三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
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本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
《三角形的内角和》教学设计与说明 【教学内容】：“三角形的内角和”。例一，“试一试”和“练一练”。 【教材简析】： 本课教学先通过介绍数学家帕斯卡并讲述帕斯卡和三角形内角和的故事，激发学生的好奇心，进而引发“三角形内角和是180o”的猜想，再通过组织操作活动验证猜想，得出结论。最后让学生利用三角形内角和的知识求三角形中未知角的度数，并通过量角的度数的操作，进一步证实结论的正确性。因此本课教学需要引导学生度量、计算和实验，在活动中感知三角形内的三个角的度数之和是定数为180度，并能运用它解决有关实际问题，激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼学生的动手操作能力，发展学生初步的逻辑推理能力和空间观念。 【设计理念】： “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，教材通过多种方法的操作实验如：亲自动手测量、折叠、拼凑等，让学生确信这一个性质的正确性，根据学生已有的经验和教材的内容特点，本着学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”的教学理念，利用多媒体课件、采用小组合作探究式教学设计让学生经历猜想、验证、归纳总结等数学活动，体验知识的形成过程。在这节课中引入了帕斯卡和三角形内角和的故事为本节课注入了数学文化，数学思想，丰富了本节课的内容，这也是我这节课想要达到的教学目标. 【教学目标】： 1、知识与技能：让学生通过猜想——验证——归纳结论，发现“三角形的内角和是180o”。 2、过程与方法：让学生学会根据“三角形的内角和是180 o”这一知识求三角形中一个未知角的度数。 3、情感态度与价值观：激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼动手能力，发展空间观念，向学生传递数学文化，数学思想。 【教学重难点】：学生用撕拼法，折叠法自主探索三角形内角和是180o。 【教学准备】：多媒体，三角板，量角器、自制的三种三角形纸片等。 【教学过程】： 一、提出猜想： 多媒体出示帕斯卡的图片，介绍帕斯卡，并讲帕斯卡和三角形内角和的故事。 揭示课题：三角形内角和。 让学生大胆猜想三角形内角和是多少？ 【设计说明：通过帕斯卡和三角形内角和的故事引入课题，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。同时也可以培养学生大胆猜想的数学思想。】 二、验证猜想： 我们既然提出了猜想，那下面我们该去研究验证了这个猜想是否正确了。 你们想用什么方法去验证呢？ 下面我们就进行小组合作，用你们刚才想到的方法去研究，互相交流你们发现了什么？ 1、画、量： 在点子图上，分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。画好后分别量出各个角的度数，再把三个角的度数相加。 老师注意巡视和指导。交流各自加得的结果，说说你的发现。 2、折、拼： 学生用自己事先剪好的图形，折一折。 指名介绍折的方法：比如折的是一个锐角三角形，可以先把它上面的一个角折下，顶点和下面的边重合，再分别把左边、右边的角往里折，三个角的顶点要重合。发现：三个角会正好在一直线上，说明它们合起来是一个平角，也就是180度。 继续用该方法折钝角三角形，得到同样的结果。 直角三角形的折法有不同吗？ 通过交流使学生明白：除了用刚才的方法之外，直角三角形还可以用更简便的方法折；可以直角不动，而把两个锐角折下，正好能拼成一个直角；两个直角的度数和也是180度。 3、撕、拼： 可能有个别学生对折的方法感到有困难。那么还可以用撕的方法。 在撕之前要分别在三个角上标好角1、角2和角3。然后撕下三个角，把三个角的一条边、顶点重合，也能清楚地看到三个角合起来就是一个平角——180度。 三．归纳总结 刚才我们小组通过研究得出了什么结论呢？ 学生齐说：三角形的内角和是180o。 同学们你们想知道12岁的帕斯卡是用什么方法去验证的呢？多媒体出示帕斯卡的论证方法，教师讲解。 如果你们感兴趣的话可以到网络上去搜索有关帕斯卡的信息，再详细的了解他的这个论证方法！ 你们觉得帕斯卡的这种方法怎么样？
教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）. 三、构造直角三角形
八年级数学上册 三角形内角和定理(第一课时) 一、教学内容分析 1．教学主要内容 《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫. 2．教材编写特点 三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的. 3．我的思考 本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维. 二、学生分析 1．学生已有知识基础 学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍. 2．学生学习该内容可能的困难 (1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难. (2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰. (3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系. 3．我的思考： 在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化. 三、学习目标 1.知识与技能: （1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程； （2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；
