]????(??[]??][??[222* * =K i G F G F i G F ξ++ξ=ξ++ξ222222]?,?[ = 0)4()2(2 22 22 2 ≥- +- ξF K G F K F 不妨取实参数 2 2F K = ξ 则 0)4(2 22 ≥- F K G
第六节综合分析能力等方面问题 一、命题思路 综合是在头脑中将事物的各个部分或各种特征联合为整体。分析则是在头脑中将事物的整体分解为部分。综合和分析在思维活动中起着重要作用，是思维的智力操作的重要组成部分。在公务员的日常工作中，经常涉及对问题的宏观理解把握和事物间矛盾关系的理解，综合分析能力十分重要。 综合分析能力测试主要考察应试者能否把握事物的本质，对事物的认识是否深刻，思维的条理是否清晰，思维的过程是否敏捷和流畅，判断是否准确。因此，这类试题一般选取一些在某一时期、某一方面社会普遍关注的热点、焦点和难点问题来考察。首先，这类问题与我们的日常生活密切相关，每个人都有某种程度上的思考，容易引起话题；其次，这些问题一般都没有法律和道德上的定论，允许个人从不同的角度和立场发表不同观点和解决意见，因而给考生留有的思维空间比较大，适合考察考生思维的逻辑性、条理性、深刻性、流畅性以及发散性；再次，作为领导干部应是敏学、博学及积极参政议政的代表，应对知识和信息有广泛的接受兴趣，对国家大事和百姓生活表现出一定程度的关注，有“天下兴亡，匹夫有责”的主人翁参与精神，因此通过对社会问题的认识可以从侧面反映考生的状态。 二、答题技巧 在回答测评综合分析能力的试题时，除应有一定的知识积累外，还应注意以下几点： (1)对事物能从宏观方面进行总体考虑； (2)对事物能从微观方面对其各个组成成分予以考虑； (3)能注意整体和部分之间的相互关系及各部分之间的有机协调组合。 三、例题解析 【例1】请你就“听其言而观其行”这句话谈谈你的理解和看法？ 【解析】考察综合分析能力。通过考生对这句话理解的阐述，来判断考生综合分析能力的高下。看考生能否以全面、发展的辩证观点，从言行一致、言行不一，如何识人断事，怎样通过对经验教训的归纳总结使认识实现一种飞跃，从以言取人及因人废言的弊病，以及对“言”(如异议)的理解等多个角度进行表述。 【例2】有人说“无知者无畏”，请你就这句话谈谈你的理解和看法。 【解析】考察综合分析能力。通过考生对这句话理解的阐述，来判断考生综合分析能力的高下。看考生能否从正反两个方面来把握这句话：一种是“初生牛犊不怕虎”，有朝气，有生机。更进一步，是不畏、蔑视中庸世俗的一些“知”，勇于鞭笞丑恶，将阴暗面曝光。看似无知，实际上是对真善美的执着追求，是“明知山有虎，偏向虎山行”的气魄。另一种是“井底之蛙”，囿于自身狭窄的眼界、疏浅的学识。真正出于无知而妄自尊大，无所顾忌。更进一步，是“我是流氓我怕谁”的痞子心理。 QZZN公务员考试论坛精品呈献https://www.doczj.com/doc/0f10678648.html,第 1 页共 4 页