弹塑性力学课程作业 1 参考答案
一．问答题
1. 答：请参见教材第一章。
2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。
3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问
题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意
义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材）
7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。
8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）
11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料
的塑性变形行为。
12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意
义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。
13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的
区别请参见教材。
14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程
详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。
二、填空题：
1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ；
三．选择题参考答案：
1、B ；
2、C ；
3、D ；
4、D ；
5、A ；
6、A ；
7、A ；
8、D ； 9. C ; 10. C ; 11. C ; 12. B ; 13. A ; 14. B ; 15. D ; 16. C ; 17. D ; 18. D ; 19. A ; 20. D ; 21. B ; 22. C ; 23. C ; 24. B ; 25. A ; 26. B ; 27. D ;
四、解：
??
??
??
???
??=+??+??+??=+??+??+??=+??+
??+
?? 0 0 0
z z
yz xz y zy y xy x zx
yx
x
F z y x F z y x F z
y x στττστττ
σ
五．计算题
1．解： 2.53
3
x y z
ii m a σσσσσ++=
=
=
0()0
0()
()m x m xy
xz
ij ij m
ij m
yx
y m yz
m zx zy z m S σσσττσδσστσστσττσσ??
-????
?
?=+=+-????
????-???
?
2.5000.50
3.50 2.5000.520
2.5
3.52 2.5a
a
a a a a a a a
a ??
??
????=+--????????--????
m ij σδ球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。ij S 偏应力张量作用下单
元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。
2、解：（1）. 左端面的应力边界条件为：据圣文南原理
题五、2图
00,
0,
00,
0h
x x h
h y xy
h h
x h F dy F dy P m y dy σσσ---?∑==?
?∑=+=???∑=??=?
?
??
3. 解（1）： 1224x y z x x I σσσσσ=++=++=+；
2
2
2
2x y
y z
z x
xy yz zx I σσ
σσ
σσ
τττ=---+++2420404x x x σσσ=---+++=-
22232x y z xy yz zx x yz y zx z xy I σσστττστστστ=+---404000x x σσ=+---=
321230n n n I I I σσσ---=
即：32(4)40n x n x n σσσσσ-++= ， 2[(4)4]0,n n x n x σσσσσ-++=n σ' 将：2n σ''=代入上式解得：2x σ=；故知： 268(2)(4)0;n n n n σσσσ-+=--=
2;4;n n σσ'''''== 由：123σσσ≥≥知: 14;σ= 22;σ= 30;σ=
3．又解（2）： 代入教材、公式：2n σ=代入
123123123()0()0()0x n xy xy xy y n xy zx xy z n l l l l l l l l l σστττσστττσσ?-++=?+-+=??++-=?
2323(2)0000(22)2002(22)0x l l l l l σ-++=?
?
+-+=?
?
++-=?
由：2221231l l l ++=，且由上式知：2式知30l =，由3式20l =，故0l ≠，则知：2x σ=；（由1式）
再由：
(2)
000(2)
200
2
(2)
n n n σσσ--=-展开得：
(2)(2)(2)4(2)0n n n n σσσσ-----= ； (2)[(2)(2)4]0n n n σσσ----= 则知：2n σ=； 由：22(2)(2)4(2)2n n n σσσ---=--(22)(22)0n n σσ=---+= 即：0n σ=；4n σ=； 再由： 123σσσ≥≥ 知：1234,2,0;σσσ===
弹塑性力学课程作业 2 参考答案
一．问答题
