人教版八年级数学分式知识点与典型例题

最新分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，

15 2

、 9a 、 5a b

、 3a 2

b 2 、2- 2 、 1

、 5xy

1 、 1

、 x 2 1

、

、8a

b

x y

- 23 2x y

4

a m

6

x

2

2

3xy 、 3

、

1

中分式的个数为（

）

（A ） 2

（B ） 3

（C ） 4

(D)

x

a

y

m

5

练习题：（ 1）下列式子中，是分式的有

.

⑴ 2x 7 ； ⑵ x 1 ；⑶ 5a

2

；⑷ x

2

x 2

；⑸ 2 b 2 ；⑹ xy y 2 .

x 5

2 3

a

b

2x 2 （2）下列式子，哪些是分式？

a

3 ； y

3

7x

；

x xy

；

1 b

；

x 2

；

x 2 y .

5

4

y 8

4 5

2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠ 0 按解方程的方法去求解；

（2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解；

注意：（ x 2 1≠0）

例 1：当 x

时，分式

1

5 有意义；

例 2：分式

2x

1

中，当 x

____ 时，分式没

x

2 x

有意义

例 3：当 x

时，分式

1

有意义。

例 4：当 x

时，分式

x

有

x 2

x 2

1

1

意义

例 5： x ， y 满足关系

时，分式

x

y

无意义；

x y

例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）

A ．

22x

B.

x

C. 33x

1

D.

x 2

5

x

1

2x 1

x

x

例 7：使分式 x

有意义的 x 的取值范围为（

）A ．x

2 B ．x

2 C ．x 2

D ．x

2

x

2

例 8：要是分式

x

2

没有意义，则 x 的值为（

）A. 2

B.-1 或 -3

C. -1

D.3

同步练习题：

3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子 =0 且分母≠ 0，注意：当分子等于0 使，看看是否使分母 =0 了，如果使分母 =0 了，那么要舍去。

例 1：当 x时，分式12a

的值为 0例 2：当 x时，分式

x

2 1 的a1x1

值为 0

a2

的值为为零 ,则 a 的值为 () A.2 B.2C.2 D.以例 3：如果分式

2

a

上全不对

例 4：能使分式x

2

x

的值为零的所有 x 的值是（）x21

A x 0

B x 1

C x 0 或 x 1

D x0 或 x1

例 5：要使分式x 29的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 5x

x 26

D 2

例 6：若a

1 0则

a

是

()A.

正数负数

C.

零

D.

任意有理数a

, B.

4、分式的基本性质的应用：

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。

A A C

C0A A C

B B

C B B C

例 1：xy

；6x( y z)

y z

；如果 5(3a1)

5

成立 ,则 a 的取值范围是 ________；

a aby3( y z) 27(3a1)7

例2： ab2

(1

)

b c

(

b c

a3 b3a)

例 3：如果把分式a2b

中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）a b

A、扩大 10 倍

B、缩小 10 倍 C 、是原来的 20 倍 D、不变

例 4：如果把分式10 x

中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）x y

A ．扩大 100 倍

B ．扩大 10 倍

C ．不变 D

．缩小到原来的

1

10

例 5：如果把分式

xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（ ）

x y

A 、扩大 2 倍；

B 、扩大 4 倍；

C 、不变；

D 缩小 2倍

例 6：如果把分式

x

y

中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（

）

x

y

A 、扩大 2 倍；

B 、扩大 4 倍；

C 、不变；

D 缩小 2倍

例 7：如果把分式

x

y

中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（

）

xy

A 、扩大 2 倍；

B 、扩大 4 倍；

C 、不变；

D 缩小

1

倍

例 8：若把分式

x 3y

的 x 、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（

2

）

2x

A ．扩大 12 倍

B ．缩小 12 倍

C ．不变

D ．缩小 6 倍

例 9：若 x 、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（

）

A 、

3x

B

、 3x

C

、 3x 2

D 、 3x 3

2y

2y 2

2 y

2 y 2

例 10：根据分式的基本性质，分式

a 可变形为（ ）

a

a a b

a

a A

B

C

a b

b

D

a b

a

a b

例 11：不改变分式的值， 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数，

0.2 x

0.012

x 0.05

例 12：不改变分式的值， 使分子、分母最高次项的系数为正数，

1 x

=

x x 2

1

5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

；

。

例 1：下列式子（1）

x

2

y 2 1 ；（2）

b a

a b ；（3） b a 1；（4）

x y x y

x

y

x y c a a c a b

x y x y

中正确的是（

）A 、1 个 B 、2个 C 、3个

D 、4个

例 2：下列约分正确的是（ ）

A 、 x

6

x 3

；

B 、

x

y 0 ；

C 、 x y

1 ；

D 、

2xy 2 1

x 2

x y

x 2 xy x

4x 2 y 2

例 3：下列式子正确的是 (

)

