第二章 多项式
§2.1一元多项式的定义和运算
1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f
2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：
!
)
)...(1()1(!
)
1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n
n
---=+---+--+
-
§2.2 多项式的整除性
1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x
3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且
()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g
4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式
()()
()()
()(),121211
n
k
n k n
k x x x x x x f ++++++=-++
这里k 和n 都是非负整数．证明：
()()()
.11|1
n k 1+++++-x x f x x k
7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §2.3 多项式的最大公因式
1. 计算以下各组多项式的最大公因式：
( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f
(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=
2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f == 证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与
()x g 的一个最大公因式．
3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且
0≠-bc ad
证明：
()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++
4． 证明：
（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
5． 设()()22,242234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多项式。求()()][,x Q x v x u ∈使得
()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+
6． 设.1),(=g f 令n 是任意正整数，证明：.1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有.1),(=n m g f
7． 设.1),(=g f 证明：
.1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f
8． 证明：对于任意正整数n 都有).,(),(n n n g f g f =
9． 证明：若是()x f 与()x g 互素，并且()x f 与()x g 的次数都大于0，那么定理3.3.2里的()x u 与()x v 可以如此选取，使得()x u 的次数低于()x g 的次数，()x v 的次数低于()x f 的次数，并且这样的()x u 与()x v 是唯一的。
10． 决定k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。
11． 证明：如果()(),1),(=x g x f 那么对于任意正整数m ，
()()()1,=m
m
x g x f
12． 设()()x g x f ,是数域F 上的多项式。()x f 与()x g 的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式()x m ：
()a ()()x m x f 且()()x m x g ；
()b 如果)(x h ∈F[x]且()()()()x h x g x h x f ,，那么()().x h x m
()i 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的
差别外，是唯一的。
()ii 设 ()()x g x f ,都是最高次项系数是1的多项式，令()()[]x g x f ,表示()x f 和
()x g 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 ()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=
13． 设()()(),1x f x f x g n 并且()()().1,,2,1,1,-==n i x f x g i 证明：()().x f x g n 14． 设()()()].[,,21x F x f x f x f n ∈ 证明：
()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()ii ()()()x f x f x f n ,,21 互素的充要条件是存在多项式()()()]
[,,21x F x u x u x u n ∈ 使得
()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n
15． 设()()].[,,1x F x f x f n ∈ 令
()()()()(){}.1],[11n i x F x g x g x f x g x f I i n n ≤≤∈+=
比照定理1.4.2，证明：()()x f x f n ,,1 有最大公因式．[提示：如果()()x f x f n ,1不全为零，取()x d 是I 中次数最低的一个多项式，则()x d 就是()()x f x f n ,,1 的一个最大公因式．] §2.4 多项式的分解
1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：
()i ;132+x ().12223+--x x x ii
2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式14+x 为不可约因式的乘积.
3. 证明：()(),2
2
x f x g 当且仅当()().x f x g
4. ()i 求 ()1222345-++--=x x x x x x f 在][x Q 内的典型分解式；
()ii 求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在][x R 内的典型分解式
5.证明：数域F 上一个次数大于零的多项式()x f 是][x F 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意()],[x F x g ∈或者()()()1,=x g x f 或者存在一个正整数m 使得()().m
x g x f
6．设()x p 是][x F 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意
()()],[,x F x g x f ∈只要()()()x g x f x p 就有()()x f x p 或()(),x g x p 那么()x p 不可约. §2.5 重因式
1. 证明下列关于多项式的导数的公式：
()i ()()()()();x g x f x g x f '+'='+ ()ii ()()()()()()().x g x f x g x f x g x f '+'='
2. 设()x p 是()x f 的导数()x f '的1-k 重因式.证明：
()i ()x p 未必是()x f 的k 重因式；
()ii ()x p 是()x f 的k 重因式的充分且必要条件是()().x f x p
3. 证明有理系数多项式
()!
!212n x x x x f n
+++=
没有重因式.
4. b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？
()i ;33b ax x ++
()ii
.44b ax x ++
5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式()x f 能被它的导数整除的充分且必要条件是
()()n
b x a x f -=，
这里的b a ,是F 中的数
§2.6 多项式函数 多项式的根
1．设1532)(345+--=x x x x f ,求)2(),3(-f f .