《三角形的内角和》微课教案分析人教版 本节微课视频是苏教版数学教科书四年级下册第78~79页的教学内容。在教学之前，学生已经掌握了角的概念、角的分类和角的测量；认识了三角形，知道三角形是由三条线段首尾相接围成的图形，有三个顶点、三条边和三个角。这些已经构成学生进一步学习的认知基础。《三角形的内角和》是三角形的一个重要性质。学生在学习四年级上册“角的度量”时，通过测量三角尺三个角的度数，知道三角尺三个角加起来的和是180度，再加上课前的预习，大部分的学生已经能得出结论：三角形的内角和是180度，只不过他们不清楚其中的道理，只是机械性的记忆。因此，本节课的重点不是结论，而是验证结论的过程。教材组织学生对不同形状、不同大小的三角形的内角和进行探索，通过转化、推理、比较、操作和验证，总结概括出“所有三角形的内角和都是180度”的规律，从而进一步发展学生的空间观念，提高学生的自主学习能力和推理能力。 下面就具体谈谈微课的教学设计： 一、教学目标 1、通过测量、转化、观察和比较等活动探索发现并验证“三角形的内角和是180度”的规律，并且能利用这一结论解决求三角形中未知角的度数等实际问题。 2、通过折一折、拼一拼和剪一剪等一系列的操作活动培养学生的联想意识和动手操作能力。体验验证结论的过程与方法，提高学生分析和解决问题的能力。
3、使学生通过操作的过程获得发现规律的喜悦，获得成就感，从而激发学生积极主动学习数学的兴趣。 二、教学重点和难点 重点：让学生亲自验证并总结出三角形的内角和是180度的结论难点：对不同验证方法的理解和掌握。 三、教学过程 （一）质疑——发现问题，提出问题 出示学生熟悉的一副三角尺，让学生说说每块三角尺中各个内角的度数。试着计算每块三角尺的三个内角的度数加起来的和是多少度？ 交流：不同三角尺的内角和都是一样的吗？三角尺的内角和有什么特征？ 引导学生得出三角尺的三个内角的度数和是180度。 提问：三角尺的形状是什么三角形？三角尺的内角和是180度，我们还可以说成是什么？（得出结论：直角三角形的内角和是180度。）你有什么办法验证这一结论呢？（动手操作，寻找答案） 方法一：拿出不同的直角三角形，分别测量三个内角的度数，再求和。（提示存在误差，但三个内角的和都在180度左右）方法二：用两个相同的直角三角形拼成一个长方形，由于长方形的四个内角和是360度，因此能得出一个直角三角形的三个内角和是180度。 启发：直角三角形的内角和是180度，这一结论让你联想到了什么？你能提出什么新的数学问题呢？
《三角形内角和》教学设计 衡阳市高新区华新小学吴咏 教材内容：人教版四年级下册数学第67页例6 教学目标: 1、通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。 2、通过量算、撕拼、折拼等活动培养学生观察、操作、探究、归纳、概括、反思等能力和初步的空间想象力。 3、渗透转化迁移思想，培养学生大胆质疑的勇气和严谨科学的精神,及与他人合作交流的意识。 4、激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。 教学重点：让学生经历“三角形内角和是180度”这一知识的形成、发展和应用的全过程；知道三角形的内角和是180度并且能应用。 教学难点：对不同探究方法的指导。 教学准备：课件、各类三角形、学具袋（量角器、三种三角形，记录单）、直角三角板。 教学过程： 一、故事引入：（提出问题：任意一个三角形的内角和都是180度？） 猴王选太子，猴王跟他的三个儿子说我有一个锐角三角形，一个直角三角形，和一个钝角三角形，它们谁的内角和大呢？谁能告诉我，他就是王位的继承人。大儿子说：大王，我认为钝角三角形的内角和大。二儿子说：不对，应该是锐角三角形的内角和大。三儿子说：你们说的都不对，直角三角形的内角和大。（黑板上展示三类三角形） 他们能继承王位呢？（都不行） （学生猜测：任意一个三角形的内角和都相同，都是180度） 师：你肯定提前预习了我们的教材，你真是个会学习的好孩子！三角形的内角和是180度吗？（是或不是）。这只是我们的猜测，对于猜测，我们还要去验证。师：研究三角形的内角和，是不是应该包括所有的三角形呢？ 生：是。 师：需要把所有的三角形都拿出来一个一个进行验证吗？ 生：不需要。 师：那要怎么做呢？我们可以选择有代表性的三角形进行研究，三角形按角分可
1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）
七年级数学下册第九章《三角形》素材： 三角形的内角和问题 利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下： 第一卷命题32 在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。 设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。 事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞ 这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已经证明了角ACE也等于角BAC； 故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。 给以上各角加上ACB。 于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。 但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。
