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1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A 、45°
B 、60°
C 、75°
D 、85°
2、（2011?义乌市）如图，已知AB ∥CD ，∠A=60°，∠C=25°，则∠E 等于（ ）
A 、60°
B 、25°
C 、35°
D 、45°
3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何
者正确（ ）
A 、∠2=∠4+∠7
B 、∠3=∠1+∠6
C 、∠1+∠4+∠6=180°
D 、∠2+∠3+∠5=360°
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（）
A、36
B、72
C、108
D、144
5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）
A、37
B、57
C、77
D、97
6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（）
A、57°
B、60°
C、63°
D、123°
7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）
A、45°
B、135°
C、45°或135°
D、都不对
8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）
A、40°
B、30°
C、20°
D、10°
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）
A、至少有两个锐角
B、最多有一个直角
C、必有一个角大于60°
D、至少有一个角不小于60°
10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）
A、50°
B、40°
C、70°
D、35°
11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（）
A、120°
B、180°
C、200°
D、240°
12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（）
A、3个
B、2个
C、1个
D、0个
13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）
A、100
B、110
C、115
D、120
14、以下说法中，正确的个数有（）
（1）三角形的内角平分线、中线、高都是线段；
（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部；
（3）三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形；
（4）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角．
A、1
B、2
C、3
D、4
15、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
16、已知：△ABC，现将∠A的度数增加1倍，∠B的度数增加2倍，刚好使∠C是直角，则∠A的度数可能是（）
A、75°
B、60°
C、30°
D、45°
17、如图，BE、CF是△ABC的角平分线，且∠A=70°，那么∠BDC的度数是（）
A、70°
B、115°
C、125°
D、145°
18、如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（）
A 、14.5°
B 、15.5°
C 、16.5°
D 、20°
19、（2010?武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）
A 、100°
B 、80°
C 、70°
D 、50°
20、（2010?聊城）如图，l ∥m ，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A 、120°
B 、130°
C 、140°
D 、150°
21、（2009?湘西州）如图，l 1∥l 2，∠1=120°，∠2=100°，
则∠3=（ ）
A、20°
B、40°
C、50°
D、60°
22、（2007?临沂）如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（）
A、130°
B、230°
C、180°
D、310°
23、（2005?吉林）如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD 上一点，则x可能是（）
A、10°
B、20°
C、30°
D、40°
24、（2003?台湾）如图是A、B两片木板放在地面上的情形．图中∠1、∠2分别为A、B两木板与地面的夹角，∠3是两木板问的夹角．若∠3=110°，则∠2﹣∠1=（）
A、55°
B、70°
C、90°
D、l10°
25、（2002?烟台）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB 的外角平分线交于点O，设∠BOC=a，则∠A等于（）
A、90°﹣2α
B、90°﹣
C、180°﹣2α
D、180°﹣
26、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE 的内部，则（）
A、∠A=∠1+∠2
B、2∠A=∠1+∠2
C、3∠A=2∠1+∠2
D、3∠A=2（∠1+∠2）
27、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）
A、15°
B、20°
C、25°
D、30°
28、（2006?黑龙江）如图，AB∥CD，∠A=120°，∠1=72°，则∠D的度数为_________ 度．
29、如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D﹦24°，则∠A﹦_________ 度．
30、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为_________ 度．
答案与评分标准
一、选择题（共27小题）
1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）
A、45°
B、60°
C、75°
D、85°
考点：三角形内角和定理。
专题：计算题。
分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．
解答：解：如图．
∵∠2=60°，∠3=45°，
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠3=75°．
故选C．
点评：考查三角形内角之和等于180°．
2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，
则∠E等于（）
A、60°
B、25°
C、35°
D、45°
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°，根据三角形内角和定理得∠E=35°
解答：解：设AE和CD相交于O点
∵AB∥CD，∠A=60°
∴∠AOD=120°
∴∠COE=120°
∵∠C=25°
∴∠E=35°
故选C．
点评：本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理，关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角
