等边三角形经典习题

等边三角形练习题

一、选择题

1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③

D ．①②③④

3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（ ）

A ．等边三角形

B ．腰和底边不相等的等腰三角形

C ．直角三角形

D ．不等边三角形

题3 题5

4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ）

A ．2cm

B ．4cm

C ．8cm

D ．16cm

5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状

二、填空题

1．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．

2.在直角三角形ABC 中，?=∠90C ，如果A B ∠=∠2，那么=∠A ______，=AB ________BC .

3.如图，已知：ABC ?是等边三角形，cm AB 5=，BC AD ⊥，AB DE ⊥，AD AF =， 则=∠BAD ________，=∠ADF _______，=BD _________cm ，=∠FDC _____.

3题图 10题图 11题图

4.一辆汽车沿?30角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度是____ _米.

5.一等腰三角形的一个底角为?30，底边上的高为cm 9，则这个等腰三角形的腰长是________cm ，

顶角是_______.

6.ABC ?为等边三角形，D 为BC 边上的一点，AB DE //，交AC 于点E ，则EDC ?为______三角形.

7.在ABC ?中，?=∠30B ，?=∠45C ，

若BC AD ⊥，D 为垂足，1=CD ，则=AB ______. 8．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． E D

C A

B F

21E

D C A B

9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，?则CD?的长度是_______．

10. 如图，ΔABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则AD= ，ΔEFC 的周长=

。

11.如图，已知：在ABC ?中，cm AC AB 4==，?=∠15ABC ，AC BD ⊥于点D ，则=BD ______.

三、解答题

1．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC?于点D ，?求证：?BC=3AD.

2. 如图，已知：在ABC ?中，?=∠=120,BAC AC AB ，D 是BC 上的一点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。求证：BC DF DE 2

1=+。

3. 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥。 求证：AD CD 3=。

4.如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，BC DE ⊥于E 。求证：BE BC 4=。

5.如图，已知：在ABC ?中，?=∠?=∠30,90A ABC ，CD 平分ACB ∠。求证：BD AD 2=。

D C A B

6. 如图，已知：在直角三角形ABC 中，?=∠90C ，?=∠75ABC ，从顶点B 引BD 交CA 于D ，使?=∠30CDB .

求证：BC AD 2=.

7. 如图，已知：在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，?=∠30A ，AB CD ⊥，BC DE ⊥，D 、E 是垂足，cm AB 24=。求BE 。

8. 如图，已知，在ABC ?中，?=∠60A ，高BD ，EC 相交于点H ，且1=HD ，2=HE 。 求BD ，CE 的长。

9.如图，在ABC ?中，AC AB =，?=∠30BAD ，且AD AE =，求EDC ∠的度数。

10.如图，已知：在ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，AC DE //交AB 于E ，AB DF //交AC 于F ，又6=AE 。求：四边形AFDE 的周长。

11．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD?的夹角是多少度？

12. 如图，已知等边ΔABC 的∠ABC 、∠ACB 的平分线交于O 点，若BC 上的点E 、F 分别在OB 、OC 垂直平分线上，试说明EF 与AB 的关系，并加以证明。

13.如图，已知ΔABC 是等边三角形，D 为AC 上一点，∠1=∠2，BD=CE ，求证：ΔADE 是等边三角形。

14．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，

①求证：BE=AD ； ②求证：CF=CH ；

③判断FH?与BD 的位置关系，并证明．

E D C A

B H F

经典初中数学三角形专题训练及例题解析

知 识点梳理 考点一、三角形 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ??? ????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性 6、三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分)

边形共有 2)3 ( n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E

初中三角形总复习专题典型例题经典测试题2套

三角形资料 一、三角形相关概念 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段． （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线． ②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点． ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可． （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高． 注意：①三角形的三条高是线段 ②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （四）三角形的内角 结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° （1）构造平角 ①可过A点作MN∥BC(如图) ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）