A 2x y

B. a y

1

C. y z y z

D. c d c d c d c d

2x y

a y

x x

x a

a

a

例 4：下列运算正确的是（

）

A 、 a

a B 、

2 4

1

C 、 a

2

a D 、

1

1 1

a b

a b

x x 2

b 2

b

2m m m

例 5：下列式子正确的是（

）

A ． b b 2

B ．

a

b

C ．

a b 1

D ． 0.1a

0.3b

a 3b

a a 2

a b

a b

0.2a b

2a b

例 6：化简 m

2

3m 的结果是（ ）A 、

m

B 、

m C 、

m

D 、

m

9 m 2

m 3

m 3

m 3

3 m

1

1

y

4x 2 y

3

x

1

x

3 3x

5y

；

3xy 2

5

例

7：约分：

6xy 2

； x

2

9 =

xy

；

0.6x y

。

例 8：约分：

a 2 a 2 4

＝

； 4xy

； a(a b)

； x y

4a 4

16x 2 y

b(a b)

(x y)2

ax ay

；

x 2 16

；

x 2

9

14a 2bc 3

___________

2

y 2

2

16

2x 6

3

x

x 8x

21a bc

9

m 2

__________

5ab

__________

x 2

9

__________。

m 3 20a 2 b

2

6x 9

x

例 9：分式

a

2 ， a b ， 4a ， 1 中，最简分式有 ( )

a 2 3 a 2

b 2 12(a b) x 2

A ．1个

B ．2个C

． 3 个

D ．4个

6、分式的乘，除，乘方：

分式的乘法：乘法法测： a · c = ac .

b

d bd

分式的除法：除法法则： a ÷ c = a · d = ad

b

d

b

c

bc

a

) n

. 分式的乘

分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是

(

b

. 用式子表示为： ( a

) n=

a n

方，是把分子、分母各自乘方n(n为正整数 )

b b

例题：

计算：（1） 26x 225x 4（2） 16x 3 y 456 x 4（3） a a1 15x 639y 7125a10100a13a

计算：（4）

a b a 2b 2 a 4

（5）

x 2 x225

（6）

a21 a 1 a

2

ab ab a

2

x 5 x

2

4

2

4a 4 a 2

a

计算：（7）

6x2y2

4x（）

6ab

3b 2（）

xy2

xy 3 y382a9x x y

计算：（10）2x 2 5 y 10 y

（ 11）

x21

(1x)

x 3

（ 12）3y 26x21x 2x26x 9x2x

a2a21a1a2 4a 4a1

计算：（13）a

1 a 241

1

（14）2a6a33a a 2 a 22a 1 a 2 4 4a a 2a2 a 6

求值题：（ 1）已知：x 3

，求

x 2

x2y 2xy y 2的值。y42xy y 2x2xy

（2）已知：x9 y y3x，求x 2y 2的值。

x 2y 2

（3）已知：1

1 3 ，求

2x

3xy

2 y

的值。x y x2xy y

例题：

2 y22a 5

3y 3

3

计算：（1）

)3（）=（3）=

(3x2b2x2

b 23

a

2

b2

3

计算：（4）=（ 5）ab 4 2a 2b a

（6）a

a 2

22

a

a a1 a211a1

求值题：（ 1）已知：x y z

求

xy yz xz

的值。234x2y2z2

（ 2）已知：x210x25y 3 0 求x 2

x 的值。

2xy 2 y

例题：计算 ( x2y)x2y x

的结果是（）A

x2

B x2y C

1

x x2y2

D

x y y

1 1 y

例题：化简 x x 1

的结果是（）A.1 B. xy C.y D .