1．答：位移是点位置的移动, 通常用三个位移分量u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点 位置坐标的函数）来表示。在小变形的前提下，物体变形前是连续体，受力变形后仍然 是一个连续体，也就是说物体的位移分量函数客观上必须是一个单值连续函数。为保证 位移分量函数是一个单值连续函数，则位移分量函数应满足几何方程，应变分量函数应 满足相容方程。
2. 答：能直接表明受力物体内一点处材料变形程度的力学量是应变。
3. 答：请参见教材。
4. 答：请参见教材。
5. 答：请参见教材。
6. 答：请参见教材第 49 页。
7．答：请参见教材第 50 页第二节第二段。
8．答：请参见教材第 50、69和72 页。在外力作用下，物体发生了变形。从变形的外观 来看可以分为体变和畸变。从变形的性质来看可以分为弹性变形与塑性变形。这样两种 分法必然存在着内在的联系。一般认为：
A ．球应力（平均正应力）引起了全部体变而不包括畸变；体变是弹性的。 由于球应力状态的特征为三向等值拉伸或压缩（一般称为静水压力），用应力圆表 征则为点圆（无剪应力τ的成分）。因此，它只能使物体发生体积上的变化，即球应变e ， 不会产生形状上的改变（畸变）。通过大量实验指出，对于一般金属材料，可以认为体 积变化基本是弹性的，除去静水压力后体积变形可以恢复，没有残余的体积变形。 Bridgman 的试验说明在25000个大气压力下，对金属材料做静水压力试验，材料才呈 现出很小的压缩性。但上述理论对于一般岩石和非饱和土质是不适合的。
B ．偏应力引起了全部畸变而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起。 对于偏应变ij e ，当i=j ，则0==ij e e ；当i ≠j 则ij ij ij ij e γγε,2/==是角应变。这就 充分说明了在应力偏量作用下，物体将发生畸变而不发生体变。其次在弹性阶段的条 件下所建立的上述ij ij Ge 2s =的关系式，显然说明这种畸变，仍然是弹性的。因此可以 说物体的畸变包括两部分，即弹性的畸变与塑性的畸变。由于塑性变形一般认为是金 属晶格滑移（位错）的结果，而球应力只会引起弹性体变，那么塑性畸变必然是由应 力偏量引起的。
9．答：正交各向异性体、横观各向同性体、各向同性体，各自独立的弹性常数分别为：9、 5、2。
10．答：请参见教材第57 和58页。各向同性弹性体有三种不同形式的广义虎克定律为：式
4—28或4—29、4—33和4—38 。式 4—38 用球应力和偏应力去表示广义虎克定律的 物理力学意义是基于这样一个前提：
A ．球应力（平均正应力）引起了全部体变而不包括畸变；体变是弹性的。
B ．偏应力引起了全部畸变而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起。
11．答：请参见教材第 58 和 59 页。由材料力学试验知, 材料物性参数存在以下关系：
5
.00,0,0,0<<>>>νλG E 。在弹塑性力学中, 当取 υ= 0.5 时，是将材料视
为体积不可压缩材料?
12．答：请参见教材第 59 至 63 页。 13．答：请参见教材第 63 至 66 页。
二、填空题：
1、 9、 5、 2 ；
2、 Tresca 屈服条件 ，Mises 屈服条件 ；
三．选择题参考答案：
1. D ;
2. B ;
3. B ;
4. D ;
5. B ;
6. B ;
7. C ;
8. C ;
9. A ; 10. B ; 11. A ; 12. A ; 13. B ; 14. D ; 15. C ; 16. A ; 17. A ; 18. D ;
四、解：1、 ∑=++==
3
1
332211j i i i jj
i
jj i b a b a b a b
a b a
331221111b a b a b a ++= ； 33
2222112b a b a b a ++ ； 333223113b a b a b a ++ ；
2、 ???
????
??+??=??=??+??=??=??+??=
??=z u x w z
w y w v y v x v
y u x u zx
z
yz
y
xy
x γεγεγ
ε z ；；； 五．计算题
1、 解：已知该点为平面应变状态，且知：22(),x k x y ε=+ 2,y ky ε= ;xy zkxy γ= k 为
已知常量。则将应变分量函数代入相容方程得：
2
2
2
22
y xy x y
x
x y
εγε???+
=
????.
2k + 0 = 2k 成立，故知该应变状态可能存在。
2． 解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知z z θστ=，则：
m ax m ax
2
z θ
σσσσ+=
±
22z z σ=±
13
(12
z
σσσ=
±=
， 且2σ= 0 。
代入Mises 屈服条件得：
22
2
2
1331
()2s σσσσσ++-=
即：
2
2
2
2
(1(1(1(1222
2z
z z s σσ
σ
σ????????-+-++--
=???????
???????
解得：2
s
z σσ=
=200 MPa ；
轴力：P = 2z rt πσ = 2π×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495 kN
扭矩：M =22z r t θπτ = 2π×502
×10－6
×3×10－3
×200×106= 9.425 kN · m
3． 解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：
0,
0,
,
;0.2s r z r zr θθσσσστττ===
==
则miss 条件知：
1
222222
2()()()6()
r z z r r z zr θθθθσσσσσστττ?-+-+-+++?
1
22222(1)()66)
222s s s z z s θσσσττσ?=
-++=+=?
?