2．数环R 的一个数c 说是][)(x R x f ∈的一个k 重根,如果)(x f 可以被k
c x )(-整除,但不能被1)(+-k c x 整除.判断5是不是多项式
5057422243)(235+++-=x x x x x f
的根.如果是的话,是几重根?
3．设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323 求.,,,d c b a [提示:应用综合除法．]
4．将下列多项式)(x f 表成a x -的多项式.
)(i 1,)(5==a x x f ;
)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .
5．求一个次数小于4的多项式)(x f ,使
2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f
6．求一个2次多项式,使它在ππ
,2
,
0=x 处与函数x sin 有相同的值.
7．令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x xg x f +可以被12++x x 整除. 证明
.0)1()1(==g f
8．令c 是一个复数,并且是][x Q 中一个非零多项式的根,令
}0)(|][)({=∈=c f x Q x f J
证明:)(i 在J 中存在唯一的最高次项系数是1的多项式)(x p ,使得J 中每一多项式
)(x f 都可以写成)()(x q x p 的形式,这里][)(x Q x q ∈. )(ii )(x p 在][x Q 中不可约.
如果32+=c ,求上述的)(x p [提示:取)(x p 是J 中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]
9．设][x C 中多项式0)(≠x f 且)(|)(n x f x f ,n 是一个大于1的整数. 证明:)(x f 的根只能是零或单位根.
[提示:如果c 是)(x f 的根,那么 ,,,3
2
n n n c c c 都是)(x f 的根.] §2.7 复数和实数域上多项式
1．设n 次多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 的根是n ααα,,,21 .求
)(i 以n ca ca ca ,,,21 为根的多项式,这里c 是一个数;
)(ii 以
n
ααα1
,
,1
,
1
2
1 (假定n ααα,,,21 都不等于零)为根的多项式.
2．设)(x f 是一个多项式,用)(x f 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:
)(i 若是g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ;
)(ii 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那
么)(x d 是一个实系数多项式).
3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解2-n x 为不可约因式的乘积. 5．证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式
1．证明以下多项式在有理数域上不可约:
)(i 108234-+-x x x ; )(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ;
)(iv 136++x x .
2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数而n 是一个大于1的整数,那么n t p p p 21是一个无理数.
3．设)(x f 是一个整系数多项式.证明:若是)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根.
4．求以下多项式的有理根:
)(i 1415623-+-x x x ; )(ii 157424---x x x ;
)(iii 32
1
2252345--+-
-x x x x x .
§2.9多元多项式
1．写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设),,(1n x x f 是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明
),,(),,(11n r n x x f t tx tx f =.
3．设),,(1n x x f 是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果
),,(),,(),,(111n n n x x h x x g x x f =,则h g ,也是n 元齐次多项式.
4．把多项式xyz z y x 3333-++写成两个多项式的乘积.
5．设F 是一个数域.],,[,1n x x F g f ∈是F 上n 元多项式.如果存在
],,[1n x x F h ∈使得gh f =,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g 整除f .
)(i 证明,每一多项式f 都可以被零次多项式c 和cf 整除,0,≠∈c F c .
)(ii ],[1n x x F f ∈说是不可约的,如果除了)(i 中那两种类型的因式外,f 没有其
它的因式.证明,在],[y x F 里,多项式y x y x y x -+2,,,都不可约.
)(iii 举一反例证明,当2≥n 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.
)(iv ],,[,1n x x F g f ∈说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零
的公共因式.证明],[,y x F y x ∈是互素的多项式.能否找到],[),(),,(y x F y x v y x u ∈使得1),(),(=+y x yv y x xu ? §2.10 对称多项式
1．写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.