3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L
1、L
2
、
L
3、L
4
所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何
者正确（）
A、∠2=∠4+∠7
B、∠3=∠1+∠6
C、∠1+∠4+∠6=180°
D、∠2+∠3+∠5=360°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质。
分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．
解答：解：∵四条互相不平行的直线L
1、L
2
、L
3
、L
4
所截出的
七个角，
∵∠1=∠AOB，
∵∠AOB+∠4+∠6=180°，
∴∠1+∠4+∠6=180°．
故选C．
点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（）
A、36
B、72
C、108
D、144
考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．
解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，
∵2（∠A+∠C）=3∠B，
∴∠B=72°，
∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，
故选C．
点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．
5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）
A、37
B、57
C、77
D、97
考点：三角形内角和定理。
专题：推理填空题。
分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为
180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．
解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，
∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，
又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：
①∠C＞90°，
∴∠B＜153°﹣90°=63°，
∴选项A、B合理；
②∠B＞90°，
∴选项D合理，
∴∠B不可能为77°．
故选C．
点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．
6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（）
A、57°
B、60°
C、63°
D、123°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。分析：根据三角形内角和为180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C+∠E，
∵∠E=37°，∠C=20°，
∴∠A=57°，
故选A．
点评：本题考查了三角形内角和为180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．
7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）
A、45°
B、135°
C、45°或135°
D、都不对
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算．解答：解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个交互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠EOD=180°﹣45°=135°，
故选C．
点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）
A、40°
B、30°
C、20°
D、10°
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）。
分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．
故选D．
点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相
等．
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）
A、至少有两个锐角
B、最多有一个直角
C、必有一个角大于60°
D、至少有一个角不小于60°考点：三角形内角和定理。
分析：可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确．
解答：解：根据三角形的内角和定理，不正确的是：必有一个角大于60°．
因为当三角形是等边三角形时三个角都相等，都是60度．故选C．
点评：本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．
10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）
A、50°
B、40°
C、70°
D、35°
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义，可以证明．
解答：解：∠BDC=90°+∠A，
故∠A=2（110°﹣90°）=40°．
故选B．
点评：注意此题中的∠A和∠BDC之间的关系：∠BDC=90°+∠A．
11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（）
A、120°
B、180°
C、200°
D、240°
考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角。
分析：根据等边三角形的性质求出∠B、∠C的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠1+∠2的大小．
解答：解：因为△ABC为等边三角形，
所以∠B+∠C=60°+60°=120°，
根据四边形内角和为360°，
可知∠1+∠2=360°﹣120°=240°．
故选D．
点评：此题通过剪切，将四边形的内角和等边三角形的知识结合起来，是一道好题．
12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（）
A、3个
B、2个
C、1个
D、0个
考点：三角形内角和定理。
分析：在锐角三角形的外角中，有三个钝角；在直角三角形
外角中，有两个钝角；在钝角三角形外角中，有两个钝角．综上可知，在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．解答：解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有3个锐角，
所以对应的在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．故选A．
点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
13、如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）
A、100
B、110
C、115