解得：2s z θστ=；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。
已知：1();
3
6s m r z θσσσσσ=
++=
则： ;6s m S θθσσσ=-=-
;6s r r m S σσσ=-=-
;
0;2
63
s s s z z m r rz r rz S S S θθσσσσσττ=-=
-
=
====
;2
s z z z S θθθσττ===
由增量理论知：P ij ij d d S ελ=? 则：
:::::():():
:0:0:
6
6
3
2
P
p
p
p
P
P
s s s s r z r rz z d d d d d d θθθσσσσεεεεεε=-
-
即： :::::(1):(1):2:0:0:6P p p p P P
r z r rz z d d d d d d θθθεεεεεε=--
弹塑性力学课程作业 3 参考答案
一．问答题
1. 答：当我们采用Oxyz笛卡尔直角坐标系来表征时，关于弹塑性力学的这15个基本未知函
数可表示为：
2、答：弹塑性力学问题的已知条件是:
(1) 物体的几何形状、尺寸大小和组成材料;
(2) 物体所受的外力:体力、面力(应力边界条件);
(3) 边界的约束情况（位移边界条件）。
弹塑性力问题的未知条件是：物体内的应力、应变和位移及其变化规律，以及如何根据求得的应力、应变和位移函数，去确定和求解物体的强度、刚度和稳定性的问题，去确定工程结构物的承载能力，充分提高经济效益。
3．答：(1)位移法即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。
(2)应力法即以应力分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量
和基本方程都转换成用应力分量来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。
4. 答：关于圣文南 (saint-Venant) 原理请参见教材第 91 页。该原理的主要作用是简化
边界条件。在应用该原理时, 必须满足的基本原则是：A：仅适用于物体的局部边界；
B：互换的力系必须静力等效：
5．答：叠加原理成立的条件是：A：只适用于线弹性变形问题；B：材料的变形保持在小变形的范围内；
6．答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足的条件是满足平衡微分方程和相容方程：应力解在物体边界上应满足的条件是应力边界条件。
7．答：弹塑性力学的应变解在物体内部应满足的条件是几何方程或相容方程，位移解在物体边界上应满足的条件是位移边界条件。
8. 答：请参见教材第 94、95 和 96 页。
9. 答：弹性力学平面问题( 直角坐标解答 )中，导出的相容方程有几 3 种表达形式，分
别为：用应变表示的相容方程 6—9，用应力表示的相容方程 6—10 或 6—11 或
6—12 ，用应力函数表示的相容方程 6—16 。
10、答：满足相容条件的函数υ才是应力函数，应力函数解法的基本方程是 6—15 式。
11. 答：关于平面应力问题和平面应变问题在基本方程和边界条件上的异同, 请参见教材第
94、95、96页。
12. 答：关于弹性极限荷载、塑性极限荷载、何谓塑性饺、塑性饺与一般饺链的区别，请
参见教材第 107、108 和 109 页。
二．选择题参考答案：
1. A ;
2. A ;
3. A ;
4. B ;
5. A ;
6. A ;
7. A ;
8. C ;
9. C ; 10. B ; 三．计算题
1．解：将位移分量代入几何方程得：
x x
a
με=
；y x
a
με=
；z x a
ε=-
；0xy yz
zx
γγ
γ
===
由于应变分量是x 的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：
?????????
??????????
???=???
? ????-
??+???????=???
?
?
???-
??+???????=???
? ?
???-??+???????=
??+
?????=??+?????=??+??y x z y x
z x z y x z y z y x
z y x x
z z x z
y y
z
y
x x
y
z
xy zx yz
y zx yz xy
x yz
xy zx
zx
x
z
yz
z y
xy
y
x εγγγεγγγεγγγγ
εεγεεγεε2
2
2
22
22
22
2
22
22
2
2
22
222
2． 解：将?式代入40??=知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知F x ＝0，F y =γ）
2
2
2
2
2
266222x x y
y xy
F x C x D y
y
F y A x B y y x B x C y x y ?
σ?σ
γ?
τ?
?=-=+???
???
=-=+-???
??=-=--?
???? 边界条件：
① 上边界：0y =，0y
σ
=，0yx τ=，代入上式得：A ＝ B ＝0，
② 斜边界：tg y x α=，0x y
F F ==，cos l α=，sin m α=-，则：
sin (2c 6tg )cos (2tg )0cos (tg )sin (2c tg )0x D x cx x x αααααγααα-++-=?
?---=?
得：ctg 2
C γα
=
；2
ctg 3
D γα=-
于是应力解为：2
ctg 2ctg ctg x y
xy x y y
y σγαγασ
γτγα
?
=-?=-??=-?
