一元二次方程韦达定理的应用
知识点：
一元二次方程根的判别式 ：
当△>0 时________方程_____________，
当△=0 时_________方程有_______________ ，
当△<0 时_________方程___________ .
韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值
4.已知两数的和与积， 求这两个数
例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.
例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=
(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;
例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302
x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5.当 m 为何值时， 方程2
8(1)70x m x m --+-=的两根：
(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.
例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实
根，
求证： 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---
=有两个相等的正的实数根， 求m n 的值。
课堂练习：
1.下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ ）
A. 2210x x +-=
B. 220x ++=
C. 210x +=
D. 220x x ++=
2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个根，则12
11x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C C.
13 D .1 3.关于 x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为 0， 则 m 的值为（ ）
A.1
B.-3
C.1 或－3
D.不等于 1 的实数
4.方程 22(25)(2)0x k x k --+-= 的两根互为相反数， k 的值为（ ）
A. k =5或 - 5
B. k =5
C. k = -5
D.以上都不对
5.若方程240x mx ++=的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ ）
A.±8
B.8
C.-8
D.±4
6.已知关于 x 的方程210(3)70x m x m -++-=， 若有一个根为0， 则 m=________ ， 这时方程的另一个根是 ________； 若两根之和为35
-， 则 m=_______ ， 这时方程的两个根为____________
7.已知方程 210x px +-=
的一个根为2- 可求得 p=_______ 8.
若2-是关于 x 的方程2280x x k -+=的一个根， 则另一个根为 _____ ， k = _____ 。
9.方程22650x x --=两根为α，β， 则222______,()=______αβαβ+=-。
10.要使2469n n a -+与3n
a 是同类项， 则 n=______________ 11.解下列方程：
(1) 2
(21)16x -= (2) 2430x x -+= (3) 25320x x --= 12.关于 x 的方程2
(21)(3)0ax a x a --+-=有实数根， 求 a 的取值范围。
13.设12,x x 是方程22410x x -+=的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) 12(1)(1)x x ++； (2)
1221x x x x +； (3) 2212x x + . 14.关于 x 的方程2(21)(3)0x a x a ----=， 试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。
15.已知关于 x 的方程222(1)3110x m x m +-+-= ，
（ 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？
（ 2） 是否存在实数 m ， 使方程的两根
1221
+1x x x x =-?若存在， 求出方程的根； 若不存在， 请说明理由。
16.关于 x 一元二次方程 2()2()0c b x b a x a b -+-+-= 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。
17.已知 Rt △ABC 中， 两直角边长为方程2(27)4(2)0x m x m m -++-=的两根， 且斜边长为 13， 求S ABC ?的值.
韦达定理的应用测试题
日期：_______月________日 满分：_________ 100 分 ：______ 得分：__________
1.关于 x 的方程2210ax x -+= 中， 如果 a<0， 那么根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
2.将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是( )
A. 2(2)1x -=
B. 2(2)1x -=
C. (x - 2) 2 =5
D. 2
(2)5x -=
3.设 12,x x 是方程222630x x -+=的两根， 则2212x x + 的值是（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
4.已知 x 方程20(0)mx nx k m ++=≠有两个实数根， 则下列关于判别式的判断正确的是（ ）
A. 240n mk -< 0
B. 240n mk -=
C. 240n mk ->
D. 240n mk -≥ 5.若关于 x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围为（ ）
A. k<1
B.k≠0
C. k>0
D. k<1 且 k≠0
6.关于 x 的方程2(2)210a x ax a --++=有两个不相等的实数根，a 的值为（ ）
A. a<-2
B. - 2 C. a>-2 且 a ≠ 2 D. a ≥ -2 且 a ≠ 2 7.设 n 为方程20(0)x mx n n ++=≠的一个根， 则 m n + 等于________ 8.如果一元二次方程 2240x x k ++=有两个相等的实数根， 那么 k=_______ 9.如果关于 x 的方程22 2(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是_______ 10.已知12,x x 是方程2520x x ---=的两根， 则： (1) 12x x + =________ ； (2) 12x x ? ==________ ； (3) 212()x x -=________ 11.解下列一元二次方程： (1) 22310x x ++= (2) 27430x x --= (3) 2620x x -+= 12.已知关于 x 的方程2 2(1)10x m x m -++-=的一个根为 4， 求 m 值及此方程的另一个根。 个不相等的实数根。 14.若规定两数 a, b 通过“ ※” 运算, 得到 4ab, 即 a ※b=4ab. 例如 2※6=4×2×6=48. (1) 求 3※5 的值； (2) 求 x ※x+2 ※x-2※4=0 中 x 的值。 15.求证： 不论 k 取什么实数， 方程2 (6)4(3)0x k x k -++-=一定有两个不相等的实数根. 一元二次方程韦达定理的应用参考答案 知识点： 一元二次方程根的判别式 ： 当△>0 时240b ac ->方程有两个不相等的实数根， 当△=0 时240b ac -=方程有有两个相等的实数根， 当△<0 时240b ac -<方程没有实数根. 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积， 求这两个数 例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根. 分析：224(2)41(84)b ac m m ?=-=--??- 配方法 论证 例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由. （1）13k >-且0k ≠ （2）不存在，k=-1时无实数根 例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--= (1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值; (1)k ≤5 （2）3k =± 例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302 x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。 （1）222214(2)4(3)616(3)702 b a c m m m m m ?=-=---=-+=-+> （2）121121221x x x x x x m m +=++=+-+=+，121x m =- 121x m =-，代入方程求m 的值，12120,17 m m == 例 5.