y x x x

y

计算：（1）

2x 38x x 2

；（2）

x22x 1 2 2x2

·

2a 2

÷

a 1 x24x 42x 4x 21x 1

（ 3） (a－1)

2

a2a 1 2a 2

7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）

分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。

“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。

例如：

2x最简公分母就是

x 2 x 2。x 2x 2

“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。

例如：2x最简公分母就是 x2 4 x 2 x 2

x2x24

“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。

例如：x2最简公分母是： 2x x 2

2 x 2x x 2

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

例 1：分式

1

,

1

n 2

,2

的最简公分母是（）m n m 2m n

例 2：对分式

y

，

x

2 ，

1

通分时， 最简公分母是（

）

2x 3y 4xy

A ．２４ x 2 y ３

B ．１２ ｘ２ ｙ ２

Ｃ．２４ ｘｙ ２

Ｄ．１２ ｘｙ ２

例 3：下面各分式：

x 2

1 , x y

,

x 1 , x 2

y 2

，其中最简分式有（

）个。

x 2

x x 2

y 2

x 1

x 2 y 2

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

例 4：分式

1

， a

的最简公分母是

.

2

4

a 2a 4

例 5：分式 a 与 1

的最简公分母为 ________________；

b

例 6：分式

1

,

1 的最简公分母为

。

2

y 2 x 2

xy

x

8、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。

1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

例 1：

2 2n

例 ：

2a 2 3 a 2

4 =

m

=

2

2

1 a 2

1

m

a

例 3：

y x

=

例 4：

x 2 y

y

2x

=

x

y y

x 2

y 2

y 2

x 2

x 2

y 2

x

计算：（1）

4

m 1

（2）

a

b

（3）

a 2

b 2

m 3 m 3

(a b) 2

(b a) 2

a b b a

（ 4） 5a 2b 3 －

3a 2

b 5 －

8 a 2b .

ab 2 ab 2 ab 2

1

3

11

5

例 5：化简

1

+ 1 +1

等于（ ） A ．

2x

B ．

2x

C ．

6x

D ．

6x

x

2x 3x

例 6：

b

c a 例 7： 2

2a

1

例 8：

3x

2

x a

b c

a 4 a 2

( x 3)

3 x

例 9：

x x 6 1

2a 1

－

a 2

例 11： a 1

a x 3 x 2

3x x

2

2

a 1

例 10： a a 2 a 4

例 12：

x 2

x

1

x 1

练习题：（ 1）

b ab （2）

1 4 4

x 1 （ 3）

12 + 2 .

a b

b 2 a 2

2 x

x 2

2 x

a 2 9 3 a

（4）

b 2 a b

（ ）

x

y

a - b

5

2 x

y y

x

例 13：计算 a

1

a a 的结果是（ ） A

a

1

B

a

1 C

a 2 a 1

D a 1

1

1

1

a 1

例 14：请先化简：

1 2 x ，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值 .

x 2 x 2 4

x

1

2x 例 15：已知： x 2

4x

3

求 的值。

x

2 x 2

4x 4

9、分式的混合运算：

例 1：

4

2x 例 2：

1 x 3 x 2

2x 1

2

x 4 x 4

x 1 x

2

1 x

2

4x 3

x 16

x 2

x 2

x 2

2 x

4 x

例 3：(

2

x

2 )

x

2

例4： 2

x

3

x 1

x

例5： 1

1

x

例 6：1 x y

x 2

y 2

x

x 1

x 2 y

x 2 4xy 4 y 2

1 1

1

)

2 y

(

2

2 xy y

2

例 8：

x 1

x

1 例 7 x y x y

x 1

x 2 x x 2

2x

x

例9： (

x 2 x 2

x 1 ) x 4 x 2 2x

4 x

4

x

练习题：

10、分式求值问题：

例 1：已知 x 为整数，且

2 3 + 2 + 2x 18

为整数，求所有符合条件的 x 值的和 .

x 3 x x 2

9

例2：已知 x ＝2，y ＝ 1

，求2424÷

11的值 .