3、 解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：0x σ=；由此可知应力函
数可取为： 12(,)()();x y f x y f x ?=+ （a ） 将式（a ）代入40x ?=，可得：
4
4
124
4
()()0d f x d f x y dx
dx
+
=
(b ) 故有：
4
14
()0;d f x dx
=
4
24
()0
d f x dx
=；
(c )
则有：
K
Jx Ex
Dx
x f I Cx Bx Ax x f +++=+++=2
3
223
1)()( ； (d)
略去?中的一次项和常数项后得：
3232()y Ax Bx Cx Dx Ex ?=++++ (e)
相应的应力分量为：
C
Bx Ax E Dx B Ax y xy y
x ---=+++==2326)26(0
2
τσσ
(f)
边界条件： ① 0x =处，0,0==xy
x
τ
σ
，则0c =； (g)
② x h =处，p xy
x
==τ
σ
,0， 则232;Ah Bh P --=； (h)
③ 在y = 0处，
x F ∑=，0
0h xy x d τ=?，即2
3
2
(32)()0h
h
Ax Bx dx Ax Bx -+=+=?
由此得：B Ah =-，再代入式（h ）得：2
;
p A h
=-
h
p B =
；
由此得：2
6262y p p y x D x E h
h σ??
=-
+
++ ??
?
（i ）
由于在y = 0处，
0,
y F ∑= 0
0h
y dx σ=?，积分得：2320Dh Eh +=
（j ）
0()0,m F ∑= 0
0h
y xdx σ?=?，积分得：032
3
=+Eh
Dh
（k ）
由方程(j ) (k )可求得：0D E ==，投知各应力分量为：
23(1)3(2)x y xy p x y h h p x x h h σστ?
?=?
?=-?
??=-?
?
(l )
据圣文南原理，在距0y =处稍远处这一结果是适用的。
弹塑性力学课程作业 4
作业涉及教学内容：第七章 日期：2006年11月
班级及学号：________________ 姓 名：_________________
一、问答题：
1. 试比较弹性力学平面问题采用直角坐标和采用极坐标求解所导出的平衡微分方程、几何 方程的差异是什么? 是什么原因造成的？
2．厚壁圆筒仅有外压或仅有内压时, 圆筒中何处的材料最危险（或最容易失效）? 3．对于承受均匀内压的厚壁困筒, 只靠加大筒的外半径, 是否能有效地提高圆筒的强度? 在工程上为使厚壁圆筒内壁各点应力合理分布, 有效的提高圆筒的强度，常采取何种措 施?
4．关于单向均匀受拉无限大平板中孔边应力集中问题, 在孔边何点为危险点? 危险点处的 应力是无孔时应力的几倍?
5．无限大平板中, 有一椭圆孔或穿透型裂纹, 椭圆孔长半轴或裂纹方位垂直于受拉方向。 试问在单向受拉状态下, 该无限平板中最危险点位于何处? 应采取什么措施才能有效 地控制裂纹的扩展?
二．选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。）
1．平面轴对称问题中，物体的应力、应变和位移的分布都是轴对称的，这一说法是 。
A ．正确的；
B ．错误的；
C ．不确切的；
D ．不存在的；
2．厚壁长圆筒是工程结构中常见的重要构件之一。现以a 、b 分别表示长圆筒的内、外半 径，厚壁筒一般认为 。。
A ．b ：a > 1；
B ．b ：a > 1.1；
C ．b ：a > 1.2；
D ．b ：a > 1.3； 3．在厚壁圆筒受均匀内压问题中，为了有效提高其承载能力，应采取的有效措施是： 。
A ．更换强度更高的材料 ；
B ．加大圆筒的筒壁厚度；
C ．既更换强度高的材料，又加大圆筒的厚度；
D ．改变危险点处的应力状态，使 31σσ-差值的大小明显降低；
4．在厚壁圆筒受均匀内压问题中，采取加大圆筒的筒壁厚度的措施， 圆 筒的承载能力。
A ．有效的提高了；
B ．较明显的提高了；
C ．根本提高不了；
D ．略微提高了； 5．若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边受均布拉力q 作用，板中有一穿透型圆孔。 圆孔孔边危险点应力集中，此点最大周向应力 θσ（即环向正应力）是无孔板单向拉应 力的 。
A ．1倍
B ．2倍
C ．3倍
D ．4倍
6．试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器 出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。
A. 沿圆柱纵向（轴向）
B. 沿圆柱横向（环向）
C. 与纵向呈45°角
D. 与纵向呈30°角 7. 金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形椭圆孔，孔的长半轴垂直于受拉方向，则该板 危险点处的最大拉应力与无孔板最大拉应力相比较， _________ 。
A ．两者相等；
B ．是后者的2倍；
C ．是后者3倍；
D ．大于后者3倍；
8．若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边（水平方向）受均布拉力q 作用，板中有穿 透型裂纹。最危险的裂纹与水平方向的夹角为 。
A. 2
π
；
B. 4
π
； C. 零； D. π；
三、计算题
1．如图所示一半圆环，在外壁只受sin q θ的法向面力作用，内壁不受力作用。A 端为固定端， B 端自由。试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。
2. 已知受力物体内一点处应力状态为：
????