当 m 为何值时， 方程2 8(1)70x m x m --+-=的两根： (2) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2. 分析：224(1)48(7)0b ac m m ?=-=--??-≥ 两根之和和两根之积去判断。 例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --++=有两个相等的实根， 求证： 这个三角形是直角三角形。 证明：22444()()0b ac a b c b c ?=-=-+-= 222a c b += 例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn --+ =有两个相等的正的实数根， 求m n 的值。 分析：2(2)()(4)0m n mn m n m n ?=--=--= 1,4m n = 课堂练习： 1.下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ C ） A. 2210x x +-= B. 220x ++= C. 210x += D. 220x x ++= 2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个根，则12 11x x +的值是（ A ） A.3 B.-3 C C. 13 D .1 3.关于 x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为 0， 则 m 的值为（B ） A.1 B.-3 C.1 或－3 D.不等于 1 的实数 4.方程 22 (25)(2)0x k x k --+-= 的两根互为相反数， k 的值为（ C ） A. k =5或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5.若方程240x mx ++=的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ A ） A.±8 B.8 C.-8 D.±4 6.已知关于 x 的方程2 10(3)70x m x m -++-=， 若有一个根为0， 则 m=__7______ ， 这时方程的另 一个根是__0__； 若两根之和为35-， 则 m=_-9_,这时方程的两个根为____________ 7.已知方程 210x px +-= 的一个根为2- 可求得 p=__128,15 x x ==-_____ 8. 若2-是关于 x 的方程2280x x k -+=的一个根， 则另一个根为 2+，k = __2___ 。 9.方程22650x x --=两根为α，β， 则222__14_,()=__19____αβαβ+=-。 10.要使2469n n a -+与3n a 是同类项， 则 n=___2或3____ 11.解下列方程： (1) 2 (21)16x -= (2) 2430x x -+= (3) 25320x x --= 1253,22x x ==- 121,3x x == 122,15 x x =-= 12.关于 x 的方程2 (21)(3)0ax a x a --+-=有实数根， 求 a 的取值范围。 18 a >-且0a ≠ 13.设12,x x 是方程22410x x -+=的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值： (1) 12(1)(1)x x ++； (2) 1221 x x x x +； (3) 2212x x + . （1）72 (2)6 (3)3 14.关于 x 的方程2(21)(3)0x a x a ----=， 试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。 分析：22(21)4(3)411a a a ?=-+-=- 15.已知关于 x 的方程222(1)3110x m x m +-+-= ， （ 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？ （ 2） 是否存在实数 m ， 使方程的两根 1221 +1x x x x =-?若存在， 求出方程的根； 若不存在， 请说明理由。 (1) 2224(1)4(311)88480m m m m ?=---=--+=，122,3m m ==- （2）221121212 ()21x x x x x x x x ++=-=-，可得23470m m --=，解得17,13m m ==- 16.关于 x 一元二次方程 2 ()2()0c b x b a x a b -+-+-= 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。 解答：24()4()()4()()0b a a b c b a b a c ?=----=--=，a b =或a c = 等腰三角形 17.已知 Rt △ABC 中， 两直角边长为方程2(27)4(2)0x m x m m -++-=的两根， 且斜边长为 13， 求S ABC ?的值. 答案：5,30m S ABC ?== 韦达定理的应用测试题 日期：_______月________日 满分：_________ 100 分 ：______ 得分：__________ 1.关于 x 的方程2210ax x -+= 中， 如果 a<0， 那么根的情况是（C ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2.将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是( D ) A. 2(2)1x -= B. 2(2)1x -= C. (x - 2) 2 =5 D. 2(2)5x -= 3.设 12,x x 是方程222630x x -+=的两根， 则2 2 12x x + 的值是（C ） A.15 B.12 C.6 D.3 4.已知 x 方程20(0)mx nx k m ++=≠有两个实数根， 则下列关于判别式的判断正确的是（D ） A. 240n mk -< 0 B. 240n mk -= C. 240n mk -> D. 240n mk -≥ 5.若关于 x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围为（ D ） A. k<1 B.k≠0 C. k>0 D. k<1 且 k≠0 6.关于 x 的方程2(2)210a x ax a --++=有两个不相等的实数根，a 的值为（C ） A. a<-2 B. - 2 C. a>-2 且 a ≠ 2 D. a ≥ -2 且 a ≠ 2 7.设 n 为方程20(0)x mx n n ++=≠的一个根， 则 m n + 等于___-1_____ 8.如果一元二次方程 2240x x k ++=有两个相等的实数根， 那么 k=___±2____ 9.如果关于 x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是__98 k <-_____ 10.已知12,x x 是方程2520x x ---=的两根， 则： (1) 12x x + =___-5_____ ； (2) 12x x ? ==_____2___ ； (3) 212()x x -=____17____ 11.解下列一元二次方程： (1) 22310x x ++= (2) 27430x x --= (3) 2620x x -+= (21)(1)0x x ++= (73)(1)0x x +-= x = 121,12x x =-=- 123,17 x x == 12.已知关于 x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为 4， 求 m 值及此方程的另一个根。 1296,55 m x = =- 13.已知： 关于 x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=， 若 m ＞0， 求证： 方程有两 个不相等的实数根。 14.若规定两数 a, b 通过“ ※” 运算, 得到 4ab, 即 a ※b=4ab. 例如 2※6=4×2×6=48. (1) 求 3※5 的值； (2) 求 x ※x+2 ※x-2※4=0 中 x 的值。 （1）4x3x5=60 （2）124,2x x =-= 15.求证： 不论 k 取什么实数， 方程2 (6)4(3)0x k x k -++-=一定有两个不相等的实数根. 分析：224(6)16(3)0b ac k k ?=-=+--> 韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数 韦达定理（根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ． 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝ ． 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 . １0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . １1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ． 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 韦达定理及其应用 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则 ，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，， 等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。 