例 3：已知实数 x 满足 4x 2 -4x+l=O ，则代数式 2x+ 1 的值为 ________．

2x

例 4：已知实数 a 满足 a 2

＋2a －8=0，求

1

a 3 a 2

2a 1

的值.

a 1 a 2 1 a 2 4a 3

1 求

x 2

的值是（

）．A ．

1

B ．

1

C ．

1

D ．

1

例 5：若 x 3 x 2

x

x 4 1

8

10

2

4

例 6：已知

1

1 3 ，求代数式

2x

14 xy 2 y 的值

x

y

x 2xy y

例 7：先化简，再对 a 取一个合适的数，代入求值 a 1 a

3 a 2 6a 9 ．

a 3

a

2 a 2 4

练习题：

（ 1） 2

x 2 4 x

，其中 x=5. （ 2） a

2

2 8a 16

, 其中 a=5

（3）

2

a 2 a

b 2

, 其中

x

8x 16

a 16

a 2a

b b

a=-3 ，b=2

（4）

2

a

2

1 a 1 ；其中 a=85；

（5） ( x 2

x 1 ) x

4

，其中 x= -1 a 4a 4 a 2

x 2

2x x 2

4x 4 x

（6）先化简，再求值：

3

x

÷(x+2－

5 ).其中 x ＝－ 2.

2x

4 x 2

（7） ( a

a 2

a 2

b 2 ) (

a

a

2

) 1, 其中 a

2

, b

3

a b

2ab

a b

a 2

b 2

3

2

（8）先化简， 1

1

x

1

，再选择一个你喜欢的数代入求值．

x

x

11、分式其他类型试题：

例 1：观察下面一列有规律的数：

2，3， 4 ， 5

，

6

， 7

，??．

根据其规律可知第

3

8

15 24

35

48

ｎ个数应是＿＿＿（ n 为正整数）

例 2： 观察下面一列分式：

1,

2

2,

43 ,

8

4 ,

16

5 ,..., 根据你的发现，它的第

8 项是

，

第 n 项是

x x x x

x

。

例 3：按图示的程序计算，若开始输入的

n 值为 4，则最后输出的结果 m 是

（

）

输入 n

计算 n （ n+1）

Yes

>50

输出结果 m

n

No

A10B20

C 55

D 50

例 4：当 x=_______时,分式1与 10 互为相反数 .

例 5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为

a ☆

b ＝

1

1

，根据这个规则 x ☆ (x

1) 3

a

b 2

的解为

（

）A ．

x 2

．

．

x

2 或

1

．

2

3

B x 1

C

3

D x

或 1

3

例 6：已知

x(x 4 4) A Bx

C

，则A _____, B _____, C

______ ；

2

x

x 2 4

例7： 已知

3 y

7

A B ，则（

） ( y 1)( y 2)

y 1

y 2

A ． A 10,

B 13

B ． A

10, B 13

C ． A

10, B

13

D ． A

10, B13

例 8：已知 2x

3 y ，求

xy

y 2

2 的值；

x

2 y 2

x 2

y

例 9：设 m n mn ,则

1

1

的值是(

) A. 1

B.0

C.1

D. 1

m n

mn

例 10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ 2 －4ｘｙ＋4ｙ2

ｘ2 －4ｙ 2

ｘ－2ｙ

例 11：先填空后计算：

①

1

1 = 。 1

1

=

。

1

1 = 。

n

n 1

n 1 n 2

n 2 n 3

（3 分）

②（本小题 4 分）计算：

1

1

1

1

n( n 1) (n

1)(n 2)

(n 2)(n 3)

(n 2007)(n

2008)

解：

1

1

1

1

n(n 1) (n

1)(n 2) (n 2)(n

3) (n 2007)(n

2008)

=

12、化为一元一次的分式方程：

（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） ，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０， 这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

(3) 解整式方程； (4) 验根．

例 1：如果分式

x

1

的值为－ 1，则 x 的值是

；

2x

1

例 ：要使

5 与 4 的值相等，则 x

。

2

1

x 2

=__________

x

例 3：当 m=_____时，方程

2mx 1

=2 的根为 1

.

m x

2

例 4：如果方程

2

3 的解是 x ＝5，则 a ＝

。

1)

a(x

例 5：(1)

2

3

(2)