2．令],,,[21n x x x R 是数环R 上n 元多项式环,S 是由一切n 元对称多项式所组成的],,[1n x x R 的子集.证明:存在],,[1n x x R 到S 的一个双射.[提示：利用对
称多项式的基本定理，建立],,[1n x x R 到S 的一个双射]
3．把下列n 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：
)(i ∑23
1x x ；)
(ii ∑4
x
；)
(iii ∑3
2
221x x x
．
4．证明：如果一个三次多项式c bx ax x +++23的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：
2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-
5．设n ααα,,,21 是某一数域Ｆ上多项式
n n n n a x a x a x ++++--111
在复数域内的全部根．证明：n αα,,2 的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于1α的多项式．［提示：只需证明n αα,,2 的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于1α的多项式即可．］
拉格朗日插值公式 2008-04-26 20:58 一．线性插值(一次插值） 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。 1. 插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照yk 和yk+1 写成两项: 记 并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表： 从而 P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x) 此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 . 例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。 解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设 x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010 则插值基函数为：
于是, 拉格朗日型一次插值多项式为: 故: 即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792). 二．二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足, P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 . 其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ), 求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。 1.插值基本多项式 有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足： (1) 基本多项式为二次多项式；(2) 它们的函数值满足下表： 因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设 lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ), 又因为 lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1 得
第5章 实验四Lagrange 插值多项式 实验目的：理解Lagrange 插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange 插值多项 式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange 插值多项式，理解龙格现象。 5.1 Lagrange 插值多项式 Lagrange 插值多项式的表达式： 1,,2,1,) ()()(, )()(1 11 1+=--==∏ ∑+≠=+=n i x x x x x l x l y x L n i j j j i j i n i i i 。 其中)(x l i 被称为插值基函数，实际上是一个n 次多项式。)(x l i 的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。 5.2 Lagrange 插值多项式源代码I % 功能： 对一组数据做Lagrange 插值 % 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi) % x,y 数组形式的数据表 % xi:待计算y 值的横坐标数组 % yi 用Lagrange 插值算出的y 值数组 function fi=Lagran_(x,f,xi) fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1 z=ones(size(xi)); for j=1:np1 if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end end fi=fi+z*f(i); end return
例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。 解：4个数据点的Lagrange 插值公式为： ) 9.36.1(*)7.26.5(*)6.16.5() 9.3(*)7.2)(6.1(* 94.2) 6.59.3(*) 7.29.3(*)6.19.3() 6.5(*) 7.2(*)6.1(*9.3) 6.5 7.2(*)9.37.2(*)6.17.2() 6.5(*)9.3(*)6.1(*22.4) 6.56.1(*)9.36.1(*) 7.26.1() 6.5(*)9.3(*) 7.2(* 3.3)(3------+ ------+ ------+ ------=x x x x x x x x x x x x x L 清单5.1 clear x=[1.6, 2.7, 3.9, 5.6]; y=[3.3, 1.22, 5.61, 2.94]； xi=[2.101,4.234]; yi=Lagran_(x,y,xi); xx=1.5:0.05:6.5; yy=Lagran_(x,y,xx); plot(xx,yy,x,y,'o') 其结果为： yi = 1.0596 6.6457 x g (x ):-, d a t a p o i n t s :o 图5.1 插值多项式曲线图
多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问，以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0 数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把 求P(x)的过程称为插值法。
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。 多项式插值这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。 埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。 分段插值与样条插值为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。 三角函数插值当被插函数是以2π为周期的函数时，通常用n阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。 插值（Interpolation），有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率。插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。 如果您认为本词条还有待完善，需要补充新内容或修改错误内容，请编辑词条 贡献者（共4名）： zy19842006、laner6810、明明我心521、lewuyang 问题的描述与基本概念