D、120
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：根据三角形内角和定理计算．
解答：解：∠ABC=50°，∠ACB=80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故选C．
点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角
和为180°．
14、以下说法中，正确的个数有（）
（1）三角形的内角平分线、中线、高都是线段；
（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部；
（3）三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形；
（4）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角．
A、1
B、2
C、3
D、4
考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高。分析：分别根据三角形的内角平分线、中线、高的定义及三角形内角和定理进行逐一判断即可．
解答：解：（1）正确，符合三角形的内角平分线、中线、高的定义；
（2）错误，当三角形为直角三角形或钝角三角形时不成立；（3）正确，可根据三角形的中线把原三角形分成的小三角形中，一个小三角形与原三角形同底但高为原三角形的一半进行证明；
（4）正确，根据三角形的内角和定理即可证明．
故选C．
点评：本题涉及面较广，涉及到三角形内角平分线、中线、高的定义及性质、三角形内角和定理，涉及面较广但难度适中．
15、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，
则这个三角形的形状为（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：如图，CD，BD分别是∠ACB，∠ABC的角的平分线，∠D=145°．要判断△ABC的形状，需算出△ABC中内角的度数．解答：解：如图，CD，BD分别是∠ACB，∠ABC的角的平分线，∠D=145°．
在△BCD中，∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠1+∠2=180°﹣145°=35°．
∵∠1=∠ACB，∠2=∠ABC，
∴∠ACB+∠ABC=2（∠1+∠2）=70°，
∴∠A=180°﹣（∠ACB+∠ABC）=110°，
∴△ABC的形状为钝角三角形．
故选C．
点评：本题先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2=35°，再根据角的平分线的性质求出∠ACB+∠ABC的值，再次利用三角形内角和定理求出∠A的度数，从而判断三角形的形状为钝角三角形．
16、已知：△ABC，现将∠A的度数增加1倍，∠B的度数增加2倍，刚好使∠C是直角，则∠A的度数可能是（）
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等． 直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝． 三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案
1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°， 所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°， 所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥， 所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°， 所以∠＋∠＝140°， 所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
《三角形的内角和》教学设计与说明 【教学内容】：“三角形的内角和”。例一，“试一试”和“练一练”。 【教材简析】： 本课教学先通过介绍数学家帕斯卡并讲述帕斯卡和三角形内角和的故事，激发学生的好奇心，进而引发“三角形内角和是180o”的猜想，再通过组织操作活动验证猜想，得出结论。最后让学生利用三角形内角和的知识求三角形中未知角的度数，并通过量角的度数的操作，进一步证实结论的正确性。因此本课教学需要引导学生度量、计算和实验，在活动中感知三角形内的三个角的度数之和是定数为180度，并能运用它解决有关实际问题，激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼学生的动手操作能力，发展学生初步的逻辑推理能力和空间观念。 【设计理念】： “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，教材通过多种方法的操作实验如：亲自动手测量、折叠、拼凑等，让学生确信这一个性质的正确性，根据学生已有的经验和教材的内容特点，本着学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”的教学理念，利用多媒体课件、采用小组合作探究式教学设计让学生经历猜想、验证、归纳总结等数学活动，体验知识的形成过程。在这节课中引入了帕斯卡和三角形内角和的故事为本节课注入了数学文化，数学思想，丰富了本节课的内容，这也是我这节课想要达到的教学目标. 【教学目标】： 1、知识与技能：让学生通过猜想——验证——归纳结论，发现“三角形的内角和是180o”。 2、过程与方法：让学生学会根据“三角形的内角和是180 o”这一知识求三角形中一个未知角的度数。 3、情感态度与价值观：激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼动手能力，发展空间观念，向学生传递数学文化，数学思想。 【教学重难点】：学生用撕拼法，折叠法自主探索三角形内角和是180o。 【教学准备】：多媒体，三角板，量角器、自制的三种三角形纸片等。 【教学过程】： 一、提出猜想： 多媒体出示帕斯卡的图片，介绍帕斯卡，并讲帕斯卡和三角形内角和的故事。 揭示课题：三角形内角和。 让学生大胆猜想三角形内角和是多少？ 【设计说明：通过帕斯卡和三角形内角和的故事引入课题，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。同时也可以培养学生大胆猜想的数学思想。】 二、验证猜想： 我们既然提出了猜想，那下面我们该去研究验证了这个猜想是否正确了。 你们想用什么方法去验证呢？ 下面我们就进行小组合作，用你们刚才想到的方法去研究，互相交流你们发现了什么？ 1、画、量： 在点子图上，分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。画好后分别量出各个角的度数，再把三个角的度数相加。 老师注意巡视和指导。交流各自加得的结果，说说你的发现。 2、折、拼： 学生用自己事先剪好的图形，折一折。 指名介绍折的方法：比如折的是一个锐角三角形，可以先把它上面的一个角折下，顶点和下面的边重合，再分别把左边、右边的角往里折，三个角的顶点要重合。发现：三个角会正好在一直线上，说明它们合起来是一个平角，也就是180度。 继续用该方法折钝角三角形，得到同样的结果。 直角三角形的折法有不同吗？ 通过交流使学生明白：除了用刚才的方法之外，直角三角形还可以用更简便的方法折；可以直角不动，而把两个锐角折下，正好能拼成一个直角；两个直角的度数和也是180度。 3、撕、拼： 可能有个别学生对折的方法感到有困难。那么还可以用撕的方法。 在撕之前要分别在三个角上标好角1、角2和角3。然后撕下三个角，把三个角的一条边、顶点重合，也能清楚地看到三个角合起来就是一个平角——180度。 三．归纳总结 刚才我们小组通过研究得出了什么结论呢？ 学生齐说：三角形的内角和是180o。 同学们你们想知道12岁的帕斯卡是用什么方法去验证的呢？多媒体出示帕斯卡的论证方法，教师讲解。 如果你们感兴趣的话可以到网络上去搜索有关帕斯卡的信息，再详细的了解他的这个论证方法！ 你们觉得帕斯卡的这种方法怎么样？