证完 ﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞ 但若不用这条公理，又何以证明呢？ 法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取 AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△ Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。 若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。
7.5 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理． 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明． 教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ①用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ②看哪个同学想的方法最多？ A D E A B C E D
方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA． ∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 活动目的： 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 教学效果： 添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的． 第三环节：反馈练习 活动内容： （1）△ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？ （2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？
《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的
3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m
解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3
ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。
《三角形的内角和》教案 设计思路：教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。让学生体验数学学习的快乐。学生分析： 四年级的学生已经掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。认识了三角形，知道了三角形根据角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。并且知道了等腰三角形和等边三角形。在量角时，已经对三角形内角和是180°进行了渗透。不少学生都已经知道了结论，但是很可能都知其然不知其所以然。教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。从教材的安排来看，是在学习了三角形的特性及分类之后，同时三角形的内角和又是学生以后学习多边形的内角和及解决实际问题的基础。在呈现教学内容时，我们要重视知识的形成过程，给学生提供动手操作的学具，留给学生充分进行自主探索和交流的空间，让学生通过量和拼的活动，在探索、实验、发现、讨论交流中，推理归纳出三角形的内角和是180°。 教学目标： 1.让同学亲自动手，通过量和拼的活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2.让同学在动手获取知识的过程中，培养同学的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向同学渗透“转化”数学思想。 3.使同学体验胜利的喜悦，激发同学主动学习数学的兴趣。 教学准备：多媒体课件、三角形、量角尺等 教学过程 一、激趣引入 （一）认识三角形内角 师：老师今天带了几个三角形来，请看屏幕，如果把它按照角来分类的话，有哪几种三角形？生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：无论是哪种三角形都有几个角？ 生：三个角。 师：我们把它的三个角叫做三角形的内角。 师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。 师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角和的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向同学直观介绍“内角”。） 师：今天我们就一起来研究三角形的内角和三个内角的和（板书：三角形的内角和）（二）研究一般三角形内角和 1.猜一猜。 师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自身的看法。 生1：180°。