等边三角形经典习题

等边三角形练习题 一、选择题 1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ 3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形 题3 题5 4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm 5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状 二、填空题 1．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______． 2.在直角三角形ABC 中，?=∠90C ，如果A B ∠=∠2，那么=∠A ______，=AB ________BC . 3.如图，已知：ABC ?是等边三角形，cm AB 5=，BC AD ⊥，AB DE ⊥，AD AF =， 则=∠BAD ________，=∠ADF _______，=BD _________cm ，=∠FDC _____. 3题图 10题图 11题图 4.一辆汽车沿?30角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，那么这座山的高度是____ _米. 5.一等腰三角形的一个底角为?30，底边上的高为cm 9，则这个等腰三角形的腰长是________cm ， 顶角是_______. 6.ABC ?为等边三角形，D 为BC 边上的一点，AB DE //，交AC 于点E ，则EDC ?为______三角形. 7.在ABC ?中，?=∠30B ，?=∠45C ， 若BC AD ⊥，D 为垂足，1=CD ，则=AB ______. 8．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，?则CD?的长度是_______． 10. 如图，ΔABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则AD= ，ΔEFC 的周长= 。 11.如图，已知：在ABC ?中，cm AC AB 4==，?=∠15ABC ，AC BD ⊥于点D ，则=BD ______. 三、解答题 1．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC?于点D ，?求证：?BC=3AD. 2. 如图，已知：在ABC ?中，?=∠=120,BAC AC AB ，D 是BC 上的一点，AB DE ⊥， AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。求证：BC DF DE 2 1= +。 3. 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥。 E D C A B F

等边三角形的证明例题

F E D C B A F E D C B A 1：如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，则△DEF 是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF 是等边三角形. 变式2：△ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.

A C B A ′ C ′ B ′ https://www.doczj.com/doc/4815817533.html,.c B A D C E 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位置时，△BEF 面积的最

小？ 2：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点． (1) 求证：AE = AF ； (2) 若75AEB ∠=?, 求CPD ∠的度数． 2． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； P G F D A

等边三角形典型试题

等边三角形典型试题 一．选择题 1.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300° 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（）A．30°B．20°C．15°D．100° 3.如图，已知：∠MON=30°，点A１、A２、A３…在射线ON上，点B１、B２、B３…在射线OM上，△A１B１A２、△A２B２A３、△A３B３A４…均为等边三角形，若OA１=1，则△A６B６A７的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64 4．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA１=BB１=CC １=1，则△A1B1C1的面积是（） A.3/4 B.3√3/4 C.9/4 D.9√3/4 5.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到 △BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（） A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDC C．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9 6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（） A.1/3 B.1/2 C.2/3 D．不能确定 7．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA１B１，则点A１的坐标为（）A.(√3,1) B.√3,-1) C.(1,-√3) D.(2,-1) 8.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A.(1/3×1/2)5a B.(1/2×1/3)5a C.(1/3×1/2)6a D.(1/2×1/3)6a 如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 １０.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．下列结论：①?ACE≌?DCB②∠AFD=60③?CMN是等边三角形④FC平分∠AFB⑤MN∥AB．，其中结论正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一 边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2A ?-∠. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

三角形培优经典题型

《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度 （2）△DBE是什么三角形为什么 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．

2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新知：等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 7.等腰三角形的判定： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，等角对等边 8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 9.等边三角形的性质： ⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 ⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 10.等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义） ⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)两个内角为60度的三角形是等边三角形 (5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 (6)等边三角形的性质与判定理解： 11、三角形中的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 等腰三角形的性质应用及判定 例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

等腰三角形经典练习题及详细答案

… 等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB . 求∠A的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 ' 3、AB于⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数 } `C F A D A B

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA | 求∠A 的度数 ！ 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 ~ 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若 BE=AC,BD=21 ,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 , B A B D C

7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题： ^ 8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 * 9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O : 求证：AE+CD=AC A B C ! D A D F E B D E

12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 【 13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=21 CE ， 14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED E A " E 1 2 A B C D

等边三角形的证明例题

1：如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则△DEF是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF是等边三角形. 变式2：△ABC为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF为等边三角形吗？说明理由.

A C B A ′ C ′ B ′ 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位 置时，△BEF 面积的最 小？

2：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F． (1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点． (1) 求证：AE = AF； (2) 若75 ∠的度数． ∠=?, 求CPD AEB 2．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥A E于F，直线PF分别交AB、CD于G、H， (1)求证： DH =AG+BE； (2)若BE=1，AB=3，求PE的长． 3．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、

等腰三角形专项训练(经典习题)

等腰三角形专项训练 一、选择与填空 1、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( ) A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定. 2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（） A.600 B.1200 C.600或1500 D.600或1200 3、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( ) A．11 B．7 C．14 D．7或11 4、等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是( ) A．105°B．120°C．135°D．150° 5、下列命题正确的个数是( ) ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等, 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边; ②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段, 那么延长线段的两个端点与顶点距离相等; ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等; ④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、下列图形中一定有4条对称轴的是（） A.长方形 B.正方形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7、下列图形:①两个点;②线段;③角;④长方形;⑤两条相交直线;⑥三角形, 其中一定是轴对称图形的有（） A.5个 B.3个 C.4个 D.6个 8、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（） A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条 9、若点P为⊿ABC内部一点，且PA=PB=PC，则点P是⊿ABC的（） （A）三边中线的交点（B）三内角平分线的交点 （C）三条高的交点（D）三边垂直平分线的交点 10若△ABC两边的垂直平分线的交点在三角形的外部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能 11、等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________． 12、在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,由以上两个条件可得_________________.(写出一个结论即可)