2 x 1 1

x

x

1

x 3

3 x

例 6: 解方程：

x

2 16 x 2

x

2

x 2 4

x 2

例 7：已知：关于 x 的方程 1 a 3 x 4

无解，求 a 的值。 例 8：已知关于 x 的方程

x

a x

3 x

1的根是正数，求 a 的取值范围。

x

2

例 9：若分式

1 与 x

2

的 2 倍互为相反数， 则所列方程为 ；

x 2 x 3

m x x

1

的解为负数？ 例 10：当 m 为何值时间？关于 x 的方程

x 2

x 2 x 1

x 2

例 11：解关于 x 的方程

b

x 2

x

a b

(a

0)

a

例 12：解关于 x 的方程 :

x

1 x 1 a 2

2a 2 (a 0)

a

b a b b

例 13：当 a 为何值时 , x 1 x 2

(x 2x a

的解是负数 ?

x 2

x 1 2)( x 1)

例 14：先化简 ,再求值 :

x

x 2

y 2

2x 2

x 2 y 3

x y x y

2 ,其中 x,y 满足方程组

2

(x y)2

x y

例 15 知关于 x 的方程

x

1

x ( x m

的解为负值，求 m 的取值范围。

x 2

x 1

2)( x 1)

练习题： (1)

1

4

(2)

3 x 2

1

3 5

x 4 x 2

16 x 1 x( x 1) (3)

2

1X1X

1 X

(4)

x x 2

(5)

5x 4 2x 5 1

1

1

x 5 x 6

2x 4 3x 6 2

(6)

2

1

x 1 x

(7)

1

3

1 x (8

）

1

2

12

9

（9）

3 1 3

x 2

2 x

x 3 3 x x 2

2x 2 1 x

13、分式方程的增根问题：

（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例 1：分式方程

x +1= m 有增根，则 m=

x 3 x 3

k

4

x

不会产生增根； 例 2：当 k 的值等于

时，关于 x 的方程

2

x 3

x 3

2 mx 3

例 3：若解关于 x 的分式方程 x 2 x 2 4 x 2 会产生增根，求 m 的值。

例 4： m 取

时，方程

x 2

x m 会产生增根；

x 3

3

例 ：若关于 x 的分式方程

x 2 m 2

无解，则 m 的值

为

。

5

x 3 x 3

__________

例 6：当 k 取什么值时？分式方程 x k

x

0有增根.

x

1 x 1 x 1

例 7：若方程

x

1 m

有增根，则 m 的值是（

）A ．4 B ．3C ．-3D ．1

x 4 x 4 例 8：若方程

3 a

4 有增根，则增根可能为（

） x

2 x x( x

2)

A 、0

B 、 2

C 、0或 2

D 、 1

14、分式的求值问题：

例 1：已知

a

1

，分式

a

b

的值为

；

b

3

2a 5b

例 2：若 ab=1，则

1 1 的值为

。

a 1

b

1

1 1

例 3：已知 a

3 ，那么 a 2

_________ ；

a

a 2

例 4：已知

1

1 3 ，则 5x

xy 5 y

的值为（

）A

7 B

7 C

2 D 2

x

y

x xy y

2

2

7

7

例 5：已知 2x 3 y ，求

xy

y 2

的值；

x

2 y 2 x 2

y 2

例 6：如果 a

=2，则 a

2

ab b 2 =

b

a 2

b 2

例 7：已知

a 与

b 的和等于 4 x ，则 a= , b =

。

x 2 2

2 4

x x

例 8：若 xy

x y

0 ，则分式

1

1

（

）A 、

1

B 、 y x

C 、 1

D 、－1

y

x

xy

例 9：有一道题“先化简，再求值： （

x

2 4x ） 1 ，其中 x

3 。”小玲做题时把

x 2x 24x 4

例 10：有这样一道数学题 : “己知 :a=2005, 求代数式 a(1+ 1

) －

a 2

1

的值” , 王东在计算时

a a 1

错把“ a=2005”抄成了“ a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。 例 11：有这样一道题：“计算：

x 2

x 2 2x 1 x 1 x 的值，其中 x 2007 ”，某同学把 x 2007

1

x 2

x

错抄成 x 2008，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

1 3 ，求

x 2

的值。

例题：已知 x

x 2

x

x 4

1

15、分式的应用题：

（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答． （2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：

a. 行程问题：基本公式：路程 =速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b. 数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

c. 工程问题： 基本公式：工作量 =工时×工效．

d. 顺水逆水问题 : v 顺水 =v 静水 +v 水． v 逆水 =v 静水 -v 水．

工程问题：

例 1：一项工程，甲需 x 小时完成，乙需 y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要 ______ 小时。 例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6 个字，小明打 120 个字所用 的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。 设小明打字速度为 x 个/ 分钟，则列方程正确的是