人教版四年级下册数学《三角形的内角和》教学设计 教学目标： 1、知识与技能：通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。 2、过程与方法：通过量一量、剪一剪、拼一拼，培养学生的合作能力、动手实践能力，并运用新知识解决问题的能力。 3、情感态度价值观: 使学生体验数学学习成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。学情分析： 学生已经掌握了角的概念、角的分类和角的度量等知识。在本课之前，学生又掌握了三角形的稳定性研究了三角形的分类。这些都为进一步研究三角形内角和作了知识储备和心理准备，为本课内容的教学作了铺垫。三角形的内角和是三角形的一个重要性质。它有助于理解三角形的三个内角之间的关系，是进一步学习、研究几何问题的基础。 教学重点：探索发现和验证三角形的内角和是180度。 教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。 教具准备: 教师准备:多媒体课件不同类形大小不一的三角形若干个记录表 学生准备：量角器直尺剪刀 教学过程： 一、创设情境，导入新课 1、复习三角形的分类 同学们，【课件出示：三角形图形】这是什么图形？什么是三角形？三角形有什么特点？三角形按角分类有哪些三角形？【课件依次出示锐角三角形、钝角三角形、直角三角形】在数学王国里，这三种三角形在平日里是很要好的朋友，可是今天他们却为了一件事争吵了起来，他们为什么事而争吵呢？我们一起来看。 2、创设情境导入新课： ①【课件出示三个三角形对话的情境： 直角三角形：哈哈！我的三角形最大，所以内角和也就最大！ 钝角三角形：不对，不对。我有一个大钝角，所以我的内角和才最大！ 锐角三角形：我的三角形小，那我的内角和就小喽……】 同学们，看来三角形里一定藏有一些奥密，今天我们就来研究有关三角形的知识【课件出示课题：《三角形的内角和》】。 设计意图：创设情境激发学生学习的兴趣和学生的求知欲望。 二、探究新知
《三角形的内角和》微课创作说明书作品名称：《三角形的内角和》微课 学习内容：苏教版小学数学四年级下册第七章78～79页 适用对象：小学四年级数学 主讲：池州市贵池区永明小学陶胜保 教学设计 学习内容分析：本微课适应于小学四年级教师教学和学生学习。《三角形的内角和》是空间与图形教学的一部分，强调“动手实践、自主探索与合作交流，”让学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流活动中，逐步形成自己对数学知识的理解，注重在操作和体验中学习数学。教材通过测量三角形三个内角的度数，以及撕、拼、折等活动，体验三角形三个内角和是180° 适应对象分析： 1、学生年龄特点分析：学生是四年级的，已经有了一定的思考能力。 2、通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的一些基础知识，会用工具量角、画角，并且在四年级（上册）教材里已经知道了两块三角尺上的每一个角的度数，具备了探索三角形内角和的知识与技能基础。 教学目标： 1、让学生动手实践，通过量、拼、折等活动发现、证实三角形
内角和是180°并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2、让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透“转化”数学思想。 3、使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。 教学重点： 理解掌握三角形的内角和是180°。 教学难点： 让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。 教学过程： 一、创设情境，导入新课。 谈话导入：我们已经学习了有关三角形的知识，知道三角形有三个内角。今天我们就一起学习三角形的内角和。 二、探究新知： （一）特殊三角形的内角和。 1、出示两个直角三角板，问：“这两个三角形的每个内角各是多少度？” 2、算一算：每个三角形的内角和分别是多少度？ 3、出示算式，师指上面算式：“这两个三角形三个内角的内角和都是180°” （二）操作验证。
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学四年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
《三角形的内角和》微课教案分析 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学四年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 本节微课视频是苏教版数学教科书四年级下册第78~79页的教学内容。在教学之前，学生已经掌握了角的概念、角的分类和角的测量；认识了三角形，知道三角形是由三条线段首尾相接围成的图形，有三个顶点、三条边和三个角。这些已经构成学生进一步学习的认知基础。《三角形的内角和》是三角形的一个重要性质。学生在学习四年级上册“角的度量”时，通过测量三角尺三个角的度数，知道三角尺三个角加起来的和是180度，再加上课前的预习，大部分的学生已经能得出结论：三角形的内角和是180度，只不过他们不清楚其中的道理，只是机械性的记忆。因此，本节课的重点不是结论，而是验证结论的过程。教材组织学生对不同形状、不同大小的三角形的内角和进行探索，通过转化、推理、比较、操作和验证，总结概括出“所有三角形的内角和都是180度”的规律，从而进一步发展学生的空间观念，提高学生的自主学习能力和推理能力。 下面就具体谈谈微课的教学设计： 一、教学目标
1、通过测量、转化、观察和比较等活动探索发现并验证“三角形的内角和是180度”的规律，并且能利用这一结论解决求三角形中未知角的度数等实际问题。 2、通过折一折、拼一拼和剪一剪等一系列的操作活动培养学生的联想意识和动手操作能力。体验验证结论的过程与方法，提高学生分析和解决问题的能力。 3、使学生通过操作的过程获得发现规律的喜悦，获得成就感，从而激发学生积极主动学习数学的兴趣。 二、教学重点和难点 重点：让学生亲自验证并总结出三角形的内角和是180度的结论 难点：对不同验证方法的理解和掌握。 三、教学过程 （一）质疑——发现问题，提出问题 出示学生熟悉的一副三角尺，让学生说说每块三角尺中各个内角的度数。试着计算每块三角尺的三个内角的度数加起来的和是多少度？ 交流：不同三角尺的内角和都是一样的吗？三角尺的内角和有什么特征？ 引导学生得出三角尺的三个内角的度数和是180度。 提问：三角尺的形状是什么三角形？三角尺的内角和是180度，我们还可以说成是什么？
规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；