拉格朗日多项式插值法浅析 摘要 拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。 【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB 在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。 一、拉格朗日多项式插值算法基本原理 函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1） 则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。即是求一个不超过N 次多项式0111...)(a x a x a x a x P N N N N N ++++=-- (N i ...1,0=) 满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=)
宁夏师范学院数学与计算机科学学院 《数值分析》实验报告 实验序号：1实验项目名称：Lagrange插值多项式
end L(k,:)=V; end C=y*L 五、实验结果与数据处理 1.（1）清单： >> clear >> clf >> x=[1,2,2.5]; >> y=x+2./x; >> [C,L]=lagran(x,y); C = 0.4000 -1.2000 3.8000 >> xx=[1.5,1.2]; >> yy=polyval(C,xx) yy = 2.9000 2.9360 （2）清单 >> clear,clf >> x=[0.5,1,3,5]; >> y=x+2./x; >> [C,L]=lagran(x,y); C = -0.2667 2.5333 -6.3333 7.0667 >> xx=[1.5,1.2]; >> yy=polyval(C,xx) yy = 2.3667 2.6539 2. 清单： >> x=0:pi/16:pi/2; >> y=x.*sin(x); >> [C,L]=lagran(x,y); C = Columns 1 through 8 -0.0001 -0.0003 0.0089 -0.0005 -0.1663 -0.0001 1.0000 -0.0000 Column 9 >> xx=0:pi/16:pi/2; >> yy=polyval(C,xx); >> plot(xx,yy,'b',x,y,'.') >> hold on >> a=polyfit(x,y,4)
>> grid on 六、分析与讨论 通过本次的实验，我初步掌握了 综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力，运行过程中有几处错误，但照提示改过就出结果了。 七、教师评语
多项式 多项式的表达 MatLab中用按降幂排列的多项式系数组成的行向量表示多项式,如: p(x)=x^3-2x-5被表示为: p = [1 0 –2 –5]; 多项式的根 r = roots(p) r = 2.0946 –1.0473 + 1.1359i –1.0473 – 1.1359i 根被储存为列向量． 若要由方程的根构造多项式，则 p2 = poly(r) p2 = 1 8.8818e-16 – 2 –5 多项式估计 可以用多项式估计出多项式在某一点的值： polyval(p,5) ans = 110 同样也可以估计矩阵多项式的值p(X) = X^3 – 2X – 5I, X = [2 4 5; –1 0 3; 7 1 5]; Y = polyvalm(p,X) Y = 377 179 439 111 81 136 490 253 639 卷积 多项式相乘是一个卷积的过程,conv() a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; c = conv(a,b) c = 4 13 28 27 18 多项式相除是其逆过程，用deconv():
[q,r] = deconv(c,a) q = 4 5 6 r = 0 0 0 0 0 多项式曲线逼近 polyfit(x,y,n)能用多项式逼近由x,y向量提供的数据,n是其阶数,如: x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4]; p = polyfit(x,y,3) p = –0.1917 31.5821 –60.3262 35.3400 将图画出 x2 = 1:.1:5; y2 = polyval(p,x2); plot(x,y,’o’,x2,y2) grid on 分式多项式分解 residue()可将分式多项式分解如下:
第六章 多项式插值理论 一、区间[a , b ]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法) ① 对无限维函数空间的一个元素f (x ) 进行逼近，关于f (x ) 的情况仅知道一部分 (1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程) ② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: ?? ?? ?、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321 ③ 选择n X 中的元素)()(~x P x f n 或，在一定的约束条件下，使)(~ x f 良好的逼近()x f , 即 令)(~ x f = n n c c c φφφ+++ 2211关于()x f 在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。 ④ 良好逼近的判断 ε<-f f ~ e .g . Tchebychef f 范数，|| f || = |)(|max x f b x a ≤≤ 称为一致逼近。 ⑤ 约束条件: （依据对()x f 的了解来确定） i / 插值约束 )()(~ i i x f x f = 1n i ≤≤ i x ∈ (a , b ) 且i x 互不相同； ii / 插值与光滑性混合约束 (1)、 )()(~ i i x f x f = 1k i ≤≤ i x ∈(a , b ) 且i x 互不相同 (2)、 )()(~ i i x f x f '=' 1k i ≤≤ i x ∈(a,b) 且互不相同 (3)、 )(~ x f 的二阶导数存在 iii / 变分约束 （以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数 满足某些控制方程） 依据|| f -f ~||在n X 中为最小的条件，即确定常数n c c c 21, 使f ~ 的解由下列形式的极小化问题得到： || f -0f ~|| = min{|| f -f ~||：f ~ n X ∈} Note ：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。 iv / 正交约束 根据f -f ~ 与n 个给定基函数)(,),(),(21x x x n φφφ 的正交条件，确定常数： i c , 1n i ≤≤。即 < f -f ~ ,0)()](~ )([=->= ? dx x x f x f i b a i φφ 1n i ≤≤ {}n n Span X φφφ,,,21 =
几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-------- ，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本
例 若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值' 0()f x ，试求满足条件 ''001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x === 的插值多项式，并估计误差。 解 由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ， 又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数1()N x 也满足插值条件1()(),(0,1)i i N x f x i ==，故可设101()()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()() ()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+-- 为了确定常数A ，对上式求导，得 '0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-， 令0x x =代入，且注意插值条件'' 001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有'01010[,]()f x x f x A x x -=-，即多项式()H x 为 '010******** [,]()()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+--- ， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3)201()()()()6 f R x x x x x ξ=--。
拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x
5次拉格朗日插值多项式函数%% 求取五次Lagrange多项式L5(x). clear;clc; X = [0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05]; Y = [0.41075 0.57815 0.69675 0.90000 1.000000 1.25382]; % 求取插值基函数：L0_(x). syms x la_0 = 1; for ii = 2:length(X) if(ii == 1) continue else L_0 = (x-X(ii))/(X(1)-X(ii)); la_0 = la_0*L_0; end end L0_x = collect(la_0); % 求取插值基函数：L1_(x). la_1 = 1; for ii = 1:length(X) if (ii == 2) continue else L_1 = (x-X(ii))/(X(2)-X(ii)); la_1 = la_1*L_1; end end L1_x = collect(la_1); % 求取插值基函数：L2_(x). la_2 = 1; for ii = 1:length(X) if (ii == 3) continue else L_2 = (x-X(ii))/(X(3)-X(ii)); la_2 = la_2*L_2; end end L2_x = collect(la_2); % 求取插值基函数：L3_(x). la_3 = 1;
for ii = 1:length(X) if (ii == 4) continue else L_3 = (x-X(ii))/(X(4)-X(ii)); la_3 = la_3*L_3; end end L3_x = collect(la_3); % 求取插值基函数：L4_(x). la_4 = 1; for ii = 1:length(X) if (ii == 5) continue else L_4 = (x-X(ii))/(X(5)-X(ii)); la_4 = la_4*L_4; end end L4_x = collect(la_4); % 求取插值基函数：L5(x). la_5 = 1; for ii = 1:length(X) if (ii == 6) continue else L_5 = (x-X(ii))/(X(6)-X(ii)); la_5 = la_5*L_5; end end L5_x = collect(la_5); % 求取五次Lagrange多项式函数. Lagrange5_x = eval(collect(L0_x*Y(1)+L1_x*Y(2)+L2_x*Y(3)+L3_x*Y(4)+L4_x*Y(5)+L5_x*Y(6 ))) P = sym2poly(Lagrange5_x); % 得到五次Lagrange多项式函数的系数向量. K1 = polyval(P,0.596); % 进行多项式求值. fprintf('f(0.596)的值为：f(1.8) = %f\n',K1); K2 = polyval(P,0.99); % 进行多项式求值. fprintf('f(0.99)的值为：f(1.8) = %f\n',K1);
例若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值' 0()f x ，试求满足条件 ' ' 001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x === 的插值多项式，并估计误差。 解由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ， 又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数 1()N x 也满足插值 条件 1()(),(0,1) i i N x f x i ==，故可设1 ( ) ()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()() ()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+-- 为了确定常数A ，对上式求导，得 ' 0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-， 令0x x =代入，且注意插值条件'' 001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有 ' 01010 [,]() f x x f x A x x -= -，即()H x 为 ' 010******** [,]() ()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+ --- ， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3) 2 01() ()()()6 f R x x x x x ξ=--。
插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） （x cos，x e，它们 sin，） （x 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开
是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+----L 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。
请求高手帮忙给个hermite插值法和拉格朗日插值法的matlab程序，要求实现x=[-5.0000 -3.8889 -2.7778 -1.6667 -0.5556 0.5556 1.6667 2.7778 3.8889 5.0000]; y=[0.0385 0.0620 0.1147 0.2647 0.7642 0.7642 0.2647 0.1147 0.0620 0.0385];这组数据的两个插值函数，满意的话我还会加分，不胜感激！ Matlab函数M文件Lagrange程序 function yy=lagrange(x,y,xi) m=length(x);n=length(y); if m~=n,error('向量x与y的长度必须一致');end s=0; for i=1:n z=ones(1,length(xi)); for j=1:n if j~=i z=z .*(xi-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+z*y(i); end yy=s; 上面是拉格朗日插值法，其中xi为要计算的数值比如 x=[0 3 5 9 31]; y=[2 7 10 12 15]; xi=[1 4 7] ; yi=Lagrange(x,y,xi) 这是要求在1,4,7处的值。 hermite程序我没有。 三次样条插值函数的MATLAB程序 matlab的spline x = 0:10; y = sin(x); xx = 0:.25:10; yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy)
function f = Hermite(x,y,y_1,x0) syms t; f = 0.0; if(length(x) == length(y)) if(length(y) == length(y_1)) n = length(x); else disp('y和y的导数的维数不相等！'); return; end else disp('x和y的维数不相等！'); return; end for i=1:n h = 1.0; a = 0.0; for j=1:n if( j ~= i) h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2); a = a + 1/(x(i)-x(j)); end end f = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i)); if(i==n) if(nargin == 4) f = subs(f,'t',x0); else f = vpa(f,6); end end end