（ ）

A 120

180

B

120 180 C

120 180 D

120 180 x 6

x

x 6 x

x x 6

x x 6

例 3：某工程需要在规定日期内完成 , 如果甲工程队独做 , 恰好如期完成 ;

如果乙工作队独做 ,

则超过规定日

期 3 天 , 现在甲、乙两队合作 2 天, 剩下的由乙队独做 , 恰好在规定日期完成 , 求规定日期 . 如果设规定日期

为 x 天 , 下面所列方程中错误的是 ( )

A.

2

x

1; B.

2 3 ; C. 1 1 2 x 2

1; D.

1 x 1

x x 3

x x 3

x x 3

x 3

x x 3

例 4：一件工程甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是（

）．（ A ） a b

（B ）

1

1 （ ）

1 （D ）

ab

a b

C

b

a b

a

例 5：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时

每天要多读 21 页才能在借期内读完 . 他读了前一半时 , 平均每天读多少页 ?如果设读前一半时 , 平均每天读 x 页 , 则下列方程中 , 正确的是（ ）

A 、 140

140 14 B 、280 280 14 B 、10

x 10 1 D 、 140 140 14

x x 21 x x 21 x 21

x x 21 例 6：某煤厂原计划 x 天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前 2

天完成任务，列出方程为（

）

A 120

120 3 B

120 120 3 C

120

120 3 D 120 120 3

x 2

x

x x 2

x 2

x

x x 2

例 7：某工地调来 72 人参加挖土和运土工作，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎 样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x 人挖土．列方 程① 72 x

1

；② 72 x

x

；③ x 3x

72 ；④

x 3．

x

3

3

72 x

例 8：八（ 1）、八（ 2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（ 1）班每小时比八（ 2）班多种 2 棵树，八（ 1）班种 66 棵树所用时间与八 （ 2）班种 60 棵树所用时间相同， 求：八（1）、八（ 2）两班每小时各种几棵树？

例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

例 10：服装厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前 5 天交货，则每天应比原计划多做多少件？

例 11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果

甲工程队单独施工， 则刚好可以按期完成； 如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工 4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师 宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例 12：某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 4350 元；乙、丙两队合 做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共

4750 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的

2

，厂

3

家需付甲、丙两队共 2750 元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过 20 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

价格价钱问题：

例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价

为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设参加游览 的同学共 x 人，则所列方程为 （ ）

A ． 180

180

3 B ．

180

180 3

C ．180

180 3

D ．180

180 3 x

x 2

x 2

x

x

x 2

x 2

x

例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少 3 元，比乙种涂料每千克的售价多 1 元，求这种新涂料每千克的 售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为 x 元， ?则根据题意可列方程为 ________．

为 600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

例 4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款

总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

例 5：随着 IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课 . 某初中计划拿出 72 万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了 500 元，因此实际支出了 64 万元 . 学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用 4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？ ( 该校上微机课时规定为单人单机 )

例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公 司，甲公司提供的优惠条件是： 1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按 7.5 折收费，乙 公司则是：所有人全部按 8 折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜

1

，那么

32

参加活动的学生人数是多少人？

例 7：北京奥运 “祥云 ”火炬 2008 年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城

传递和平、友谊、

进步的 “和平之旅 ”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用 8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面 市后供不应求，

商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵了

4 元，商厦销

售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，请问在

这两笔生意

中，商厦共赢利多少元？

顺水逆水问题：

例 1：A 、B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9

小时，已知水流速度为 4 千米 / 时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米 / 时，则可列方程（ ）

A 、

48

48

9

B 、

48

48 9 C 、48

4

9D 、

96

96

9

x 4 x 4

4 x 4 x x

x 4 x 4

例 2：一只船顺流航行 90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是

2km/h ，求船

在静水中的速度，设船在静水中速度为 xkm/h ，则可列方程（ ）

90

60

90 60 C 、 90 60

60 90 A 、 x 2 = x 2 B 、 x 2 = x 2 x +3= x D 、 x +3=

x

例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小

时 3 千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题：

例 1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 V 1 千米，下坡时的速度为每小时 V 2 千米，则他在这