?
?
??????=22
22000x ij
σσ（Mpa ） 且已知该点的一个主应力的值为2MPa 。试求： ① 应力分量x σ的大小。 ② 主应力1σ、2σ和3σ。
3、如图所示，楔形体OA
、OB 边界不受力。楔形体夹角为2α，集中力P 与y 轴夹角为β。试列
出楔形体的应力边界条件。
4. 一厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为 b ，仅承受均匀内压q 作用（视为平面应变问题）。
圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为s σ。试用Tresca 屈服条件，分析计算该圆筒开始
进入塑性状态时所能承受的内压力q 的值。已知圆筒处于弹性状态时的应力解为：
???
?
??--=22
22
2
1r b a b q
a r
σ； 0=θτr ； ????
??+-=22
22
2
1r b a b q
a θσ；
0=z θτ；
()θσσσ+=r z 2
1
；
0=zr τ；
上式中：a ≤r ≤b 。
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 30106.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα= --=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+?=----+=-?+=-?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =500300800300 03008003001100-???? +-?? ??--? ? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。 题—图 16
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62)
第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记
2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得
弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 （5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题： （1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么？ （6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？ （9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别？ (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 二、计算题 1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n = 3 111 021 2 0ij σ?? ??=?????? 2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be 2 141 404 01ij σ-?? ??=????-?? Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
弹塑性力学课程作业 1 参考答案 一．问答题 1. 答：请参见教材第一章。 2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。 3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问 题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意 义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材） 7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。 8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料 的塑性变形行为。 12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意 义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。 13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的 区别请参见教材。 14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程 详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。 二、填空题： 1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ； 三．选择题参考答案：
实用标准文案 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷（参考答案） 2010~2011 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟 32 学时， 2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 90 % 一、名词解释题（每小题3分，共15分） 1、应力强度因子： 2、弹塑性共存： 3、应力集中： 4、弹塑性体 5、
二、填空题 (每小题2分，共24分) 1、主应力平面上的切应力等于零；主切应力平面上的正应力 不一定等于零。 2、全量应变是 某时刻变形之后的应变量 ； 应变增量是 变形某时刻的应变微分量 。 3、在应力分量表达式σij 中，下标i 表示 应力分量所在平面的外法线方向 ， 下标j 表示 应力分量本身的作用方向 。 4、已知主应变ε1>ε2>ε3，则最大剪应变为：γmax = ε1-ε3 。 5、表征变形体内各应力分量之间相互关系的是 应力平衡微分 方程，表征各应变分量之间相互关系的是 应变连续/协调 方程。 6、在滑开型裂纹扩展模式中，应力的作用方向与裂纹扩展方向 平行 ，裂纹面与应力作用方向 平行 。 7、如图所示，受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，随着外载荷增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点，受压应力的是 b 点。 8、如图所示为变形体内某点处单元体的受力状态，已知σ=σs （屈服应力），用Tresca 屈服准则判别，该点处于 塑性变形 状态；用Mises 屈服准则判别，该点处于 弹性变形 状态。 9、圆柱体在Z 向受压缩，产生均匀塑性变形，则其塑性应变之比为：=p x p x p x εεε::。 10、 11、 12、 题二（8）图 题二（7）图 1.5σ σx
第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）
弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
弹塑性力学试题Revised on November 25, 2020
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、 概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得： 则该问题的应力和位移分量的解分别为： 三、已知弹性半平面的o 量为： 这些力到所设原点的距离分别为y y
解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为： 四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。 解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2 02221???? ? ???== 外力做功为：?=-=l l x kw qwdx T 02|2 1 总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =??+-??????=-=∏|2 1 21202 022 第二步：由最小势能原理可知： 0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。 l x l l w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =??+-???? ????????=|0 22022δδδ （*） 其中=???? ?????????dx dx w d dx w d EI l 22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ????????? ? ????????δ022 将其代入（*）式并整理可得： y
应用弹塑性力学读书报告 姓名： 学号： 专业：结构工程 指导老师：
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即
一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分，共10分。） 1、简述固体材料弹性变形的主要特点。 2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。 二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、；
五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为： 式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图