三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角 形外角 的性质及应用。 一.三角形外角的概念及特征 如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点; （2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边； （3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。 二.性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于 360 °。 三?应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是 55°和65°,这个三 角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 ° 解析：如图2，/ A 的外角为：180° 55 =125 °。 / B 的外角为：180° - 65° =115° / ACB 的外角为：55° +65 ° =120° 所以选D 。
BCD 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。，/ D=42 °，则/ E= （） 因为AB//CD 所以/仁/ B=23 ° / BED是厶EDF的外角 则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65 故选Co A. 23 例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D. 解析：延长
北师大版八上第七章第五节 《三角形内角和定理2》 教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉
《三角形内角和定理2》教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉 一课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。 二基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 三基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。 四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验 具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象
的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形 外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题 【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用 【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几
三角形的外角 一．选择题（共17小题） 1．如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ） ° ° C. 20° D. 35° 2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为（ ） ° ° ° ° 4．如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ） A. 100° B. 80° C. 70° ° 5．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C ，则∠BDC 的度数是（ ） ° ° ° ° : 6．如图所示，l 1∥l 2，则下列式子中值为180°的是（ ） ` 7．如图，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为O ，BC 与l 2相交于点E ，若∠1=43°，则∠2=（ ） ° ° ° ° 8．两个直角三角形如图放置，则∠BFE 与∠CAF 的度数之比等于（ ） A ． 8 ， B ． 9 C ． 10 D ． 11 9．如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为α，β，γ，若α：β：γ，=3：4：5，则∠A ：∠B ：∠C=（ ） :2:1 :2:3 :4:5 :4:3 《 10．如图，已知DC 是△ABC 中∠ACB 的外角平分线，则有（ ） A.B BAC ∠>∠ B.B BAC ∠=∠ C.B BAC ∠>∠ 不能确定 D. . A ． α+β+γ B ． α+β﹣γ C ． β+γ﹣α D ． α﹣β+γ
11．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） 12．若 △ABC 中，2（∠A+∠C ）=3∠B ，则∠B 的外角度数为何（ ） A ． 36 [ B ． 72 C ． 108 D ． 144 13．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ） 14．若 △ABC 的内角满足：2∠A ﹣∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC 是（ ） … A ． 直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 等边三角形 D ． 无法确定 — 15．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（ ） A ． 锐角三角形 B ． 直角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 等腰三角形 · 16．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P 发出，经平面镜OB ，OA 两次反射后回到点P ，已知PQ ∥OA ，PR ∥OB ，则∠1的度数为（ ） ° ° ° ° 17．如 图，在△ABC 中，∠B=90°，∠ACB 、∠CAF 的平分线所在的直线交于点H ，则∠H 的度数是（ ） 二．填空 题（共5小题） 18．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，线段BP 、BE 三等分∠ABC ，线段CP 、CE 三等分∠ACB ，那么∠BPE 的度数是 _________ ． 19．如图，是一个六角星，其中∠AOE=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ． … A ． 90° B ． 100° , C ． 130° D ． 180° A ． · ∠1与∠2 B ． ∠2与∠3 C ． ∠1与∠3 D ． 三个角都相等 A ． 30° B ． 45° C ． 。 60° D ． 以上都有可能