段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）

A 、

v 1v

2

千米

B 、

v 1

v 2

千米 C 、 2v 1v

2 千米

D 、无法确定 2 v 1 v 2 v 1 v 2

例 2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则 a 小时相遇；若同向而行，则 b 小时 甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）

Ａ．

a b

倍

Ｂ．

b 倍 Ｃ．

b

a 倍

Ｄ．

b a

倍

b

a

b b a

b a

例 3：八年级 A 、B 两班学生去距学校 4.5 千米的石湖公园游玩， A 班学生步行出发半小时后， B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行 速度的 3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米 / 小时？

例 4：A 、 B 两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从 A 地驶出 3 小时后，一辆小汽车也从 A

地出发，它的速度是公共汽车的 3 倍，已知小汽车比公共汽车迟 20 分钟到达 B 地，求两车的速度。

例 5：甲、乙两火车站相距 1280 千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的 3.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短了 11 小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例 1：一个分数的分子比分母小 6, 如果分子分母都加 1, 则这个分数等于

1

, 求这个分数

.

4

例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与

原来的两位数之比是 7： 4，求原来的两位数。

例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。 例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 2，个位上的数字加上 8 以后去除这个两

位数时，

所得到的商是 2，求这个两位数。

16、公式变形问题：

例 1：一根蜡烛在凸透镜下成实像， 物距为 U 像距为 V ，凸透镜的焦距为 F ，且满足

1

1

1 ， 则用 U 、V 表示 F 应是（

U V

F

）

（A ）

U V

（B ）

UV

（C ）

U

（D ）

V

UV

U V

V

U

例 2：已知公式

1

1 1 （R 1 R

2 ），则表示 R 1 的公式是（ ）

R

R 1 R 2

A ． R 1

R 2 R

B ．R 1

RR 2

C ．R 1

R(R 1

R 2)

D ．R 1

RR 2

RR 2

R R 2

R 2

R 2 R

例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u ，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式：

1＋1＝ 1

. 若 f ＝6 厘米， v ＝8 厘米，则物距 u ＝ 厘米 .

u v f

例 4：已知梯形面积

S 1 (

a

),、、、都大于零，下列变形错误是（

）2 b h S a b h

2S

B. a 2S

b C. b

2S

a

S

A ． h

h h D. h

a b2(a b)

例 5：已知ab1, M

111, N

1

a

1

b,则M 与N的关系为( ) a 1 b a b

A.M>N

B.M=N

C.M

D.不能确定 .

《分式》典型例题分析

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、 要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式 x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是 ；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x

3、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）y x y x 3 22132 21-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-

分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.

题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

初二数学练习题.经典题型

八 年 级 数 学 试 题 姓名： 一、选择题：本大题共12 个小题.每小题4分;共48分. 1.下列方程中是二元一次方程的是 （ ） A. 32=+ y x B. 2 23y x =+ C. 022=-y x D.31-=+y x 2．和数轴上的点一一对应的数是……………………… （ ） A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是………………………… （ ） A. 6,8,10 B. 9,12,15 C. 1,2,3 D. 7,24,25 4．如图,所示是直线y kx b =+的图象，那么有（ ） A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b <0 D ．k <0，b >0 5．多边形的每个外角都是36°，则它的边数是（ ）． A ．15 B ．13 C ．10 D ．7 y 6.抽查初三年级8名学生一周做数学作业用的时间分别为（单位：小时）5，4，6，7，6，6，7，8.这组数据中，中位数为 （ ） A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 7.如图所示，△ABC 沿射线AC 的方向平移5厘米后成为△A 'B 'C ' ，则BB ' 的长度是（ ） A.10cm B.2.5cm C.5cm D.不能确定 8. 菱形的对角线的长分别为6和8,则它的周长为 （ ） A.5 B.10 C.20 D.40 9．一次函数y kx k =+，不论k 取何非零实数，函数图象一定会过点 （ ） A ．（1，1-） B ．（－1，0） C ．（１，0） D ．（1-，1） 10.如图，AOB △中， 30B =o ∠．将AOB △绕点O 顺时针旋转52o 得到A OB ''△，边A B ''与边OB 交于点C （A '不在OB 上），则A CO '∠的度数为（ ） A ．22o B ．52o C ．60o D ．82o 11.甲、乙两名学生运动的一次函数图象如图所示，图中s 和t 分 别表示与出发地的距离和时间，根据图象可知，快者的速度比慢 者的速度每秒快（ ） A ．2.5米 B ．1.5米 C ．2米 D ．1米 12．如图，四边形ABCD 是正方形，BF ∥AC ，四边形AEFC 是菱形， 则∠ACF 与∠F 的度 数比是 （ ）A ．3 B.4 C.5 D.不是整数 A A ' B C O B ' 64 t/秒 12 s/米 O 8