思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。 学科：奥数年级：初三 不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。 思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2 若，且，试求代数式的值。 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m ，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理， 得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方 程。 解 （1）由韦达定理知 ， 。 ， 。 所以，所求方程为 。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 于是，得以下七个方程 ， ， ， ，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 考点：根与系数的关系．专题：应用题． 分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可． 解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ． （1）计算对称式的值 例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． （2）定性判断字母系数的取值范围 例二 一个三角形的两边长是方程 的两 根，第三边长为2，求k 的取值范围。 例三 已知关于x 的方程221(1)104 x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2 x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若 一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推 一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，， 这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方 程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若 ，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征； ④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【范例解读】 题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m 根的判别式 【典例1】.关于x 的方程10422 =-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 _____；k ＝______。 【典例2】.1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式 的值： （1）2 2 2 1x x +（2） 2 1x x -（3）22 22133x x x -+ 【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与 有一个相同的根，求k 的值。 【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 【典例5】已知方程 两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。 韦达定理 [典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________ [典例2]解方程组 [典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。 [典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。 [典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。 [典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根 （1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。 训练题 1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m． （1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值． 2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0， ③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值． 1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22 424b b ac x a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定． 判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用： 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 二、韦达定理 如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ， ，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=-- 比较等式两边对应项的系数，得 1212 b x x a c x x a ? +=-??? ??=??? ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ， 必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<， 初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。 一元三次方程求根问题 一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。 显然，所有的一元三次方程都可以转化为 x 3+bx 2+cx +d =0的形式， 先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式 ()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333 22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为 x 3+mx+n=0 这便是一个特殊的一元三次方程。 而 ?????-=+-=n B A m B A 333 3327 所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程 0273 2 =-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得 ???? ?????+--=++-=22742274223223m n n B m n n A 故3323 3 227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法 将 ax 2+bx +c =0 转化为 04422=-+??? ??+a b ac 2a b x a 再将a b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。 那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得???? ??-+???? ??-+??? ??+=+++2733323 23b d x b c b x d cx bx x ???? ??+-+??? ??+???? ??-+??? ??+=2723333323 b b c d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得 3 2233b t n t n x ---++-= 其中108 441827274,3,27233 32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。 接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。 设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程， 第二讲 一元二次方程实数根与韦达定理 一 知识要点 实系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x 1. 根的判别式 2. 韦达定理 二. 例题解析 例1.已知方程220()x x m m R --=∈没有实根,试判断关于x 的方程 ()()222212110x mx m x +++-+=有无实根. 例2.k 为何值时，关于x 的方程()22241210x k x k -++-= （1）有两个不相等的实根； （2）有两个相等的实根； （3）没有实数根 例3.