八年级数学上册 三角形内角和定理(第一课时) 一、教学内容分析 1．教学主要内容 《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫. 2．教材编写特点 三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的. 3．我的思考 本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维. 二、学生分析 1．学生已有知识基础 学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍. 2．学生学习该内容可能的困难 (1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难. (2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰. (3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系. 3．我的思考： 在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化. 三、学习目标 1.知识与技能: （1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程； （2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明；
7．2．2 三角形的外角 基础过关作业 1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形． 2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3．如图1，x=______． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________． 5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数． 综合创新作业 7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°， 则∠EDC=______． 8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A 应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°， 李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合 格，你能说出道理吗？
9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角． 培优作业 11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系． （2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）
利用三角形外角的性质解题 三角形外角的性质，在求角的度数，以及比较角的大小方面应用较广，现举例说明. 例1 如图，在?ABC 中 ，D 是AC 延长线上一点，则BCD ∠=（ ） A.72 B.82 C.98 D.124 析解：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 BCD ∠=36 +62 =98 .答案为（C ）. 例2 如图，已知?ABC 中，40B ∠= ，32BAC ∠= ， BC 边上的高为AD ， 求CAD ∠的度数？ 解：如图，因40B ∠= ，32BAC ∠= （已知）， 1403272B BAC ∠=∠+∠=+= 所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 901907218CAD ∠=-∠=-= 所以（直角三角形，两锐角互余）. 例3 如图，AF ，AD 分别是?ABC 的高和角平分线，且36B ∠= ， 76C ∠= .求DAF ∠的度数.
解： 因为36B ∠= ，76C ∠= ， 所以180180367668BAC B C ∠=-∠-∠=--= (三角形内角和等于180 ). 因为AD 平分BAC ∠，所以 1342 BAD BAC ∠=∠= . 所以70ADF B BAD ∠=∠+∠= （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 因为AF BC ⊥，所以90AFD ∠= . 所以180180709020DAF ADF AFD ∠=-∠-∠=--= 点拨归纳：做题时，要善于从图形中看出几何元素的多重身份，如ADF ∠既是ABD ∠的外角，又是ADF ?的外角; DAF ∠既是ADF ?的内角，又是DAC ∠与FAC ∠的差，解题时要从不同的角度去观察， 这样发现题中隐藏着的关系.
七年级数学下册第九章《三角形》素材： 三角形的内角和问题 利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下： 第一卷命题32 在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。 设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。 事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞ 这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已经证明了角ACE也等于角BAC； 故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。 给以上各角加上ACB。 于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。 但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。
证完 ﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞ 但若不用这条公理，又何以证明呢？ 法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取 AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△ Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。 若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。
七年级数学《三角形外角及其性质》 一、教学目标双向细目表 说明：1、学习内容的排列与教材的编排顺序相一致。 2、学习水平分为A、B、C、D四个等级： A：识记---了解、认识、感知、初步体会、初步学会 B：理解----说明、表达解释、懂得、领会 C：再现性情景应用---掌握、会用、归纳等 D：生成性的情景应用---会推导、证明、研究讨论、解决问题、总结评价等 3、对于每一知识要点和技能要点所需达到的学习水平，可在空格内“√”。 二、教学设计建议 （一）教材分析 本节课是上教版九年制义务教育课本七年级第二学期第十四章《三角形》第二节的第2课时。本节内容是在学生学习三角形内角和的相关知识后进行学习的。三角形和内角和外角互为邻补角，本节课从研究三角形的内角到研究三角形的外角，是对三角形认识的扩展和深化。本节课的教学重难点：掌握三角形外角的性质及运用三角形的外角的性质。 （二）学情分析