分式的乘除法典型例题

《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a

参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．

初二数学分式典型例题复习和考点总结

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x

(完整)人教版八年级数学上册知识整理与经典例题

第十一章全等三角形 一、全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 二、全等三角形 注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 （２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。 △ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。 注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。 （２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。 （３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。 （２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。 （３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。 （４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。 （５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。 注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 找夹角——ＳＡＳ （１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ 找另一边——ＳＳＳ 找边的对角——ＡＡＳ （２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ 找夹边的另一角——ＡＳＡ （３）已知两角找夹边——ＡＳＡ 找其他任意一边——ＡＡＳ 一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。 三、角平分线的性质定理及逆定理 １、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。 注意：（１）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。 （２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。 ２、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。 ３、三角形的内心 利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

分式知识点及例题

分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然

后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则：

(完整版)八年级数学几何经典题【含答案】

F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ． . 4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ． B

5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ． 6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ． 7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。 求证：EF=FD 。 8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A

分式考点及典型例题分析(最全面)

分式考点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12 +x ≠0） 例1：当x 时，分式 51-x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

人教版八年级数学分式知识点和典型例题(最新整理)

a ● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1. 转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2. 建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3. 类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值(通分与约分) 4. 幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c (a ≠ 0) a a a b d bc da bc ± da 2. 异分母加减法则: ± = ± = a c ac ac ac (a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b ? d = bd a c ac , b ÷ c = b ? d = bd a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a m a n =a m+n ; a m a n =a m －n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = mn 7. 负指数幂: a -p = 1 a p a 0=1

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分式方程学习知识点及典型例题.doc

第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1

题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2

1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3

南通市初中数学分式经典测试题

南通市初中数学分式经典测试题 一、选择题 1．化简22 a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a 【答案】B 【解析】 【分析】 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果． 【详解】 原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a - 故答案选B. 【点睛】 本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分. 2．下列运算中，正确的是（ ） A ．2+= B ．632x x x ÷= C ．122-=- D ．325a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断． 【详解】 解：A 、2不能合并，所以A 选项错误； B 、x 6÷x 3=x 3，所以B 选项错误； C 、2-1=12 ，所以C 选项错误； D 、a 3?a 2=a 5，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查实数的运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，解题关键在于掌握先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号． 3．关于分式 25x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义

B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．要使分式 81x -有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠- B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．2x ≠ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】 要使分式81 x -有意义， 则x-1≠0， 解得：x≠1． 故选：C ． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5．若分式 12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D 【解析】

八年级数学下册知识点与典型例题

八年级数学下册知识点复习 第十六章 分式 考点一、分式定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 题型一：考查分式的定义 下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有：y x y x y x y x b a b a -++-+-1 ,,22 . 题型二：考查分式有意义的条件： 当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31 +-x x （2）42||2--x x （3） 6 53222 ----x x x x 答（1） (2) (3) 题型四：考查分式的值为正、负的条件： （1）当x 为何值时，分式 为正； （2）当x 为何值时，分式 为负； （3）当x 为何值时，分式 为非负数. 练习:（1）已知分式1 1 -x +x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x________时，分式 1 1 -x 没有意义． 考点二：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a = --=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的 值. 提示：整体代入，①xy y x 5=+，②转化出 y x 11+. 【例4】已知：21=- x x ，求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2 =-++-x y x ，求 y x 241 -的值. 考点三：分式的运算 1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 3 2 +-x x 2 )1(35-+-x x x -84