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苏教版高中数学选修回归分析教案

3.2回归分析（1）

教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境

1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计

时刻x /s 1

2 3 4 5 6 7 8 位置观测值y /cm

5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 1

6.12 16.98 21.06

根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数

公式，1

221

()n

i i i n

i i x y nx y b x n x a y bx

==?

?=??-??=-??∑∑ 可以得到线性回归方为$3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为$22.6287y =

2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？

二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；

y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；

将y a bx ε=++称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =L ，根据线性回归模型，对于每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使

i ε

=∑越小越好．所以，只要求出使2

(,)()

i Q y x αββα==

--∑取得最小值时的α，

β值作为a ，b 的估计值，记为$a

，b $．注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离．

用什么方法求$a

，b $？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：

最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到$a

，b $的计算公式为 $11

222

()()()()

i i i

i i n

i i

i i x x y y x y

nx y

b x x x

n x a y bx

====?

---?

?==??--??=-??∑∑∑∑$$，

其中11n i i x x n ==∑，1

i i y y n ==∑

由此得到的直线$$y a

bx =+$就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中$a ，b $分别为a ，b 的估计值，$a 称为回归截距，b $称为回归系数，$y 称

为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程$3.5361 2.1214y x =+中，$ 3.5361a

=， 2.1214b =$． 3．线性回归方程$$y a

bx =+$中$a ，b $的意义是：以$a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b

$个单位； 4．化归思想（转化思想）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．（1）b y a x =+

，令'y y =，1

'x x

=，则有''y a bx =+．（2）b

y ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（3）bx

y ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（4）b x y ae =，令'ln y y =，1

'x x

，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．

四．数学运用 1．例题：

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．年份

1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999

人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246

解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用y 表示，得到下面的数据表： x 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 124

6 作出11个点(),x y 构成的散点图，

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型

y a bx ε=++来表示它们之

间的关系．

根据公式（1）可得

14.453,527.591.

a ?≈??≈??$ 这里的$,a b

$分别为,a b 的估计值，因此线性回归方程为$527.59114.453y x =+

由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程$527.59114.453y x =+可得

$1322.506y =（百万）

，即2004年的人口总数估计为13.23亿. 例2．某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x （万元）与人均产出y （万元）的数据：

（1）设y 与x 之间具有近似关系b

y ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计a 和b 的值；

（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．

分析：根据x ，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归

方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对b

y ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系．

解（1）在b

y ax ≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，

lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．

仿照问题情境可得A ，b 的估计值μA ，b $分别为μ0.2155,1.5677,

A b ?=-??=??$由$lg 0.2155a =-可得$0.6088a

≈，即a ，b 的估计值分别为0.6088和1.5677．（2）由（1）知$ 1.56770.6088y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P

页）

当16x =时，$ 1.56770.60881647.01y =?≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元． 2．练习：104P 练习第1题．五．回顾小结：

1．线性回归模型y a bx ε=++与确定性函数y a bx =+相比，它表示y 与x 之间是统计

相关关系（非确定性关系）其中的随机误差ε提供了选择模型的准则以及在模型合理的

情况下探求最佳估计值$a

，b $的工具； 2．线性回归方程$$y a

bx =+$中$a ，b $的意义是：以$a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b

$个单位； 3．求线性回归方程的基本步骤．六．课外作业：106P 第2题．

高中数学必修和选修知识点归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本 P-P内容二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

高二数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案文

第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）第一课时教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 /cm 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 /kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身次函数y bx a 高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即 =++，其中残差残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 备课人：张颖岳新霞王莉

高中数学解题中数学分析法的运用

高中数学解题中数学分析法的运用摘要：数学在高中是一项重要的学科，所以一定要引起师生的高度重视。而在通过研究后了解到，学生若想提升数学成绩，不要只是做大量的习题，因为这样会让思维产生局限性，不能让学生真正地理解数学题的含义。所以一定要加强学生数学分析思想的水平，从而确保课堂教学效果达到理想的要求。关键词：高中数学；数学分析法一、数学分析思想概述数学分析思想主要是把数学题目分成几个部分，同时来对这些部分做好正确的分类，最终根据认真的分析来找到最为合理的答题思路。而之所以要进行数学分析，作用在于能够找到答题的基本脉络，为随后的解题带来清晰的思路。在学习高中数学的过程中，学生不但要掌握书本上的知识，同时也要了解多种解题的技巧，这就增加了他们的负担。所以学生有必要丰富数学分析思想，并合理地运用到数学解题的过程当中，这样不但能够确保解题的正确率，还能够提高学生对于学习的积极性，这样一来就可以为学生成为一名综合性的人才助力。二、高中数学解题采用数学分析思想的作用（一）能够开发学生的思想潜能在高中数学课堂教学期间，如果可以在教师的引导中采用数学分析思想来解题，那么便可以锻炼发散思维，同时还可以合理地利用所掌握的知识。除此之外也可以丰富学生的解题思路，这样一来就能提升学生的思维和创造水平。所以具备合理的数学分析思想是加强学生数学学习效率的重要方式。（二）能够锻炼学生的观察水平在高中数学课堂教学期间，想提高学生的学习效率，前提是要锻炼他们的洞察力，如果教师在进行课堂教学期间可以合理地采用数学分析思维，那么便可以达到理想的教学效果。教师不要只限于理论内容，而是要从数学题中发现问题的本质，这样便能够让学生全面掌握数学内容，成为一名具有综合素养的人才。（三）能够把不熟悉的题型转变成熟悉的题型尽管数学概念和原理不多，不过能够根据数学题型的转化去检验学生对概念和原理的理解情况，所以学生在做新题型的过程中，或许会觉得是相同类型的题，不过实际上是不熟悉的题型。而在做不熟悉的题型的时候，一部分学生找不到解题的思路，这样就会让解题变得更加困难。所以学生要具有把不熟悉的题型转变成熟悉的数学分析思想，创建辅助元素、题目已知条件和问题之间所存在的关联性，这是非常实用的分析思想。三、数学分析思想在高中解题中的应用（一）通过数学分析思想来转变解题思路在高中数学当中，和数学题相比，数学概念和原理会少一些，同时数学题的类型时常会出现变化，这无疑增加了解题的困难性。学生对于新题型总是会手足无措，无法滤清思路，从而运算不出正确的答案。所以在这样的状况下，学生要增强对于数学题的理解力，而这就要求他们要具备完善的数学分析思想。着重分析数学题中已知条件和问题间所存在的关联性，这样就可以形成清晰的思路。（二）采用类比和归纳的方式来解题类比指的是把两者所具有的相同性质采取比较，然后由此分析出其余的性质中会包括的类似方面。而归纳指的是从局部到整体的一种推理过程，在大量的事物里对普遍的概念进行分析，并给出最终的结论。而无论是以上哪种形式，在进

高中数学选修4-4知识点清单

高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：

高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

第一课时 4.1 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程：一、复习准备： 1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ). ③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分. 分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－ (k +1)+2. 2. 练习： ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数） ③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.

高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。一、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k＝1 4 或k＝1 3. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log 1 2 (－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。 A. （－∞, 5] B. [5,+∞) C. (－1,5] D. [5,3) 5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2 ，则点P(x 1 ,x 2 )在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。