通过前面几节课的学习，学生已经掌握了三角形的基本概念，知道三角形的内角和为180°，三角形的外角与其相邻的内角是互补关系。这就为本节课的学习奠定了基础。本节课应注重渗透数学说理过程，从简单的问题中逐步培养学生运用几何语言的能力。 （三）教学过程设计 一、复习旧知 1、一个三角形有几个内角？内角间有什么数量关系？ 2、△ABC中∠A =50°，∠B=60°，求∠ACD的度数。 A B C D 3、引出三角形的外角； ——课题《14.2（2）三角形的外角及其性质》 二、新知探究 1、外角：三角形一个内角的邻补角叫做三角形的外角。 2、△ABC中一个内角相邻的外角有几个？他们有怎样的关系？一个三角形有几个外角？请画出△ABC的所有外角。 A B C D 3、问：根据上题的计算结果，请找出外角∠ACD与△ABC的三个内角间的数量关系。你有何发现？ （1）与相邻内角：∠ACD+∠ACB=180° （2）与不相邻内角：∠ACD=∠A+∠B, ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B 4、你能否对刚才发现在的结论加以说明呢？也即是：∠ACD=∠A+∠B
三角形外角应用 例 1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和 65°,这个三角形的外角不可能是（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 例 2. （宁波市中考）如图,AB//CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠E=（ ） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 例3. （2006年重庆市中考）,AB=AC,∠BAD=α,且 AE=AD,则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 例5. （2004年荆州市中考）在等边三角形中,P 为BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,3 2CD =,则△ABC 的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 6. （2002年福建省龙岩市中考）如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在BC 、AC 边上,且∠ADE=∠B,AD=DE.求证：△ADB ≌△DEC.
例7. 已知,如图,在△ABC 中,D 是三角形内一点,求证：∠BDC>∠BAC. 例8. 已知：如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,E 是AD 上一点,求证：∠DEC>∠ABC. 例9. 如图,已知：在△ABC 中,AB>AC,∠AEF=∠AFE,延长EF 与BC 的延长线交于G ,求证：)B ACB (2 1 G ∠-∠=∠. 例10. 如图,求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 练习： 1. （1996年昆明市中考）如图,α、β、γ分别是△ABC 的外角,且4:3:2::=γβα,则∠ACB 等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 2. （2004年陕西省中考）如图,在锐角三角形中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,且CD 、BE 交
《三角形的内角和》教案 设计思路：教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。让学生体验数学学习的快乐。学生分析： 四年级的学生已经掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。认识了三角形，知道了三角形根据角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。并且知道了等腰三角形和等边三角形。在量角时，已经对三角形内角和是180°进行了渗透。不少学生都已经知道了结论，但是很可能都知其然不知其所以然。教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。从教材的安排来看，是在学习了三角形的特性及分类之后，同时三角形的内角和又是学生以后学习多边形的内角和及解决实际问题的基础。在呈现教学内容时，我们要重视知识的形成过程，给学生提供动手操作的学具，留给学生充分进行自主探索和交流的空间，让学生通过量和拼的活动，在探索、实验、发现、讨论交流中，推理归纳出三角形的内角和是180°。 教学目标： 1.让同学亲自动手，通过量和拼的活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2.让同学在动手获取知识的过程中，培养同学的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向同学渗透“转化”数学思想。 3.使同学体验胜利的喜悦，激发同学主动学习数学的兴趣。 教学准备：多媒体课件、三角形、量角尺等 教学过程 一、激趣引入 （一）认识三角形内角 师：老师今天带了几个三角形来，请看屏幕，如果把它按照角来分类的话，有哪几种三角形？生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：无论是哪种三角形都有几个角？ 生：三个角。 师：我们把它的三个角叫做三角形的内角。 师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。 师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角和的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向同学直观介绍“内角”。） 师：今天我们就一起来研究三角形的内角和三个内角的和（板书：三角形的内角和）（二）研究一般三角形内角和 1.猜一猜。 师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自身的看法。 生1：180°。
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
三角形的外角 一、选择题 1、如右图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=( ) A.120° B.115° C.110° D.105° B C E 【答案】B 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质进行计算. 解：∠ADF=∠B+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠B=45°，∠C=38°， ∴∠ADF=83°， ∠DEF=∠A+∠ADF(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠A=32°，∠ADF=83°， ∴∠DEF=115°. 故应选B 考点：三角形外角性质 2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质可得：∠ACD=∠A+∠B ，根据题意可得：∠ACD+∠A+∠B=180°，所以可得：∠ACD+∠ACD=180°，求出∠ACB=90°. 解：如下图所示，设∠ACD+∠A+∠B=180°， ∵∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)， ∴∠ACD+∠ ACD=180°， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB=90°. 故应选C.