方程：()()2212110a x a x --++=只有一个实根，求a 的值 例4.设关于x 的方程：2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根，求实数,a b 的值。 例5.已知12,x x 是方程22310x x --=的根，求223321121212 ,,,x x x x x x x x +++ 12221211,x x x x +-的值； 例6若方程2(32)0x x a +--=的两个实根分别为12,x x ，下就根的取值范围，分别求实数a 的取值范围 （1）两实根均大于0； （2）两实根均小于0； （3）两实根一个大于0，一个小于0； （4）两实根均大于1； （5）两实根均小于1； （6）两实根一个大于1，一个小于1； 例7 已知方程2520,x x +-=作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的立方的倒数。 例8.已知a 为实数，解关于x 的方程10x x a ++= 例9.已知方程42280x mx ++=的四个根均为整数，求m 的值及方程的根。 例10.对自然数,n 设关于x 的二次方程22(21)0x n x n +++=的两根为,n n αβ，求下式的值： ()()()33442020 1111(1)1(1)1(1)αβαβαβ+++++++++ 根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1．判别式的应用 例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根. 证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得 △=（Pc+Ra）2-4ac =（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac =（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）. ∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0； （2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根. 例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA. （1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）； 此处无图 （2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即 x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0. ∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0. （2）x1＜0＜x2＜a. 例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 将此式看作关于x的二次三项式，则判别式 △= 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，① ②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤ 分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明由①得z=a-x-y，代入②整理得 此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有 下面几种方法仅供参考 1、可以用待定系数法来解决。根据高等数学中的理论，任何一个高次多项式,都可以分解 为若干个一次因式和判别式（B^2-4ac<0)的二次因式的乘积。所以你假设原始可以分解为（ax+b)(cx+d）（ex^2+fx+g）然后把这个式子展开，和你要分解的那个原式用对应系数相等的法则来求解出常数a，b，c,d，e,f,g 的值就可以了。 2、试根法 例如x^3-5x^2+17x—13 看看x等于什么可以使他等于0 显然x=1可以 所以有一个因式是x-1 所以x^3—5x^2+17x—13 =x^3—x^2—4x^2+4x+13x—13 =x^2（x—1）—4x(x-1）+13（x—1) =(x-1)（x^2-4x+13) 3一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型. 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^（1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下: （1）将x=A^(1/3）+B^（1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B）+3（AB）^（1/3）（A^(1/3）+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^（1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB）^（1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB）^(1/3)x－（A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知 （5）－3（AB)^（1/3）＝p，－（A+B)=q,化简得 (6)A+B＝－q，AB＝—（p/3)^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6)则是关于形如 ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－(b/a),y1*y2=c/a （9)对比（6）和（8）,可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，—（p/3）^3＝c/a （10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－(b＋（b^2－4ac）^(1/2））/（2a） y2＝－（b－(b^2－4ac）^（1/2)）/（2a) 可化为 (11）y1＝－（b/2a)—（(b/2a）^2—(c/a))^（1/2) y2＝－（b/2a）+（(b/2a）^2—（c/a））^（1/2） 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定 理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 【内容综述】 设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。 其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时， （2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。 其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方 的值。 二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题 【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围． 【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 讲点2：距离问题 【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D ，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m 是抛物线的顶点，已知CD 的值． 【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物 线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值． 讲点3：隐藏判别式 【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立． 【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 讲点4：交点间的距离 【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x 1 ， y 1），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 2 ）两点． （1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想． 【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式． 【练】如图，抛物线C 1 ：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物 线C 1沿y轴翻折得新抛物线C 2 ，过点C作直线l交抛物线C 1 于点M，交抛物线C 2 于 点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题韦达定理在解析几何中的应用
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