等腰三角形典型例题

等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2） 求的度数．（3）求证：． 【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，， ，即 ．在和 中，≌， ．（2）由（1）知，≌， ．，即 ． （3）在和中，≌，， ．又，

，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．2．如图，在中,， ，的平分线AM的长15，求BC的长． 【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，．AM平分，，，．在中，， ．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明 ．证明：延长CE、BA交于点F．， ．在和

中，≌，，即．，．在和 中，≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB 边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证： DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E 为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．∴∠DFB= ∠ACB．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠DFB．∴ DB=DF．∵CE=BD(已知)，∴DF=CE．又∠DGF= ∠CGE，∠GDF=∠E，∴△DFG≌△ECG（AAS）．∴DG=GE．证 法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．∴∠B=∠ M．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又 ∠ACB=∠ECM，∴∠M=∠ECM．∴EC=EM．∵CE=BD(已知)，∴

等腰三角形和等边三角形习题例题-精品.pdf

等腰三角形的性质应用及判定 【例1】如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD. (1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（1）小题中的一种情形，证明△ ABC 是等腰三角形 【例2】如图，△ABC 为等边三角形，延长 BC 到D,又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE 。 求证：△CDE 为等腰三角形 【例3】如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE=a,则下列说法正确的个数有（ ） ①DC ' 平分∠BDE ②BC 长为( 22)a ③△BC ' D 是等腰三角形④△CED 的周长等于BC 的长 A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【例4】如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M,N 分别在AB,AC 上，则△AMN 的周长是 A E B C O D E A B C D D B E C D B C ' . E A C B A M N D B C

【例5】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A.20 ° B.120 ° C.20°或120° D.36° 【例6】等腰三角形两边长分别为 4和9，则第三边长为 【例7】如图，点O 事等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转 60° 得△ADC,连接OD,则△COD 是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(2)求证：△COD 是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由 等边三角形的性质应用及判定 【例8】如图，在等边△ABC 中，点D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点 F. 求证：(1)AD=CE;(2)求∠DFC 的度数。 【例9】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE 和△BCF ，连 接BE,AF 。求证：BE=AF 例10】（天津中考）如图，△ DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结 论：①△ACD ≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 B C A O D A F B C E D N M D A C B E B A F C E

等边三角形经典练习题

1、下图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝,∠A ＝30°立柱BC 、 DE 要多长 B 2、如图：在Rt △ABC 中∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=_____cm 第2题图 第3题图 第4题图 3、如图:△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC,DE ⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____ 4、如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD 是腰AB 上的高，求CD 的长 5、要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°∠B ＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来. 6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC 于D 。求证：BC=4CD 7、如图， ∠AOB= 30°，P 是角平分线上的点，PM ⊥OB 于M ，PN 8、 D C B A A C E B D Ｃ Ｂ Ａ ３０ ０ A C A B C D A N M P B O A

等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是_________ ____________________________________ 9、如图，在正△ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作正△CDE ， 求证：BE=AD 。 10、如图，已知△ABC 、 △DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 三点在同一直线上. 求证：（1）BD=AE （2）连接FG ，说明△DCE 是等边三角形. 11、已知：如图，△ABC 中，AB=BC=CA ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q. 求证：BP=2PQ A B C D E

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图， 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为 x ∠A=7180 C D A

5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15 6. 如图， △ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30° B 2x x －15° F

7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形 9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE 在AE 上取点B,使AB=AD C B A D E P A B C D E A D F E B

等腰三角形经典题型总结(绝对经典)

等腰三角形 知识点梳理 知识点一等腰三角形的有关概念 要点：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰所夹的角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。 典例分析 1、等腰三角形的两边长分别是3和6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定 2、等腰三角形两边长分别是5和6，那么它的第三边长是（）A．5 B．6 C．5或6 D．不能确定 3．如图，ABC ∠的平分线， ∠=?，CD是ACB ?中，AB AC A =，36 Array // DE BC．找出下图中的所有等腰三角形。（只需写出来即可） 知识点二等腰三角形的性质 要点：（1）性质一：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）（2）性质二：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（三 线合一） 1 / 12

2 / 12 典例分析 1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ．80° B ．80°或20° C ．80°或50° D ．20° 2、在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10 3、如图所示，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B 的度数是（ ） A 、40o B 、35o C 、25o D 、20o 4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ） A ．18° B ．24° C ．30° D ．36° 第 4题图 第 5题图