等腰三角形练习题
一、计算题：
1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若
BE=AC,BD=2
1
,DE+BC=1,
求∠ABC 的度数
C
B
7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD
求∠B ：∠C 的值
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交
BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,
求证：BC=BD+AD
12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
C
B A D E P A B
C
D A
D
F E O
A B C D E C
A
13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=2
1
CE
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G
求证：EG=FG
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点
求证：AF=FC
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD
A B
D
F E C C A B D E
1 2 F
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
C D
A
B
D C
E
F
等腰三角形练习题
A
一、计算题：
等腰三角形经典拔高题(含答案)
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
A
B
D
C
E
F
H
G 1
2
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
相似三角形经典证明题 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？
2．如图，已知直线128:33 l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求ABC △的面积； （2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长； （3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
3．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米； （2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比； （3）若在运动中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ N
G F E D C A 第2章 三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ； 用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在 点G 处，若∠CFE=60o ，且DE=1，则边BC 的长为 ． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（ ）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（ ） A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果AD 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线 11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的P 点有（ ） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C A E D A Q A 15题图 16题图 17题图
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅 助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等 于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定 值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时， DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB ＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q． （1）求证：． （2）求的度数． （3）求证：． 【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ≌， ．
（2）由（1）知，≌，． ， 即 ．（3）在和中， ≌， ， ． 又， ， 即， ． 【点拨】 （1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等． （2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长． 【分析】由AM平分，，可得，，
则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长． 解：在中，，， ． AM平分， ， ， ． 在中，， ． 【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法． 3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明． 证明：延长CE、BA交于点F． ， ． 在和中， ≌，
，即． ， ． 在和中， ≌， ， ． 【点拨】 （1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系． （2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线． 4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G． 求证：DG=GE． 【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论． 证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）． ∴∠DFB=∠ACB． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠B=∠DFB． ∴DB=DF．
等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G
E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1
实用标准文案 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比．
三角形证明题练习 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数 为（ ） 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ） 6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交BC 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ） 8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ） 9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ） A ． 13 B ． 10 C ． 12 D ． 5 A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个 A ． 4：3 B ． 3：4 C ． 16：9 D ． 9：16 A ． 70° B ． 80° C ． 40° D ． 30° A ． 30° B ． 36° C ． 40° D ． 45° A ． 145° B ． 110° C ． 70° D ． 35° A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 不能确定
等腰三角形经典试题(有难度)
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等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30°
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数 延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0
第一章三角形的证明检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C. 20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC 中，，点D在AC 边上，且，则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（） A.5 B.2 C. 4 5 D.1 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E ，如果cm ，那么△的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.（2015?四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________. 15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线， 则△ABD与△ACD的面积之比是. 17. 如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜 边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】
等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
等腰三角形计算和证明题集锦11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上 的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB， ∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180° AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点 E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F
考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G
等腰三角形练习题 一、计算题 1、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数。 2、如图，CA=CB ，DF=DB ，AE=AD ，求∠A 的度数。 3、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=070，求∠AFD 的度数。 4、如图， ABC 中，AB=AC ，BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 5、如图， ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，∠BAD=030，在AC 上取点E ，使AE=AD ，求∠EDC 的度数。 6、如图， ABC 中，∠C=090，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=1 2 ，DE+BC=1，求∠ABC 的度数。 7、如图， ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD ，求∠B ：∠C 的值。 二、证明题
8、如图， ABC中，∠ABC、∠CAB的平分线交于点P，过点P作D E∥AB，分别交BC、AC于点D、E。求证：DE=BD+AE。 9、如图， DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE之间有什么样的大小关系。 60，角平分线AD、CE交于点O。求证：AE+CD=AC 10、如图， ABC中，∠B=0 100，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。 11、如图， ABC中，AB=AC，∠A=0 13、如图， ABC中，∠1=∠2，∠EDF=∠BAC，求证：BD=ED。 15、如图， ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G。求证：EG=FG。 16、如图， ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：AF=FC。 17、如图， ABC中，AB=AC，AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD。
等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．