二、填空题 3、如图，x=______。 【答案】60°. 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质列出关于x的方程，解方程求出结果. 解：根据三角形外角的性质可得： x+80=x+x+20， 解得：x=60. 故答案是60°. 考点：三角形外角的性质 4、若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形。 【答案】钝角 【解析】 试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角. 解：如下图所示，∠ACD<∠ACB， ∵∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠ACB>90°. ∴△ACB是钝角三角形. 故应选C. 考点：三角形的外角 5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。 【答案】25cm 【解析】 试题分析：根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，再根据第三条边与其中一边的长相等确定第三边的长. 解：设第三边长为xcm， 根据三角形三边关系可得：25-10 规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。 举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________； 初中数学三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1） 因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 《三角形的内角和》案例分析 德清县乾元镇清溪小学沈琦琦 【案例】 教学目标： 1.知识与技能：通过小组合作，运用直观操作的方法，探究并发现三角形内 角和等于180度。能应用三角形内角和的性质解决一些简单问题。 2.过程与方法：经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量 一量”“拼一拼”“折一折”“推算”进行验证的数学思想方法。 3.情感态度价值观：使孩子们在数学活动中获得成功的体验，增强自信心。 培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，在学生亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。 教学重点：让学生探究发现并验证三角形内角和等于180度。 教学难点：帮助学生建立空间观念。 教学准备：教学课件、不同类型的三角形纸片、正方形和长方形纸片 , 教学过程： 一、创设情境 1.认识内角，引出课题 （把三种三角形贴在黑板上）你们认识它们吗一起来叫叫他们的名字。 它们有哪些共同特征呢（它们都有三条边和三个角） 这三个角称为三角形的内角，我们为了更好的区分这三个内角，可以为每个内角标上序号。（给角标上序号）那你们知道什么是三角形的内角和吗也就是三角形三个内角的度数总和，对吗今天我们就来研究三角形的内角和（板书课题） 2.情境引入 猜想： 你们认为三角形的内角和会是多少度呢你是怎么知道的啊 师：同学们认为三角形的内角和是180度（板书：三角形的内角和是180度) ~ 那三角形的内角和真的是180度吗（在“180度”后面打上“”）想不想自己来验证一下呢 二、小组合作探究三角形的内角和 验证： 老师给大家准备了一些材料（展示材料时教师逐一举一举），请大家选择其中的一些材料想方法来验证。比一比哪个小组同学想到的方法又多又好。 1.学生操作教师巡视 预设： 生1：量出三角形的三个内角和度数，加起来是否是180度。 生2：把三角形的三个内角剪下来拼一拼是否能拼成一个平角。 生3：折一折 生4：用长方形或正方形的内角和度数推算出三角形的内角度数。 ` …… 2．学生汇报 （1）量一量，算一算 师：哪个小组先来汇报一下，你用了什么方法（板书：量一量）那你量的是什么三角形另两种三角形你量了吗（请学生自己汇报自己的测量结果）看了这些测量的结果，你有什么发现（三角形的内角和有些是180度，有些不是） 师：你们发现三角形的内角和有些等于180度，有些接近180度，所以认为通过测量我们只能说三角形的内角和大约是180度，是吗（板书：大约，并把问号改成句号） 师反问：为什么会出现这样的情况 师：你们的意思是在量的过程中会产生误差。所以得到的三角形的内角和只能大约是180度。 师：那除了量一量的方法，还有用其他的方法来验证的吗 （2）剪一剪，拼一拼 ， 生：我们组是用剪拼的方法（板书:剪一剪） 师：你们验证的是什么三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）师：请上来给大家展示下好吗 生：先把三个内角剪下来，然后拼起来了就是一个平角了，就是180度了。三角形内角和外角练习题
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